高三数学辅导专题

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实力是获取高分的基础，策略 方法技巧是获取高分的关键。对于两个实力相当的同学，在考试
中某些解题策略技巧使用的好坏，往往会 导致两人最后的成绩有很大的差距。
一、选择题解题策略
数学选择题具有概栝性强 ，知识覆盖面广，小巧灵活，有一定的综合性和深度等特点，考生能
否迅速、准确、全面、简捷地解好选 择题，成为高考成功的关键。
解选择题的基本要求是熟练准确,灵活快速,方法得当,出奇制胜 。解题一般有三种思路:一是从题
干出发考虑,探求结果;二是题干和选择支联合考虑;三是从选择支出 发探求满足题干的条件。 选
择题属易题(个别为中档题),解题基本原则是:“小题
1、特殊法
从题干或选择支出发,通过选取特殊值代入、将问题特殊化,达到肯定一支或否 定三支的目的,是“小
题小作”的策略。
①特殊值:例.一等差数列前n项和为48，前2n项和为60，则它的前3n项和为（ ）
A．－24 B．84 C．72 D．36
解:本题结论中不含n,正确性与n无 关,可对n取特殊值,如n=1，此时a
1
=48,a
2
=S
2-S
1
=12,a
3
=a
1
+2d=-24,
所以前3n项和为36,选D。
②特殊函数:例.定义在R上的奇函数f(x)为减函数,设a+b≤ 0，给出下列不等式:①f(a)·f(－a)≤0 ②
f(b)·f(－b)≥0③f(a)+f(b)≤f(－a)+f(－b) ④f(a)+f(b)≥f(－a)+f(－b)
其中正确的不等式序号是（ ）
A．①②④ B．①④ C．②④ D．①③
解:取f(x)=-x，逐项检查可知①④正确。因此选B。
③特殊数列:例.如果等比数列{an}的首项是正数，
公比大于1，那么数列{
log
1
n
}（ ）
3
a
A．是递增的等比数列 B．是递减的等比数列
C．是递增的等差数列 D．是递减的等差数列
解:取a
n
=3
n
，易知选D。
④特殊位置:例.过抛物 线y=ax
2
(a>0)焦点F作一条直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ的长分别是p、q，则
11
?
等于（ ）
pq
14
C
．
4a D
2aa
1
解:考察PQ与y轴垂直时有p=q=,代入即可得C.
2a
A．2a B
－
⑤特殊点:例.函数f(x)=
x
+2（x≥0）的反函数f
1
(x)图像是（ ）

解: 在f( x)=
x
+2（x≥0）
中可令x=0，得y=2；令x=4，
得y=4，则 特殊点(2,0)及(4,4)
－
都在反函数f
1
(x)图像上,观
1 8

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察得A、C。又由反函数f
1
(x)的定义域知选C。
⑥特殊方程:例.双 曲线b
2
x
2
－a
2
y
2
=a
2
b
2
(a>b>0)的渐近线夹角为α，离心率为e,则cos
－
?
等于（ ） < br>2
x
2
y
2
??1
易得离心解:本题考查双曲线渐近 线夹角与离心率的关系,可用特殊方程来解.取方程为
41
率e=
5
2
?
，cos=，故选C。
2
2
5
⑦特殊模型:例.若实数x,y满足 (x－2)
2
+y
2
=3，则
y
最大值是（ ）
x
A．
33
1
B． C． D．
3

32
2
y?y
1
yy?0
.联想 数学模型:两点直线的斜率公式k=
2
，将问题看成圆(x－2)
2
+y2
=3上
?
x
2
?x
1
xx?0
解： 题中
点与原点O连线斜率最大值,得D.
2、估算法
通过估算或列表,把复杂问题化为简单问题,求出答案的近解后再进行判断的方法。
例:已知 双曲线中心在原点且一焦点为
F(7,0)
直线
y?x?1
与其交于M、N两 点,MN中点横坐标
为
?
2
，则此双曲线的方程是（ ）
3
x
2
y
2
x
2
y
2
x
2
y
2
x
2
y
2
??1
B．
??1
C．
??1
D．
??1
A．< br>34435225
x
2
y
2
n5
??1
,由 点差法得
?
选D.注:不必解m、n 解:设方程为
mn
m2
，则此双曲线的方程是
3、推理分析法:
①特征分析法:根据题目所提供信息,如数值特征、结构特征、位置特征等，进行快速推理,作出判断
的 方法.
例:已知
sin
?
?
A．
m?34?2m
?
?
cos
?
?(?
?
?
?
)
则
tan?
（ ）
m?5m?522
m?3
m?31
B． C． D．5
|9?m|
9?m3
2
解: 由于受
sin
?
?c os
2
?
?1
的制约,故m为确定值又
?
2
??
?
?
，于是
tan
?
2
?1
，故选 D。
②逻辑分析法:若A真
?
B真,则A排除，否则与有且仅有一正确结论矛盾;若 A
?
B,则A、B均假;
若A与B成矛盾关系,则必有一真,可否定C与D.
例:设a,b是满足ab<0的实数，那么（ ）
A.|a+b|>|a-b| B.|a+b|<|a-b| C.|a-b|<|a|-|b| D.|a-b|<|a|+|b|
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解: 因A,B是一对矛盾命题，故必有一真，从而排除错误支C，D。又由ab<0，可令a=1,b= －1，
代入知B为真。
4.验证法:
将各选择支逐个代入题干中进行验 证,或适当选取特殊值进行检验,或采取其他验证手段,以判断
选择支正误的方法.
例.若不等式0≤x
2
－ax+a≤1的解集是单元素集，则a的值为（ ）
(A)0 (B)2 (C)4 (D)6
解: 选择支逐个代入题干中验证得a=2选B.
二、填空题解题策略
同选择题一 样,填空题也属小题,其解题的基本原则是“小题不能大做”。解题基本策略是:巧做.
解题基本方法一 般有：直接求解法、图像法、构造法和特殊化法(特殊值、特殊函数、特殊角、特殊
数列、图形特殊位置 、特殊点、特殊方程、特殊模型)
1、直接求解法
直接从题设条件出发,用定义 、性质、定理、公式等,经变形、推理、计算、判断等得到正确结论.
这是解填空题常用的基本方法,使 用时要善于“透过现象抓本质”。力求灵活、简捷。
例.数列{a
n
}、{b
n
}都是等差数列,a
1
=0、b
1
= -4,用S
k< br>、S
k
′分别表示{a
n
}、{b
n
}的前k项和( k是正整数),
若Sk+ Sk′=0,则a
k
+b
k
=____。
解:用等差数列求和公式S
k
=
k(a
1
?a
k< br>)

2
2.特殊化求解法
当填空题结论唯一或其值为定值时,我们 只须把题中的参变量用特殊值(或特殊函数、特殊角、特殊
数列、图形特殊位置、特殊点、特殊方程、特 殊模型等)代替之,即可得到结论。如:上例中取k=2(k
≠1?),于是a
1
+a
2
+b
1
+b
2
=0,故a
2
+b
2
=4, 即a
k
+b
k
=4。例.已知SA,SB,SC两两所 成角均为60°,则平面
SAB
与平面SAC所成的二面角为 。
解:取S A=SB=SC,将问题置于正四面体中研究，不难得平面SAB与平面SAC所成二面角为arccos
1

3
3.数形结合法:
根据题设条件的几何意义,画出辅助图形,借 助图形的直观性,迅速作出判断的方法.文氏图、三角函数
线、函数图像及方程的曲线,空间图形等,都 是常用的图形.
例.关于x的方程
1?x
2
=k(x-2)有两个不等实根 ,则实数k的取值范围是 。
解:令y
1
=
1?x
2
,y 2=k(x-2),画图计算得
?
3
3
4、构造法:
在解题中有时需根据题目的具体情况,设计新的模式解题,这种设计工作，通常称之为构造模式解法，< br>简称构造法。
例:点P在正方形ABCD所在的平面外，PD⊥ABCD，PD=AD，则PA与BD所成角的度数为
。
解:根据题意可将上图补形成一正方体,在正方体中易求得为60°
注：解选择填空题时可优先作图,优先估算,优先考虑特例
三、解答题解题策略
1、从条件入手——分析条件，化繁为简，注重隐含条件的挖掘.
2、从结论入手--- 执果索因,搭好联系条件的桥梁.
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3、回到定义和图形中来.
4、构造辅助问题(函数、方程、图形……),换一个角度去思考.
5、通过横向沟通和转化,将各数学分支中不同的知识点串联起来.
6、培养整体意识，把握整体结构。
7、注意承上启下,层层递进,充分利用已得出的结论
8、优先挖掘隐含, 优先作图观察分析
9、立足特殊,发散一般:“以退求进”是一个重要 的解题策略,对于一个较一般的问题，若一时不能取得
一般思路，可以采取化一般为特殊,化抽象为具体 ，化整体为局部，化参量为常量，化较弱条件为较
强条件，等等。退到一个你能够解决的程度上，通过对 “特殊”的思考与解决，启发思维，达到对“一
般”的解决
10、正难则反,执果索因，逆向 思考:对一个问题正面思考发生思维受阻时，用逆向思维的方法去探
求新的解题途径，往往能得到突破性 的进展。顺向推有困难就逆推，直接证有困难就反证。
11、解决探索性(开放性)问题的策略:探索 性问题可以粗略地分为四种类型：条件追溯型、结论探索
型、存在判断型和方法探究型。解探索性问题， 不必追求结论的“是”与“否”、“有”与“无”，可以一
开始，就综合所有条件，进行严格的推理与讨 论，则步骤所至，结论自明。
12、解应用性问题的思路:审题尤为重要。审题需将那些与数学无关内 容抛开，以数学的眼光捕捉信
息，构建模型,同时要注意将图形、文字、表格等语言转变为数学语言。具 体做法是:①先全面理
解题意和概念背景②透过冗长叙述,抓重点词句,提出重点数据③综合联系，提 炼数量关系,依靠数学
方法,建立数学模型(模型一般很简单).如此将应用问题化为纯数学问题.此外 ,求解过程和结果不能
离开实际背景。
四、常用数学思想与方法
高考数学命题以 能力立意为主。若能自觉、灵活地综合运用各种数学思想与方法于所要解决的问题
中，则常能使问题迎刃 而解。
(一）常用数学思想与方法
1、函数与方程的思想: 函数思想,是指用函数的概念 和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方
程思想，是从问题的数量关系入手，用数学语言将问题中的 条件转化为数学模型(方程、不等式、或
方程与不等式组),然后通过解方程或不等式(组)使问题获解
2、数形结合的思想:实质是抽象的数学语言与直观图形的结合，使抽象思维和形象思维在解题中交互运用。通过对图形的认识，使初看很难或很繁的问题变得容易和直观，它可以使代数问题几何化，
几何问题代数化。
3、分类与整合的思想: 在研究问题时，若我们不能用同一种方法去处理，就往往 将这个问题恰当地
划分成若干个部分的问题，在解决了这些若干个部分问题后，整个问题就得到了解决。 确定分类的
标准是分类法的关键。划分时，要注意既不重复，又不遗漏。
4、化归与转化的思 想:就是把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、常规、简单的问题。转化
有等价与非等价转化。等 价转化要求转化过程中前因后果是充要的。非等价转化其过程是充分或必
要的，要对结论进行必要的修正 .（如无理方程化有理方程要求验根）转化能给人带来思维的闪光点，
找到解题的突破口。
5、有限与无限的思想:将题目条件扩展到极限情况，采用极限思维，常给人一种豁然开朗的感觉。
6、特殊与一般的思想:参看选择、填空题的解法思想.
(二)常用数学方法技巧
1.解析法 （数形结合） 2.待定系数法 3.反证法4.消元降幂法 5.数学归纳法 6.配方法 7.
换元法 8.图象法与观察法 9.差(商)比法（比较法） 10.特值法
11.判别式法与韦达定理12.基本不等式 13.参数与分离参数法
14.拆项法 15.错位相减法 16.迭加与连乘 17.等积(面积、体积)法
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18.几何变换法:平移、旋转、对称 19.活用定义 20.分析法与综合法 21.类比法 22.因式分解法
23.构造(配凑)法
五、考前策略
1.考前几天要调整好生物钟，保持最近习惯，保持良好的心理状态。
2.考前几天要做好知 识方法整理、回忆；要浏览一下重要的概念、公式和定理；浏览一下近段时间
的试卷和专题；以查漏补缺 、树立信心、调整自己的心态。
3.考前几天晚上应早点睡，中午应体息好，以保证充足的睡眠和良好 的精力。饮食以清爽、可口、
易消化吸收为原则,注意早餐要吃丰盛些,但不能过于油腻.考试当天中午 ,应有良好的心理暗示如“我
很放松，我感觉不错，今天数学我一定能超常发挥”等。
4.考试前一天要整理并放好考试用具。首先是准考证、身份证 ；其次是尺规、三角版、量角器、2B
铅笔、填涂卡、0.5黑色水笔、橡皮等；再次是必要的如手绢、清凉油等。作图、作辅助线一定先用< br>铅笔和尺子最后用黑色水笔，填涂用2B铅笔,答题用0.5黑色水笔。
5.提前半小时到达考 区，一方面可以消除新异刺激，稳定情绪，从容进场，另一方面也留有时间调
整大脑思绪，摒弃杂念，排 除干扰,使大脑处于放松状态，同时创设数学情境，让大脑进入单一数学
状态,提前进入“角色”。具体 作法是：清点考试用具、把数学基本知识“过过电影”、看一眼难记易
忘的结论、暗示重要知识和方法、 提醒常见解题误区,进行针对性的自我安慰,减轻压力,轻装上阵,稳
定情绪、增强信心，使思维单一化 、数学化、以平稳自信、积极主动的心态准备应考。
六、临场答题策略、技巧
高考临场发挥 显得尤为重要，正确运用数学高考临场解题策略，不仅可以预防各种心理造成的不合
理丢分和计算失误、 笔误，而且能运用科学的检索方法,建立神经联系,挖掘思维和知识潜能.
(一) 放松精神，保持心态平衡的策略
1、进场见老师，问声好以消除对监考老师的敬畏感，获得一种和谐 的亲近感。试卷到手，首先要按
照考试要求，认真、准确、规范地填好准考证号码、姓名等相关内容。避 免开考后遗忘。
2. “临战”前，保持心态平衡的方法有三种：①转移注意法：避开监目光，把注意 力转移到某一次你
印象较深的数学评讲课上，或转移到对往日有趣事情的回忆中。②自我安慰法：如“我 经过的考试多
了，没什么了不起”,“我今天心情不错，精神不错,一定考得不错.”等。③抑制思维法 ：闭目而坐，气
贯丹田，四肢放松，深呼吸，慢吐气，可帮助放松。
3.信心要充足，暗示靠 自己。答卷中，见到简单题，要细心，莫忘乎所以，谨防“大意失荆州”。面
对偏难的题，要耐心，不能 急。应想到试题偏难对所有考生也难。通过这种暗示，确保情绪稳定,
树立 “人家会的我也会，人家不会的我也会”的必胜信念，使自己始终处于最佳竞技状态。
4.时常提醒自 己作到“四心”：静心、信心、细心、专心;做到“内紧外松”。集中注意力是考试成功的
保证，一定的 神经亢奋和紧张，能加速神经联系，益于积极思维。注意力高度集中，思维异常积极，
这叫内紧，但紧张 程度过重，则走向反面与焦虑，抑制思维，所以又要放得开，要愉快清醒，做到“内
紧外松”。
5.不要总想“捞满分”而要常想“多拣分，少丢分”。特别是对平时成绩中等的同学来说，卡在某一题
上,一心想“捞满分”是大忌。,应该捞的分一定要捞，该放弃的敢于暂时放弃。如果有时间再攻暂时放
弃的题。
(二)临场增分解题的技巧与策略
1、沉着应战，确保旗开得胜，以利振奋精神
良好的开端是成功的一半，从考试心理角度来说，这确实是很有道理的，拿到试题后，不要急于求< br>成、立即下手解题，而应通览一遍试题，摸透题
情，然后稳操一两个易题熟题（选择填空为主） ,让自己产生“旗开得胜”的快意，从而有一个良好的
开端，以振奋精神,鼓舞信心,很快进入最佳思维 状态,发挥心理学所谓的“门坎效应”,之后做一题得一
题,不断产生正激励，
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2、立足中低档题目，力争高水平
答卷 中要立足中下题目。中下题目通常占全卷80%,是试题的主要构成，考生得分的主要来源。
学生拿下这 些题目,实际上就是打了个胜仗,有了胜利在握的心理,对攻克高档题会更放得开。
3、“五先五后”，因人因卷制宜
在通览全卷，将简单题顺手完成的情况下,情 绪趋于稳定,情境趋于单一,大脑趋于亢奋,思维趋于
积极,之后便是发挥临场解题能力的黄金季节了。 这时,考生可依自己的解题习惯和基本功，结合整套
试题结构,选择执行“五先五后”的战术原则。
①先易后难。就是先做简单题，再做综合题。应根据自己的实际，果断跳过啃不动的题目，从易到
难，也要注意认真对待每一道题,力求有效,不能走马观花,有难就退，伤害解题情绪。
②先熟后生 。通览全卷，可以得到许多有利的积极因素，也会看到一些不利之处。对后者，不要惊
慌失措。应想到试 题偏难对所有考生也难。通过这种暗示，确保情绪稳定。对全卷整体把握之后，
就可实施先熟后生的策略 ，即先做那些内容掌握比较到家、题型结构比较熟悉、解题思路比较清晰
的题目。这样，在拿下熟题的同 时，可以使思维流畅、超常发挥，达到拿下中高档题目的目的。
③先同后异.是指先做同知识类型的 题目，思考比较集中，知识和方法的沟通比较容易，有利于提高
单位时间的效益。高考题一般要求较快地 进行“兴奋灶”的转移，而“先同后异”，可以避免“兴奋灶”
过急、过频的跳跃，从而减轻大脑负担， 保持有效精力。
④先小后大。小题一般是信息量少、运算量小，易于把握，不要轻易放过，应争取在大 题之前尽快
解决，从而为解决大题赢得时间，创造一个宽松的心理基础。
⑤先高后低。即在考 试的后半段时间，要注重时间效益，如估计两题都会做，则先做高分题；估计
两题都不易，则先就高分题 实施“分段得分”，以增加在时间不足前提下的得分。
4、一“慢”一“快”，相得益彰
解一个题，含两方面内容：方法的选择以及用所选方法准确完整地解决它. 有些考生只知道考
场上一味 地要快，结果题意未清，条件未理解全，便急于解答，岂不知欲速则不达，结果是思维受
阻或进入死胡同 .应该说，审题要慢，解答要快。审题是整个解题过程的“基础工程”,题目本身是“怎
样解题”的信息 源,必须充分搞清题意，综合所有条件,提炼全部线索,形成整体认识,为形成解题思路提
供全面可靠的 依据。而思路一旦形成，则可尽量快速解答。
5、确保运算准确,立足一次成功
要尽量准确运算（关键步骤，力求准确，宁慢勿快），立足一次成功。解题速度是建立在解题
准确度基础 上，更何况数学题的中间数据常常不但从“数量”上，而且从“性质”上影响着后继各步的
解答。所以， 在以快为上的前提下，要稳扎稳打，层层有据，步步准确，不能为追求速度而丢掉准
确度，甚至丢掉重要 的得分步骤。
6、讲求规范书写，力争既对又全
会而不对，令人惋惜；对而不全 ，得分不高；表述不规范、字迹不工整又是造成高考数学试卷
非智力因素失分的一大方面。因为字迹潦草 ，会使阅卷老师的第一印象不良，进而使阅卷老师认为
考生学习不认真、基本功不过硬、“感情分”也就 相应低了，此谓心理学的“光环效应”。“书写要工整，
卷面能得分”正是这个道理。
7、面对难题，讲究策略，分步得分
不要随便放弃一道题！如果是一道选择题,全 然放弃，得零分，但只要做出选择，就有四分之一
的把握得５分。如果放弃的是解答题，又与高考数学解 答题起点较低，的特点格格不入。
会做的题目要力求做对、做全、得满分，对于解答题中不能 全面完成的难题如何分段得分？通
常有两种方法。
①缺步解答。对难题，确实啃不动时，明智 的解题策略是：将它划分为一个个子问题或一系列的步
骤，先解决问题的一部分，能解决到什么程度就解 决到什么程度，能演算几步就写几步，每进行一
步就可得到这一步的分数。如:把文字语言译成符号语言 ，把条件和目标译成数学表达式，设应用题
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高三数学辅导专题 的未知数，设轨迹题的动点坐标等，都能得分。还有象完成数学归纳法的第一步，分类讨论，反证
法 的简单情形等，都能得分。而且还可望在上述处理中，从感性到理性,从特殊到一般,从局部到整体,
产 生顿悟,形成解题思路.
②跳步解答。解题过程卡在一中间环节上时,可以承认中间结论,往下推,看 能否得到正确结论,如得不
出,说明此途径不对,立即改变方向，寻找它途；如能得到预期结论,就再回 头集中力量攻克这一过渡
环节。若因时间限制,中间结论来不及得到证实，就只好跳过这一步，写出后继 各步，一直做到底；
若题目有两问，第一问做不上，可以第一问为“已知”，完成第二问，这都叫跳步解 答。也许后来由
于解题的正迁移对中间步骤想起来了，或在时间允许的情况下，经努力而攻下了中间难点 ，可在适
当位置补上。
8、重视复查环节,不争交头卷
试题全做完后要认真检查, 检查试卷要求、检查答题思路、检查解题步骤、检查答题结果。要
看是否有 漏题,答题所写字母与图形是否一致,格式是否规范,字母、符号、数据是否抄错。对解题结
果常用的检 验策略有:①回顾检验②赋值检验③逆代检验 ④估算检验⑤作图检验⑥多解法检验 ⑦
极端检验。

数学考前提醒
1．在应用条件
A?B
易忽略A是空集的情况．
2．求解与函数、不等式有关的问题注意定义域优先的原则．（求值域、单调区间、判断奇偶性、解不等式等等）
3．判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称．
4．注意
y=[f(x)]
有意义，必须
f(x)?0

5 ．用判别式判定解题时，易忽略讨论二次项的系数是否为0．尤其是直线与圆锥曲线相交时更易忽
略．
6．等式两边约去一个式子时，注意约去的式子不能为零．
7．求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“
?
” 和“或”；单调区间不能用集合
或不等式表示．
8．解关于x的不等式
ax?bx? c?0
时，不要忘记对
a是否?0
进行讨论，注意
a?0
时，不等号
要改变方向。
9．恒成立问题，求字母a的范围，特别注意a能否取到端点的值。
10．在分类讨论时，分类要做到“不重不漏、层次分明”，并进行总结.
11．用等比数列求和公式求和时，易忽略公比q=1的情况
12．由
a
n
?
?
2
0
?
S
n
?S
n?1　　（n?2）　
，易忽略n＝1的情况
?
S
1
　　　（n= 1）
13．等比数列
{a
n
}
中，
a
1
? 0,q?0,且a
1
,a
3
,a
5
...
同号。
14．用均值定理求最值（或值域）时，易忽略验证 “一正二定三等”这一条件.
15．用直线的点斜式、斜截式设直线的方程时，易忽略斜率不存在的情况。
16．分清四面体，四棱锥，分清直四棱柱，正四棱柱，直平行六面体，长方体
17．正三棱锥对棱相互垂直
18．复数a+bi（a，b
?R
）的虚部为b
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19．在解答题中，如果要应用教材中没有的重要结论，那 么在解题过程中要给出简单的证明.如双勾
函数的但调性
20．各种角的范围：
(1)两个向量的夹角
0??
?
?180?

(2)直线的倾斜角
0??
?
?180?
两条相交直线的夹角
0??
?
?90?

l
1
到l
2
的角

0??
?
?180?

(3) 两条异面线所成的角
0??
?
?90?

直线与平面所成的角
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?
?90?

斜线与平面所成的角
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?
?90?
二面角
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?
?180?

21．注意重要数学方法的运用：（1）特殊归纳一般
（2）换元法
（3）数形结合
（4）含字母的考虑是否分类讨论







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