人教版高中数学(必修一)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(提高版)(家教、补习、复习用)

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新人教版高中数学（必修一）
重难点突破

知识点梳理及重点题型巩固练习
集合及集合的表示（B层）
【学习目标】
1.了解集合的含义，会使用符号“
?
”“
?
”表示元素与集合之间的关系 ．
2.能选择自然语言、图象语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言 的
意义和作用．
3.理解集合的特征性质，会用集合的特征性质描述一些集合，如常用数集、 解集和一些基本图形的集
合等．
【要点梳理】
集合概念及其基本理论，称为集合论 ，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学
分支，都建立在集合理论的基础上.另一 方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到
应用.
要点一：集合的有关概念
1．集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体 ，人们能意识到这些东西，并且能
判断一个给定的东西是否属于这个总体.
2．一般地，研究 对象统称为元素(element)，一些元素组成的总体叫集合(set)，也简称集.
要点诠释：
（1）对于集合一定要从整体的角度来看待它．例如由“我们班的同学”组成的一个集合A，则它是一< br>个整体，也就是一个班集体．
（2）要注意组成集合的“对象”的广泛性：一方面，任何一个确 定的对象都可以组成一个集合，如人、
动物、数、方程、不等式等都可以作为组成集合的对象；另一方面 ，就是集合本身也可以作为集合的对象，
如上面所提到的集合A，可以作为以“我们高一年级各班”组成 的集合
B
的元素．
3．关于集合的元素的特征
(1)确定性：设A是一个 给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，
两种情况必有一种且只有 一种成立.
(2)互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此 ，同一集合中不
应重复出现同一元素.
(3)无序性：集合中的元素的次序无先后之分.如： 由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成
一个集合，它们都表示同一个集合.
要点诠释：
集合中的元素，必须具备确定性、互异性、无序性．反过来，一组对象若不具备这 三性，则这组对象
也就不能构成集合，集合中元素的这三大特性是我们判断一组对象是否能构成集合的依 据．
解决与集合有关的问题时，要充分利用集合元素的“三性”来分析解决，也就是，一方面，我们要 利
用集合元素的“三性”找到解题的“突破口”；另一方面，问题被解决之时，应注意检验元素是否满足 它
的“三性”．
4．元素与集合的关系：
(1)如果a是集合A的元素，就说a属于(belong to)A，记作a
?
A
(2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to)A，记作
a?A

5．集合的分类
(1)空集：不含有任何元素的集合称为空集(empty set)，记作：
?
.
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(2)有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集.
(3)无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集.
6．常用数集及其表示
非负整数集(或自然数集)，记作N
正整数集，记作N
*
或N
+

整数集，记作Z
有理数集，记作Q
实数集，记作R
要点二：集合的表示方法
我们可以用 自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法
来表示集合.
1. 自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法.如：大于等于2且小于等于8的偶数构成的集合.
2. 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内.如：{1，2，3，4，5}，{x2
，3x+2，5y
3
-x，
x
2
+y
2}，….
3.描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{ }内.具体方 法：在大括号内先写上
表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写 出这个集合中元素所具
有的共同特征.
要点诠释：
（1）用描述表示集合时应注意 ：①弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么），是数，还是有序实
数对（点）还是其他形式？②元素 具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性
时，要去伪存真，而不能被表面的字母 形式所迷惑．
（2）用描述法表示集合时，若需要多层次描述属性时，可选用逻辑联结词“且”与“或 ”等连接；若
描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围．
4.图示法：图示法主要包括Venn图、数轴上的区间等.为了形象直观，我们常常画一条封闭的曲线，用< br>它的内部来表示一个集合，这种表示集合的方法称为韦恩（Venn）图法. 如下图，就表示集合
?
1,2,3,4
?
.
1，2，3，4
【典型例题】
类型一：集合的概念及元素的性质
例1．集合
A
由形 如
m?3n(m?Z,n?Z)
的数构成的，判断
【答案】是
【解析】由分母有理化得，

1
是不是集合
A
中的元素？
2?3
1
?2?3
.由题中集合
A
可知
m?2,n ?1,
均有
m?Z,n?Z
，
2?3
?
2?3?A
，即
1
?A
.
2?3
【总结升华】（1）解答本题首先要理解?
与
?
的含义，然后要弄清所给集合是由一些怎样的数构成的，
11能否化成此形式，进而去判断是不是集合
A
中的元素.（2）判断一个元素是不是某个集合
2?32?3
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的元素，就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征.此类题，主要看能否将所给 对象的表达式
转化为集合中元素所具有的形式.
举一反三：
【变式1】设
S={x|x=m+2n,m,n?Z}

(1)若a
?
Z，则是否有a
?
S？
(2)对S中任意两 个元素x
1
，x
2
，则x
1
+x
2
，x< br>1
·x
2
，是否属于集合S？
解：(1)若a
?
Z ，则有a
?
S，即n=0时，x
?
Z，∴a
?
S；
(2)
?
x
1
，x
2
?
S，则
x
1
=m
1
+2n
1
,x
2
=m
2
+2n
2
(m
1
,n
1
,m
2
,n2
?Z)

?x
1
?x
2
?(m
1< br>?m
2
)?2(n
1
?n
2
)?S(m
1< br>?m
2
?Z,n
1
?n
2
?Z)

x
1
?x
2
=(m
1
+2n
1
)?(m< br>2
+2n
2
)=m
1
m
2
+2n
1
n
2
+2(m
1
n
2
+m
2
n< br>1
)

∵m
1
，n
1
，m
2
，n
2
?
Z，∴m
1
m
2
+2n
1n
2
?
Z，m
1
n
2
+m
2
n
1
?
Z
∴x
1
·x
2
?
S.
类型二：元素与集合的关系
例2．（2015 北京西城区学探诊）给出下列六个关系：
（1）0
?
N*
（2）0
?
{－1，1} （3）
?
?
{0}
（4）
??
?
0
?
（5）{0}
?
{0，1} （6）{0}
?
{0}
其中正确的关系是 ．
【答案】（2）（4）（6）
【思路点拨】首先要熟悉集合的常用符号，空集，记作
?
，N表示自然数集，
N
?
或
N*
表示正整数
集，Z表示正整数集，Q表示有理数集，R表示实数集 ；然后要明确元素与集合，集合与集合的关系及符
号表示，以及子集的性质．给定一个对象a，它与一个 给定的集合A之间的关系为
a?A
，或者
a?A
，
二者必居其一．解 答这类问题的关键是：弄清a的结构，弄清A的特征，然后才能下结论．
【解析】（1）0不是正整数，故错误；
（2）0不是集合{－1，1}中的元素，故正确；
（3）空集是一个集合，使用的符号错误，故错误；
（4）空集是任何一个集合的真子集，故正确；
（5）是集合与集合的关系，应该使用符号
?
或
?
，故错误；
（6）一个集合是它本身的子集，故正确．
【总结升华】本题主要是区别0，{0}，
?
和非空数集以及常用的集合之间的关系．此类问题在解答时，
既要熟悉集合的常用符号，又 要明确元素与集合，集合与集合的关系及符号表示，以及子集的性质，特别
是{0}与
?
，最容易混淆，必须在学习中引起足够的重视．
举一反三：
【变式1】 用符号“
?
”或“
?
”填空
1

A
；-2
A
.
2
1
2
（ 2）若
B?
?
x|2x?x?1?0
?
,
则
?
B
；-2
B
.
2
（1）若
A=Z
,则
?
【答案】
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（1）
?
，
?
（2）
?
，
?

类型三：集合中元素性质的应用
例3.设
S
是至少含有两个元素的集合，在
S
上定义了一个二元运算“*”（即对任意的
a,b?S
，对于有
序 元素对（a,b）,在
S
中唯一确定的元素
a*b
与之对应），若对任意的< br>a,b?S
，有
a*(b*a)?b
，则对任
意的
a,b?S
，下列等式中不恒成立的是（ ）
A.
(a*b)*a?a

B.
[a*(b*a)]*(a*b)?a

C.
b*(b*b)?b

D.
(a*b)*[b*(a*b)]?b

【答案】 A
【解析】抓住本题的本质
(a*b)*a?b
恒成立.
a,b
只要为
S
中元素即可有
a*b?S
. B中由已知即 为
b*(a*b)?a
符合已知条件形式.
C
中
a?b
即可 . D中
a*b
相当于已知中的
a
也正确.只有A不一定正确.
【 总结升华】本题应紧紧抓住关系式
(a*b)*a?b
，即关系式中有三个数，其中有两个数相 同且分别
在两边，此时关系式等于中间的数，只要分析出这个特点即可解决.
例4.
M={a?Z,|
6
?N}
，则M=( )
5-a
A. {2，3} B. {1，2，3，4} C. {1，2，3，6} D. {-1，2，3，4}
【答案】D
【解析】集合中的元素满足是整数，且能够使
由a
?
Z，所以-1≤a≤4
当a=-1时，
66
是自然数，所以
0??6

5-a5-a
6
=1?N
符合题意；
5-(-1)
66
=?N
不符合题意；
5-05
63
=?N
不符合题意； 当a=1时，
5?12
6
=2?N
符合题意； 当a=2时，
5?2
6
=3?N
符合题意； 当a=3时，
5-3
6
当a=4时，
=6?N
符合题意.
5-4
当a=0时，
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故a=-1，a=2，a=3，a=4为M中元素，即M={-1，2，3，4}，选项D正确.
举一反三：
【变式】（2015 北京西城区期末）设M={1，2}，N={1，2，3} ，
P?cc?a?b,a?M,b?N
，
则集合P中元素的个数为 ．
【答案】4个
【解析】集合P中的元素满足c=a+b，且
a?M,b?N
，所以
由a
?
M，b
?
N
当a=1，b=1时，c=1+1=2；
当a=1，b=2时，c=1+2=3；
当a=1，b=3时，c=1+3=4；
当a=2，b=1时，c=2+1=3；
当a=2，b=2时，c=2+2=4；
当a=2，b=3时，c=2+3=5；
故根据元素的互异性，P中元素，即P={2，3，4，5}，答案为4个．
例5. 设集合
A
={x
?R
|
ax?2x?1?0
}，当集合
A
为单元素集时，求实数
a
的值.
【答案】0，1
【解析】由集合
A
中只含有一个元素可得，方程ax
2
+2x+1=0有一解，由于本方程并 没有注明是一个二
次方程，故也可以是一次方程，应分类讨论：
当a=0时，可得是一次方程，故满足题意.
当a≠0时，则为一个二次方程，所以有一根的 含义是该方程有两个相等的根，即为判别式为0时的a
的值，可求得为a=1.故a的取值为0，1.
例6.已知集合
A?a?2,(a?1),a?3a?3
，若
1?A
，求实数
a
的值及集合
A
.
【答案】
a?0
，
A?
?
1,2,3
?

【解析】（1）若
a?2?1,
则
a??1
.
所以
A?
?
1,0,1
?
，与集合中元素的互异性矛盾，则
a??1< br>应舍去.
（2）若
(a?1)?1
，则
a?0
或
a??2
，
当
a?0
时，
A?
?
2,1,3
?
满足题 意；
当
a??2
时，
A?
?
0,1,1
?
，与集合中元素的互异性矛盾，则
a??2
应舍去.
（3）若
a?3a? 3?1
，则
a??1
或
a??2
，由上分析知
a??1与
综上，
a?0
，集合
A?
?
1,2,3
?< br>.
【总结升华】本题中由于1和集合
A
中元素的对应关系不明确，故要分类讨 论.此类问题在解答时，既
要应用元素的确定性、互异性解题，又要利用它们检验解的正确与否，特别是 互异性，最容易忽视，必须
2
2
??
2
?
22
?< br>均应舍去.
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在学习中引起足够的重视.
举一反三：
【变式1】（2015秋 无为县期中）已 知集合
A?a?2,12,2a
2
?5a
，且－3∈A，求a的值．
【答案】
a??
??
3

2
2
【解析】∵ －3∈A，
∴ a－2=－3，或
2a?5a??3
，
得a=－1，或
a??
3

2
检验知：a=－1不满足集合元素的互异性，
∴
a??
33
，答案为
a??
．
22
1
?A
，且
1?A

1?a
例7．（2016春 徐州期中）设A是由一些实数构成的集合，若a∈A，则
（1）若3∈A，求A；
（2）证明：若a∈A，则
1
?A
；
1?a
12
?
,
?
；（2）略；（3）
23
?
（3）A能否只有一个元素，若能，求出集合A，若不能，说明理由．
【答案】（1）
A?
?
3,?
?
?
【思路点拨】（1）根 据集合A的定义，找出A的所有元素即可；
（2）由集合A的定义证明即可；
（3）假设A只有一个元素，然后转化为一元二次方程解的问题．
【解析】（1）∵ 3∈A，∴
11
???A

1?32
2
??A

1
1?(?)
3
2
1
∴
?3?A

2
1?()
3
∴
∴
A?
?
3,?1
?
?
12
?
,
?

23
?
1
?A

1?a
11?a1
∴
??1??A

1
?aa
1?
1?a
（2）∵ a∈A，∴
（3）假设集合A只有一个元素，∏A={a}，则
a?
1

1?a
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即
a?a?1?0
有且只有一个解，
又因为
??(?1)?4??3?0

∴
a?a?1?0
无实数解．
与
a?a?1?0
有且只有一个实数解矛盾．
所以假设不成立，即集合A不能只有一个元素．
【总结升华】集合离不开元素，元素是集合的 核心，所以解决有关集合中的探索性问题，可以先从元
素入手，作为解题的切入点.
类型四：集合的表示方法
例8．试分别用列举法和描述法表示下列集合：
(1)方程
x?3?0
的所有实数根组成的集合；
(2)由大于15小于25的所有整数组成的集合.
2
2
2
22
?3}
；
?
16,17,18,19,20,21,22,23,24
?
． 【答案】
{3，
【解析】(1)设方程
x?3?0
的 实数根为x，并且满足条件
x?3?0

因此，用描述法表示为
A?{x|x?3?0，x?R}
；
2
?3
方程
x?3?0
有两个实数根
3，
2
22
?3}
. 因此，用列举法表示为
A?{3，
(2)设大于15小于25的整数为x，它满足条件
x?Z
，且15因此，用描述法表示为
B?{x|15?x?25，x?Z}
；
大于15小于25的整数有16，17，18，19，20，21，22，23，24，
因此，用列举法表示为.
【总结升华】（1）列举法表示集合，元素不重复、不计次序、不遗 漏，且元素与元素之间用“，”隔开.
（2）列举法适合表示有限集，当集合中元素的个数较少时，用 列举法表示集合较为方便，而且一目了
然.
（3）用描述法表示集合时，要注意代表元素是什么，同时要注意代表元素所具有的性质.
举一反三：
【变式1】用列举法表示集合：
23
(1)A={x
?
R|(x-1)(x+2)(x-1)(x-8)=0}
(2)B={(x，y)|x+y=3， x
?
N， y
?
N}
(3)C={y|x+y=3，x
?
N， y
?
N}
?< br>?
y?x
?
??
(4)
D?
?
(x,y)< br>??

?
?
y??x
?
??
?
?< br>y?x
?
(5)
M?
?
x
??

y??x
?
?
?
(6)P={x|x(x-a)=0， a
?
R}
【解析】本题是描述法与列举法的互化，一定要先观察描述法中代表元素是什么.
(1)A={1，-2，-1，2}
(2)B={(0，3)，(3，0)，(1，2)，(2，1)}
(3)C={0，1，2，3}
(4)D={(0，0)}
(5)M={0}
(6)当a≠0时，P={0，a}；当a=0时，P={0}.
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【总结升华】此例题（2）与（3） ，（4）与（5）两组都是考察代表元素的，而（6）考察了集合元素的
互异性，遇到代数式时，能否意 识到字母a
?
R，需要分类讨论.
【变式2】用适当的方法表示下列集合：
（1）比5大3的数；
（2）方程
x?y?4x?6y?13?0
的解集；
（3）二次函数
y?x?10
的图象上的所有点组成的集合．
【答案】（1 ）
?
8
?
；（2）
?
(2,?3)
?
；（ 3）
(x,y)|y?x
2
?10
．
【解析】（1）比5大3的数显然是8，故可表示为
?
8
?
． 22
（2）方程
x?y?4x?6y?13?0
可化为
(x?2)?(y ?3)?0
，
22
2
22
??
?
x?2,
?
方程的解集为
?
(2,?3)
?
．
?
?y??3,
?
（3）用描述法表示为
?
(x,y)|y?x
2< br>?10
?
．
【总结升华】用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元 素；二要明确元素满足的条件；三
要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合．
【巩固练习】
1．下列四个集合中，是空集的是( )
A．
{x|x?3?3}
B．
{(x,y)|y??x,x,y?R}

2
C．
{x|x?0}
D．
{x|x?x?1?0,x?R}

2
22
2．集合
?
x?Z|(3x?1)(x?4)?0
?
可化简为（ ）
A．
??
B．
?
4
?
C．
?
,4
?
D．
?
?,?4
?

3．集合
A?
?
1,3,5,7,???
?
用描述法可表示为（ ）
A．
?
x|x?n,n?N
?
B．
?
x|x?2n?1,n?N
?
C．
?
x|x?2n?1,n?N
?
D．
?
x|x?n?2,n?N
?

4．若以集合
S??
a,b,c
?
中的三个元素为边长可构成一个三角形，则这个三角形一定不是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
5． 已知
x,y,z
为非零实数，代数式
?
1
?
?
3
?
?
1
?
3
?
?
?
1
?
3
?
?
xyz|xyz|
???
的值所组成的 集合是
M
，则下列判断正
|x||y||z|xyz
确的是（ ）
A．
0?M
B．
2?M
C．
?4?M
D．
4?M

6．（2016 衡水模拟）已知集合 A={t
2
+s
2
｜t，s∈Z}，且x∈A，y∈A，则下列结论正确的是 （ ）
A．x+y∈A B．x－y∈A C．xy∈A D．
x
?A

y
（ ） 7．设集合
A?x?Qx??1
，则
??

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A．
0?A
B．
2?A
C．
{2}?A

D．
?
2
?
A

8． 方程组
?
?
x?y?2,
的解集
用列举法表示为 ．
?
x?y?0
9．设
1
?
519
???
?
?
x|x
2
?ax??0
?
，则集合
?
x |x
2
?x?a?0
?
中所有元素之积为 ．
2
?
22
???
10．（2015秋 嘉兴期末）（设非空集合S= {x｜m≤x≤1}，对任意的x∈S，都有x
2
∈S，若
m??
则l的取值 范围________。
11．设a，b∈R，集合
?
1,a?b,b
?< br>?
?
0,
1
，
2
?
?
b
?
,b
?
，则b－a= ．
a
?
12．设
A
是整数集的一个非空子集，对于
k?A
,如果
k?1?A
，且
k?1?A
，那么称
k
是
A
的一个“孤
立元”．给定
S?
?
1,2,3,4,5,6,7,8
?
，由S
的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有
个．
13．已知集合
A?
?
x?N|
?
?
8
?
?N
?
，试用列举法表示集合
A
．
6?x
?
14．（2015秋 益阳期中）已知集合A={x｜ax
2
+2x+1=0，x∈R}，a为实数。
（1）若A是空集，求a的取值范围
（2）若A是单元素集，求a的值。
15．已 知集合
A
={x
?R
|
ax?2x?1?0
，
a? R
}．
（1）若
A
中只有一个元素，实数
a
的取值范围．
（2）若
A
中至少有一个元素，实数
a
的取值范围．
（3）若
A
中元素至多只有一个，求实数
a
的取值范围．
16．设集合
M?a|a?x?y,x,y?z
．
求证：（1）一切奇数属于集合
M
；
（2）偶数
4k?2(k?z)
不属于
M
；
（3）属于
M
的两个整数，其乘积仍属于
M
．
2
?
22
?
【答案与解析】
1．【答案】D
【解析】选项A所代表的集合是
?
0
?
并非空集，选项B所代表的集合是< br>?
(0,0)
?
并非空集，选项C所
代表的集合是
?
0
?
并非空集，选项D中的方程
x?x?1?0
无实数根．
2
2．【答案】 B
【解析】解方程得
x
1
?
1
,x
2
?4
，因为
x?Z
，故选B．
3
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3．【答案】 C
【解析】集合A表示所有的正奇数，故C正确．
4．【答案】D
【解析】元素的互异性
a?b?c
．
5．【答案】 D
【解析】
M?
?
?4,0,4
?
，故选D．
6．【答案】C
【解析】∵集合A={t2+s2｜t，s∈Z}，
∴1∈A，2∈A，1+2=3
?
A，故A“x+y∈A”错误；
又∵1―2=―1
?
A，故B“x―y∈A”错误；
又∵
x
1
?A
，故D“
?A
”错误；
y
2
故选C。
7．【答案】B
【解析】本题考查元素与集合的关系，集合A用语言法叙述是所有大于－1的有理数，
所以0是集合A中的元素，故A错，
2
是无理数，不是集合A中的元素，故B正确，
{2}应该是集合A的子集，故错误，
而
?
2
?
不是集合A的子集，故错误．故选B．
??
8．【答案】
?
1，1
?

【解析】加减消元法，解二元一次方程组，解集是点集．
9．【答案】
9

2
1
?
5
919
15
?
?
1?
2
?
??
?a???0
，
?
?
x| x
2
?ax??0
?
，解得
a??
，代入
x?x? a?0
，
2
?
2
22
222
?
??
2
【解析】
得
x?
2
1999
x??0
，由韦 达定理，得所有元素之积为
x
1
x
2
?
．
222
1
10．【答案】
[,1]

4
?
l
2
?l
1
?
2
【分析】由m的范围求得
m??S
，再由题意列关于l的不等式组
?
1
，解该不等式组即得l
4
?
?l
?4
的范围。
?
l
2
?l
11
?
2
【解析】由
m??
时，得
m??S
，则
?
1
，
24
?
?l
?4
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1
?l?1
；
4
1
∴l的范围是
[,1]
。
4
1
故答案为：
[,1]
。
4
解得：
11．【答案】b－a=2
【解析】∵
?
1,a?b,a
?
?
?
0,
∴ a+b=0，
?
?
b
?
b
,b
?
，∴ a+b=0或a=0（舍去，否则无意义），
a
?
a
b
??1
，∴ －1∈
?
1,a?b,b
?
，a=－1，
a
∵ a+b=0，b=1，∴ b－a=2．
12．【答案】6
【解析】若
1? A
，因为1不是孤立元，所以
2?A
．设另一元素为
k
，假设
k?3
，此时
A?
?
1,2,k
?
，
k?1?A
，且
k?1?A
，不合题意，故
k?3
．据此分析满足条件的集合为
?
1,2,3
?
,
?
2,3,4
?
,?
3,4,5
?
,
?
4,5,6
?
,
?
5,6,7
?
,
?
6,7,8
?
，共有6个．
13．【答案】
?
2,4,5
?

【解析】由题意可知6?x
是
8
的正约数，当
6?x?1,x?5
；当
6? x?2,x?4
；
当
6?x?4,x?2
；当
6?x?8,x?? 2
；而
x?0
，∴
x?2,4,5
，即
A?
?
2,4,5
?
．
14．【答案】（1）a＞1；（2）0或1
【解析】（1）若
A??
，则 只需ax2+2x+1=0无实数解，显然a≠0，所以只需Δ=4－4a＜0，即a＞1
即可。
（2）当a=0时，原方程化为2x+1=0解得
x??
1
；当a≠ 0时，只需Δ=4－4a=0，即a=1，故所
2
求a的值为0或1。
15．【解析 】（1）若
a?0
时，则
??4?4a?0
，解得
a?1
， 此时
x??1
．
1

2
?
a?0
或a?1
时，
A
中只有一个元素．
（2）①
A
中只有一 个元素时，同上
a?0
或
a?1
．
若
a?0
时， 则
x??
②
A
中有两个元素时，
?
?
a?0,，解得
a?1
且
?
??0
1
2
．综上
a?1
．
（3）①
a?0
时，原方程为
2x?1?0
，得
x??,
符合题意；
②
a?0
时，方程
ax?2x?1? 0
为一元二次方程，依题意
??4?4a?0
，解得
a?1
．
综上，实数
a
的取值范围是
a?1
或
a?0
．
2
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16．证明：（1）设
a
为任意奇数，则
a?2k?1(k?z)
，因为< br>2k?1?k?(k?1),
且
k,k?1
均为整
数，
?a?M
．由
a
的任意性知，一切奇数属于
M
．
（2）首先我们证明如下命题：
设：
x,y?z
，则
x?y
与
x?y
具有相同的奇偶性．
以下用反证法证明．
假设
(4k ?2)?M
，则存在
x,y?z
，使得
x?y?4k?2?(x?y)(x? y)?2(2k?1)
．若
x?y
与
（
x?y
）必定为奇 数，而
2(2k?1)
表示偶数，矛盾；若
x?y
与
x?y
同为
x?y
同为奇数，则（
x?y
）
偶数，则（
x?y）（
x?y
）必定被4整除，但
2(2k?1)
表示不能被4整除的偶 数，也导致矛盾．
综上所述，形如的偶数不属于
M
．
22
22< br>2222
（3）设
a,b?M
，则存在
x
1
,y1
,x
2
,y
2
?z
，使得
a?x
1
?y
1
,b?x
2
?y
2
．
ab?(x
1
2
?y
1
2
)(x
2
2
?y< br>2
2
)

22222222
=
x
1
x
2
?y
1
y
2
?2x
1
x< br>2
y
1
y
2
?2x
1
x
2
y
1
y
2
?x
1
y
2
?x
2y
1

22
=
(x
1
x
2
?y
1
y
2
)?(x
1
y
2
?x
2
y
1
)
，
又因为
x
1
x2
?y
1
y
2
，
x
1
y
2< br>?x
2
y
1
均为整数，
?
ab?M
．
集合的基本关系及运算
【学习目标】
1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别 一些给定集合的子集．在具体情境中，了解空集和全集的
含义．
2.理解两个集合的交集和并 集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．理解在给定集合中一个子集
的补集的含义，会求给定子集的 补集．
【要点梳理】
要点一、集合之间的关系
1.集合与集合之间的“包含”关系
集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B包含集合A；
子集：如果集合A的任何 一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集
合B的子集(subset) .记作：
A?B(或B?A)
，当集合A不包含于集合B时，记作AB，用Venn图表示两个集合间的“包含”关系：
A?B(或B?A)


要点诠释：
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（1）“
A
是
B
的子集”的含义是：
A
的任何一个元素都是
B
的元素，即由任意的
x?A
，能推出
x?B
．
（2）当
A
不是
B
的子集时，我们记作“
A?B
(或
B?A
)”，读作：“
A
不包含于
B
”（或“
B
不包含< br>）．
A
”
真子集：若集合
A?B
，存在元素x
?< br>B且
x?A
，则称集合A是集合B的真子集(proper subset).
记作：AB(或BA)
规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
2.集合与集合之间的“相等”关系
A?B且B?A
，则A与B中的元素是一样的，因此A=B
要点诠释：
任何一个集合是它本身的子集，记作
A?A
．
要点二、集合的运算
1.并集
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并 集，记作：A∪B
读作：“A并B”，即：A∪B={x|x
?
A，或x
?< br>B}
Venn图表示：

要点诠释：
B,但xA?
（1 ）“x
?
A，或x
?
B”包含三种情况：“
x?A,但x?B
”；“
x?A,且xB?
”；“
x?
”．
（2）两个集合求并集 ，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合(重复元素只出现
一次).
2.交集
一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集； 记作：A∩B，读
作：“A交B”，即A∩B={x|x
?
A，且x
?
B}；交集的Venn图表示：

要点诠释：
（1）并不是任何两个集合都有公 共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而
是
AB??
． < br>（2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A< br>与B的公共元素都属于A∩B”．
（3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有公共元素组成的集合.
3.补集
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全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.
补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集 合称为集合A相
对于全集U的补集(complementary set)，简称为集合A的补集，记 作：
痧
U
A；即
U
A={x|x?U且x?A}；
补集的V enn图表示：

要点诠释：
（1）理解补集概念时，应注意补集
?U
A
是对给定的集合
A
和
U(A?U)
相对而言的一个 概念，一个
确定的集合
A
，对于不同的集合U，补集不同．
（2）全集是相 对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则
Z
为全集；而当问题扩展
到实数集时，则
R
为全集，这时
Z
就不是全集．
（3）
?
U
A
表示U为全集时
A
的补集，如果全集换成其他集合（如
R
）时，则记号中“U”也必须换成
相应的集合（即
?
R
A
）．
4.集合基本运算的一些结论
A?B?A，A?B?B，A?A=A，A??=?，A?B=B?A

A?A?B，B?A?B，A?A=A，A??=A，A?B=B?A

(痧(
U
A)?A=?

U
A)?A=U，
若A∩B=A，则
A?B
，反之也成立
若A∪B=B，则
A?B
，反之也成立
若x
?
(A∩B)，则x
?
A且x
?
B
若x
?
(A∪B)，则x
?
A，或x
?
B
求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”
与 “或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图
或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法.
【典型例题】
类型一、集合间的关系
例1. 集合
A?
?
a|a?2k,k?N
?
，集合
B?
?
b|b?
?
?
1
?
n2
??
1?(?1)?(n?1),n?N
?
，那么
A ,B
间的
??
8
?
关系是（ ）.
A.
AB
B.
BA
C.
A
=
B
D.以上都不对
【答案】B 【解析】先用列举法表示集合
A
、
B
，再判断它们之间的关系.由题意可 知，集合
A
是非负偶数集，
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?
0(n为非负偶数时)，
1
?
n2
?
即
A?
?
0,2,4,6,8,???
?
.集合
B
中的元素
b?
?
.而
1?(?1)?(n ?1)
?
?
1
??
8
(n?1)(n?1)(n为正奇数时 )
?
?4
1
(n?1)(n?1)
（
n
为正奇数时 ）表示0或正偶数，但不是表示所有的正偶数，即
n?1,3,5,7,???
.由
4
1
(n?1)(n?1)
依次得0,2,6,12，
???
，即B?
?
0，2，612，，20，???
?
.
4
综上知，
BA
，应选
B
.
【总结升 华】判断两个集合间的关系的关键在于：弄清两个集合的元素的构成，也就是弄清楚集合是
由哪些元素组 成的.这就需要把较为抽象的集合具体化（如用列举法来表示集合）、形象化（用Venn图，
或数形集 合表示）.
举一反三：
【变式1】若集合
A?
?
x|x?2k? 1,k?z
?
,B?
?
x|x?4l?1,l?z
?
，则（ ）.
A.
AB
B.
BA
C.
A
=
B
D.
AB?Z

【答案】C
例2. 写出集合{a，b，c}的所有不同的子集.
【解析】不含任 何元素子集为
?
，只含1个元素的子集为{a}，{b}，{c}，含有2个元素的子集有{a ，
3
b}，{a，c}，{b，c}，含有3个元素的子集为{a，b，c}，即含有3个元素 的集合共有2=8个不同的子集.
如果集合增加第4个元素d，则以上8个子集仍是新集合的子集，再将 第4个元素d放入这8个子集中，
4
会得到新的8个子集，即含有4个元素的集合共有2=16 个不同子集，由此可推测，含有n个元素的集合
n
共有2个不同的子集.
【总结升华 】要写出一个集合的所有子集，我们可以按子集的元素个数的多少来分别写出.当元素个数
相同时，应依 次将每个元素考虑完后，再写剩下的子集.如本例中要写出2个元素的子集时，先从a起，a
与每个元素 搭配有{a，b}，{a，c}，然后不看a，再看b可与哪些元素搭配即可.同时还要注意两个特殊的
子集：
?
和它本身.
举一反三：
【变式1】已知
?
a, b
?
?A
?
a,b,c,d,e
?
，则这样的集合
A
有 个.
【答案】7个
【变式2】（2016 湛江一模）已知集合A ={1，2，3}，平面内以（x，y）为坐标的点集合B={（x，y）｜
x∈A，y∈A，x+y∈ A}，则B的子集个数为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
【答案】D
【解析】∵ 集合A={1，2，3}，平面内以（x，y）为坐标的点集合B= {（x，y）｜x∈A，y∈A，x+y
∈A}，
∴B={（1，1），（1，2），（2，1）}
∴B的子集个数为：2
3
=8个．
故选D．

2222< br>例3．集合A={x|y=x+1}，B={y|y=x+1}，C={(x,y)|y=x+1}，D= {y=x+1}是否表示同一集合？
【答案】以上四个集合都不相同
22
【解析】 集合A={x|y=x+1}的代表元素为x，故集合A表示的是函数y=x+1中自变量x的取值范围，
即函数的定义域A=
(??,??)
；
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集合B={y|y=x+1}的代表元素为y，故集合B 表示的是函数y=x+1中函数值y的取值范围，即函数的
值域B=
[1,??)
；
集合C={(x,y)|y=x+1}的代表元素为点（x，y），故集合C表示的是抛物线y=x+1 上的所有点组成的
集合；
22
集合D={y=x+1}是用列举法表示的集合，该集 合中只有一个元素：方程y=x+1．
【总结升华】认清集合的属性，是突破此类题的关键.首先应当 弄清楚集合的表示方法，是列举法还是
描述法；其次对于用描述法表示的集合一定要认准代表元素，准确 理解对代表元素的限制条件．
举一反三：
【变式1】 设集合
M?{(x,y)| y?3x?4}
，
N?{(x,y)|y??3x?2}
，则
M
A.
{?1,1}
B.
{x??1,y?1}
C.
(?1,1)
D.
{(?1,1)}

【答案】D
【解析】排除法：集合M、N都是点集，因此
M
22
2 2
N?
（ ）
N
只能是点集，而选项A表示二元数集合，选项B
表示二元等式集合，选项C表示区间
(?1,1)
（无穷数集合）或单独的一个点的坐 标（不是集合），因此可
以判断选D．
【变式2】 设集合
M?{x|y?2x?1 ,x?Z}
，则
M
与
N
的关系是（ ）
N?{y|y?2x?1,x?Z}
，
A.
N
?
M
B.
M
?
N
C.
N?M
D.
N
【答案】A
【解析】集合M 表示函数
y?2x?1,x?Z
的定义域，有
M?{整数}
；
集合 N表示函数
y?2x?1,x?Z
的值域，有
N?{奇数}
，故选A.
【集合的概念、表示及关系 377430 例2】
22
【变式3】 设M={x| x=a+1，a
?
N
+
}，N={x|x=b-4b+5，b
?N
+
}，则M与N满足( )
A. M=N B. MN C. NM D. M∩N=
?

【答案】B
2
【解析】 当a?
N
+
时，元素x=a+1，表示正整数的平方加1对应的整数，而当b
?
N
+
时，元素
22
x=b-4b+5=(b-2)+1，其中b- 2可以是0，所以集合N中元素是自然数的平方加1对应的整数，即M中元素
都在N中，但N中至少有一 个元素x=1不在M中，即MN，故选B.
【集合的概念、表示及关系 377430 例3】
例4．已知
M??

M?{x,xy,x?y},N?{0,x,y},< br>若M=N，则
01000
(x?y)?(x
2
?y
2
)???(x
1
?y)
= ．
A．－200 B．200 C．－100 D．0
【思路点拨】解答本题应从集合元素的三大特征入手，本题应侧重考虑集合中元素的互异性．
【答案】D
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【解析】由M=N，知M，N所含元素相同.由O
?
{0，|x|，y}可 知
O?{x,xy,x-y}

若x=0，则xy=0，即x与xy是相同元素，破坏了M中元素互异性，所以x≠0.
若x ·y=0，则x=0或y=0，其中x=0以上讨论不成立，所以y=0，即N中元素0，y是相同元素，破坏< br>了N中元素的互异性，故xy≠0
若
x-y=0
，则x=y，M，N可写为
M={x，x，0}，N={0，|x|，x}
22
由M=N可知必有x=|x|，即|x|=|x|
∴|x|=0或|x|=1
若|x|=0即x=0，以上讨论知不成立
若|x|=1即x=±1
当x=1时，M中元素|x|与x相同，破坏了M中元素互异性，故 x≠1
当x=-1时，M={-1，1，0}，N={0，1，-1}符合题意，综上可知，x=y=-1 < br>2
?
(x?y)?(x
2
?y
2
)???(x
100
?y
100
)
=-2+2-2+2+…+2=0
【总结升 华】解答本题易忽视集合的元素具有的“互异性”这一特征，而找不到题目的突破口．因此，
集合元素的 特征是分析解决某些集合问题的切入点．
举一反三：
【变式1】设a，b
?
R，集合
{1,a+b,a}={0,
b
,b}
，则b-a=( )
a
【答案】2
【解析】由元素的三要素及两集合相等的特征：
b
1?{0,,b},0?{1,a+b,a}，又a?0，?a?b=0

a
b
∴当b=1时，a=-1，
?{0，,b}={0,-1,1}

a
b
当
=1
时，∴b=a且a+b=0，∴a=b=0(舍)
a
∴综上：a=-1，b=1，∴b-a=2.
类型二、集合的运算
例5. 设集合，
C?
?
z|z?3k?2,k?Z
?
，< br>D?
?
w|w?6k?1,k?Z
?
，求
AB,AC,BC, BD
.
【答案】
AB?AC?BC??
,
BD?D
【解析】先将集合
A
、
B
、
C
、
D
转 化为文字语言叙述，以便弄清楚它们的构成，再求其交集即可.
集合
A?
?
x|x?3k,k?Z
?
表示3的倍数所组成的集合；
集合
B?
?
x|x?3k?1,k?Z
?
表示除以3余1的整数所组成的集合；
集合< br>C?
?
x|x?3k?2,k?Z
?
表示除以3余2的整数所组成的集 合；
集合
D?
?
x|x?6k?1,k?Z
?
表示除以6 余1的整数所组成的集合；
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?AB?AC?BC??
,
BD?D
.
【总结升华】求 两个集合的交集或并集，关键在于弄清两个集合由哪些元素所构成的，因而有时需要
对集合进行转化，或 具体化、形象化.如本例中转化为用自然语言来描述这些集合，有利于弄清集合的元
素的构成.类似地， 若一个集合元素的特征由不等式给出时，利用数轴就能使问题直观形象起来.
举一反三：
【变式】（2014 河南洛阳期中）已知集合
M?xy?2?x
，
N?yy ?x
2
，则M∩N＝（ ）
A．
?
B．
?
1,1
?
C．
xx?0
D．
yy?0

【答案】C
【解析】集合M中的代表元素是x，集合N的代 表元素是y，表示构成相关函数的因变量取值范围，
故可知：M={x|x∈R}，N={y|y≥0} ，所以M∩N={x|x≥0}，选C．
例6.（2016春 福建期中）已知全集U=R，集合A= {x∈R｜x
2
－3x－4＜0}，B={x∈R｜2a＜x＜4a，a
∈R} （1）当a=1时，求
A
??
??
??
????
(?< br>U
B)
；
（2）若A∪B=A，求a的取值范围．
【思路点拨】（1）将a=1代入B，求出B，得到B的补集，从而求出其和A的交集即可；
（2）根据A、B的包含关系，通过讨论B得到关于a的不等式组，解出即可．
【答案】（1 ）
A(?
U
B)?{x?R|?1?x?2}
；（2）
?
1
?a?0
或a≥4
2
【解析】A={x∈R｜x
2
－3x－4＜0}，
（1）当a=1时，B={x∈R｜2＜x＜5}，
∴
A(?
U
B)?{x?R|?1?x?2}

（2）由已知A∪B=A，得
B?A
；
①当
B??
时2a≥4+a，即a≥4，满足
B?A
；
?
2a?4?a
1
?
②当
B??
时
?
2a? ?1
，即
??a?0
时，满足
B?A
；
2
?4?a?4
?
综上所述a的取值范围为
?
1
?a?0
或 a≥4．
2
举一反三：
2
【变式1】（1）已知：M={x|x≥2}， P={x|x-x-2=0}，求M∪P和M∩P；
22
（2）已知：A={y|y=3x}， B={y|y=-x+4}， 求：A∩B，A∪B；
22
（3）已知集合A={-3， a ，1+a}， B={a-3， a+1， 2a-1}， 其中a
?
R，若A∩B={-3}，求A∪B.
【答案】（1）{x|x≥2或x=-1}，{2}；（2）{y|0≤y≤4}，R；（3）{-4， -3，0，1，2}.
【解析】（1）P={2，-1}，M∪P={x|x≥2或x=-1}，M∩P={2}.
（2）∵A={y|y≥0}， B={y|y≤4}， A∩B={y|0≤y≤4}， A∪B=R.
（3）∵A∩B={-3}，-3
?
B，则有：
①a-3=-3?a=0， A={-3，0，1}， B={-3，1，-1}?A∩B={-3，1}，与已知不符，∴a≠0；
②2a-1=-3?a=-1， ∴ A={-3，1，0}， B={-4，2，-3}， 符合题设条件，∴A∪B={-4，-3，0，1，
2}.
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【总结升华】此例题既练习集合的运 算，又考察了集合元素的互异性.其中（1）易错点为求并集时，
是否意识到要补上孤立点-1；而（2 ）中结合了二次函数的值域问题；（3）中根据集合元素的互异性，需
要进行分类讨论，当求出a的一个 值时，又要检验是否符合题设条件.
【集合的运算 377474 例5】
22
【 变式2】设集合A={2，a-2a，6}，B={2，2a，3a-6}，若A∩B={2，3}，求A∪B.
【答案】｛2，3，6，18｝
2
【解析】由A∩B={2，3}，知元素2，3是 A，B两个集合中所有的公共元素，所以3｛2，a-2a，6｝，
22
则必有a-2a=3， 解方程a-2a-3=0得a=3或a=-1
当a=3时，A={2，3，6}，B={2，18，3}
∴A∪B={2，3，6}∪｛2，18，3｝=｛2，3，6，18｝
当a=-1时，A={2，3，6}，B={2，2，-9}
这既不满足条件A∩B={2，3}，也不满足B中元素具有互异性，故a=-1不合题意，应舍去.
综上A∪B=｛2，3，6，18｝
例7.已知全集
U?
?
1,2 ,3,4,5
?
,A?x|x
2
?px?4?0
，求C
u< br>A.
【思路点拨】C
u
A隐含了
A?U
，对于
A? U
，注意不要忘记
A??
的情形.
【答案】 当
?4?p?4时，C
u
A=
?
1,2,3,4,5
?
；当
p ??4
时，C
u
A=
?
1,3,4,5
?
；当p??5
时，C
u
A=
?
2,3,5
?
.
【解析】
当
A??
时，方程
x?px?4?0
无实数解.
此时
??p?16?0,?4?p?4
.C
u
A=
U

当
A??
时，二次方程
x?px?4?0
的两个根
x< br>1
,x
2
，必须属于
U
.
因为
x
1
x
2
?4
，所以只可能有下述情形： < br>当
x
1
?x
2
?2
时，
p??4
， 此时
A?
?
2
?
,
C
u
A=
?
1,3,4,5
?
；
当
x< br>1
?1,x
2
?4
时，
p??5
，此时
A?
?
1,4
?
,
C
u
A=
?
2,3,5
?
.
综上所述，当
?4?p?4
时，C
u
A=
?
1,2,3,4,5
?；
当
p??4
时，C
u
A=
?
1,3,4, 5
?
；
当
p??5
时，C
u
A=
?2,3,5
?
.
【总结升华】求集合
A
的补集，只需在全集中 剔除集合
A
的元素后组成一个集合即可.由于本题中集
合
A
的元素不 确定，因此必须分类讨论才行.
举一反三：
【变式1】设全集U={x
?
N
+
|x≤8}，若A∩(C
u
B)={1，8}，(C
u
A)∩B={2，6}，(C
u
A)∩(C
u
B)={4，7}，求
集合A，B.
【答案】{1，3，5，8}，{2，3，5，6}.
【解析】全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}
2
2
2
??
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由A∩(C
u
B)={1，8}知，在 A中且不在B中的元素有1，8；由(C
u
A)∩B={2，6}，知不在A中且在B中
的元素有2，6；由(C
u
A)∩(C
u
B)={4，7}，知不在A中且 不在B中的元素有4，7，则元素3，5必在A∩B
中.
由集合的图示可得
A={1，3，5，8}，B={2，3，5，6}.
类型三、集合运算综合应用
例8．（2014 北京西城学探诊）已知集合A={x|－4≤x＜2}， B={x|－1≤x＜3}，C={x|x≥a，a∈R}．
（1）若（A∪B）∩C=
?
，求实数a的取值范围；
（2）若（A∪B）
?
C，求实数a的取值范围．
【思路点拨】（1）画数轴；（2）注意是否包含端点．
【答案】（1）a≥3 （2）a≤－4
【解析】
（1）∵A={x|－4≤x＜2}， B={x|－1≤x＜3}，又（A∪B）
∩C=
?
，如图，a≥3；
（2）画数轴同理可得：a≤－4．


【总结升华】此问题从表面上看是 集合的运算，但其本质是一个定区间，和一个动区间的问题．思路
是，使动区间沿定区间滑动，数形结合 解决问题．

举一反三：
【变式1】已知集合P=｛x︱x
2
≤ 1｝,M=｛a｝.若P∪M=P,则a的取值范围是（ ）
A．(-∞, -1] B．[1, +∞）
C．[-1，1] D．（-∞，-1] ∪[1，+∞）
【答案】C
【解析】
P?
｛
x
︱
?1?x?1
｝又
PM?P
， ∴
M?P
，∴
?1?a?1

故选C．
例9. 设集合
A?x|x
2
?4x?0,B?x|x< br>2
?2(a?1)x?a
2
?1?0,a?R
.
（1）若
AB?B
，求
a
的值；
（2）若
AB?B
，求
a
的值.
【思路点拨】明确
AB?B
、
AB?B
的含义，根据问题的需要，将其转化为等价的关系式
B ?A
和
A?B
，是解决本题的关键.同时，在包含关系式
B?A
中， 不要漏掉
B??
的情况.
【答案】（1）
a?1
或
a??1
；（1）2．
【解析】 首先化简集合
A
，得
A?
?
?4,0
?
.
（1）由
A
????
B?B
，则有
B?A
，可知集合B
为
?
，或为
?
0
?
、
?
? 4
?
，或为
?
0,?4
?
.
①若
B??
时，
??4(a?1)
2
?4(a
2
?1)?0
， 解得
a??1
.
②若
0?B
,代入得
a?1?0?a?1或a??1
.
2
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当
a?1
时，
B?x|x
2
?4x?0?
?
0, ?4
?
?A,
符合题意；
当
a??1
时，
B?x |x
2
?0?
?
0
?
?A,
也符合题意.
③若
?4?B
，代入得
a?8a?7?0
，解得
a?7
或
a?1
.
当
a?1
时，已讨论，符合题意；
当
a?7
时，
B?x|x
2
?16x?48?0?
?
?12, ?4
?
，不符合题意.
由①②③，得
a?1
或
a??1
.
（2）
A而
B
至多只有两个根，因此应有
A?B
，由（1）知
a?1.
B?B,?A?B
.又
A?
?
?4,0
?
，
2
??
??
??
【总结升华】两个等价转化：
AB?B? A?B,AB?B?B?A
非常重要，注意应用.另外，
在解决有条件
A?B
的集合问题时，不要忽视
A??
的情况.
举一反三：
【变式1】已知集合
A?
?
?2
?
,B?x|x
2
?ax?a
2
?12?0
，若
A
【答案】
a?4,
或
a??4

【解析】
??
B?B
,求实数
a
的取值范围.
AB?B
,
?B?A
.
22
①当
B??
时，此时方程
x?ax?a?12?0
无解，由
??0
，解得
a?4 ,
或
a??4
.
②当
B??
时，此时方程
x?a x?a?12?0
有且仅有一个实数解-2，
22
???0
，且
( ?2)
2
?2a?a
2
?12?0
，解得
a?4
.
综上，实数
a
的取值范围是
a?4,
或
a??4
.
【变式2】设全集
U?R
，集合
A?
?
x|?1?x?2< br>?
,B?
?
x|4x?p?0
?
，若
B
值范 围.
【答案】
p?4

C
u
A，求实数
p
的取
【解析】 C
u
A =
x|x??1,或x?2
，
B?
?
x|x??

??
?
?
p
?
?
.
4
?
B
C
u
A，
?
?
p
??1
，即
p?4
.
?
实数
p
的取值范围是
p?4
.
4
【巩固练习】
1．设A={(x, y)| |x+1|+(y-2)
2
=0}，B={-1, 2}，则必有（ ）
A
．
B?A
B
．
A?B
C
．
A=B D
．
A∩B=
?

2．（2014 湖北武汉期中）已知
A?yy?x?2
；
B?yy??x?2
，则A∩B＝（ ）
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?
2
??
2
?

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A．
?
?
?2,0,
??
2,0
B．
?
?2,2
?

??
?
?
C．[－2，2] D．
?2,2

3．已知全集
U?R
，则正确表示集合
M? {?1,0,1}
和
N?x|x
2
?x?0
关系的韦恩（Venn） 图是
（ ）
??
??

4．已知集合
A,B
满足
A

B?A
,那么下列各式中一定成立的是（ ）
B?B
D．
AB?A
A． AB B． BA C．
A
5．若集合A?{?1,1}
，
B?{x|mx?1}
，且
A?B?A
，则
m
的值为( )
A．1 B．-1 C．1或-1 D．1或-1或0
6．（2016 海南三模）已知集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9 }，B={x｜x=n
2
，n∈A}，则A∩B的
子集共有（ ）
A．16个 B．8个 C．4个 D．2个
7．设
U?R,A ?
?
x|a?x?b
?
,C
U
A?
?
x| x?4或x?3
?
，则
a?___________,b?__________.
8．（2014 北京西城学探诊）某单位共有员工85人，其中68人会骑车，62人会驾车 ，既会骑车也会
驾车的人有57人，则既不会骑车也不会驾车的人有 人．
9．（2015 上海模拟）已知全集U=R，集合A={x｜x+a≥0，x∈R}，B={x｜|x －1|≤3，x∈R}．若
(?
U
A)B?[?2,4]
，则实数a的取值范 围是________．
10．若
I?
?
x|x??1,x?Z
?
，则
C
I
N
= .
11．设全集U?(x,y)x,y?R
，集合
M?
?
(x,y)
??
?
?
y?2
?
x?2
?
1
?
，
N?
?
(x,y)y?x?4
?
，那么
?
(C
U< br>M)(C
U
N)
等于________________.
12．设 集合
M?
?
1,2,3,4,5,
?
6
，
S
1
,S
2
,???,S
k
都是
M
的含两个元素的 子集，且满足：对任意的
?
?
a
i
b
i
?
?
a
j
b
j
?
?
，都有
min
?
,
?
?min
?
,
?
（
min
?
x,y
?
S
i
?
?
a
i
,bi
?
，
S
j
?
?
a
j
,b< br>j
?
（
i?j,i,j?
?
1,2,3,???,k
?
）
?
?
b
i
a
i
?
?
b
j
a
j
?
?
表示两个数
x,y
中的较小 者）则
k
的最大值是 .
13．（2014 福建期中）已知集合A?{x4?x?8}
，
B?{x2?x?10}
，
C?{xx?a}< br>错误！未找
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到引用源。．
（Ⅰ）求A∪B错误！未找到引用源。；
(C
R
A)B
；
（Ⅱ）若
AC??
，求a的取值范围．
14．设
U?R
， 集合
A?x|x
2
?3x?2?0
，
B?x|x
2
?(m?1)x?m?0
；若
(C
U
A)
????
B??< br>，
求
m
的值.
15．（2016春 南安市月考）已知集合A={x
2
－5x－14≤0}，B={x｜m+1＜x＜2m－1}，若A∪B=A，求
实数 m的取值范围．
【答案与解析】
1.【答案】D
【解析】.学生易错选C。错因是未正确理解集合概念，误以为A={-1，2}，
其实{(x, y)| |x+1|+(y-2)
2
=0}={(-1, 2)}，A是点集而B是数集，故正确答案应选D。
2.【答案】C
【解析】集合A、B均 表示构成相关函数的因变量取值范围，故可知：A={y|y≥－2}，B={y|y≤2}，所
以A∩ B={y|－2≤y≤2}，选C．
3．【答案】B
【解析】由
N?x|x
2
?x?0
，得
N?{?1,0}
，则
N?M
,选B．
4．【答案】C
【解析】
AB?A?A?B?A
5.【答案】D
【解析】当
m?0
时，
B??,
满足
A
??
B?B

?
1
?
B?A
，即
m?0
；当
m?0
时，
B?
??
,

?
m
?
而
AB?A
，∴
1
?1或?1，m?1或?1
；∴
m?1, ?1或0
.
m
6．【答案】B
【解析】集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，
B={x｜x=n
2
，n∈A}={1，4，9，16，25，36，49，64，81}，
A∩B={1，4，9}．
A∩B的子集共有2
3
=8．
故选：B．
7.【答案】
a?3,b?4

【解析】A?C
U
(C
U
A)?
?
x|3?x?4
?< br>?
?
x|a?x?b
?
.
8.【答案】12
【解 析】全体员工
4
类人：设既不会骑车也不会驾车的人数为
x
人；仅会骑车的人 数为(
68?57
)人；
仅会驾车的人数为(
62?57
)人；既会 骑车也会驾车的人数为57人.
∴
68?57
+
62?57?x?57?8 5
，∴
x?12
.
9．【答案】a＜－4
【解析】由A中的不等式解得：x≥―a，即A=[―a，∞），
∵全集U=R，∴
?
U
A?(??,?a)
，
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由B中的不等式变形得：－3≤x－1≤3，即－2≤x≤4，
∴B=[－2，4]
∵
(?
U
A)B?[?2,4]

∴－a＞4，即a＜－4．
故答案为：a＜－4．
10.【答案】
?
?1
?

【解析】
I?
?
?1
?
11.【答案】
N
，
C
I
N?
?
?1
?
.
??
2,?2
??

【解析】
M:y?x?4(x?2)< br>，
M
代表在直线
y?x?4
上，但是挖掉
(2,?2)
的点，
C
U
M
代表直线
y?x?4
外，但是包含点
(2,?2)
的点；
N
代表直线
y?x?4
外的点，
C
U
N
代表直线
y?x?4
上的点，∴
(C
U
M)(C
U
N)?
?
(2,?2)
?
.
12.【答案】11
【解析】含2个元素的子集有15个，但
?
1,2?
、
?
2,4
?
、
?
3,6
?
只能取1个；
?
1,3
?
、
?
2,6
?
只能取1
个；
?
2,3
?
、
?
4,6
?< br>只能取1个，故满足条件的两个元素的集合有11个.
13.【答案】（Ⅰ）
{x2? x?10}
；（Ⅱ）
a?
?
4,??
?

【解析】（Ⅰ）∵
A?{x4?x?8}
，
B?{x2?x?10}
，
∴ A∪B
?{x2?x?10}

C
R
A
?
?
x|x?4
,
或
x?8
?

(C
R
A) B
?
?
x|2?x?4
,
或
8?x?10
?

（Ⅱ）若
AC??
，由数轴知
a?
?
4,??
?

14.【答案】
1
或
2

【解析】
A?
?
?2,?1?
，由
(C
U
A)B??,得B?A
，
当
m ?1
时，
B?
?
?1
?
，符合
B?A
；
当
m?1
时，
B?
?
?1,?m
?
，而< br>B?A
，∴
?m??2
，即
m?2

∴
m?1
或
2
.
15．【答案】（－∞，4]
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【解析】由A中的不等式变形得：(x+2)(x－7)≤0，
解得：－2≤x≤7，即A=[－2，7]；
∵B=（m+1，2m－1），且A∪B=A，
∴当
B??
时，m+1≥2m－1，解得：m≤2，
当
B??
时，
?
?
m?1??2
，
2m?1?7
?
解得：－3≤m≤4；
则实数m的取值范围为（－∞，4]．

《集合》全章复习巩固
【学习目标】
1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；
2．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；
3．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；
4．能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一：集合的基本概念
1．集合的概念
一般地，我们把研究对象统称为元素，如1～10内的所有质数，包括2，3，5，7，则3是我们所要 研
究的对象，它是其中的一个元素，把一些元素组成的总体叫做集合，如上述2，3，5，7就组成了一 个集
合。
2．元素与集合的关系

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（1）属于： 如果
a
是集合A的元素 ，就说
a
属于A，记作
a
∈A。要注意“∈”的方向，不能把
a∈A颠
倒过来写.
（2）不属于：如果
a
不是集合A的元素，就说a
不属于集合A，记作
a?A
。
3．集合中元素的特征
（1）确定性：集合中的元素必须是确定的。任何一个对象都能明确判断出它是否为某个集合的元素；
（2）互异性：集合中的任意两个元素都是不同的，也就是同一个元素在集合中不能重复出现。
（3）无序性：集合与组成它的元素的顺序无关。如集合{1，2，3}与{3，1，2}是同一个集合。
4．集合的分类
集合可根据它含有的元素个数的多少分为两类：
有限集：含有有限个元素的集合。
无限集：含有无限个元素的集合。
要点诠释：
把不含有任何元素的集合叫做空集，记作
?
，空集归入有限集。
要点二：集合间的关系
1．(1)子集：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都 是集合B的元素，那么集合A叫
做集合B的子集，记作A
?
B，对于任何集合A规定< br>??A
。
(2) 如果A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，
记做.
两个集合A与B之间的关系如下：
?
?
A?B?A?B且B?A
A?B
?
?

?
?
A?B?A
?
B
?
?
A
?
B
其中记号
A?B
（或
B?A
）表示集合A不包含于集合B（或集合 B不包含集合A）。
2．子集具有以下性质：
（1）A
?
A，即任何一个集合都是它本身的子集。
（2）如果
A?B
，
B?A
，那么A=B。
（3）如果
A?B
，
B?C
，那么
A?C
。
（4）如果
A?B
，
B?C
，那么
A?C
。 3．包含的定义也可以表述成：如果由任一x∈A，可以推出x∈B，那么
A?B
（或B?A
）。
不包含的定义也可以表述成：两个集合A与B，如果集合A中存在至少一个元 素不是集合B的元素，
那么
A?B
（或
B?A
）。
4．有限集合的子集个数：
（1）n个元素的集合有2
n
个子集。
（2）n个元素的集合有2
n
－1个真子集。
（3）n个元素的集合有2
n
－1个非空子集。
（4）n个元素的集合有2
n
－2个非空真子集。
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要点诠释：
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．换言之，任何集合至少有一个子集．
要点三：集合的基本运算
1．用定义求两个集合的交集与并集时，要注意“或”“且”的意义 ，“或”是两个皆可的意思，“且”
是两者都有的意思，在使用时不要混淆。
2．用维恩图表示交集与并集。
已知集合A与B，用阴影部分表示A∩B，A∪B，如下图所示。

3．关于交集、并集的有关性质及结论归结如下：
（1）A∩A=A，A∩
?
=
?
，A∩B=(B∩A)
?
A（或B）；
A∪A=A，A∪
?
=A，A∪B=(B∪A)
?
A（或B）。
（2）
A

(?
U
A)??
；
A(?
U
A)?U
。
(
U
B)??B)
；
(痧(
U
B)??B)
。；
U
(A
U
A)
U
(A
（3）德摩根定律：
(痧
U
A)
（4）
AB?A?A?B
；
AB?A? B?A
。
4．全集与补集
（1）它们是相互依存不可分离的两个概念。把我们所研 究的各个集合的全部元素看成是一个集合，
则称之为全集。而补集则是在
A?U
时，由 所有不属于A但属于U的元素组成的集合，记作
?
U
A
。数学
表达式 ：若
A?U
，则U中子集A的补集为
?
U
A?{x|x?U且x?A }
。
（2）补集与全集的性质
①
痧
U
(
U
A)?A

②
A?U
，
?
U
A?U
。
③
?
U
U??
，
?
U
??U
。
5．空集的性质
空集的特殊属性，即空集虽空，但空有所用。对任意集合A，有
?? ?
，
??{?}
；
A???
；
A??A
；
??A
。
【典型例题】
类型一：集合的含义与表示
例1．选择恰当的方法表示下列集合。
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（1）“mathematics”中字母构成的集合；
（2）不等式
x?1?0
的解集；
（3）函数
y?
2
x?4
的自变量的取值范围。
【思路点拨】集合的表示有两种形式，我们必须了解每种方法的特点，选择最佳的表达形式。
【解析】（1）
?
m,a,t,h,e,i,c,s
?
；
（2）
x|x
2
?1?0
或
?

（3）< br>x|y?
??
?
x?4
或
?
x|x?0
?< br>
?
【总结升华】正确选择、运用列举法或描述法表示集合，关键是确定集合中的元素。 然后根据元素的
数量和特性来选用恰当的表示形式。
举一反三：
【变式1】将集合
?
(x,y)|
?
?
?
?
x?y?5
?< br>?
表示成列举法，正确的是（ ）
?
2x?y?1
?
A.{2，3} B.{（2，3）} C.{x=2，y=3} D.（2，3）
【答案】B
【变式2】
已知集合
A?
?
?
x,y
?
∣
x,y
为实数，且
x
2
?y
2
?1
?< br>，
B?
?
?
x,y
?
x,y
为实数，且y?x
?
，则
A?B
的元素个数为
（ ）

Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3
【答案】
Ｃ

例2．若含有三个元素的集合可表示为
?
a,
?
?
b
?
,1
?
，也可以表示为
a
2
,a?b,0
，求
a
2009
?b
2009
的 值。
a
?
??
【思路点拨】由集合中元素的确定性和互异性可解得。
【答案】
?1

【解析】
由
?
a,
?< br>?
b
?
,1
?
，可得
a?1
且
a? 0
，
a
?
??
2
?
a?1,
?
a?b?1,
??
2
?
a??1,
?
a?1,
则有
?
a?a?b,
或
?
a?a,
解得
?
或< br>?
（舍去）
?
b?0.
?
b?0.
?
b< br>?
b
?
?0
?
?0
?
a
?
a
故
a
2009
?b
2009
??1

【 总结升华】利用集合中元素特性来解题，既要用元素的确定性，又要利用互异性检验解的正确与否，
初学 者在解题时容易忽视元素的互异性。必须在学习中高度重视。另外，本类问题往往涉及分类讨论的数
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学思想。
举一反三：
【变式1】（2015秋 安徽省无为县期末）已知集合A={a―2，12，2a
2
+5a}，且―3∈A，求a的值．
【答案】
a??
3

2
【解析】∵－3∈A，
∴a―2=―3，或2a2+5a=―3，
得：a=―1，或
a??
3
，
2
检验知：a=―1不满足集合元素的互异性，
∴
a??
3
．
2
例3．已知集合
A?x|mx
2
?2x?3?0,m?R

（1）若A是空集，求
m
的取值范围。
（2）若A中只有一个元素，求
m
的值。
（3）若A中至多只有一个元素，求
m
的取值范围。
【答案】（1）
m?
【解析】
（1）当
m?0
时，
x?
??
11
1
（2）0， （3）
m?
或者m=0
33
3
3
，A不为空集，则
m?0
不满足题意。
2
2
当m≠0时，若A为空集，则一元二次方程
mx?2x?3?0
实数范围 内无解，
1
。
3
1
综上若A为空集，则
m?
。
3
即
??4?12m?0
,
m?
（2）由集合
A< br>中只含有一个元素可得，方程
mx?2x?3?0
有一解，由于本方程并没有注明是一个
二次方程，故也可以是一次方程，应分类讨论：
当
m?0
时，可得是一次方程，故满足题意.
当m≠0时，则为一元二次方 程，所以有一根的含义是该方程有两个相等的实根，即判别式为0时
m
的
值，可求得为
m?
2
1
1
.故
m
的取值为0，.
3
3
（3）
∵A中元素至多只有一个 ，∴有以下两种情况存在：
集合A是空集；集合A是只有一个元素．
综合(1)(2)知,若A中元素至多只有一个,

m?
1
或者m=0.
3
【总结升华】 集合A是方程mx
2
-2x+3=0在实数范围内的解集，所以本题实际上是讨论方
程mx
2
- 2x+3=0解的个数问题。
类型二：集合的基本关系
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例4．设集合A={x｜1≤x≤3}，B={ x｜x－a≥0}，若A
?
B，则a的取值范围是________。
【思路点拨】 此题考查判断两个集合的包含关系。由于题中所给集合为含不等式的描述法形式，可
以借助数轴进行直观 的分析。
【解析】A
?
B={x｜x≥a}，利用数轴作图如下：

由此可知：a≤1。
【总结升华】 要确定一个集合的方法之一是：明确集合中元素的范围及 其满足的性质，借助Venn图
来分析，直观性强。集合是由元素构成的，要确定一个集合的方法之二是 ：把集合中的元素一一找出来，
用列举法表示。要确定一个集合的方法之三是：明确集合中元素的范围及 其满足的性质。用特征性质描述
法表示的集合，可借助数轴来分析，直观性强。
举一反三：
【变式1】 已知集合A={x｜x≥1或x＜－1}，B={x｜2a＜x＜a+1}，若B
?
A，求a的取值范围。
【解析】
（1）当B是空集，需要2a≥a+1，得到a≥1
（2）当B不是空集且B的上限小于等于-1，即a＜1且a+1≤-1，得到a≤-2
（3）当B不是空集且B的下限大于等于1，即a＜1且2a≥1，得到12≤a＜1
综上，a≤-2或a≥12
【变式2】若集合B={1，2，3，4，5}，C={小于10 的正奇数}，且集合A满足A
?
B，A
?
C，则集
合A的个数是__ ______。
【思路点拨】 由题设，C={1，3，5，7，9}。因为A
?
B，A
?
C，可用Venn图发现集合B与C的公
共元素为1，3，5，则集合A可能 含有1，3，5三个数中的0个，1个，2个，或3个。故集合A的个数
即为{1，3，5}的子集的个 数。
【解析】由已知作Venn图

{1，3，5}的子集中含0个元素的有1个：
?
；
{1，3，5}的子集中含1个元素的有3个：{1}，{3}，{5}；
{1，3，5}的子集中含2个元素的有3个：{1，3}，{1，5}，{3，5}；
{1，3，5}的子集中含3个元素的有1个：{1，3，5}。
由上述分析知集合A的个数为{1，3，5}的子集的个数：1+3+3+1=8个。
例5． 设集合
A?x|x?4x?0,x?R,B?x|x?2(a?1)x?a?1?0,x?R
, 若
B?A
，求实数
?
2
??
22
?
a的范围。
【答案】
a?1
或
a??1

【解析】
A?
?
x|x
2
?4x?0,x?R
?
?
?
?4,0
?

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B?A
，
?B?A
或
B
?
A

当
B?A
时，即
B?
?
?4,0
?
，则
?4 ,0
是方程
x?2(a?1)x?a?1?0
的两根，代入解得
a?1

22
当
B
?
A
时，分两种情况：
（1）若< br>B??
，则
??4(a?1)?4(a?1)?0
，解得
a??1。
（2）若
B??
，则方程
x?2(a?1)x?a?1?0
有两个相等的实数根。
22
22
???4(a?1)
2
?4(a< br>2
?1)?0
，解得
a??1
，此时
B?
?
0
?
，满足条件。
综上可知，所求实数
a
的范围为
a?1
或
a??1
。
【总结升华】要解决此题，应明确的具体含义：一是
B?A
，二是
B
?
A
。而
B
?
A
时还应
考虑
B
能否是
?
的情况，因此解题过程中必须分类讨论，另外 还要熟练掌握一元二次方程根的讨论问题。
举一反三：
【变式】已知集合
A?xx
2
?3x?2?0,B?xax?1?0
．
（1）若
a?2
，求
A
【答案】详见解析
（2）若
B?A
，求实数
a
的取值所组成的集合
C
．
B
；
??
??
【解析】（1）由题意，
A?
?
1,2
?

?
1
?
?
2
?
?
1
?

?A?B?
?
,1,2
?

?
2
?
（2）由题意，
B?A

∴ 当
B??
时，
a?0

1
当
B??
时，
a?1,

2
?
1
?

?C?
?
0,1,
?

2
??
当
a?2
时，
B?
??


类型三：集合的基本运算
例6．已知全集U=R，集合M={x|－2≤x－1≤2}和N= {x|x=2k－1，k=1，2，…}的关系的韦恩（Venn）
图如下图所示，则阴影部分所示的集 合的元素区有（ ）

A．3个 B．2个 C．1个 D．无穷多个
【答案】B
【解析】 ∵阴影部分为M∩N={x|－2≤x－1≤2}∩{ x|x=2k―1，k=1，2，…}={x|―1≤x≤3}∩{x|x=2k
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－1，k=1，2，…}={1，3}，∴阴影部分所示的集合的元素区有2个，故选B项．
【总结升华】具体集合（给出或可以求得元素的集合）的交、并、补运算，以及集合间关系的判定、
子集 的个数问题是每年高考重点考查的对象，因而也是高考命题的热点．
举一反三：
【变式1】 已知全集U=R，则正确表示集合M=｛—1，0，1｝和N=｛x
x
2
?x?0关系的韦恩图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【集合与函数性质综合377492例4】
【变式2】设全集为
R
，
A?
?
x|3?x?7
?
，
B?
?
x|2?x? 10
?
，
求
?
R
(A

B)
及
?
?
R
A
?
B
．
B
=
?
x|2?x?3或7?x?10
?
.
?
，且A∩C=
?
，则
【答案】
?
R
( AB)
=
?
x|x?2或x?10
?
；
?
?
R
A
?
例7．若集合A={x｜x
2
―ax+a
2
―19=0}，B={2，3}，C={2，―4}，满足A∩B
实数a的值是________。
【思路点拨】 由题设，A∩B
?
?
且A∩C=
?
知，2 ，3与集合A的关系，再进行解答。
【解析】 由已知：3∈A，2
?
A，则3< br>2
―3a+a
2
―19=0，即a=5或a=―2。
当a=5时，A={2，3}，与题意矛盾；
当a=―2时，A={―5，3}，符合题意。
由上述分析知a=―2。
【总结升华】 集合是由元素构成的，要确定一个集合首先明确集 合中元素的范围及其满足的性质，
再把集合中的元素一一找出来。
例8．（2016春 江西 省抚州期末）已知集合A={x｜x2―2x―8≤0}，B={x｜x2―(2m―3)x+m(m―3)≤0 ，
m∈R}．
（1）若A∩B=[2，4]，求实数m的值；
（2）设全集为R，若
A?(?
R
B)
，求实数m的取值范围． < br>【思路点拨】（1）根据所给的两个集合的不等式，写出两个集合对应的最简形式，根据两个集合的交集，看出两个集合的端点之间的关系，求出结果．
（2）设全集为R，若
A?(?
R
B)
，求实数m的取值范围．
【答案】
【解析】（1）由已知得A={x｜x
2
―2x―8≤0，x∈R}=[―2，4]，
B={x｜x
2
―(2m―3)x+m
2
―3m≤0，x∈R，m∈ R}=[m－3，m]．
?
m?3?2
∵A∩B=[2，4]，∴
?
，∴m=5．
m?4
?
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（2）∵B=[m－3，m]，∴
?
R
B?(??,m?3)∵
A?(?
R
B)
，
∴m－3＞4或m＜－2．
∴m＞7或m＜－2．
∴m∈（－∞，－2）∪（7，+∞）
【总结升华】本题考 查集合之间的关系与参数的取值，本题解题的关键是利用集合之间的关系，得到
不等式之间的关系．
举一反三：
【变式1】 已知集合A={x｜－2≤x≤5}，B={x｜k+1≤x≤2 k－1}，若A∩B=
?
，求实数k的取值
范围。
【解析】
A∩B=
?
，
?
当
B??
时，2k－1当
B??
时，k+1>5或2k－1<－2 ，即k>4。
综上知
k?4或 k?2
。
例9．已知集合
A?x4?x ?8
?
,B?x2?x?10
?
,C?xx?a
?
．
（Ⅰ）求
A
（Ⅱ）若
A
(m,??)
．
???< br>B
；
?
C
R
A
?
B
；
C??
，求a的取值范围．
【思路点拨】（1）画数轴；（2）注意是否包含端点．
【答案】（Ⅰ）
x2?x?10
?
，（Ⅱ）
?
4,???

【解析】
（Ⅰ）∵
A?x4?x?8
?
,B?x2?x?10
?
,

∴ 如图，
A
?
??
B?
?
x2?x?10
?
；
C
R
A?
?
xx?4
或
x?8
?

∴
?
C
R
A
?



（Ⅱ）画数轴同理可得：
a?
?
4,??
?
．



【总结升华】此问题从表面上看是集合的运算，但其本质是一个定区间，和一个动 区间的问题．思路
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B
?
?
x2?x?4
或
8?x?10
?

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是，使动区间沿定区间滑动，数形结合解决问题．
举一反三：
【变式1】 已知集合A={x｜－2≤x＜7}，
?
U
B?{x|k?1?x?k?4}
，若A∪B=R，求实数k的取
值范围。
【解析】在数轴上画出集合A
?
U
B?{x|k?1?x?k?4}

?B?
?
x|x?k?1或x?k?4
?

要使A∪B=R，即
k?1??2
且
k?4?7

解得
?3?k?3
。
【巩固练习】
1．全集
U?
?
?1,?2,?3,?4,0
?
，集合
A?
?
?1,? 2,0
?
,B?
?
?3,?4,0
?
，则
?
C
U
A
?
?B?
（ ）
A．
?
0
?
B．
?
?3,?4
?
C．
?
?1,?2
?
D．
?

2．若集合
A?{?1,1}
，
B?{x|mx?1}
，且
AB? A
，则
m
的值为（ ）
22
A．
1
B．
?1
C．
1
或
?1
D．
1
或
?1
或
0

3．若集合
M?(x ,y)x?y?0,N?(x,y)x?y?0,x?R,y?R
，则有（ ）
A．
M
??
??
N?M
B．
MN?N
C．
MN?M
D．
MN??

4．（2016 吉林模拟）已知集合A={a，4}，B={2，a
2
}，且A∩B={4}，则A∪B=（ ）
A．{2，4} B．{―2，4} C．{―2，2，4} D．{－4，2，4}
5．表示图形中的阴影部分( )

A
B
A．
(A?C)?(B?C)

B．
(A?B)?(A?C)

C．
(A?B)?(B?C)

D．
(A?B)?C

6. 已知全集U=A∪B中有m个元素，
(痧
U
A)
C
(
U
B)
中有n个元素。若A∩B非空，则A∩B的元素
个数为（ ）
A．mn B．m+n C．n―m D．m―n
7．已知集合A?{x|x?3或x?7},B?{x|x?a}.
若
?
R
A
∩B
?
?
,则a
的取值范围为（ ）
A．
a?3
B．
a?3
C．
a?7
D．
a?7

有
xyz?V
，
8．设S是整数集Z的非空子 集，如果
?a,b?S
，有
ab?S
，则称S关于数的乘法是封闭的．若T,V是Z的两个不相交的非空子集，
TV?Z
，且
?a,b,c?T
， 有
abc?T,?xy,z,?V
则下列结论恒成立的是
A．
T,V
中至少有一个关于乘法是封闭的



B．
T,V
中至多有一个关于乘法是封闭的
C．
T,V
中有且只有一个关于乘法是封闭的
D．
T,V
中每一个关于乘法都是封闭的
??
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9．设
U?R,A?
?
x|a?x?b
?
,?
U
A?x|x?4或x?3
,则
a?______,b?_____
。
10．50名学生参加甲、乙两项体育活动， 每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项
的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生 人数为 。
11．若
A?
?
1,4,x
?
,B?1,x
2
且
A
??
??
B?B
，则
x?
。
12．（2016春 江苏启东市期中）如果集合 A={x｜mx2－4x+2=0}中只有一个元素，则实数m的值为
________．
1 3．已知集合
A?{x4?x?8}
，
B?{x2?x?10}
，
C ?{xx?a}
错误！未找到引用源。．
（Ⅰ）求A∪B错误！未找到引用源。；
(C
R
A)B
；
（Ⅱ）若
AC??
，求a的取值范围．
14．设
A?x|x
2
?px?q?0,B?x|qx
2
?px?1?0
，其中
p,q ?0
，同时满足①
A
②
?
R
B
????
B ??
；
??
A?
?
?2
?
。求
p,q的值。
15．（2016春 山东德州期末）已知集合A={x｜1≤x＜5}，B={x｜x< br>2
－2x－15≤0}，C={x｜－a＜x≤a+3}．
（1）求A∩B；
（2）若C∩A=C，求a的取值范围．

【答案与解析】
1．【答案】B
【解析】∵ 集合
A?
?
?1,?2,0
?
,B?
?
?3,?4,0
?
，
全集
U?
?
?1,?2,?3,?4,0
?
，
∴
C
U
A?
?
?3,?4
?
．
∴ ?
C
U
A3,?4
?
?B?
?
?
?< br>．
故选B．
2. 【答案】 D
【解析】当
m?0
时，
B?
?
,
满足
A
?
1
?
B ?A
，即
m?0
；当
m?0
时，
B?
??
,

?
m
?
而
AB?A
，∴
1
? 1或?1，m?1或?1
；∴
m?1,?1或0
；
m
3. 【答案】 A
【解析】
N?（
?
0，0）
?
，
N?M
；
4．【答案】C．
【解析】∵集合A={a，4}，B={2，a2}，且A∩B={4}，
∴a
2
=4，解得：a=2或a=－2，
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当a=2时，A={2，4}，B={2，4}，不合题意，舍去；
当a=－2时，A={－2，4}，B={2，4}，
则A∪B={－2，2，4}．
故选C．
5. 【答案】A
6．【答案】D
【解析】 ∵
(痧
U
A)(
U
B)
中有n个元素，如下图所示阴影部分，又∵U =A∪B中有m个元素，故
A∩B中有（m－n）个元素。


7．【答案】A
【解析】利用数轴去解
8．【答案】A
【解析】若 按照整数集的范围考虑，则不妨令T＝N，V为负整数集，满足题意，但x，y∈V时，
xy?V
，
排除D；若从整数特征考虑，令T为偶数集，V为奇数集，均关于数的乘法是封闭的，排除B、C， 故选
A。

9. 【答案】
a?3,b?4

【解 析】
A?C
U
(C
U
A)?
?
x|3?x?4?
?
?
x|a?x?b
?

10. 【答案】 45
【解析】 画出Venn图如下图所示。

11. 【答案】
0,2,或?2

【解析】由
AB?B得B?A
，则
x
2
?4或x
2
?x
，且
x?1
。
12．【答案】0或2
【解析】当m=0时，显然满足集合{x｜mx2－4x+2=0}中 只有一个元素，则实数m的值为________．
当m≠0时，由集合{x｜mx2－4x+2=0 }有且只有一个元素，可得判别式Δ=16－8m=0，解得m=2，
∴实数m的值为0或2．
故答案为：0或2．
13．【答案】（Ⅰ）
{x2?x?10}
；（Ⅱ）< br>a?
?
4,??
?

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【解析】（Ⅰ）∵
A?{x4?x?8}
，
B?{x2?x?10}
，
∴ A∪B
?{x2?x?10}

C
R
A
?
?
x|x?4
,
或
x?8
?

(C
R
A) B
?
?
x|2?x?4
,
或
8?x?10
?

（Ⅱ）若
AC??
，由数轴知
a?
?
4,??
?

B??
，所以两个方程至少有一个共同解且—2是前者方程的解， 14．【解析】
A
2
?
?
a?ap?q?0
设两方程的共同解为
a
， 则
?
2
，解得
a??1
。当
a?1
时，又—2是前 者方程的解，
?
?
qa?ap?1?0
由根与系数的关系得
p?1, q??2
。同理得
?
?
p?3
。
?
q?2
15．【答案】（1）A∩B={x｜1≤x＜5}；（2）a≤－1
【解析】（1）B={x｜x
2
－2x－15≤0}={x｜－3≤x≤5}，
∵A={x｜1≤x＜5}，
∴A∩B={x｜1≤x＜5}，
（2）∵C∩A=C，
∴
C?A
，
当
C??
， 满足
C?A
，此时－a≥a+3，解得
a??
3
；
2?
?a?a?3
3
?
当
C??
，要使
C?A< br>，则
?
?a?1
，解得
??a??1
，
2
?
a?3?5
?
综上所述，a≤－1．


函数及其表示方法
【学习目标】
(1)会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些 简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用.
(2)能正确认识和使用函数的三种表示法： 解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情
境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示 函数；
(3)求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用．
【要点梳理】
要点一、函数的概念
1．函数的定义
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的 对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B
中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就 称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.
记作：y=f(x)，x
?
A．
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其中，x 叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值
的集合{f (x)|x
?
A}叫做函数的值域.
要点诠释：
（1）A、B集合的非空 性；（2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）A中元素的无剩余性；（4）
B中元素的可剩余 性。
2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
①构成函数的三个要素是定义域、对 应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如
果两个函数的定义域和对应关系完全— 致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；
②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.
3．区间的概念
(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；
(2)无穷区间；
(3)区间的数轴表示．
区间表示：
{x|a?x?b}?(a,b);
{x|a≤x≤b}=[a，b]；
{x|a?x?b}?
?
a,b
?
；
{x|a?x?b}?
?
a,b
?
；
{x|x?b}?
?
-?,b
?
; {x|a?x}?
?
a,??
?
.
要点二、函数的表示法
1．函数的三种表示方法：
解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． 优点：简明，给自变量求函数值.
图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势.
列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值.
2．分段函数：
分段函数的解析式不能写成几个不同的方 程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，
并分别注明各部分的自变量的取值情况．
要点三、映射与函数
1.映射定义：
设A、B是两个非空集合，如果按照某个对应 法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有
唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B 的映射；记为f：A→B.
象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应 的B中的元素b叫做a的
象，a叫做b的原象.
要点诠释：
(1)A中的每一个元素都有象，且唯一；
(2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；
(3)a的象记为f(a).
2.函数与映射的区别与联系：
设A、B是两个非空数集，若f：A→B是从集合A到集合B 的映射，这个映射叫做从集合A到集合B的
函数，记为y=f(x).
要点诠释：
(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；
(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；
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(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；
(4)原象集合=定义域，值域=象集合.
3.函数定义域的求法
(1)确定函数定义域的原则
①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式 有意义的自变量的取值的集合.具体地
讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零 ，零次幂的底数不为零以及我们在后面
学习时碰到的所有有意义的限制条件.
②当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义.
③当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数
x
的集合。
（2）抽象函数定义域的确定
所谓抽象函数是指用
f(x)
表示的函数，而 没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关
键是注意对应法则。在同一对应法则的作用下 ，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是
一致的，都在同一取值范围内。
（ 3）求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必
须用 集合或区间来表示.
4.函数值域的求法
实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给 定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全
确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方 法有：
观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最 高点”
和“最低点”，观察求得函数的值域；
配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方， 在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次
函数的值域方法求函数的值域；
判别式法 ：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函
数等；此外， 使用此方法要特别注意自变量的取值范围；
换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数 化归为几个简单的函数，从而利用基本函
数的取值范围来求函数的值域.
求函数的值域没有通 用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等.总之，
求函数的值域关键是 重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约.
【典型例题】
类型一、函数的概念
例1.已知集合
A?
?
1,2,3
?
，
B?
?
4,5
?
，则从
A
到
B
的函数
f(x)
有 个.
【答案】8
【解析】抓住函数的“取元的任意性，取值的唯一性”，利用列表方法确定函数的个数.
f(1)

4 4 4 4 5 5 5 5
f(2)

4 4 5 5 4 4 5 5
f(3)

4 5 4 5 4 5 4 5
由表可知，这样的函数有8个，故填8.
【总结升华】函数的定义（特别是它的“取元任意性，取值唯一性”）是解决某些问题的关键.
举一反三：
【变式1】下列各问的对应关系是否是给出的实数集
R
上的一个函数？为什么？
（1）
f:
x?
2
,x?0,x?R
；
x
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（2）
g:
x?
y
，
y
2
?x,x?N,y?R
；
（3）
h:
A?B?N
*
，对任意的
x?A,
x?|x?3|
.
22
【解析】（1）对于任意一个非零实数
x,
被
x
唯一确定，所以当
x?0
时，
x?
是函数，可 表示为
xx
2
f(x)?(x?0)
.
x
（2）当
x?4
时，
y
2
?4
，得
y?2
或
y? ?2
，不是有唯一值和
x
对应，所以
x?
y
（
y< br>2
?x
）不是函数.
（3）不是，因为当
x?3
时，在集合
B
中不存在数值与之对应.
【课程：函数的概念与定义域 356673 例2】
例2．下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，为什么？
（1）
f(x)?(x?1)
；
g(x)?1

（2）f(x)?x
；
g(x)?
2
0
x
2

2
（3）
f(x)?x
；
g(x)?(x?1)

（4）
f(x)?|x|
；
g(x)?x
2

【思 路点拨】对于根式、分式、绝对值式，要先化简再判断，在化简时要注意等价变形，否则等号不
成立.
【答案】（1）不是（2）不是（3）不是（4）是
【解析】
(1)
f (x)与g(x)
的定义域不同，前者是
?
x|x?1,x?R
?
， 后者是全体实数，因此是不同的函数；
(2)
g(x)?|x|
，因此
f( x)与g(x)
的对应关系不同，是不同的函数；
(3)
f(x)与g(x)
的对应关系不同，因此是不相同的函数；
(4)
f(x)与g(x)
的定义域相同，对应关系相同，是同一函数.
【总结升华】函数 概念含有三个要素，即定义域，值域和对应法则
f
，其中核心是对应法则
f
， 它是
函数关系的本质特征.只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数 ，换
言之就是：
(1)定义域不同，两个函数也就不同；
(2)对应法则不同，两个函数也是不同的.
(3)即使定义域和值域都分别相同的两个函数 ，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不
能唯一地确定函数的对应法则.
举一反三：
【变式1】判断下列命题的真假
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x
2
?1
(1)y=x-1与
y?
是同一函数；
x?1
(2)
y?x
2
与y=|x|是同一函数；
32
(3)
y?(
3
x)与y?(x)
是同一函数； 2
?
?
x?x(x?0)
2
(4)
f(x)?
?
与g(x)=x-|x|是同一函数.
2
?
?
x?x(x?0)
【解析】从函数的定义及三要素入手判断是否是同一函数，有(1)、(3)是假命题，(2)、(4) 是真命题.
类型二、函数定义域的求法
例3.求下列函数的定义域(用区间表示). (1)
f(x)?
1
x-1
f(x)?3x-8
f(x)?2- x?
； (2)； (3).
2
x-3
x?6
【思路点拨】由定义域概念可知定义域是使函数有意义的自变量的取值范围. (1)是分式，只要分母不
为0即可；(2)是二次根式，需根式有意义；(3)只要使得根式和分式都有意义即可．
【答案】（1）
(??,?3)
【解析】
(1)
?
8?
(?3,3)(3,??)
；（2）
?
,??
?
；（ 3）
?
?6,2
?
．
3
??
f(x)?
x?1
x
2
?3
的定义域为x-3
2
≠0，
?x? ?3，?定义域为：(??,?3)(?3,3)(3,??)
；
(2)
f(x)? 3x-8，由3x-8?0得，x?
8
?
8
?
,?定义域为
?
,??
?
；
3
?
3
?
(3)
f(x)?2?x?
?
2?x?0
?
x?2
1
，由
?
得
?
?定义域为
?
?6,2
?
.
x?6
?
x?6?0
?
x?-6
【总结升华】使解析式有意 义的常见形式有①分式分母不为零；②偶次根式中，被开方数非负.当函数
解析式是由多个式子构成时， 要使这多个式子对同一个自变量x有意义，必须取使得各式有意义的各个不
等式的解集的交集，因此，要 列不等式组求解.
举一反三：
【变式1】求下列函数的定义域（用区间表示）：
(1)
f(x)?
3
；
|x?1|?2
(2)
f (x)?
1
?x?3
；（3）
f(x)?1?x?x
.
x ?1
【答案】（1）(-∞，-1)∪(-1，3)∪(3，+∞)；（2）
?
?3, 1
?
?(1,??)
；（3）
?
0,1
?
．
【解析】
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(1)当|x-1|-2=0，即x=-1或x=3时，
3
无意义，当|x-1|-2 ≠0，即x≠-1且x≠3时，分式
|x?1|?2
有意义，所以函数的定义域是(-∞，-1 )∪(-1，3)∪(3，+∞)；
(2)要使函数有意义，须使
?
?
x? 1?0
，即x??3且x?1
，所以函数的定义域是
?
?3,1
?< br>?(1,??)
；
x?3?0
?
?
1?x?0,
， 所以函数的定义域为
?
0,1
?
.
?
x?0.
( 3)要使函数有意义，须使
?
【总结升华】小结几类函数的定义域：
(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；
(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；
(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合； < br>(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合 ；
(即求各集合的交集)
(5)满足实际问题有意义.
例4.（2016春 陕西 期中）（1）已知函数y=f（x）的定义域为[―1，2]，求函数y=f（1―x
2
）的定 义
域．
（2）已知函数y=f（2x―3）的定义域为（―2，1]，求函数y=f（x）的定义域．
【思路点拨】（1）要求函数的定义域，就是求函数式中x的取值范围；（2）根据复合函数定义域之间
的关系进行求解即可．
【答案】（1）
[?2,2]
；（2）（―7，―1]
【解析】（1）因为函数y=f（x）的定义域是[―1，2]，
所以函数f（1―x
2
）中―1≤1－x
2
≤2，
∴－1≤x
2
≤2，
即
x?[?2,2]
，
∴f（1－x
2
）的定义域为
[?2,2]
．
（2）∵函数y=f（2x―3）的定义域为（―2，1]，
∴－2＜x≤1，－4＜2x≤2，－7＜2x－3≤―1，
即函数y=f（x）的定义域为（―7，―1]．
【总结升华】求抽象函数的定义域，一要理 解定义域的含义是
x
的取值范围；二要运用整体思想，也
就是在同一对应关系
f
下括号内的范围是一样的.
举一反三：
1
【变式1】已知
f( x?1)
的定义域为
?
?2,3
?
，求
f(?2)
的定义域.
x
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1
??
1
??
【答案】
?
??,??
?
,??
?

3
??
2
??
【解析】
f(x?1)
的定义域为
?
?2,3
?
，
?
?2?x?3
，
?
?1?x?1?4
，
?
?1 ?
1
1
?2?4
，解得：
x?
或
2
x1
??
1
11
??
x??
，所以
f(?2)< br>的定义域为
?
??,?
?
?
,??
?
. < br>3
??
2
3x
??
ax?1
例5.已知函数
y?
的定义域为
R
，求实数
a
的取值范围.
3
2
ax?4ax?3
【思路点拨】确定
a
的取值范围，使之对任意
x? R
，都有
ax
2
?4ax?3?0
，即方程
ax
2
?4ax?3?0
无
实根.
?
3
?
【答案】
?
0,
?

?
4
?
【解析】
当
a?0
时，
ax2
?4ax?3?0
对任意
x?R
恒成立.
当
a?0
时，要使
ax
2
?4ax?3?0
恒成立，即方程
ax2
?4ax?3?0
无实根.只需判别式
??(4a)
2
?12 a?4a(4a?3)?0
，于是
0?a?
3
.
4
?3
?
综上，
a
的取值范围是
?
0,
?
.
?
4
?
【总结升华】（1）函数有意义，分母
ax
2< br>?4ax?3?0
恒成立，转化为
a?0
时，二次方程
ax
2
?4ax?3?0
无实根是关键一步.（2）由于判别式是对二次方程的实系数而言，所以这里 应分
a?0
、
a?0
两种情况讨
论.（3）本题是求定义域的逆向问 题，即已知函数的定义域求解析式中所含字母的取值范围.
类型三、求函数的值及值域
2
例6. 已知f(x)=2x-3x-25，g(x)=2x-5，求：
(1)f(2)，g(2)； (2)f(g(2))，g(f(2))； (3)f(g(x))，g(f(x))
【思路点拨】根据函数符号的意义，可以知道f(g(2)) 表示的是函数f(x)在x=g(2)处的函数值，其它
同理可得．
22
【答案】（ 1）-23，-1；（2）-20，-51；（3）8x-46x+40，4x-6x-55．
【解析】
2
(1)f(2)=2×2-3×2-25=-23；g(2)=2×2-5=-1；
2
(2)f(g(2))=f(-1)=2×(-1)-3×(-1)-25=-20；g(f(2) )=g(-23)=2×(-23)-5=-51；
22
(3)f(g(x))=f(2x- 5)=2×(2x-5)-3×(2x-5)-25=8x-46x+40；
222
g(f( x))=g(2x-3x-25)=2×(2x-3x-25)-5=4x-6x-55.
【总结升华 】求函数值时，遇到本例题中(2)(3)(这种类型的函数称为复合函数，一般有里层函数与外
层函数 之分，如f(g(x))，里层函数就是g(x)，外层函数就是f(x)，其对应关系可以理解为
gf
x???g(x)???f(g(x))
，类似的g(f(x))为，类似的函数，需要先求< br>出最里层的函数值，再求出倒数第二层，直到最后求出最终结果.
例7. 求值域(用区间表示 )：(1)y=x-2x+4，①
x?
?
?4,?
?
1
；②
x?
?
?2,
?
3
；
2
(2)f(x)? x
2
-2x?3; (3)f(x)?
?
x-2
.
x?3
【答案】（1）[3，12]；（2）
?
2,??
；（3）(-∞，1)∪( 1，+∞).
?
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【解析】(1)法一：配方法求值域．
y?x
2
?2x?4?( x?1)
2
?3
，①当
x?
?
?4,?1
?
时，
y
max
?28,y
min
?7
，∴值域为[7，2 8]；②当
x?
?
?2,3
?
时，
y
max
?12,y
min
?3
，∴值域为[3，12]．
法二：图象法求值域
二次函数图象（如下图）的开口向上，对称轴为
x?1
，所以函数在区间
?< br>??,1
?
上单调递减，在区间
?
1,??
?
上单调 递增．所以①当
x?
?
?4,?1
?
时，值域为[7，28]；②当
x?
?
?2,3
?
时，值域为[3，12]．


(2)
y?
(3)
y?
x
2
-2x?3?(x-1 )
2
?2?2,?值域为
?
?
2,??
；
?x-2x?3-55
??1-,
x?3x?3x?3
5
?0,?y?1< br>，∴函数的值域为(-∞，1)∪(1，+∞).
x?3
【总结升华】（1）求函数的 值域问题关键是将解析式作变形，通过观察或利用熟知的基本函数的值域，
逐步推出函数的值域． （2）求函数的值域没有固定的方法和模式，要靠自己经验的积累，掌握规律．求函数的值域不但要重
视对应关系（解析式）的作用，而且要注意定义域对值域的制约作用．别忘了，函数的图象在求函数的值
域中也起着十分重要的作用．
举一反三：
【变式1】 求下列函数的值域：
1 ?x
2
2x?1
（1）
y?x?1
；（2）
y?
； （3）
y?
；（4）
y?5?4x?x
2
．
2
1 ?x
x?3
【答案】（1）
?
1,??
?
；（2）
?
y|y?2
?
；（3）
?
?1,1
?
；（4）< br>?
0,3
?
．
【解析】（1）
（2）
y?
x?0,?x?1?1
，即所求函数的值域为
?
1,??
?
； 2x?12x?6?72(x?3)?77
???2?
，
x?3x?3x?3x? 3
7
?0
，
?y?2
，即函数的值域为
x?3
?< br>y|y?2
?
；
1?x
2
2
（3）
y?

??1?
22
1?x
1?x
函数的定义域为
R

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，
??1??1?
（4）
2
?1
，
?y?
?
?1,1
?
，即 函数的值域为
?
?1,1
?
．
1?x
2
y?5? 4x?x
2
??(x?2)
2
?9

0??(x?2)
2
?9?9

?
所求函数的值域为
?
0,3
?
．
类型四、映射与函数
【课程：函数的概念与定义域 356673 例1】
例8. 判断下列对应哪些是从集合A到集合B的映射，哪些是从集合A到集合B的函数？
（1）A={直角坐 标平面上的点}，B={（x，y）|
x?R,y?R
}，对应法则是：A中的点与B中的（x ，
y）对应．
（2）A={平面内的三角形}，B={平面内的圆}，对应法则是：作三角形的外接圆；
（3）A=N，B={0，1}，对应法则是：除以2的余数；
（4）A={0，1，2}， B={4，1，0}，对应法则是f：
x?y?x
2

1
1
x?y?
（5）A={0，1，2}，B={0，1， }，对应法则是f：
x
2
【思路点拨】根据映射定义分析是否满足“A中任意”和“B中唯一”．
【解析】
(1)是映射，不是函数，因为集合A、B不是数集，是点集；
(2) 是映射，集合A中的任意一个元素(三角形)，在集合B中都有唯一的元素(该三角形的外接圆)与之
对 应，这是因为不共线的三点可以确定一个圆；不是函数．
?
0,(x?2n)
(3) 是映射，也是函数，函数解析式为
f(x)?
?
．
1,(x?2n?1)
?
（4）是映射，也是函数．
（5）对于集合A中的 元素“0”，由对应法则“取倒数”后，在集合B中没有元素与它对应，所以不是
映射，也不是函数．
【总结升华】判断一个对应是不是映射和函数，要根据映射和函数的定义去判断，函数一定是映射，反过来，映射不一定是函数，从数集到数集的映射才是函数．
举一反三：
【变式1】（2015秋 云南昭通月考）判断下列对应是否是实数集R上的函数：
（1）f：把x对应到3x+1；
（2）g：把x对应到|x|+1；
（3）h：把x对应到
1
；
2x?5
（4）r：把x对应到
3x?6
．
【解析】（1）是．它 的对应关系f是：把x乘3再加1，对于任一x∈R，3x+1都有唯一确定的y值与
之对应．如x=― 1，则3x+1=―2与之对应；
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（2）是．它的对应关系f是：把x取绝对值再加1，对 于任一x∈R，|x|+1都有唯一确定的y值与之对
应．如x=－1，则|x|+1=2与之对应；
（3）不是．当
x?
5
时，根据对应关系，没有值与之对应；
2
（4）不是．当x＜－2时，根据对应关系，找不到实数与之对应．
类型五、函数解析式的求法
例9.求函数的解析式
(1)已知
f(x)< br>是二次函数，且
f(0)?2,f(x?1)?f(x)?x?1
，求
f(x)
；
(2)若f(2x-1)=x，求f(x)；
（3）已知
3f(x)?2f(?x)?x?3
，求
f(x)
. < br>【答案】（1）
f(x)?
1
2
3
x?x?2
；（2 ）
22
2
f(x)?(
x?1
2
3
（3）
f(x)?x?
．
)
；
5
2
【解析】求函数的表达式可由两种途径.
(1) 设
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
，由
f(0)?2,得
c?2

由
f(x?1)?f(x)?x?1
，得恒等式2a x+a+b=x-1,得
a?,b??
f(x)?
1
2
3
x ?x?2
.
22
2
1
2
3
，故所求函数的解析式 为
2
(2) ∵f(2x-1)=x，∴令t=2x-1，则
x?
t?1

2
?f (t)?(
t?1
2
x?1
2
),?f(x)?()

22
（3）因为
3f(x)?2f(?x)?x?3
，①
x
用
?x
代替得
3f(?x)?2f(x)??x?3
，②
3
由①②消去
f(?x)
，得
f(x)?x?
.
5
【总结升华】（1）解析式类型已知的，如本例（1），一般用待定系数法，对于二次函数问题要注意 对
一般式
y?ax
2
?bx?c
，顶点式
y?a(x?h)
2
?k
和两点式
y?a(x?x
1
)(x?x
2< br>)
的选择.
（2）已知
f[g(x)]
求
f(x)
的问题，方法一是用配凑法；方法二是用换元法，如本例（2）.
1
（3）函数方程问题，需 建立关于
f(x)
的方程组，如本例（3），若函数方程中同时出现
f(x)
、
f()
，
x
则一般
x
用
1
代之，构造另 一个方程.
x
举一反三：
【变式】求下列函数
f(x)
的解析式
1?x
2
1
f(x)
（1）已知
f(1?2x)=
，求；（2）已知
f(x)?2f()=5x?9
，求
f(x)
．
2
x
x
?x
2
?2x?3
105
(x?1)
【答案】（1）
f(x)=
；（2）
f(x)=?x?3

2
3x3
?
x?1
?
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【解析】（1）令
t?1?2x(x?0)，则
x=
2
1?t
(t?1)

2
?
1?t
?
1?
??
?t
2
?2t?3
2
? ?
∴
f(t)=?(t?1)

22
?
1?t
?
?
t?1
?
??
?
2
?
?x
2< br>?2x?3
∴
f(x)=(x?1)

2
?
x?1
?
15
1
得
f()?2f(x)=?9

xxx
1105
消去
f()
，得
f(x)=?x?3

x3x3
（2）将已知式子中的x换成
【总结升华】求函数解析式常用方法：
（1）换元法；（2）配凑法；（3）定义法；（4）待定系数法等．注意：用换元法解求对应法则问题时，< br>要关注新变元的范围．
类型六、函数的图象
例10.作出下列函数的图象.
（1）
y?1?x(x?{?2，
（2）
y?
?1，01，，2})
；
2x?1
2
；（3）
y?|x?2x|?1
．
x?1
【思路点拨】先把要画的函数图象进行变形，依据所学习过的基本函数图象，通过函数图象的平移、对称和翻折得到要求的图象。
【解析】(1)

．
x?{?2，?1 ，01，，2}
，∴图象为一条直线上5个孤立的点；如下图（1）
2x?13
， < br>?2?
x?1x?1
33
?
先作函数
y?
的图象，把 它向右平移一个单位得到函数
y?
的图象，再把它向上平移两个单
xx?1
2 x?1
位便得到函数
y?
的图象．如下图（2）．
x?1
（2）< br>y?
（3）先作
y?x?2x
的图象，保留
x
轴上方的图象， 再把
x
轴下方的图象对称翻到
x
轴上方．再把
它向上平移1个单位， 即得到
y?|x?2x|?1
的图象，如下图所示（3）．








2
2
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类型七、分段函数
2?
?
x?2x?2,x?0,
例11.设函数
f
?
x< br>?
?
?
2
若
f
?
f
?
a< br>?
?
?2
，则
a
= ．
??
?x,x?0.
【思路点拨】这是分段函数与复合函数式的变换问题，需要反复进行数值 代换．
【答案】
2

【解析】由题意，当
x?0
时，f
?
x
?
?x
2
?2x?2
，则
f< br>?
x
?
?1

又
f
?
f
?
a
?
?
?2
，∴
f
?
a
??0
（舍）或
f
?
a
?
??2

∴
f
?
a
?
??a
2
??2
，∴
a??2
（舍负）
∴
a?2

【总结升华】分段函数问 题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，
然后分别解决，即分段函数问 题，分段解决．
例12．如图所示，等腰梯形
ABCD
的两底分别为
作直线
MN?AD
交
AD
于
M
，交折线
ABCD
AD?2a,BC?a,?BAD?45
0
，
于
N
.设
AM ?x,
试将梯形
ABCD
位于直线
MN
左侧的面积
y
表示为
x
的
函数.
【思路点拨】此题是应用型问题，要求函数的表达式< br>y?f(x)
，这样
就需准确揭示
x,y
之间的变化关系.依题意，可 知随着直线
MN
的移动，点
N
分别落在梯形
ABCD
的边< br>AB
、
BC
及
CD
边上，有三种情况，所以需要分类解答.
a
?
1
2
x(0?x?)
?
22
?
a
2
a3
?
1
【答案】
y?
?
ax?( ?x?a)

2822
?
5
2
3
?
12
?x?2ax?a(a?x?2a)
?
242
?
【解析】 < br>作
BH?AD
，
H
为垂足，
CG?AD
，
G
为垂足，依题意，则有
AH?,AG?a,?A??D?45
0

（1）当
M
位于点
H
的左侧时，
N?AB
，
由于
AM?x,?A?45
0
,?MN?x

?y?S?AMN
?
1
2
a
x(0?x?)

22a
2
3
2
（2）当
M
AM?x,AH?
位于点
H
、
G
之间时，由于
aa
,BN?x?,

22
?y?S
直角梯形AMNB
1a
?
a
?
1a
2
a3
??
?
x?(x?)
?
?ax?(?x?a )

22
?
2
?
2822
（3）当
M位于点
G
的右侧时，
由于
AM?x,DM?MN?2a?x,

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?y?S
梯形ABCD
?S
?MDN
?
1a1
?(2a?a)?(2 a?x)
2

222
3a
2
1
=
?(4a
2
?4ax?x
2
)

42
=
?x
2
?2ax?a
2
(a?x?2a)

a< br>?
1
2
x(0?x?)
?
22
?
a
2
a3
?
1
综上有
y?
?
ax?(?x?a)
2822
?
5
2
3
?
1
2
?
?
2
x?2ax?
4
a(
2
a?x?2a)?
1
2
5
4
3
2
【总结升华】（1）由实际问 题决定的分段函数，要写出它的解析式，就是根据实际问题需要分成几类，
就分成几段，求解析式时，先 分段分别求出它的解析式，在综合在一起即可.
（2）注意分段函数的解析式，最后要把各段综合在一 起写成一个函数，分段函数是一个函数，不要把
它误认为是几个函数.
D C
举一反三：
【变式1】如图，在边长为4的正方形
ABCD
的边上有一点< br>P
，沿着边线
BCDA

P
由
B
（起点） 向
A
（终点）运动.设点
P
运动的路程为
x
，
?A PB
的面积为
y
.
B
A
（1）求
y
与
x
之间的函数关系式；
（2）画出
y?f(x)
的图象.
?
2x,0?x?4,
?
【解析】（1）
y?
?
8,4?x?8,

?
? 2x?24,8?x?12.
?
（2）当
P
点在
BC
边上运 动时，即当
0?x?4
时，
y?
当
P
点在
CD边上运动时，即当
4?x?8
时，
y?
1
?4x?2x;

2
1
?4?4?8;

2
1
当
P点在
DA
边上运动时，即当
8?x?12
时，
y??4?(12 ?x)?2(12?x)??2x?24
，故为分段
2
函数.
【巩固练习】
1．函数
y?1?x?x
的定义域是( )
A．
?
x|x?1
?
B．
?
x|x?0
?
C．
x|x?1或x?0
D．
?
x|0?x?1
?

2．函数
y?x?4x?3,x?[0,3]
的值域为 （ ）
A．[0,3] B．[-1,0] C．[-1,3] D．[0,2]
3．对于集合A到集合B的映射，有下述四个结论 ( )
①B中的任何一个元素在A中必有原象； ②A中的不同元素在B中的象也不同；
2
??
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③A中任何一个元素在B中的象是唯一的； ④A中任何一个元素在B中可以有不同的象．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．设
M?
?
x|0?x?2
?
,N?
?
y|1?y?2
?
，给出下列四个图形，如下图所示，其中能表示从集合
M
到
N
的函数关系的有 ( )个．






A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．设函数
f(x)?
?
?
?x, x?0,
则
f(f(?1))
的值为
2
?
x?1, x?0,
A．
?2
B．
?1
C．
1
D．
2

6．（2016 河北衡水模拟）已知f（x
2
―1）定义域为[0，3]，则f（2x―1）的定义域为（ ）
A．
(0,)
B．
[0,]
C．
(??,)
D．
(??,]

7．向高为
H< br>的水瓶里注水，注满为止，如果注水量
V
与水深
h
的函数关系的图象如 图所示，那么水
瓶的形状是图中的（ ）
9
2
9
2
9
2
9
2

8 ．已知函数
x
2
f(x)?
1?x
2
，则
f(?1 f
1
)?
2
f(?
1
2
3
f?)
1
f(?
4
的值是（
)f?
）
(

f
1
2
?3
0
?)f
1
A．2008 B．2009 C．
2009
1
D． 2010
2
9 ．若函数
y?f(x)
的定义域是
?
0,1
?
，则函数F(x)?f(x?a)?f(2x?a)
?
0?a?1
?
的定义域是
．
10．已知
f(x)?
?
?
1,x?0
，则不等式
x?(x?2)?f(x?2)?5
的解集是 ．
?
?1,x?0
x?b
在（a，a+6）（b＜－2）上的值域为（2，+∞），则a+ b=____．
x?2
，
11．（2016 浙江台州模拟）若函数
y?< br>12．已知
a,b?N
*
f(a?b)?f(a)f(b),f(1)?2,< br>则
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f(2)f(3)f(4)f(2011)
???????
= ．
f(1)f(2)f(3)f(2010)
13．当
m
为何值时，方程
x?4|x|?5?m,
（1）无解；（2）有两个实数解；（3）有三个实数解；（4）
有 四个实数解．
14．（2015春 重庆期末）已知函数f（x）=x
2
+mx+n （m，n∈R），f（0）=f（1），且方程x=f（x）有两
个相等的实数根．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x∈[0，3]时，求函数f（x）的值域． < br>15．设
A,B
两地相距260
km
，汽车以
52kmh的速度从A地到B地，在B地停留
1.5h
后，再以
2
65kmh
的速度返回到A地．试将汽车离开A地后行走的路程
s
表示为时间
t
的函数 ．
22
16．设函数
f(x)?|x?1|?x?kx
．
（1）若
k?2
，求方程
f(x)?0
的解；
（2）若函 数
f(x)
在
?
0,2
?
上有两个不同的零点
x< br>1
,x
2
，求
k
的取值范围；并证明：
【答案与解析】
1．【答案】D．
【解析】由题意1-x≥0且x≥0，解得
0?x?1
，故选D．
2．【答案】C
【解析】
y?x?4x?3?(x?2)?1,

又
x?[0,3]
，
∴ 当x=2时，y=－1
当x=0时，y=3
∴ －1≤y≤3
即
y?[?1,3
，故选C
]

3．【答案】A．
【解析】由映射的概念知，只有③正确．
4．【答案】A．
【解析】由函数的定义知选A．
5．【答案】D
【解 析】该分段函数的二段各自的值域为
?
??,0
?
,
?
1, ??
?
，
∴
f
22
11
??4
．
x
1
x
2
?
f
?
?1
?
?
?f
?
1
?
?1?1?2
，故选D．
6．【答案】B
【解析】根据f（x
2
－1）定义域为[0，3]，得x∈[0，3]，
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∴x
2
∈[0，9]，
∴x
2
－1∈[―1，8]；
令2x―1∈[―1，8]，
得2x∈[0，9]，
即
x?[0,]
；
所以f（2x―1）的定义域为
[0,]
．
故选B．
7．【答案】B.
【解析】观察函数的图象发现，图象开始“增得快”，后来“增得慢”，A 、C、D都不具备此特性．也就
是由函数的图象可知，随高度
h
的增加，体积V也增加 ，并且随单位高度
h
的增加，选项A的体积V的
增加量变大；选项B的体积V的增加量 变小；选项C的体积V的增加量先变小后变大；选项D的体积V
的增加量不变，故选B.
8．【答案】C．
【解析】
9
2
9
2
1111< br>f(2)?f()?1,f(3)?f()?1,???
，
?原式?f(1)?2009 ??2009?2009
．
2322
?
a1?a
?
,

?
22
??
9．【答案】
?
?
?
?a?x?1?a,
?
0?x?a?1,
a1?aa1?a
?
解不等式组
?
得
?< br>a
．
?1?a,???x?
1?a
，又
?a??,
2222
?
0?2x?a?1.
?
??x?
?22
10．【 答案】
(??,]

【解析】
当
x?2?0,即x??2,f(x ?2)?1,则x?x?2?5,?2?x?
3
2
3
,

2
当
x?2?0,即x??2,f(x?2)??1,则x?x?2?5,恒成立，即x??2< br>，
∴
x?
3
.
2
x?bx?2?b?2b?2
，
??1?
x?2x?2x?2
11．【答案】―10
【解析】由
y?
∵b＜－2，∴（b+2）＞0，
则函数
y?1?
b?2
在（－∞，―2），（―2，+∞）上为减函数，
x?2
b?2
?2
，解得b=―8．
4?2
又函数在（a，a+6）上为减函数，且值域为（2，+∞），
∴a=―2，且
f(4)?1?
∴a+b=―10．
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故答案为：―10．
12．【答案】4020
【解析】 令
a?x,b?1
，则由
f(a?b)?f(a)f(b),f(1)?2,

可得
f(x?1)?f(1)f(x)?2f(x),
即
f(x?1)
?2,
分别令
x?1,2,3,???,2010
，
f(x)
则
f(2)f(3)f(4)f(2011)
???????

f(1)f(2)f(3)f(2010)
=2+2+2+…+2=2010×2=4020
2
13．【解析】设
y
1
?x?4|x|?5,y
2
?m
，则该方程解的个数问题即可转化为两个函数图象的交点个
数问题来处理．
2
设
y
1
?x?4|x|?5,

2
?< br>?
x?4x?5,x?0,
则
y
1
?
?
2< br>
?
?
x?4x?5,x?0.
画出函数的图象，如右图．
再画出函数
y
2
?m
的图象．由图象可以看出：
（1）当
m?1
时，两个函数图象没有交点，故原方程无解．
（2）当m?1
或
m?5
时，两个函数图象由两个交点，故原方程有两个解．
（3）当
m?5
时，两个函数图象有三个交点，故原方程有三个解．
（4）当
1?m?5
时，两个函数图象有四个交点，故原方程有四个解．
14．【解析】（1）∵f（x）=x
2
+mx+n，且f（0）=f（1），
∴n=1+m+n．
∴m=－1．
∴f（x）=x
2
－x+n．
∵方程x=f（x）有两个相等的实数根，
∴方程x=x
2
―x+n有两个相等的实数根．
即方程x
2
―2x+n=0有两个相等的实数根．
∴(―2)2―4n=0．
∴n=1．
∴f（x）=x
2
－x+1．
（2）由（1），知f（x）=x
2
－x+1．
此函数的图象是开口向上， 对称轴为
x?
∴当
x?
1
的抛物线．
2
1
1
时，f（x）有最小值
f()
．
2
2
11
2
13
而
f()?()??1?
，f（0）=1， f（3）=3
2
－3+1=7．
2224
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∴当x∈[0，3]时，函数f（x）的值域是
[,7]

3
4?
52t,　　　　　0?t<5
?
5?t?6.5
15．【答案】< br>s?
?
260,　　　　　　
?
260?65(t?6.5),6.5 ?t?10.5
?
16．【答案】（1）
x?
1
?1?3
或
x??
；（2）略
2
2
22
【解析】（1）
k?2
时：
f(x)?|x?1|?x?2x

2
当
x?1
时，
f(x)?2x?2x?1
，由
f(x)?2x?2x?1?0

2
得
x?
?1?3?1?3
?1?3
,x?
（舍去）， 故
x?

22
2
当
x?1
时，
f(x)?2x?1
， 由
f(x)?2x?1?0
得
x??
1

2
故当
k?2
时，方程
f(x)?0
的解是
x?
（2）不妨设
0?x
1
?x
2
?2
，
1
?1?3
或
x??

2
2
2
?
2x?kx?1(x?1)
?
22

?f(x)?|x?1|?x?kx?
?

?
?
kx?1( x?1)
1
2
?
，与
x
1
?x
2
??
矛盾，
?x
1
?
?
01
?
,x
2
?
?
1,2
?
若
x
1
，x
2
?
?
1，
2
且有
kx
1
?1?0
① ，
2x
2
?kx
2
?1?0
②
2

由①得：
k??
1
1
?
7
?
?2x2
?
?
?,?1
?

??1
， 由②得：k?
x
2
x
1
?
2
?
?
7< br>?

?k
的取值范围是
?
?,?1
?

?
2
?
联立①、②消去
k
得：
2x
2
?(?

?

单调性与最大（小）值
【学习目标】
1.理解函数的单调性定义；
2.会判断函数的单调区间、证明函数在给定区间上的单调性．
【要点梳理】
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2
1
)?x
2
?1?0

x
1
1 1
??2x
2
?4(x
2
?
?
1,2
?< br>)

x
1
x
2

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要点一、函数的单调性
1．增函数、减函数的概念
一般地，设函数f(x)的定义域为A，区间
D?A：

如果对于
D
内的任意两个自变量的值x
1
、x
2
，当x
1
2
时，都有f(x
1
)2
)，那么就说f(x)在 区间
D
上
是增函数；
如果对于
D
内的任意两个自变量的值 x
1
、x
2
，当x
1
2
时，都有f( x
1
)>f(x
2
)，那么就说f(x)在区间
D
上
是减函数.
要点诠释：
(1)属于定义域A内某个区间上；
(2)任意两个自 变量
x
1
,x
2
且
x
1
?x
2< br>；
(3)都有
f(x
1
)?f(x
2
)(或f(x
1
)?f(x
2
))
；
(4)图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的.
2．单调性与单调区间
（1）单调区间的定义
如果函数f(x)在区间
D
上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在区间
D
上具有单调性，
D称为函数
f(x)的单调区间.
函数的单调性是函数在某个区间上的性质.
要点诠释：
①单调区间与定义域的关系---- 单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集；
②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的；
③不能随意合并两个单调区间；
④有的函数不具有单调性.
(2)已知解析式，如何判断一个函数在所给区间上的单调性？
3．函数的最大（小）值 < br>一般地，设函数
y?f(x)
的定义域为
I
，如果存在实数
M
满足：
①对于任意的
x?I
，都有
f(x)?M
（或f(x)?M
）；
②存在
x
0
?I
，使得
f (x
0
)?M
，那么，我们称
M
是函数
y?f(x)
的最大值（或最小值）.
要点诠释：
①最值首先是一个函数值，即存在一个自变量
x
0
，使
f(x
0
)
等于最值；
②对于定义域 内的任意元素
x
，都有
f(x)?f(x
0
)
（或
f(x)?f(x
0
)
），“任意”两字不可省；
③使函数
f(x)
取得最值的自变量的值有时可能不止一个；
④函数
f(x)
在其定义域（某个区间）内的最大值的几何意义是图象上最高点的纵坐标；最小值的几何意义是图象上最低点的纵坐标.
4.证明函数单调性的步骤
(1)取值.设
x
1
，x
2
是
f(x)
定义域内一个区间上的任意两个量，且
x
1
?x
2
；
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(2)变形.作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；
(3)定号.判断差的正负或商与1的大小关系；
(4)得出结论.
5.函数单调性的判断方法
(1)定义法；
(2)图象法；
(3)对于 复合函数
y?f
?
?
g
?
x
?
?
?
，若
t?g
?
x
?
在区间
?
a，b?
上是单调函数，则
y?f
?
t
?
在区间
?< br>g(a)，g(b)
?
或者
?
g(b)，g(a)
?
上是单调函数；若
t?g
?
x
?
与
y?f
?
t
?
单调性相同（同时为增或同时
为减），则
y?f
?
?
g
?
x
?
?
?
为增函数；若
t?g
?
x
?
与
y?f
?
t
?
单调性相反，则
y?f
?
?
g
?
x
?
?
?
为减函数.
要点二、基本初等函数的单调性
1．正比例函数
y?kx(k?0)

当k>0时，函数
y?kx< br>在定义域R是增函数；当k<0时，函数
y?kx
在定义域R是减函数.
2．一次函数
y?kx?b(k?0)

当k>0时，函数
y?kx ?b
在定义域R是增函数；当k<0时，函数
y?kx?b
在定义域R是减函数.
k
(k?0)

x
k
当
k?0
时，函数< br>y?
的单调递减区间是
?
??,0
?
,
?
0 ,??
?
，不存在单调增区间；
x
k
当
k?0
时 ，函数
y?
的单调递增区间是
?
??,0
?
,
?< br>0,??
?
，不存在单调减区间.
x
3．反比例函数
y?< br>4．二次函数
y?ax?bx?c(a?0)

2
bb
]，函数是减函数；在区间
[?，+?)
，函数是增函数；
2a2a
bb
若a<0，在区间
(??，?]
，函数是增函数；在区间
[?，+?)
，函数是减函数．
2a2a
若a>0，在区间
(??，?

要点三、一些常见结论
(1)若
f(x)
是增函数，则
?f(x)
为减函数；若
f(x)
是减函数，则
?f(x)
为增函数；
(2)若
f(x)
和
g(x)
均为增（或减）函数，则在
f(x)
和
g(x)
的公共定义域上
f(x)?g(x)
为增（或减)
函数；
(3)若
f(x)?0
且
f(x)
为增函数，则函数f(x)
为增函数，
1
为减函数； 若
f(x)?0
且
f(x)
为
f(x)
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减函数，则函数
f(x)
为减函数，
1
为增函数.
f(x)
【典型例题】
类型一、函数的单调性的证明
【函数的单调性 356705 例1】
例1．已知：函数
f(x)?x?
（1）讨论
f(x)
的单调性.
（2）试作出
f(x)
的图像.
【思路点拨】本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径.
【解析】
（1）设x
1
，x
2
是定义域上的任意实数，且 x
1
2
，则
1

x
f(x
1
)?f(x
2
)?x
1
?
11
?(x
2
?)

x
1
x
2
?(x
1
-x< br>2
)+(
11
-)

x
1
x
2
x
2
?x
1

x
1
x
2
?(x
1
?x
2
)?
? (x
1
?x
2
)(1?
1
)
x
1
x
2
xx?1
?(x
1
?x
2
)(
12< br>)
x
1
x
2

①当
x
1
? x
2
??1
时，x
1
-x
2
<0，1 1
x
2

?
x
1
x
2
?1xx? ?
?0
，故
(x
1
?x
2
)?(
12)?0
，即f(x
1
)-f(x
2
)<0
x
1
x
2
x
1
x
2
∴x
1
2
时有f(x
1
)2
)
1
?f(x)?x?在区间
?
-?,-1
?
上是增函数.
x
②当-11
2
<0 ∴x
1
-x
2
<0，01
x
2
<1
∵01
x
2
<1
?
x
1
x
2
?1
?0

x
1
x
2
故
(x
1
?x
2
)?(
x
1
x
2
??
)?0
，即f(x
1
)-f (x
2
)>0
x
1
x
2
∴x
1
2
时有f(x
1
)>f(x
2
)
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