高一数学暑假优生补课

高一数学暑假优生辅导
数列（一）
一、 选择题：
1、如图,这是一个正六边形的序列,则第(
n
)个图形的边数为（ C ）.
A. 5n-1 B. 6n C. 5n+1 D.4n+2
2、数列
?
a
n
?
的通项公式
a< br>n
?
A
98
B
99

1
n?n?1
，则该数列的前（B ）项之和等于
9

C
96
D
97

3、 在等差数列?
a
n
?
中，若
S
4
?1,S
8?4
，则
a
17
?a
18
?a
19
? a
20
的值为（ A ）
A
9
B
12
C
16
D
17

4、 在 等比数列
?
a
n
?
中，若
a
2
?6
，且
a
5
?2a
4
?a
3
?12?0
则
a
n
为（ D ）
A
6
B
6?(?1)
n?2
C
6?2
n?2
D
6
或
6?(?1)
n?2
或
6?2
n?2

5、等差数列
{a
n
}
共有
2n?1
项，其中奇数 项之和为
319
，偶数项之和为
290
，则其中间项为
（B ）.
A. 28 B. 29 C. 30 D.31
6、已知等差数列
{a
n
}的前n
项和为
Sn
,若m?1,且a
m?1

等于（ C ）
A
38

2
?a
m?1
?a
m
?0,S2m?1
?38,则m

B
20
C
10
D
9

7、若数列
?
a
n?
满足
11
??dn?N
?
,d为常数
，则称数列?
a
n
?
为“调和数列”.已知正项
a
n?1
a
n
??
?
1
?
数列
??
为“调和数列” ，且
b
1
?b
2
????????b
9
?90，则
b
4
?b
6
的最大值是
b
?
n
?
A.10
【答案】B
B.100 C.200 D.400
2
?
b?b
?
【解析】 由已知得
?
b
n
?
为等差数列，且
b
4
? b
6
?20,又b
n
＞
0
，
所以
b
4
?b
6
?
?
46
?
?100.
?
2
?
11
n
a?a?()(n?2
，且
n? N
*
)
，则数列
?
a
n
?
的通项公8、已 知数列
?
a
n
?
满足
a
1
?1
， 且
nn?1
33
式为（ ）

3
n
n?2
A．
a
n
?
B．
a
n
?
n
C．
a
n
?
n?2
D．
a
n
?
(n?2)3
n

3
n?2
【答案】B
11
【解析】由
a
n
?a
n?1
?()
n
(n?2
且
n?N
*
)
得，
3
n
a
n
?3
n?1
a
n?1
?1
，
3
n?1
a
n?1
?3
n? 2
a
n?2
?1,.....
，
33
n?2
32
a
2
?3a
1
?1
，相加得
3
n< br>a
n
?n?2
，
a
n
?
n

3
二、 填空题
9、等差数列
?
a
n
?
中，
a
1
?a
2
?20,a
3
?a
4?80
，则
S
10
?
___700_____
10、 已知数列
?
a
n
?
中，
a
1
??1
，
a
n?1
?a
n
?a
n?1
?a
n< br>，则数列通项
a
n
?
___
?
2
1
________
n
11、 已知数列的
S
n
?n?n?1< br>，则
a
8
?a
9
?a
10
?a
11
?a
12
=__100___________
12、设
f< br>(
x
)=
1
2
x
?2
,利用课本中推导等差 数列前
n
项和的公式的方法,
92
__________
2可求得
f
(－8)+
f
(－7)+?+
f
(0)+?+
f
(8)+
f
(9)的值为________
三、 解答题
13、
等比数列{
a
n
}的前n 项和为
s
n，已知
S
1
,
S
3
,
S
2
成 等差数列
（1）求{
a
n
}的公比q； （2）求
a
1
－
a
3
＝3，求
s
n

解：（Ⅰ）依题意有
a
1
?(a
1
?a
1
q)?2(a
1
?a
1
q?a
1
q
2< br>)
由于
a
1
?0
，故
2q
2
?q?0

又
q?0
，从而
q?－

1
2
（
（Ⅱ）由已知可得
a
1
?a
1
?）?3

故
a
1
?4

1
2
2
1
n
（41?（?））
81
n
2
从而
S
n
?

?（1?（?））
1
32
1?（?）
2

14、< br>已知数列
{a
n
}
是等差数列，且
a
1
?2
，
a
1
?a
2
?a
3
?12
.
⑴ 求数列
{a
n
}
的通项公式；
⑵ 令
b
n
n
(n?N
*
)
，求数列
{b
n
}
的前
n
项和的公式.
?a
n
?３

解:（1）
?a
1
?2
，
a
1
?a
2
?a
3
?12
?3a
1
?3d?12，即d?2

?2?(n?1)?2?2n.

?a
n
（2）由已知：
b
n

?S
n

３S
n
?2n?3
n

２３
?2?3?4?3?6?3?…＋2n?3
n
①
?2?3
2
?4?3
3
?6?3
4
?…＋2n?3
n?1
②
6(1?3
n
)
?2n?3
n?1
=
1?3
①-②得

-2S
n< br>?2?3?2?3?2?3?????2?3?2n?3
23nn?1
3?3
n ?1
31
?n?3
n?1
??(n?)3
n?1
.
?S
n
?
222
15、甲、乙两企业，2000年的销售量均为p（ 2000年为第一年），根据市场分析和预测，甲企业前n年的
总销量为
p
2
p
(n?n?2)
，乙企业第n年的销售量比前一年的销售量多
n?1
.
2
2
（1）求甲、乙两企业第n年的销售量的表达式；
（2）根据甲、乙两 企业所在地的市场规律，如果某企业的年的销售量不足另一企业的年销售量的20%，则
该企业将被另一 企业收购，试判断，哪一企业将被收购？这个情形将在那一年出现？是说明理由。
解： 设甲企业前n 年的总销量为
S
n
，第n年的销量为
a
n
，乙企业第n年的 销售量
b
n
，根据题意，得
S
n
?
p
2< br>p
(n?n?2)
，
b
n
?
n?1
（
n?2
）
22
?a
1
?S
2
?S
1< br>?p
，当
n?2
时，
?a
n
?S
n
?S
n?1
?p(n?1)
，
(n?1)
?
p
，
?b
n
?b
1
?(b
2
?b
1
) ?(b
3
?b
2
)???(b
n
?b
n?1
)
，
?a
n
?
?
p(n?1)(n?2)
?< br>?b
n
?p?
pp1
???
n?1
?(2?
n?1
)p
.
222
11
b
n
?b
n< br>，故甲企业不可能被乙企业收购，
25
（2）
?a
n
?p, b
n
?p
，
?a
n
?
当
n?1
时 ，
a
1
?b
1
?p
，乙企业不可能被甲企业收购，
当
n?2
时，
?a
n
?b
n
?
1
5
115
p(n?1)?(2?
n?1
)p
，
?n?11 ?
n?1
，
522

5
，
2
n? 1
55
?
当
4?n?10
且
n?N
时，有
11?
n?1
?10
，
?n?11?
n?1
，
2 2
55
?
当
n?11
且
n?N
时，
11?
n?1
?11
，所以必有
?n?11?
n?1
，
22
故当
n?11
时，即2010乙企业可能被甲企业收购.
则当
n?2,3
时，经验证
?n?11?
16、在数1和100之间插入
n
个实数，使得这
n?2
个数构成递增的等比数列，将这
n?2
个数 的乘积记作
T
n
，再令
a
n
?lgT
n,
n≥1
.
（Ⅰ）求数列
{a
n
}
的通项公式；
（Ⅱ）设
b
n
?tana
n
?tana
n?1
,< br>求数列
{b
n
}
的前
n
项和
S
n< br>.
【解析】：（Ⅰ）
t
1
,t
2
,……,t
n?2
构成递增的等比数列，其中
t
1
?1
，
t
n?2
?100
，则
T
n
?t
1
?t
2
?……?t
n?1
?t
n?2
①
T
n
?t
n?2
?t
n?1
?……?t
2
?t
1
②
①×②并 利用等比数列性质
t
n?2
?t
1
?t
n?1
?t
2
?……=t
1
?t
n?2
?10
2
得
T
n
2
?(t
n?2
?t
1
)?(tn?1
?t
2
)?……?(t
1
?t
n?2
) ?10
2(n?2)

a
n
?lgT
n
?lg10
n?2
?n?2
，
n?1

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
b< br>n
?tana
n
?tana
n?1
?tan(n?2)?ta n(n?3)
，
n?1

又
?
tan[(n?3)?tan (n?2)]?
tan(n?3)?tan(n?2)
?tan1

1?ta n(n?2)?tan(n?3)
?tan(n?2)?tan(n?3)?
tan(n?3) ?tan(n?2)
?1

tan1
所以数列
{b
n
}
的前
n
项和为
S
n
?tan(1?2)?tan(1?3)?tan(2?2)?tan(2?3) ?……?tan(n?2)?tan(n?3)
tan(1?3)?tan(1?2)tan(2?3) ?tan(2?2)tan(n?3)?tan(n?2)
??……??n

tan1 tan1tan1
tan(n?2)?tan3
??n
tan1
?