高中数学4大能力-一起学习高中数学
07高一年级数学同步辅导
07高一数学同步辅导 充分条件与必要条件
第一章 集合与简易逻辑
1.6 逻辑联结词
1.7 四种命题
1.8 充分条件与必要条件
教学内容
(1)能用逻辑联结词和简单命题构成不同形式的复合命题;
(2)能识别复合命题中所用的逻辑联结词及其联结的简单命题;
(3)理解四种命题之间的相互关系,能由原命题写出其他三种形式;
(4)通过对四种命题之间关系的学习,培养学生逻辑推理能力;
(5)正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念;
(6)能正确判断是充分条件、必要条件还是充要条件;
重点、难点选讲
1、命题与逻辑联结词
(1)所谓命题,是指能够判断其真假的语句,因此疑问句、祈使句都不是命题.
(2)若
一个命题是正确的,该命题叫真命题;若一个命题不正确,该命题叫假命题.由命题的概念,
一个命题不
是真命题就是假命题。
(3)由简单命题用逻辑联结词“或”、“且”、“非”联结起来组
成的命题叫复合命题.若用小写字母p、
q表示命题,则复合命题的基本形式是“p或q”,“
p且q”以及“ 非p”.
(4)逻辑联结词“或”可以与集合中的“并”相联系,A?B?
?
x|x?A,或x?B
?
.逻辑联结词“且”
可以与集
合中的“交”相联系,A
?B?
?
x|x?A,且x?B
?
。逻辑联
结词“非”,可以与集合中的“补”
相联系,
u
A?
?
x|x?U,且x?A
?
.
例1:判断下列语句是否是命题?若是命题,请判断其真假.
(1)台湾是中国领土不可分割的一部分;
(2)
3x
2
?2x?5?0
;
(3)证明:平行四边形的四边平方和等于对角线的平方和;
(4)三角形两边之和等于第三边.
解:(1)它是作出判断的语句,所以是命题,且是真命题.
(2)因语句中字母x的值不确定,所以这个不等式不能判断是否成立,该语句不是命题.
(3)它是祈使句,没有作出判断,不是命题.
(4)它是作出判断的语句,是命题,且是假命题.
评析:第(2)题的语句中含有变量x,当x
不确定时无法判断这个命题的真假,这种语句也叫“开语句”,
如:“
x?3x?4?0
”也是开语句.
例2:指出下列复合命题的形式以及构成它们的简单命题是什么.
(1)6是18和24的公因数;
(2)x
?
(A
?B)
;
(3)
矩形的对角线相等且互相平分;
(4)方程
x?6x?8?0的解是x
1
?2,x
2
?4.
解(1)该命题是“p且q”的形式,p:6是18的因数,q:6是24的因数.
(2)该命题是“非p”的形式,p:
x?(A?B).
(3)该命题是是“p且q”的形式,p:矩形的对角线相等,q:矩形的对角线互相平分.
(4)该命题是“p或q”的形式,p:x
1
?2是方程x?6x?8?0的解.
q:
x
2
?4是方程x?6x?8?0的解.
2、真值表
2
2
2
2
(1)一个简单命
题的真假易于判断,但一个复合命题的真假不一定容易判断,真值表是判断复合命
题真假的有力工具。
(2)对一个复合命题,如果能把它分解成一个或几个简单命题及逻辑联结词,只要逐一判断简单命<
br>题的真假,就可以很容易用真值表判断这个复合命题的真假.
(3)真值表中,“非p”形式
的复合命题的真假与p相反;“p且q”形式的复合命题,当且仅当p、
q都为真时为真,其余情况均为
假;“p或q”形式的复合命题,当且仅当p、q都为假时为假,其余情
况都为真.
例3:对于简单命题p、q的下列几种情况列出“非p”,“非q”,“p且q”,“p或q”的真值表:
(1)p真,q真; (2)p真,q假;
(3)p假,q真; (4)p假,q假.
解:列表如下:
题号 p q 非p 非q P且q P或q
(1) 真 真 假 假 真
真
(2) 真 假 假 真 假 真
(3) 假 真 真 假 假 真
(4)
假 假 真 真 假 假
例4 若用“1”表示“真”,用“0”表示“假
”,对于命题p和q的下列几种情况列出命题“p
或q”,“非(p或q)”,“(非p)且(非q)”
,“非(非p)”的真值表:
(1)p真,q真;
(2)p真,q假;
(3)p假,q真;
(4)p假,q假.
q p或q 非(p或q) 非(非
题号 p 非p 非q
(非P)且(非q)
p)
(1) 1 1 1 0 0 0 0 1
(2) 1
0 1 0 0 1 0 1
(3) 0 1 1 0 1 0 0 0
(4) 0 0
0 1 1 1 1 0
评析:由表中可以看出,“非(p或q)”与“(非p
)且(非q)”的真值相同,“非(非p)”与
“p”的真值相同.
例5
(1)如果命题“p且q”是真命题,判断命题“(非p)或(非q)”的真假;
(2)如果命题“p且q”是假命题,判断命题“(非p)或(非q)”的真假.
解 (1
)若命题“p且q”是真命题,由真值表知,命题p和q都是真命题,因此“非p”、“非q”
都是假命
题,所以命题“(非p)或(非q)”是假命题.
(2)若命题“p且q”是假命题,由真值表知有三种情况可能出现:
①p真,q假,这时“非p”为假,“非q”为真,因此“(非p)或(非q)”为真.
②p假,q真,这时“非p”为真,“非q”为假,因此“(非p)或(非q)”为真.
③p假,q假,这时“非p”为真,“非q”为真,因此“(非p)或(非q)”为真.
综上可知,“(非p)或(非q)”为真
评析:由本题可见,命题“非(p且q)”与“(非p)或(非q)”的真值相同.
3.四种命题
(1)在初中学习原命题和逆命题的基础上,引进了否命题和逆命题的概念。
(2)将
一个命题采用①交换命题的条件和结论,②同时否定命题的条件和结论;③同时否定和交
换命题的条件和
结论,分别产生了原命题的逆命题,否命题和逆否命题。如果原命题为“若p则q”,则逆
命题为“若q
则p”,否命题为“若? p 则? q”,逆否命题为“若? q 则? p”.
(
3)在四种命题之间关系的图示中,要理解其中互逆,互否,互为逆否的含意.原命题与逆否命
题等价,
逆命题与否命题等价.
例6
分别写出下列命题的否定形式及命题的否命题,并判断它们的真假.
(1)如果两个三角形全等,那么它们的面积相等;
(2)数字和能被3整除的整数能被3整除;
(3)自然数的平方不都是正数.
解 (1)否定形式:如果两个三角形全等,那么它们的面积不相等,是假命题.
否命题:如果两个三角形不全等,那么它们的面积不相等,是假命题.
(2)否定形式,数字和能被3整除的整数不能被3整除,是假命题.
否命题:数字和不能被3整除的整数不能被3整除,是真命题.
(3)否定形式:所有自然数的平方都是正数,假命题.
否命题:有些自然数的平方是正数,真命题.
评析:(1)命题的否定形式与否命题
是两个不同的概念,若原命题为“p→q”则命题的否定形式
是“p→?q”,而否命题是“?p→?q
”.
(2)要熟悉一些常用语言的否定形式:
语言
否定形式
是
不是
都是
不都是
相等
不相等
大于(>) 所有
不大于(≤) 有些
至少有n个
至多有n-1个
能
不能
一定
不一定
?
?
例7
写出命题“直角均相等”的逆命题,否命题,逆否命题,并判断其真假.
解
原命题可改写为“如果两个角都是直角,那么这两个角相等”,是真命题.
逆命题:如果两个角相等,那么这两个角都是直角,是假命题.
否命题:如果两个角不都是直角,那么这两个角不相等,是假命题.
逆否命题:如果两个角不相等,那么这两个角不都是直角,是真命题.
评析:有些命题不是很
明显的p→q的形式,在写它的逆命题,否命题,逆否命题之前,应先将它改写为
条件,结论的形式.
例8
已知原命题如下,分别写出它们的逆命题,否命题和逆否命题,并判断它们的真假.
(1)若
a?c,b?d,
则
a?b?c?d;
(2
)若
xyz?0,
则
x?0,
或
y?0,
或
z?0
.
解 (1)逆命题:若
a?b?c?d,
则
a?c,
且
b?d.
是假命题.
否命题:若
a?c.
或
b?d,则a?b?c?d
是假命题.
逆否命题:若
a?b?c?d,则a?c或b?d.
是真命题.
(2)逆命题:若
x?0,或y?0,或z?0,则xyz?0.
是真命题.
否命题:若
xyz?0,则x?0,且y?0,且z?0,
是真命题.
逆否命题;若
x?0,且y?0,且z?0,则xyz?0.
是真命题.
评析:(1
)原命题的条件“
a?c,b?d
”的命题结构是“p且q”的形式,它的否定是“?p或?q
”,而不
是“?p且?q”.
(2)原命题的结论是“p或q或r”的形式,它的
否定是“?p且?q且?r”,而不是“?p或?q或?r”.
4.充分条件和必要条件
⑴充分条件和必要条件是十分重要的数学概念,必须准确理解“充分”、“必要”的涵义.
⑵
p
与
q
之间的因果关系有四种情况:
①
p?q
,且
q?p
,称
p
是
q
的充分不必要条件; ②
p?q
,且
q?p
,称
p
是
q
的必
要不充分条件;
③
p?q
,且
q?p
,称
p
是<
br>q
的充分必要条件;
④
p?q
,且
q?p
,称p
是
q
的既不充分又不必要条件.
⑶
p
是
q
的充分条件即
p?q
,可以从字面上理解为“若
p
真则充分保证q
也为真”,
p
是
q
的必
要条件即
q?p<
br>,可以从字面上理解为“若要
q
真,必须要
p
真”.
⑷当<
br>p?q
时,既可以称
p
是
q
的充分条件,也可说成“
q
的充分条件是
p
”.
当
q?p
时,既可以称
p
是
q
的必要条件,也可说成“
q
的必要条件是
p
”.
例9 指出下列各题中
p
是
q的什么条件(指“充分不必要条件”,“必要不充分条件”,“充要条件”,
或“既不充分又不必要条件”):
(1)
p
:抛物线
y?ax
2
?bx?c(a?0)
经过点A(1,0),
q
:
a?b?c?0(a?0)
;
(2)
p
:
x
为偶数,且
y
为偶数,
q
:
x?y
为偶数;
(3)
p
:
x?1?2
,
q
:
x
2
?2x?3?0
;
(4)
p
:
a?0
,
q
:
a
2
?b
2
?0(a,b?R)
;
(5)
p
:
x??2
, 或
x?3
,
q
:
7?x?x?1
.
解:(1)若
p
真,即
0?a?1
2
?b?1?c,a?b?c?0
,故
p
?q
.
若
q
真,即
a?b?c
?0(a?0)
,则
a?1
2
?b?1?c?0
,抛物线
y?ax
2
?bx?c
经过点A(1,0),故
q?p
.
∴
p
是
q
的充要条件.
(2)若
p
真,即
x
为偶,且
y
为偶数,则
x?y
为偶数,故
p?q
.
若
q
真, 即
x?y
为偶数,则
x
、
y
可
能都是奇数,因此
p?q
.
∴
p
是
q
的充分不必要条件.
(3)若<
br>p
真,即
x?1?2
,则
?1?x?3
,
q
为
x??1
或
x?3
,故
p?q
,
q?p
.
∴
p
是
q
的既非充分又非必要条件.
(4)
显然
p?q
,(当
a?0
,
b?0
时,
a
2
?b
2
?0
),又若
q
真,即
a
2
?b
2
?0(a,b?R)
,则
a?0
,且
b?0
,故
p
真,
q?p
.
∴
p
是
q
的必要不充分条件.
(5)解方程
7?x?x?1,7?x?x
2
?2x?1,x
2
?x?6?0,x??2或x?3,?x??2
是增根,
q
:
x?3
.
若p
真,即“
x??2,
或
x?3
”不一定有
x?3,∴
p?q
.
若
q
真, 即
x?3
,则“
x??2,
或
x?3
”必真,∴
q?
p
.
∴
p
是
q
的必要不充分条件.
评析:判断
p
是
q
的什么条件,应从
p
?q
和
q?p
能否成立两个方面进行考虑.
例10 指出下列各题中,
p
是
q
的什么条件(指“充分不必要条件”,
“必要不充分条件”,“充要条
件”或“既不充分又不必要条件”):
(1)
p
:
x?2
,且
y?3
,
q
:
x?y?5
;
(2)
a
、
b?R
,
p
:
?
?
?
,
q
:
sin
?
?sin
?
.
解:(1)考虑“
p?q
”的等价命题“┐
q?
┐
p
”.
┐
q
:
x?y?5
,
┐
p
:
x?2
,或
y?3
.
显然有┐
q
?
┐
p
,知
p?q
.
同样,由┐
p
?
┐
q
,知
q?p
.
∴
p
是
q
的既不充分又不必要条件.
(2)┐
q
:
sin
?
?sin
?
,
┐
p
:
?
?
?
.
∵┐
p
?
┐
q
,
∴
q?p
.
∵┐
q
?
┐
p
,
∴
p?q
.
∴
p
是
q
的必要不充分条件.
评析: (1)在不易确定
p
与
q
的关系时,也可以分别用“
p?q
”的等价命题“
?
q
?
?
p
”
和“
q?p
”的等价命题“
?
p
?
?
q
”
来判断.
(2)在判断
p?q
时,也可以用举反例的方法,如第(2)题可以用?
?2
?
?
?
?
?
,但
sin
?
?sin(2
?
?
?
)?sin
?
,知
p?q
.
例11 已知
p
是
q
的充分不必要条件,
s
是
q
的必要不充分条件,
t
是
s
的充要条件,
t
是
r
的必要
不充分条件.
(1)
p
是
t
的什么条件?
(2)
q
是
r
的什么条件?
(3)
s
是
r
的什么条件?
解 由已知,可
以将
p
、
q
、
r
、
s
、
t
之间的关系表示为:
p?q?s?t?r
.
由此可知,
p
是
t
的充分不必要条件,
q
是
r的既不充分也不必要条件,
s
是
r
的必要不充分条件.
评析: 只要用符号“
?
”、“
?
”或“
?
”分别表示已知
条件中各个命题之间的关系,就可以判
断其中两个命题之间的关系.
例12 求证:若
a
、
b
、
c?R
,则
ac?
0
是关于
x
的一元二次方程
ax
2
?bx?c?0
有两个异号实
根的充要条件.
证
充分性:若
ac?0
,则
a?0
,且
?ac?0
,
∵
b
2
?0
, ∴△
?b
2
?4ac?0
,故方程有两个相异实根,设两根为
x
1
、
x
2
.
∵
x
1
?x
2
?
c
a
?0
,
∴两根
x
1
、
x
2
异号 .
c
a
?0
, 必要性:若关于
x
的方程
a
x
2
?bx?c?0
有两个异号实根,设两根为
x
1
,x
2
,则
x
1
?x
2
?
∴
ac?0
.
2
∴
ac?0
是关于
x
的一元二次方程
ax?bx?c?0
有两个异号实根的充要条件.
2
例13 求证:关于
x
的不等式
ax?ax?1?
0
对一切实数
x
成立的充分条件是
0?a?4
,这个条
件是
必要条件吗?请证明之.
2
解 设
p
:关于
x的不等式
ax?ax?1?0
对一切实数
x
成立,
q
:
0?a?4
.
要证
p
的充分条件
是
q
,即证
q
是
p
的充分条件,即证
q?p
.
当
q
真,即
0?a?4
时,
ax
2
?ax?1?a(x?
1
2
)?1?
2a
4
,
a
4
2
∵
0?a?4
, ∴
1?
∵
a(x?
1
2
)?0
.
∴
ax
2
?0
.
?ax?1?0
.
∴
q
是
p
的充分条件,即
p
的充分条件是
q
. 当
a?0
时,
ax?ax?1?0
对一切实数
x
都成立
,而
0?(0,4)
,
∴
p?q
,
q
不是
p
的必要条件,即
p
的必要条件不是
q
.
评析 在
证明“
p
的充分条件是
q
”时,一般把问题改成证明“
q
是
p
的充分条件”,即证明
q?p
.在证明“p
的必要条件是
q
”时,一般把问题改成证明“
q
是
p
的必要条件”,
2
即证明
p?q
.
巩固练习
一、选择题
1.如果命题p为真,命题q为假,则下列结论中错误的是 ( )
A.命题“p且q”为假 B.命题“p或q”为真
C.命题“非p”为假 D.命题“非q”为假
2.命题p与命题“非p”
( )
A.可能都是真命题 B.可能都是假命题
C.有且只有一个是真命题 D.以上情况都有可能
3.已知命题p:若x
、
y
是实数,且
x
2
?y
2
?0<
br>,则
x?y?0
,命题q:若
ab?0
,则
a?0
,且
b?0
,下列说法中正确的是( )
A.p真,q假,p且q假
B.P真,q假,p或q假
C.P假,q假,p或q假
D.P真,q真,p且q真
4.命题“若
x??1
,则
x
2
?1
”的否命题是( )
A.若
x??1
,则
x
2
?1
B.若
x??1
,则
x
2
?1
C.若
x
2
?1
,则
x??1
D.若
x??1
,则
x
2
?1
5.已知p:a
、
b?R
,且
a
2
?b
2
?0,命题①若p则
a
、
b
全为
0
;②若p则
a<
br>、
b
不
全为
0
;③若p则
a
、b
全不为
0
;④若p则
a
、
b
至多有一个为<
br>0
;⑤若p则
a
、
b
至少有一个为
0
.其中真命题有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
6.与命题“能被5整除的整数的末位数是5”等价的命题是( )
A.能被5整除的整数的末位数不一定是5
B.不能被5整除的整数的末位数不是5
C.末位数不是5的整数不能被5整除
D.末位数是5的整数能被5整除
7.用反
证法证明“方程
ax
2
?bx?c?0
”最多有两个实根,应假设
( )
A.方程至少有一个实根
B.方程至少有2个实根
C.方程至少有3个实根
D.方程有一个实根
?
8.“
A
?
B
”是“
A?B
”的
( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分又不必要条件
9.若a、
b
?R<
br>,则“
ab?0
”的一个必要非充分条件是
( )
A.
a?0
,且
b?0
B.
a?0
,且
b?0
C.
b
a
?0
D.
a
b
?0
10.用反证法证明“
2
不是有理数”,应假设
( )
pp
A.
2?
B.
2?
(
p
、
q
为整数)
qq
C.
2?
p
q
(
p
、
q
为互质整数)
D.
2?
p
q
(
p
、
q
为正整数)
11.已知
a
、
b
?R
,则“<
br>1
a
?
1
b
”是“
a?b
”的
( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要
D.既不充分又不必要条件
12.下列几个说法:①“
x?1
”是“
x?2
”的必要条件;②“
xy?0
”是“
x?0
”的充分条件;③“x
2
?y
2
?0
”
是“
x?0
”的充
分条件;④“
x
2
?1
”是“
x??1
”的充分条件,其中
正确的命题是
( )
A.②、③、④
B.③、④
C.①、③
D.②、④
二、填空题
1.若复合命题“p或q”是假命题,则命题p与命题q的真、假情况是
。
2.已知命题p:0是自然数,命题q:
9
是无理数,则命题“非p”,“非q”
,“p或q”,“p且q”中,假命
题是
。
3.命题“若
x??1,则x
2
?2x?1?0
”的否定命题是
;否命题
是 。
4.命题“未位数字是偶数的整数能被2整除”的逆否命题是
。
5.用反证法证明命题“若关于
x
的整系数一元二次方程
ax
2
?bx?c?0
有有理根,那么
a
、
b
、
c
中至少有一个是偶数,”应假设
.
6.若
a
、
b
、
c?R
,则“
a?b
”是“
ac
2
?bc
2
”的
条件.
7.若
a
、
b
、
c?R
,则“
a
b?0
”是“
a
2
?b
2
?0
”的
条件.
8.
b
2
?4ac?0
是关于
x
的方程<
br>ax
2
?bx?c?0
有两个实数根的
条件.
三、解答题
1.
已知命题p:4是2的倍数;命题q:6是2的倍数,写出命题“p或q”,“p且q”,以及“非p”。
2.已知命题p:
?
是无理数,命题q:
2
是有理数,写
出命题“非p”,“非q”,“p或q”,“p且q”并判
断它们的真假。
2.
写出命题“若α=β,则tanα=tanβ”的逆命题,否命题,逆否命题,并判断它们的真假。
2
4.写出命题“若
x?1
或
x?2,
则
x?3x
?2?0
”的逆命题,否命题,逆否命题,并判断它们的真假。
5.用反证法证明:
3
是无理数.
6.已知A是D的充分条件,D是B的必要条件又是C的充分条件,B是C的必要条件.问:
(1)A是C的什么条件?A是B的什么条件?
(2)A、B、C、D、中有几对互为充要条件?
7.求关于x的二次方程
x?px?3?0
有两个大于1的根的充要条件.
22
8.若x、
y?R
,求证:
x?2y?2x?8y?9?0
的充
要条件是
x?1
,且
y??2
.
2
答案与提示
一、1.D 2.C
3.A 4.B 5.B 6.C
7.C
8.A 9.D 10.C 11.D 12.B
二、1.P假,q假
2.非p,p且q
3.若
x??1,则
x
2
?2x?1?0;若x??1,则x
2
?2x?1?0
4.不能被2整除的整数的末位数字不是偶数.
5.
a
、
b
、
c
都是奇数
6.必要不充分
7.充分不必要
8.充分不必要
三、1.P或q:4是2的倍数或6是2的倍数,p且q:4是2的倍数且6
是2的倍数.非p:4不是2的倍数
2.非p:
?
不是无理数,为假,
非q:
2
不是有理数,为真,
p或q:
?
是无理数或
2
是有理数,为真,
p且q:
?
是无理数且
2
是有理数,为假.
3.逆命题:若tanα=tanβ,则α=β,为假,
否命题:若α≠β,则tanα≠tanβ,为假,
逆否命题:若tanα≠tanβ,则α≠β,为真.
4.逆命题:若
x?3x?2?0,则x?1或x?2.
为真.
否命题:若
x?1,且x?2,则x
2
?3x?2?0
,为真,
逆否命题:若
x?3x?2?0,则x?1且x?2.
为真.
5.假设
3<
br>不是无理数,即
3
是有理数,则
3?
p
q
2
2
(
p
、
q
为互质的正整数),
3q?p
,
3q
2
?p
2
,由此
p
2<
br>是3的倍数.
∵3是质数,∴
p
是3的倍数.
设
p?3m(m?N
?
)
,
代入
3q
2
?p
2
,得
3q
2
?9m
2
,
q?3m
.由此知
q
2
是3的倍数,
q
是3的倍数,设
q?3n(n?N
?
)
,与
p
、q
互质矛盾.
∴
3
必是无理数.
6.(1)A是C的充分条件,A是B的充分条件;
(2)有3对,B、C互为充要条件,B、D互为充要条件,C、D互为充要条件.
由已知,A、B、C、D之间有关系:
A?D?C
B
7.充要条件是
?4?p??23
.
设方程的两个实根为
x<
br>1
、
x
2
,则
x
1
>1且
x
2
>1的充要条件是
x
1
-1>0且
x
2
-1>
0,所求充要条件为 △
=
p?12?0
,
(
x
1
?1
)(
x
2
?1
)>0,
由
x
1
?x
2
??p,x
1
?x
2
?3
,
(
x
1
?1
)+(
x
2
?1
)>0.
解得
?4?p??23
.
8.即证“
x?1,
且
y??2
”是“
x?2y?2x?8y?9?0
”的充要条件.
充分性:若
x?1,
且
y??2
,则
x?2y?2x?8y?9?1?2?(?
2)?2?1?8?(?2)?9?0
必要性:若
x?2y?2x?8y?9?0<
br>,即
(x?1)?2(y?2)?0
,
2222
2222
22
22
2
∵
x
、
y
?R
,
(x?1)
2
?0
,
2(y?2)
2
?
0
,
∴
x?1?0
,且
y?2?0
,即
x?1<
br>,且
y??2
.
∴
x
2
?2y
2
?2x?8y?9?0
的充要条件是
x?1
,且
y??2
.