高一数学春季班辅导讲义

1
初中高中数学教师
备课组
日期 上课时间
学生情况：
--------
--------
--------
班级 学生
主课题：对数的概念及运算
教学目标：1.
了 解对数式的由来和含义，清楚对数式中各字母的取值范围及与指数式之间
的关系．能认识到指数与对数运 算之间的互逆关系．

2.
会利用指数式的运算推导对数运 算性质和法则，能用符号语言和文字语言
描述对数运算法则，并能利用运算性质完成简单的对数运算．

3.
能根据概念进行指数与对数之间的互化

教学重点：1.通过指数引入对数的概念，使学生理解和掌握对数的概念

2.通过指数的运算性质导出对数的运算性质，使学生掌握对数的积、
商、幂的运算性质

3. 让学生经历对数换底公式的推导过程，掌握用换底公式进行化简
和验证的方法


教学难点：利用对数运算的基本性质和换底公式进行计算和化简

考点及考试要求：1.掌握对数的积、商、幂的运算性质

2. 掌握对数的换底公式及其推论，并能结合其运算性质进行
计算、化简








教学内容

1
【知识精要】
对数
一般地，如果
a(a?0 ,a?1)
的b次幂等于N，即
a?N
，则数b叫做以
a
为底N的对 数
记作：
log
a
N?b

【注】（1）负数和零没有对数
b
（2）指对数互化：
a?N? log
a
N?b;a
log
a
N
b
?N

（3）常用对数（以10为底）：
log
10
N?lgN
；自然对数（以无理数e为底）：
log
e
N?lnN

（4）对数的运算性质：
①
log
a
(MN)?loga
M?log
a
N

②
log
a
(
M
)?log
a
M?log
a
N

N
n
③
log
a
M?nlog
a
M

（5） 换底公式：
log
b
N?
log
a
N
（其中
a?0,a?1,b?0,b?1,N?0
）
log
a
b
推论：①
log
a
b?
1
m
m
②
log
a
n
b?log
a
b

log
b
a
n
【热身练习】

1. 利用对数的定义或性质求值：
（1）
log
1
11
=____1___ （2）
log
11
1
=___0____ （3）
log
2
32
=__5____（4）
log
1
=___2___
3
3
3
9
2. 如果
log
2?
1?4x
?0
，则x=__-2___
3
9
3. 若
log
5
[log
3
(lo g
2
x)]?0
，则x的值等于____8____
4. 下列各式正确的是 （ D ）
A
lg4?lg7?lg(4?7)
B
4lg3?lg(3?4)
C
lg3?lg7?lg(3?7)
D
e
5. 若
log
3
a
3
log
a
b
lnN
?N

?5
，则b等于（ C ）
53
A
a
B
a
C
3
D
5

5

1
6. 求下列各式的值：
（1）
(lg5)?lg2?lg50
（2）
3
2
2
lg27?lg8?3lg10

lg1.2
3
2
3
2
（1）1 (2)原式=
lg(3?2?10)lg(3?4?10)3
??

66
2
lglg
55
3


7. 已知< br>3?2
，用
a
表示
log
3
8?log
3< br>6

a
a?log
3
2,log
3
8?lo g
3
6?3log
3
2?(log
3
2?1)?2a?1< br>




8. 已知
log
x
5 ?a,log
x
3?b
，求
x

1125




9. 已知
lga,lgb
是方程
2x?4 x?1?0
的两根，求
(lg)
的值
2
3a?2b
的值
a
b
2
lga?lgb?2,lga?lgb?
a
b
22
1

2
所以
(lg)?(lga?lgb)?4lgalgb?4?2?2





10. 设
2lg(x?4y)?lg2x?lg y
，求
log
4
x
的值
y
3

2

1
【精解名题】
知识点一：对数式与指数式互化

例1 已知
log
1
x?log
36
9
6
，求实数x的值
x?
3

3




例2 求下列各式中的x的值
（1）
log
3
x??
（1）
x? 3
=
?
3
4
3
2
（2）
log
2
[log
3
(log
4
x)]?0
（3）
log
(2x
2
?1)
(3x?2x?1)?1

4
1
（2）x=64 （3）
x??2
（x=0舍去）
4
27






知识点二：利用对数的运算性质进行对数式的求值

例3 计算下列各式的值： < br>（1）
log
2
(log
4
8?log
4
5
9
2
?log
4
18)
（2）
lg25?l g8?lg2
log
2
5
?lg20?lg
2
2

2
3
95
?18)]?log
2
[log
4
32]?log
2
()??1

2
55
2
2（1）原式=
log
2
[log
4
(8?
5
（ 2）原式=
lg5?lg(2)?lg5?lg(2?10)?lg2

=
lg(25?4)?lg5?(lg2?1)?lg2
=
2?lg2?(lg5?l g2)?lg5?3







2
2
2
3
3

1
知识点三：对数运算性质的应用（换底公式及其推论）
例4 计算：（1）
(log
4
3?log
8
3)?(log
3
2?log
9< br>2)

2
（2）
[(1?log
6
3)?log
6
2?log
6
18]?log
4
6

（1）展开，再利用换底公式得
2
5

4
1

2
log
6
2
（2）原式=
[(log
6
6?log
6
3)?log
6
2?log
6
(6?3)] ?
=
[(log
6
2)?log
6
2 ?(1?log
6
3)]?
=1

2
log
6
2
1
?(log
6
2?1?log
6< br>3)?

2log
6
22log
6
2
3mn
3
n
例5 （1）已知
a?0
且
a?1
，
(2a)?a
，
(3a)?2a
，求证：
()?

22
m
n
（2）已知
log
18
3?a, log
18
5?b
，用
a,b
表示
log
3690

mlg2
①
1?m
nlg3?lg2
nn

(3a)?2a?lg(3 a)?lg2a?nlg3?nlga?lg2?lga?lga?
②
1?n
（1）
(2a)?a?lg(2a)?lga?mlg2?mlga?lga?lga?
mm
由①②得
(1?m)nlg3?[(1?m)?(1?n)m]lg2

所以
3
(1?m)n
?2
1?mn
?3?3
n?mn
?2?2< br>?mn
3
mn
3
n
?()?

22
（2）
a?log
18
3?
lg3lg3lg51?lg2
??①，
b?log
18
5?
②
lg18lg2?2lg3lg2 ?2lg3lg2?2lg3
由①②得
lg2?


【备选例题】
1?2aalg901?2lg33a?b
,lg3?,?log
36
90? ??

a?ba?blg362(lg2?lg3)2(1?a)
lgx?lgylg x?lgy[lg(x?y)]
2
???0
，求x、y及
log
2< br>(xy)
的值 例6 若
lgxlgylgx?lgy
x?
5?15? 1
,y?,log
2
(xy)?0

22

1
例7 已知
x,y,z?0
，且
lgx?lgy?lgz?0
，求< br>x
先取常用对数，且xyz=1，带入可得



11
?
lgylgz
?y
11
?
lgzlgx
?z
1 1
?
lgxlgy
的值
1

1000
【巩固练习】
1. 对于
a?0,a?1
，在下列说法中，正确的是（ B ）
① 若M=N，则
log
a
M?log
a
N
② 若
log
a
M?log
a
N
，则M=N
2222
② 若
log
a
M?log
a
N
，则M=N ④ 若M=N，则
log
a
M?log
a
N

A ①③ B ② C ①② D ②③④
2.（选做） 已知
x?t
x
1
y
1
x
1
t?1
，
y?t
y
t< br>t?1
（
t?0,t?1
），则x、y之间的关系是（ C ）
xyyx
A
y?x
B
y?x
C
y?x
D
y?x


3. 已知
12?3,12?2
，求
8
解：利用对数性质可得 原式=

4. 已知
x?a
1
1?log
a
y
xy
1?2x
1?x?y
的值
4

3
，其中
a?0, a?1
，求证：
z?a
1
1?log
a
x
,y?a
1
1?log
a
z

证：两边取对数，再进行代换可证



5. 求值（1）
(log
2
3?log
8
9)(log
3
4?log
9
8?log
32)

（2）
log
5
2?log
7
9
?log
2
(3?5?3?5)

1
log5
?log
7
3
4
3
15

2
31
（2）利用对数性质及换底公式可得， 原式=
????1

22
解：（1）利用对数性质及换底公式可得， 原式=

1
6. 已知
log
189?m,18
解：原式=
?n
?
1
，试用m、n表示
l og
36
45

5
log
18
45log
18
5?log
18
9log
18
5?1?log
182
??

log
18
361?log
18
21 ?log
18
2
m?1?log
18
2,n?log
18< br>5
代入，得
log
36
45
=


m?n

2?m
7. 设
a,b,c?R
，且
3?4?6
，试写出a,b,c的关系式
解 ：令
3?4?6
=x，则
abc
?
abc
111
? log
x
3,?log
x
4,?log
x
6

abc
因为
log
x
(9?4)?log
x
(6?6)

所以


212
??

abc
【自我测试】
一、填空题
1. 计算：
log
5
125
=____3____
2. 计算：
lg25?lg2lg50?(lg2)
=_____2____
3. 计算：
2
2log
4
7
2
=___7______
2
4. 计算：
lg4?lg9?2lg6?lg36?1
=____2____
5. 计算 ：
log
3
4?log
4
5?log
5
6...l og
80
81
=___4_____
6. 已知
log
8
9?a,log
5
2?b
，用a,b表示
lg6
=___< br>2b?3ab
___
2b?2
x
的值为___8___
y
7. 设
x?3,y?0,2log
3
(x?3y)?log3
(3x?y)?log
3
y
，则
8. 计算：
log
2?1
(3?22)
=___-2____
?4log
4
log
2
3
?1
=____
1?lo g
4
3
______ 9. 化简
log
4
3

log
4
3

1
二、选择
10. 已知< br>log
7
[log
3
(log
2
x)]?0
，那么
x
A
?
1
2
等于 （ C ）
3
2
3
1
B C D
69
4
3
2
11. 如果方程
lgx?(lg5?lg7) lgx?lg5?lg7?0
的两根是
?,?
，则
???
= （ D ）
A
lg5?lg7
B
lg35
C 35 D
22
1

35
1

?n
，则
log
a
y
=（ D ）
1?x
12. 已知
x? y?1,x?0,y?0
，且
log
a
(1?x)?m,log
a< br>A m+n B m-n C
三、解答题
13. 求
lg14?2lg
解：原式=0





2
14. 求
(log
6
3)?log
6
18?l og
6
2
的值
11
(m?n)
D
(m?n)

22
7
?lg7?lg18
的值
3
解：原式=1





15. 已 知集合
M?{x,xy,lg(xy)},N?{0,x,y}
，满足M=N，求实数x、y的 值
解：利用集合的性质，可得x=-1，y=-1





2
16. 设
log
a
c,log
b
c
是方程
x?3x?1?0
的两根，求
log
a
c
的 值
b
解：利用维达定理及换底公式，
?
5

5

1
22
17. 设x>1,y>1，且
2log
x
y?2log
y
x?3?0
，求
T?x?4y
的 最小值
解：由题意可得
log
x
y?
1
（-2舍去），所 以
y?x

2
T?x
2
?4x?(x?2)
2?4
（x>1），所以最小值为-4





22
18. 已知
log
a
(x?1)?log
a
(y?4)?log
a
8?log
a
x?log
a
y(a ?0,a?1)
，求
log
8
(xy)
的值
解：利用对数性质，再凑完全平方式，答案为






1

3
初中高中数学教师
备课组
日期 上课时间
学生情况：
--------
--------
--------
班级 学生
主课题：反函数
教学目标：1.通过实际问题导出反函数的概念

2.会求简单有理函数（如一次函数、二次函数、幂函数和指数函数的
反函数）

3．掌握原函数与其反函数图像的关系（关于直线y=x对称）
教学重点：
1.理解反函数的概念，掌握原函数的定义域、值域与其反函数定义域、
值域的关系

2. 掌握求原函数反函数的一般方法

3. 掌握原函数存在反函数的条件（x与y一一对应）

1

4. 掌握原函数与其反函数图像的关系（关于直线y=x对称）

教学难点：

1. 掌握求原函数反函数的一般方法

2. 掌握原函数存在反函数的条件（x与y一一对应）

3. 掌握原函数与其反函数图像的关系（关于直线y=x对称）












【知识精要
】


1.反函数的概念
一般地，对于函数y =f(x)，设它的定义域为D，值域为A.如果对于A中任意一个值y，在定
义域D中都有唯一确定的 x值与它对应，使y=f(x)成立，这样得到的x关于y的函数叫做
y=f(x)的反函数，记为x?f
它改写为
y?f
?1
?1
(y)
.习惯上，自变 量常用x表示，而函数用y表示，所以把
(x)
(x?A)

【注】（1）反 函数存在性问题：不是所有的函数都存在反函数：一个函数存在反函数的充要
条件是确定这个函数的对应 是从定义域到值域上的一一对应
① 单调函数必有反函数（但存在反函数的函数不一定是单调函数）， 且函数与其反
函数在各自的对应区间上的单调性一致
② 奇函数不一定存在反函数，但奇函数若存在反函数，则其反函数也是奇函数
③ 偶函数也可能有反函数，如：f(x)=0，
D?{0}

（2）求反函数的基本步骤
① 反求：通过解方程y=f(x)，得
x?f
② 交换：交换x, y的位置，即把
x?f
③ 求域：指出或求出反函数的定义域
?1
(y)
，即把x用y表示出来
(y)
改写成
y?f
?1
(x)

?1

1

2. 反函数的性质
（1）原函数的定义域是其反函数的值域，原函数的值域是其反函数的定义域
（2）函数y= f(x)的图像与它的反函数
y?f
?1
(x)
的图像关于直线y=x对称
?1
【注】① 原函数y=f(x)过点
(a,b)
，则其反函数
y ?f(x)
过点
(b,a)
，即
f(a)?b?f
?1
(b)?a

② 设函数
y?f(x)(x?D,y?A)
存在反函数，则
f[f
?1
(x)]?x (x?A),f
?1
[f(x)]?x(x?D)

③ 函数y =f(x)和函数
x?f
?1
(y)
的图像是同一图像；函数y=f(x)和 函数x=f(y)的图
像关于直线y=x对称
④ 反函数为其本身的函数称为自反函数，自反 函数f(x)具有以下性质：f(x)定义域
和值域相等；f(x)的图像关于直线y=x对称




【热身练习】
2
1. 函数
y ?x(x?0)
的反函数是____
y??x(x?0)
________
2. 函数
y?2x?3(x?0)
的反函数是____
y??
?1
2
x?3
(x?3)
______
2
3. 已知
f
?1
(x)
是函数
f(x)?x
2
?3x?4(x?0)
的反函数，则
f(42)
的值为___-4___
4. 函数
y? a?b
（
a?1,b??1
），它的反函数图像一定不经过第___四___象限
5. 已知函数
f(x)?a
x
2
x
?x
，则函数 f(4-x)的反函数图像必
(a?0,a?1)
的图像过定点（0,1）
经过定点_ __（1，4）_____
6. 已知函数
f(x)?
a?x
?1
的反函数
f(x)
的图像有对称中心（-1,3），则
a
=__2____
x?a?1
?1
7. 设函数
f(x)?1?1?x
2
( ?1?x?0)
，则函数
y?f(x)
的图像是 （ B ）

1
y
y
A
1
O
1
x-1
O
x
-1
A

y
B
y
1
1
O
x
-1
O
1
xC D
?1

8. 函数y=f(x)的反函数
y?f
根等于 （ C ）
A 4 B 3 C 2 D 1

9. 求下列函数的反函数：
(x)
的图像与y轴交于点P（0 ,2），则方程f(x)=0在[1,4]上的
2
?
x?1,0?x?1
?< br>2
（1）
y?4?2x?x,x?0
（2）
y?
?
3

?
?
x?1,?1?x?0?
?
x?1,(?1?x?0)
解：（1）
y?1?x?3(x?2)< br> （2）
y?
?

3
?
?
x?1,(?2?x??1)
2
10. 已知函数f (x)为一次函数，且
f[f
解：令
f(x)?ax?b
，则
f?1
?1?1
(x)]?25x?30
，求f(x)的解析式
(x)?
xb
?
，代入可得
aa
f
?1
[f
?1
(x)]?
1bb
x???25x?30
，则
a
2
a
2
a
1
?
1
?
1
? 25
a??
?
?
?
?
a
2
?
a?
?
5
?
?

5
or
??
bb3
?
???30
?
?
b??1
?
b??
2
?
?
?2
?
aa

11.（选） 函数y=f (x)，
y?f
?1
(x)
图像与直线y=-x+m分别交于
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
,求
x
1
?x
2

解：由已知条件A,B两点关于直线y=x对称，所以A与B的中点即为直线y=-x+m与
y=x的交点，得交点横坐标
x
0
?
x
m
，所以
x
1
?x
2
?
0
?m

22

1


12.（选）已知
f(x)? (
1
x?1
2
?x?2

)(x?1)
，g(x) 是f(x)的反函数，
h(x)?
g(x)
x?1
（1）求函数h(x)的解 析式 （2）h(x)的最小值
解：（1）
g(x)?
1?x1?x
,x ?[0,1)
，所以
h(x)??x?2,x?[0,1)

1?x1?x< br>2
?(1?x)?22
，当且仅当
x?3?22?[0,1)
等号成立
1?x
（2）
h(x)?
所以h(x)最小值为
22












【精解名题】
1. 反函数的概念问题
例1 判断下列命题是否正确，若不正确，请举一反例说明：
（1） 函数y=f(x)的定义域为M，值域 为N，则函数
y?f
数是
y?f(x)(x?M)

（2） 若函数f(x)有反函数，则f(x)一定为单调函数
（3） 奇函数一定有反函数，偶函数一定没有反函数
（4） 分段函数一定没有反函数
解：（1）对 （2）错，反例
y?
?1
(x)(x?N)
的反函< br>1
，只要自变量与因变量一一对应即可
x
（3）错，f(x)=0为奇函数，但没有反函数
?
x(x?0)
?
（4）错，如分段函数
f(x)?
?
1
，只须自变量与因变量一一对应即可
(x?0)
?
?
x

2. 求反函数问题

1
例2 求下列函数的反函数
（1）
y?
2x?1
2
（2）
y?x?6x,x?(??,0)

x?1
?
x
2< br>?1,x?0
（3）
y?
?
（4）
y?x?x
2
?1(x??1)

?
2x?1,x?0
解：（1）
f

?1
（2）
f(x)??x?9?3,x?(0,??)

?1
(x)?
3
?1(x?2)

2?x
?
x?1,x??1
?
?1
（3）
f(x)?
?
x?1

,x??1
?
?2
（4）易得
f
?1
1
11
在
(x)?(x?)
， 现求原函数的值域
y?x?x
2
?1?
2
2x
x?x?1< br>
(??,?1]
单调递减，所以原函数值域为
[?1,0)

即
f


例3 已知函数
y?
解：
n?2 ,m?
?1
11
(x)?(x?)
，
x?[?1,0)

2x
11
x?m
和
y?nx?
是互为反函数，求m,n的值
23
1

6




3. 反函数的求值问题
例4 已知函数
y?f(x)
在定义域
(??,0]上存在反函数，且
f(x?1)?x?2x
，求
f
2
解：利用图 像平移得，
f(x)?x?1(x?0)?f
?1
2
?1
1
(?)

3
(x)??x?1(x??1)


?f


?1
16
(?)??

33
例5 函数
f(x)?a
x?1
的反函数的图像经过点（4，2 ），求
f
?1
(2)
的值

1
?1
解：由题意可得
f(x)?4
，所以
f(2)?
x
1

2

4. 反函数的应用问题
1?x
的值域
2x?5
1?5x1
?1
解：反函数
f(x)?(x??)

2x?12
例6 求函数
f(x)?
所以原函数的值域为
{yy?R,y??}


?1
例7 已知f(x)?x?1(x??1)
的反函数是
f(x)
，求证：对任意正实数
a
，都有
2
1
2
f
?1
(a)??1

?1
?1
证：先求f(x)反函数
f(x)??x?1(x?0)
， 是减函数且
f(0)??1

所以对任意正实数
a
，都有
f



5. 反函数的图像问题
例8 已知函数
f(x)?
的解析式
?1
(a)??1

ax?b
的图像过点（1，2），它的反函数图 像也过此点，求函数
f(x)
?
?
a??3
?
a?b?2< br>?
解：把（1，2），（2，1）代入
?

?
b?7
?
?
2a?b?1
?
所以
f(x)?

例9 已知函数
y?
7?3x

x?5
的图像关于直线y=x对称，求实数
a
的值
2x?a
解法一：根据原函数的反函数是其本身求解，略

解法二：因为
a?10
（否则与已知条件矛盾），所以（5，0）在原函数图像上，
那么（0，5）也在其图像上，代入可得a=1


【能力提高】
1. 抽象符号
f
?1
(x)
的理解和应用

1
（1） 符号
f
?1
(x)
表示函数f (x)的反函数；
f
?1
(x?a)
不是表示函数
f(x?a)的反函数，
?1
而是表示在
f(x)
中以
x?a
代替x 所得到的函数
?1
（2） 函数y=f(x)与函数
y?f(x)
的图像关 于y=x对称；函数
y?f
?1
(x)
与函数x=f(y)
的图像关 于y=x不对称，而是相同图像；函数y=f(x)与x=f(y)的图像不同，而是关
于直线y=x对 称
例10 已知函数
f(x)?
y=x对称，求g(5)的值
2x?3< br>?1
，函数y=g(x)的图像与函数
y?f(x?1)
的图像关于直线
x?1
x?3x?4

(x?2)?f
?1
(x?1)?
x?2x?1
x?4
?1
所以
f(x?1)
的反函数
g(x)?(x?1)

x?1
9
所以
g(5)?

4
解：
f
?1
(x)?





例11 已知函数y=g(x)的图像过点（4，5），且在R上单调递增；若函数
?
g
?1
(x?2)(x?3)
存在反函数，求实数
a
的取 值范围
f(x)?
?
?
(a?1)x?1(x?3)
解：因为y= g(x)在R上单调递增，所以
g(x?2)
在
[3,??)
为增函数
所以f(x)存在反函数
?
f(x)在R上单调递增
?1
又y=g(x)图像过点(4,5)
?y?g(x)
的图像过点(5,4)，所以f(3)=
g(5)?4

?1
?1
所以
?
?
a?1?0

?1?a?2

?
(a?1)?3?1?f(3)


2. 函数与反函数图像的交点问题
函数y=f(x)的图像若与直线y=x相交，则其反函数的图像也必须 与直线y=x交于此点；
但函数y=f(x)与其反函数
y?f
?1
(x)< br>的图像的交点未必都在直线y=x上
（1） 若y=f(x)为单调递增函数，则y=f(x)与其反函数图像的交点必在直线y=x上
（2） 若y=f(x)是单调递减函数，则y=f(x)与其反函数图像的交点可能不都在y=x上

1
例12 在
P(1,1),Q(1,2),M(2,3),N(, ),G(2,2)
五个点中，函数
y?a
的图像与其反函数
11
2 4
x
y?log
a
x
的图像的公共点可能是（多选题） （ D、E ）
A P B Q C M D N E G
x
注：点
N(,)
是函数
y?a
和
y?log
a
x
的交点，但
N(,)
不在y=x上
11
24
11
24


例13 已知函数
f(x)?ax?2(a?0)
，其反函数为
f
?1
(x)

?1
（1） 若点
P(3,?1)
在反函数
f(x)
的图像上，求
a
的值
（2） 如果点
(m,n)(m?n)
是函数
f(x)?
共点，求< br>a
的取值范围
解：（1）a=-1
ax?2(a?0)
与其反函数
f
?1
(x)
图像上的公
?
m
2
?an? 2
?
?
?
m?an?2
?
?
n
2
?am?2?m
2
?n
2
??a(m?n)
（2）由题意得
?
?
n?am?2
?
m?0,n?0
?
?
因为
m?n
，所以m+n=a代入前式有：
n
2
?an?a
2
?2?0(n?0),m
2
?am?a
2
?2?0(m?0)< br>
所以原问题等价于方程
x?ax?a?2?0
有两个不相等的非负实根 22
?
??8?3a
2
?0
26
?
?a??2
所以
?
x
1
?x
2
??a?0??
3< br>?
2
?
x
1
?x
2
?a?2?0



【巩固练习】
1. 已知函数f(x)的反函数
f
A
?
?1
(x)?a
x
?1
，则方程f(x-1)=0的根为 （ D ）
3
B 0 C 2 D 3
2
2. 函数y=f(x)的反函数是y=g(x)，则函数y=f(-x)+2的反函数是 （ A ）
A
y??g(x?2)
B
y?g(x?2)
C
y??g(x?2)
D
y??g(x)?2

3. 函数
f(x)?a?k
的图像经过点（0，1），而它的反函数是
f
图像经过（3，1） ，则函数f(x)是（ A ）
x?1
(x)
，若函数
f
?1(x?1)
的

1
A 增函数 B 减函数 C 奇函数 D 偶函数

4. 已知
f(x)?
?
?
(3a?2)x ?a,x?1
?
a,x?1
x
是
(??,??)
上的增函数 ，那么a的取值范围是（ C ）
A
a?1
B
0?a?1
C
1?a?2
D
1?a?2


5. 如图，定义在R上的函数y=f(x+1)是减函数，给出四个结论
（1）f(0)=1；（2）f()?1
；（3）
f
1
2
?1
?1
1
(1)?0
；（4）
f()?0

2
其中正确的个数是（ B ）
A 1 B 2 C 3 D 4
y
1
O1
x


6. 若f(x)是减函数，且f(x)的反函数图像经过点A（3，0）和B（-1，3），解不等式
f(x?1)?1?2

解：利用反函数图像性质以及函数的单调性解含绝对值的不等式
得
x?(?1,2)





7. 设函数
f(x)?
2?x
，f(x)的图像与其反函数的图像重合
x?b
x
（1） 求f(x)的解析式
（2） 关于x的方程
a?f(x)(a?1)
是否存在负实数解？并说明理由
解：（1）
f(x)?
（2）不存在





2?x

x?1

1
8. 若函数
y?x?a
与其反函数有公共点，求实数a的取值范围
解：由已知，函数与直线y=x有公共点
所以原问题
?
?
2
?
?
y?x?a
有解
?
?
y?x
22
所以
x?x?a?0(x?0)
?a?x? x?(x?)?
1
2
11
??

44


【自我测试】
2
1. 函数
f(x)?1?x(x?0)
的反函数 是___
y??1?x(x?1)
_____
2. 函数
f(x)?x?1 (x?0)
的反函数的定义域为____
[1,??)
____
x
3. 若函数
f(x)?a?1
的反函数为单调递增函数，则a的取值范围是__a>1____
4. 要使函数
y?x?2ax?1
在[1，2]上存在反函数，则a的取值范围是< br>___
a?1ora?2
____
5. 设函数f(x)的反函数为
f
?1
2
1
?1
(x)
，且y=f(2x-1)的图像过点
(,1)
，则
f(x)
的图像必过点
2
___(1,0)_ _____
6. 已知函数y=f(2x-1)是定义在R上的奇函数，函数y=g(x)的图像与函 数y=f(x)的图像关
于直线x-y=0对称，若
x
1
?x
2?0
，则
g(x
1
)?g(x
2
)
=____ -2____
7. 定义在实数集上的函数y=f(-x)的反函数是
y?f
?1
(?x)
，则（ A ）
A y=f(x)是奇函数 B y=f(x)是偶函数
C y=f(x)既是奇函数，也是偶函数 D y=f(x)既不是奇函数，也不是偶函数

8. 函数y=f(x)有反函数，则下列关于方程f(x)=a(a为常数)的根的叙述中正确的是（ C ）
A 有且仅有一个实根 B 至少有一个实根 C 至多有一个实根 D 没有实根

ax?b
(ab?0)
的反函数
ax?b
b?bx
(x?1)
解：反函数
y?
a?ax
9. 求
y?


10. 已知函数
f(x)?ax?2(a?0)
，其反函数为
f
?1
(x)
. 若点
P(3,?1)
在反函数
f
?1
(x)
的图像上 （1）求a的值 （2）在同一坐标系中画出f(x)和
f
?1
(x)
的图像

1
解：（1）a=-1 (2)图略



11. 已知
f(x)?(
x?1
2
)(x?1)
，
x?1
?1
（1） 求f(x)的反函数及其定义域
（2） 判断
f(x)
的单调性
（3） 若不等式
(1?
值范围

解：（1）
f
?1
(x)?
（2）单调递增
（3）
a?(?1,)






11
x)f
?1
(x)?a(a?x)
对区间
x?[,]
恒成立 ，求实数
a
的取
42
1?x
(0?x?1)

1?x
3
2
初中高中数学教师
备课组
日期 上课时间
学生情况：
--------
--------
--------
班级 学生
主课题：对数函数
教学目标：1.掌握指数函数与对数函数的关系(互为反函数)

2. 会画出一般对数函数的图像

3.掌握对数函数的图像和性质（过顶点，单调性，与底数a的关系）

教学重点：1.通过实例和反函数的概念导出对数函数的概念

2. 通过对数函数和指数函数的关系探求对数函数的图像和性质

3. 掌握对数函数的图像和性质

1

4. 应用对数函数的性质解决简单问题

教学难点：1. 掌握对数函数的图像和性质

2. 运用对数函数的图像和性质解有关对数复合函数的问题

考点及考试要求：1.掌握对数函数的概念，会求函数的定义域

2. 掌握对数函数的图像和性质

3. 运用对数函数的图像和性质解有关对数复合函数的问题

4. 利用对数函数图像的变换解有关函数方程的问题










【知识精要】

1. 对数函数的概念
函数
f(x)?log
a
x(a?0,a?1)
叫 做对数函数，其中x是自变量，它的定义域为
x?(0,??)

【注】①对数函数和指数函数在底数相同条件下是互为反函数. 因此，指数函数的反函数叫
做对数函数，这里指数函数的底数和对数函数的底数限制条件应相同

②对数函数的解析式中底数是常数，真数是自变量，认清常数与自变量的位置是相当
重要的，若
f(x)?log
x
a?
2. 对数函数的图像与性质
（1）对数函数的定义域为
(0,??)
，即对数函数的图像都在y轴右方
（2）对数函数的值域为
x?(??,??)
，结合性质1得到对数函数的图像必通过第一、四 象
限
（3）对数函数f(x)必有f(1)=0, 即函数图像恒过定点（1，0）
1
，这个函数就不是对数函数了
log
a
x

1
（4）对数函数
f(x)? log
a
x
，当
0?a?1
时，在
(0,??)
上 是单调递增函数
当
a?1
时，在
(0,??)
上是单调递减函数
（5）对数函数< br>f(x)?log
a
x
，对于
a?1
，当x>1时，f(x) >0；当0 对于
0?a?1
，当x>1时，f(x)<0；当00；

（6）对数函数f(x)，对任意正实数x、y，恒有f(xy)=f(x)+f(y)
（7 ）对数函数
f(x)?log
a
x
的图像是以y轴为渐近线的曲线
【注】
① 由于同底数的指数函数和对数函数是互为反函数，学习对数函数性质时，可采用< br>类比的方法和指数函数的性质进行对照比较

②和指数函数一样在讨论对数函数的单调性、大小、图像问题是应对底数分类讨论









【热身练习】
1. 函数
y?
2
log
1
(3x?2)
的定义域 是___
x?(,1]
_____
3
2
2. 函数
f(x )?log
3
x?5(x?9)
的反函数的定义域是_____
[?3,?? )
_______
3. 若
f(log
2
x)?x?2
，则f(4)=____14_____
2
4. 函数
f(x)?log
2
(2?x?x)
的单调递 减区间是____
[,2)
_____
1
2
5. 已知
f (x)?log
a
x
，其中
0?a?1
，则
f(),f(2 ),f()
从小到大的顺序是
__
f(2)?f()?f()
_______
2
6. 函数
y?log
3
(x?6x?12)
的最小值是_____1______
1
3
1
4
1
3
1
4
7. 对于
0?a?1
，给出下列四个不等式：
①
log
a
(1?a)?log
a
(1?)
②
log
a
(1?a)?log
a
(1?)

1
a
1
a

1
③
a
1?a
?a
1?
1
a
④
a
1?a
?a
1?
1
a

其中成立的是____②__④______
8. 已知
y?log
2[ax?(a?1)x?]
的定义域是一切实数，则实数a的取值范围是（ A ）
A< br>(0,
2
1
4
3?53?53?53?53?53?5
) B
(,1)
C
(??,)?(,??)
D
(,)

222222
9. 函数
f(x)?lg(x
2< br>?lga
2
?x)
是奇函数，则实数a的值为（ C ）
A

2
10. 已知
2(log
0.5
x)?7log
0.5
x?3?0
，求函数
y?(log
2
10
B
?10
C
?10
D 实数a不存在
xx
)(log
2
)
的值域
24

解：由已知得，
1
?log
2
x?3

2
3
2
2

y?(log
2
x?1 )(log
2
x?2)?(log
2
x?)?





【精解名题】
1. 对数函数的概念

例1 求下列函数的定义域
x
（1）
y?log
x?2
(16?2)
（2）
y?
11
?[?,2]

44
1

lg(2?3x)
解：（1）
16?2?0
且
x?2?0
且
x?2?1
?x?(?2,?1)?(?1,4)

（2）
x?(?,?)?(?,??)




例2 函数
f(x)?log
2
ax?1(a?0)

（1） 若其定义域包含一切负实数，求实数a的取值范围
（2） 当
x?
x
2
3
1
3
1
3
1
时，求y=f(x)的 反函数
a

1
解：（1）不等式
ax?1?0
?x ?
1
,x?R
，所以
a?0
即可
a
?1
1?2
x
,x?R
（2）当
a?0
时，
y?log
2
(?ax?1)
，所以
f(x)?
a
1?2
x
,x?R
当
a?0
时，< br>y?log
2
(ax?1)
，所以
f(x)?
a
?1

2. 对数函数的单调性及应用
例3 求下列函数的单调递增区间
2
（1）
y?lg(2x?x)
（2）
y?log
2
x?6x?5
（3）
y?log
a
3
2
1?x

1?x
解：（1）原函数定义域为
x?(0,2)
，外函数递增，内函数在定义域上的递增区间是(0,1]

所以原函数的递增区间是
(0,1]

（2）原函数定义域为
x?(??,1)?(1,5)?(5,??)
，外函数 是减函数，内函数在定义域
上的递减区间是
(??,1)
和
[3,5)
，所以原函数的递增区间是
(??,1)
和
[3,5)

（3）原函数定义域为
x?(?1,1)
，
t?
1?x2
??1
在定义域上是增函数
1?x1?x
所以当
a?1
时，递增区间为
(?1,1)
；当0
2
例4 已知
log
a
(a?1)?log
a
(2a)??1
，求实数a的取值范围
解：由已知条件知，
a?0,a ?1
，而
a?1?2a
，所以
0?a?1

2
2
由于
y?log
a
x
是递减函数，所以
a?1?2a?


3. 对数函数的奇偶性

例5 判断下列函数的奇偶性
（1）
f(x)?2?log
2
解：（1）偶函数
12
?a?(,1)

a2
x
4
2
（2）
f(x)?xlg(?1)

2
x?4
x?2

1
（2）函数定义域为
x ?(?2,2)
，由
f(x)?f(?x)?0
对任意
x?(?2,2)都成立
?
是奇函数

例6 函数
f(x)?log
a
(x?x
2
?1)(a?0,a?1)

（1） 判断它的奇偶性 （2）求它的反函数
解（1）函数定义域为
x?R
，由
f(x)?f(?x )?0
对任意
x?R
都成立，所以是奇函数
（2）
y?log
a
(x?1?x
2
)?a
y
?x?1?x
2
?(a
y
?x)
2
?1?x
2

a
2y
?1a
2x
?1
?1

?x?
，交换x,y得
f(x)?
（
x?R
）
2a
y
2a
x




4. 对数函数的图像

例7 画出下列函数的大致图像
x
2
?1
（1）
y?lg(x?2)
（2）
y?log
2

x

y
8
6
4
1
2
-10-5
-1
O
1
510
-2
O
1
x
-4
（1）



-6
-8
（2）
?
(3a?1)x?4a,x?1
例8 已知
f(x)?
?
是
(??,??)
上的减函数，求a的取值范围
logx,x?1
?
a
解：一次函数递减：
3a?1?0
， 对数函数递减：
0?a?1
，又在x=1处也符合递减关系，
所以
(3a?1)?1?4a?log
a
1
，求得
a?[,)



5. 对数函数值域问题
11
73

1
22
例9 已知
f(x)?2?log
3
x,x?[1,9]
，求
y?[f(x)]?f(x)
的最大值，及y取得最大值
时x的值
解：因为f(x)的定义域是
[1,9]
，要是所求函数有意义的条件是：
?
1?x
2
?9
?1?x?3?0?log
3
x?1

?
?
1?x?9
222
所以
y?(2?log
3
x)?2?log
3
x?(3?log
3
x)?3
当
log
3
x?1
，即x=3时，
y
max
? 13





6. 含参数的对数函数及不等式
（1） 含参数的对数函数，对参数的讨论的主要依据是：①定义域的确定
②单调性的确定 ③函数值的大小确定 ④求解方程或不等式过程中的等价变形
⑤对数函数的一次式换为二次式，要进行降次的转化等

（2） 对数函数不等式及有关参数的讨论须掌握的基本解题思路：
① 去“冠”：利用对数函数的单调性，把对数符号“log”去掉
② 求解：通过等价变形把问题转化为对代数函数及其不等式的讨论

例10 已知函数
f(x)?log
a
(1?x),g(x)?log
a
(1?x)
， 其中（
a?0,a?1
）
（1） 判断函数
f(x)?g(x)
的单调性 （2）解不等式：f(x)-g(x)>0
解：（1）原函数的定义域为
x?(?1,1)
，
f(x)?g(x)?log
a
其中函数
u?
1?x2
?log
a
(?1)

1?x1?x
2
?1
是递增函数，根据复合函数的单调性知：
1? x
当
0?a?1
时，
f(x)?g(x)
为减函数；当
a? 1
时，是增函数
（2）不等式为
log
a
(1?x)?loga
(1?x)

当
0?a?1
时，不等式转化为1+x<1-x 且
x?(?1,1)
，求得-1当
a?1
时，1+x>1-x且
x?(?1,1)
,求得0

1
例11设函数
f(x)?log
1
[kx
2
?(k?2x)?k?2](k?R)

3
（1） 若f(x)的定义域是R，求k的取值范围
（2） 若f(x)的值域是R，求k的取值范围
（3） 若f(x)有最小值，求k的取值范围
2
（k>0，
??0
）
3
2
（2）
0?k?
（
k?0,??0
或k=0）
3
解：（1）
k?
（3）-2k?0,??0
）


例12 解关于x的不等式：
l og
a
(x?ka)?log
a
2
(x
2
?a2
)(0?a?1,k?N
*
)

?
x?ka?0?
x?ka
x?ka?0
?
?
2
?
2
?
?
解：原不等式
?
?
x?a?0
?
?
( 1?k
2
)a

222
?
(x?ka)?x?a
?
(x?ka)
2
?x
2
?a
2
?
x?2k
?
?
1?k
2
1?k
2
?k??0(k? N
*
)
因为
2k2k
所以原不等式的解为
x?(ka,??)

【巩固练习】
1. 求下列函数定义域
（1）
y?1?log
2
(4x?5)
（2）
y?
4?x
?log(x?2)

x?2
解：（1）
x?(,]
（2）
x?(?2,2)?(2,4]



2. 用定义法证明
y?log
a
(2?ax)(a?1)
是减函数
证：可用定义法证明，也可根据复合函数同增异减得到结论



3. 已知函数：
f(x)?log
a
57
44
5
(a?0,a?1,b?R)
，求函数f(x)的单调区间
x?b
解：
a?1
时，减区间是
(b,??)
，无增区间

1

0?a?1
时，增区间是
(b,??)
，无减区间


4. （1）作出函数
y?lgx?1
的大致图像；（2）若
log
a
8
2
?1
，求实数a的取值范围
3
6
4
2
-10-5
O1
510
-2
-4
-6
解：（1 ）
（2）利用对数函数的单调性得
a?(0,)?(1,??)







x
5. 已知函数
f(x)?log
a
(a?a),a?1

2
3
（1） 求函数的定义域和值域
（2） 讨论f(x)在其定义域上的单调性
（3） 证明：函数图像关于y=x对称
解：（1）定义域为
(??,1)
，值域为
(??,1)

（2）f(x)在其定义域上是减函数
xy
xy
（3）证：
y?lo g
a
(a?a)(x?1)
，则
a?a?a
，
x?log< br>a
(a?a)

?1x
所以
f(x)?log
a(a?a)(x?1)
，故f(x)的反函数是其本身，其函数图像关于y=x
对称





6. 已知函数
f(x)??x?log
2
1?x

1?x

1
（1）求
f(
11
)?f(?)
的值
20082008< br>（2）当
x?(?a,a]
，其中
a?(0,1)
，
a
为常数，f(x)是否存在最小值？若存在，求出最小
值；若不存在，请说明理由
解：（1）0
1?x
在（-1,1）上都是减函数，所以
1?x
1?x1?a

f(x)??x?log
2< br>在（-1,1）上单调递减，
f(x)
min
?f(a)
??a?lo g
2

1?x1?a
（2）
y
1
??x和
y
2
?log
2

7. 某公司为了实现1000万 元利润的目标，准备制定一个奖励销售部门的奖励方案：在销
售利润达到10万元时，按销售利润进行奖 励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单
位：万元）的增加而增加.但奖金总数不超过5万元，同 时奖金不超过利润的25%. 现有
x
三个奖励模型：
y?0.25x,y?log< br>7
x?1,y?1.002
，其中哪个模型能符合公司的要
求？
解：对于模型
y?0.25x
，当x>20时，y>5，故此模型不符合公司要求
对于模型
y?1.002
，利用计算器知，在区间
(805,806 )
内，存在
x
0
满足
1.002
x
x
0< br>?5

而函数在[10, 1000]上单调递增，因此当
x?x
0
时，y>5；故此模型不符合公司要求
对于模型
y?log
7
x?1
，在区间[10, 1000]上单调递增，当x=1000时，
y?4.55?5

所以它符合奖金总数不超过5万元的要求
公司又要求奖金不超过利润的25%，而在区间[10, 1000]上，函数
y?log
7< br>x?1
的图像
在y=0.25x的下方，即奖金不会超过利润的25%
综上所述，模型
y?log
7
x?1
符合公司要求

【自我测试】
1. 函数
y?8?4
x
的定义域是___
(??,]
_____，值域是___
[0,22)
______
3
2
1
?a?1
_____
2
1
3. 函数
y?log
a
x
在[2，4]上的最大值比最小值大1，则a=___
2or
_____
2
x
2. 若函数
y?(log
0.5
a)
是减函数，则实数a的取值范围是___
4. 已知函数
f(x)?a?k
的反函数是
f
___
4? 3
___
x
x?1
(x)
，满足f(1)=7，
f
?1
(4)?0
，则f(x)=__

1
5. 若函数< br>y?lg[x?(k?3)x?]
的定义域是R，则k的取值范围是_-6值域是R，则k的取值范围是____
k??6ork?0
_____
6. 函数
2
9
4
1
f(u?v)?f(u)f(v),f ()?3
；函数g(x)满足
2
1
g(uv)?g(u)?g(v)
，且
g(3)?
，
F(x)?f(x)?g(x)
，则函数F(x)的表达式
2
y=f(x)满足
x
可以是_____
y?9?log
9
x(x?0)
______
7. 下列命题中，是假命题的序号是____③______
① 函数
y?2a
（
a?0,a?1
）的图像经过适当的平移和翻折变换后，可以和函
数
y?loga
x
的图像重合
② 由于函数
y?2log
a
x(a ?0,a?1)
的反函数是
y?a
，可以归纳：若函数
y=f(x)与y=g (x)是互为反函数，那么
y?kf(x)(k?0)
的反函数是
y?g()

③ 函数
y?log
a
x
的图像关于直线y=x对称的图像所对应的 函数是
y?a


x
x
x
2
x
k
x
2
?1
8. 关于函数
f(x)?lg
，有下列命题，其中正确的有____①_② ④________
x
① 函数y=f(x)的图像关于y轴对称
②函数f(x)的最小值是lg2
③当x>0时，f(x)是增函数；当x<0时，f(x)是减函数
④当-11时，f(x)是增函数
⑤函数f(x)无最大值，也无最小值

9. 函数
f(x)?log
a
x?1
在(0，1 )上递减，那么f(x)在
(1,??)
上（ A ）
A 递增且无最大值 B递减且无最小值 C递增且有最大值 D递减且有最小值

10. 偶函数f(x)的图像如图，设
a?f(?log
a,b,c之间的大小关系是（ C ）
A a>b>c B b>c>a C c>a>b D c>b>a
2
3) ,b?f(?log
3
2),c?f(?2)
，那么

1
y
-
3
2
3
2
x
-2


11. 已知
1?a?2
，函数
f(x)?log
a
(x? x
2
?1)(x?1)

（1）求函数f(x)的反函数
f
?1
(x)
，
x?D

2
x
?2
?x?1
（2）设
x?D
，
g(x)?
，比较
f(x)与g(x)的大小
2
a
x
?a
?x
解：（1）
f(x)?
，因为
y?x?x
2
?1
在
(1,??)单调递增
2
?1
所以
y?x?x
2
?1
>1 ,由
1?a?2
得
f(x)?log
a
(x?x?1)
?( 0,??)

2
a
x
?a
?x
(x?0)
，
D?(0,??)
则反函数为
f(x)?
2
?1
ax
?a
?x
2
x
?2
?x
1
x
1
x
?
（2）
f(x)?g(x)?
=
(a?2)(1?
xx
)
<0
22
2a2
?1
所以
f





?1
(x)?g(x)

2
12. 已知x满足不等式< br>log
1
x?5log
1
x?6?0
，求函数
f(x )?(log
2
22
xx
)(log
2
)
的最24
值
解：min=0，max=2

1


1?2
x
?4
x
a
(a?R)
，当
x?(??,1]
时，f(x)有意义，求
a的取值范围 13. 设
f(x)?lg
3
1?2
x
?4
x
a
?0
恒成立 解： 由题 意得，对任意
x?(??,1]
，
3
?2
x
?1
? 2
x
?1
)
max
即可 即
a?
恒成立，只需a?(
4
x
4
x
?2
x
?11
x2< br>1
x
3
??[()]?()
而当
x?(??,1]
时 ，
??
4
x
22
4
所以
a??






3

4
初中高中数学教师
备课组
日期 上课时间
学生情况：
--------
--------
--------
班级 学生
主课题：指数方程和对数方程
教学目标：1.理解指数方程和对数方程的概念

2. 掌握解简单的指数方程和对数方程的方法

3.学习求指数方程和对数方程近似解的常用方法

教学重点：1.理解指数方程和对数方程的概念

2. 掌握解简单的指数方程和对数方程的方法

3.学习求指数方程和对数方程近似解的常用方法（图像法、逼近法）

1
教学难点：1.掌握解指数方程和对数方程的常用方法

2.学习求指数方程和对数方程近似解的常用方法（图像法、逼近法）

考点及考试要求：1.掌握解指数方程和对数方程的常用方法

2.学习求指数方程和对数方程近似解的常用方法（图像法、逼
近法）














【知识精要】
1. 指数方程

（1） 在指数里含有未知数的方程叫做指数方程
（2） 可解指数方程的类型有：
① 形如
a
f(x)
?b
型，转化为
f(x)?log
a
b
求解
②
形如
a
f(x)
?a
g(x)
型，转 化为
f(x)?g(x)
求解

③
形如
a
f(x )
?b
g(x)
（
a?b
）型，两边取对数，转化为
f(x )lga?g(x)lgb
求解

④
形如
a
2x
?b?a
x
?c?0
型，令
a
x
?t?0
后，转化 为
t
2
?bt?c?0
求解


2. 对数方程

（1） 在对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程
（2）
解对数方程的思路是转化为代数方程，常见的类型有：

?
f(x)?g(x )
?
①
log
a
f(x)?log
a
g(x)型，转化为
?
f(x)?0

?
g(x)?0
?

1
2
②
log
2
a
x?b?log
a
x?c?0
型，换元法求解，令log
a
x?t?R
，则
t?bt?c?0

③
log
f(x)
g(x)?c
型，用换底公式求解

注：对数方程由于对数真数必须大于0，所以解完方程后必须要验根
















【热身练习】

1. 方程
2?8
xx?1
的解为____
x??
32
y2?y
_____; 方程
9?3
的解为____
y?
_______
23
2. 方程
9
x(x?1)
?3
x?3
的解x=____3，-1____ ___
3. 若
9?3?2?0
，则x=___0_____
4. 方程
log
3
(2x?1)?1
的解是___x=2_______
2
5. 方程
lg(x?4x?26)?lg(x?3)?1
的解为___< br>x?3?5
______
xx
6. 方程已知函数
f(x)?log
4
(?3)
，则方程
f
x?xx?x
5
x
?1
(x)?5
的解是____x=1________
7. 方程
2(4?4)?10?7(2?2)
的解x=____0_____
22
8. 设
log
2
x?4log
2
x?m?1 ?0
是关于x的方程，则此方程的两根之积为____16____
9. 方程
x?4x?log
2
x?5
的实数根的个数为___2______
10. 方程
log
2
(x?4)?3
的实数根的个数为_____2_____
x
2

1
11. 若方程
9?3?a?0
有解，那么实数
a
的取值范围是（ A ）
A
(??,0)
B
(??,)
C
(??,]
D
(??,0]

12.
a,b,c< br>分别表示方程
x?log
2
x?2,x?log
3
x?2,x ?log
2
x?1
的根，则它们的大小关
系为（ B ）
A
a?b?c
B
b?a?c
C
c?a?b
D
c?b?a


13. 设关于x的方程
lg(ax)?2lg(x?1)

（1）当
a?2
时，解方程
（2）讨论当
a
取什么值时，方程有解，并求出它的解
解：（1）
x?2?3

xx
1
4
1
4
（2）
?
?
x?1?0
?
x?1
，所以
a?0
是方程有解得必要条件；
?
?
?
ax?0
?
a?0
2
由
ax?(x?1)?a?x?
1
?2?2?2?0
，所以
a?0
时 方程有解
x
a?2?a
2
?4aa?2?a
2
?4a利用求根公式得
x?
（舍去）
22

【精解名题】
1. 解简单的指数方程
例1 解方程：（1）
()
解：（1）
x??3

（2）方程化为：
()
1
2
x?7
91627
?16
（2）
()
x
?()
2x?1
?()
x?1
（3）
4
x?1
?3
2x?1

4818
331< br>?()
?4(2x?1)
?()
3(x?1)
?2x?4(2x?1) ?3(x?1)
，
x?

229
lg4?lg3

2lg3?lg4
3
2
2x
（3）两边取常用对数，
?(x?1)lg4?(2x?1)lg3?x?

例2 解方程：
9
x?1
?2?3
x?1
?1

2
x
解：设
t?3
，则原方程转化为
27t?2t?3?0?t?
1 ?82
（负值舍去）
27
x?log
3

1?82

27

1
例3 解方程：
3?4?2?9?5?6?0

解：方程两边都除以
3
，并 设
t?()
得，
3t?5t?2?0?t?1or
所以x=0或1


2. 解简单的对数方程
22
例4 解方程（1）
log
3
(x?2)?2
（2）
log
2
(x?3x?12)?4

xxx
2x
2
3
x2
2

3
（3）
log
3
[log
5
(x?1)]?0

（1）x=5或-1
（2）x=-1或4
（3）x=4
注：对数方程必须验根



xx?3
例5 解方程：（ 1）
log
2
(4?1)?x?log
2
(2?6)

（2）
log
8
x?log
4
x? log
2
x?11

xxx?3
解：（1）化为对数形式：
log
2
(4?1)?log
2
2?log
2
(2?6)< br>
?4
x
?1?2
x
?(2
x?3
?6)< br>，令
2
x
?t
，方程化为
7t
2
?6t?1 ?0
，t=1
所以x=0，经检验x=0是方程的解
（2）利用换底公式得：
log
2
xlog
2
x
??log
2
x? 11?log
2
x?6

log
2
8log
24
所以x=64，经检验x=64是方程的解

例6 已知
lg(x? y)?lg(x?2y)?lgx?lgy?lg2
，求
x
的值
y
解：
x
=2
y

3. 指、对数混合型方程问题
例7 解方程（1）
x
lgx?2
?1000
（2）
10
lg
2
x
?x
lgx
?20

1
解：（1）两边取常用对数得：
lgx(lgx?2)?3?lgx?1or?3

x?10or
1
，经检验它们都是方程的解
1000
2
（2）
Q10
lgx
?(10
lgx
)
lgx
?x
lgx
，所以原方程化为
x
lgx
?10

1
，经检验它们都是方程的解
10
两边取常用对数
?lgx??1,x?10or

4. 含参数的指、对数方程问题
例8 已知关于
2a
2x?2
?7a
x ?1
?3?0
有一个根是2，求a的值并解此方程
解：把x=2代入得
a? 3or
当
a?3
时，
3
当
a?
x?1
1< br>
2
?3or
1
?x?2orx?1?log
3
2

2
1
x?1
1
1
时，由
()?3or?x?1?l og
1
3orx?2

22
2
2

5. 函数、方程、不等式中的参数取值范围问题的讨论

设含参数
a
的方程形式是
F(x,a)?0(*)

（1） 分离参数法：从方程（*）中解出参数
a?f(x)
，把方程中对参数a的取值讨论问
题转化成函数f(x)的值域
（2） 图像法：由方程（*）
?f
1
(x, a)?f
2
(x)
，把方程问题转化为两个函数
y?f
1
( x,a)
与
y?f
2
(x)
图像的公共点的问题

例9 关于x的方程
k?9?k?3
xx?1
?6(k?5)?0
在[0, 2]上有唯一解，求实数k的取值范围
2
x
解：令
t?3(1?t?9)< br>，所以原方程化为
kt?3kt?6(k?5)?0
①
?
30
2
?t?3t?6
②
k
30
，在同一直角坐标系下作出它们的图像
k
301530115
or4??60?k?8or?k?
所以原方程有唯 一解
?
两曲线有唯一交点，
?
k4k22
2
再令
y
1
?t?3t?6
（
1?t?9
），
y
2
?

1
y
60
y=
30
k
4
15
4
o
1
3
2
9
x

例10 若方程
lg2x
?2
有解，求实数a的取值范围
lg(x?a)
1
?
?
x?0,x?a?0,x?a?1
?
x?0,x?
2< br> 解：原方程有解
?
?
?
?
2
?
2x?(x ?a)
?
2x?x?a
?
?a??x?2?x??(x?
2
2
1
11
)?
，因为
x?0,x?
，所以
a?
22
22

6. 非常规型方程的解法
非常规型方程是指不 能通过换元等手段转化成代数方程的方程，如
a
f(x)
?g(x)(a?0,a?1 )
，
log
a
f(x)?g(x)(a?0,a?1)
等方程. 解决这类问题，一般只
能求方程的近似解或转化为判断其解的个数问题，主要方法有
（1） 图像法 （2）二分法

例11 讨论下面方程实数解的个数
2
x2
（1）
2?x?2?0
（2）
x?2x?log
a
x?a?0

解（1）2 （2）当a>1时，原方程有两个实数解；当0

1
的解（精确到0.1）
x
解：利用二分法，利用计算器得
x?2.5

例12 求方程：
lgx?



【巩固练习】
1. 解下列关于x的方程

1
3
x
?1
?1
（2）
6
2x?4
?3
3x
?2
x?8
（1）< br>?x
3?1
解：（1）
x?log
3
(1?2)
（2）两边取常用对数，得x=4


2. 解下列关于x的方程
xx?1
(1)
log
4
(2?x)?log
2
(x?1)?1
（2）
log
2
(4?4)?x?log
2
(2?3)

(x?1)
2
?x??22?1
解：（1）利用换底公式得，
lo g
4
(2?x)?log
4
4
经检验，
x?22?1

xxx?1xxx?1
（2）
log
2
(4?4)?lo g
2
2(2?3)?4?4?2(2?3)

得，x=2，经检验是原方程的解


3. 求满足下列各条件的实数a的取值范围
（1）关于x的方程
5?
x
3?a
有负实数根
5?a
（2）关于方程
lg(x?a)?2(lgx?lg3)
有实数根 < br>解：（1）x<0，
?
3?a3?a
?5
x
?(0,1)?0 ??1?a?(?3,1)

5?a5?a
22
（2）方程变形为：
lg9(x?a)?lgx?9(x?a)?x(x?0)


a??(x?)?


x
4. 设
?
,
?
分别是方程
log
2
x?x?10?0
和
2?x?10?0
的根，求
?
?
?

x
解：由已知得：
log
2
x?10?x,

2?10?x

1
9
9
2
2
99
?

44
?
?
,
?
分别是对数函数
y?log
2
x
，指数函数
y?2
x
的图像与直线y=10-x的交点的横坐标
利用函数图像可得
?
?
?
?10

1
22
5. 已知
f(x)?2?log
3
x(1?x?9)
，若方程
f(x)?f(x)?a?0
有解，求实数
a< br>的取值
范围
解：令
t?log
3
x
，
?< br>2
?
1?x?9
?
1?x?9
2
?1?x?3?0? t?1

2
原方程化为：
t?6t?6?a?0?a?(t?3)?3?a? [6,13]




6. 关于x的方程
3
2x ?1
?(m?1)(3
x?1
?1)?m?0(m?R)
，讨论
x? (??,??)
方程根的个数
x
解：方程化为
m?f(x)??(3?1
)?1
，
Qx?(??,??)
时，函数
3
x?1
1
2
23
]

3
f (x)在
x?(??,?]
为增函数，
[?,??)
为减函数且f(x)值域 为
(??,1?
1
2
所以
m?1?
2323
时，方 程有2个根；m=
1?
时，方程有1个根；
33
m>
1?
23
时，方程没有实数根
3


【自我测试】
1. 方程
9
?x
?2?3
1? x
?27
的解集为___{-2}________
2.
log
5
[log
3
(log
2
x)]?0
的解是____x=8 _______
3.
lg(2x?1)?lg(x?1)
的解集是___
x?(1,??)
________
3
?
lgx,x?
?
?
2
f(x)?
4. 已知，若方程f(x)=k无实数解，则实数k的取值范围是
?
3
?
lg(3 ?x),x?
?
?2
_
k?lg
3
_____
2
2
5. 与方程
x?lgx?2005?0
的实根最接近的自然数是_____45______
6. 若关于x的方程
9?(6?a)?3?4?0
有解，则实数a的取值范围是__
[10,??)
______
xx

1
7. 不 等式
2x?log
2
x?2
的解集是___
(1,??)
_ _____
8. 已知
x
1
是方程x+lgx=4的解，
x
2
是方程
x?10?4
的解，则
x
1
?x
2的值为___4_____
9. 设
0?a?1
，关于x的方程
x?l og
a
x?x?log
a
x
有解，则它的解的取值范围是（ A ）
A
0?x?1
B
x?1
C
x?a
D
0?x?a

10. 关于x的方程
a?x
x
1
log
2
x
x
有实根，且根小于2，则实数a的取值范围是 （ D ）
A
(1,2)
B
(2,??)
C
(2,??)
D
(2,2)?(2,??)

11. 解下列方程
（1）
6?7?7
x
?x
?1
（2）
(x)
log
5
x?1
?5

解：（1）
?
（2）
x?


12. 设
f(x)?e?e
取值范围
x?x
1
,25

5
，若关于x的方程
f(2x)?af(x)?a?3?0
有实数解，求实数a的2
解：令
t?e?e(t?2)
，原方程化为
t?at?a?1?0，分离变量得
x?x
t
2
?15
a????

t?13
13. 已知关于x的方程
lg(kx)?2lg(x?1)
有且只有一个实数解，求实数k的取值范围
解：利用Nike函数（注意定义域）讨论方程解的个数，得k<0或k=4










x
?1
14. 设
f(x)?log
a
(a?1)(a?0 ,a?1)
，试求函数y=f(2x)与
y?f(x)
的图像的交点坐标
? 1x2xx
解：
f(x)?log
a
(a?1),x?R
，
?log
a
(a?1)log
a
(a?1)

1
当
a?1
时，x>0，方程转化为
a
2 x
?1?a
x
?1?a
2x
?a
x
?2?0?a< br>x
?2?x?log
a
2

当
0?a?1
时 ，x<0，同理可得
x?log
a
2
，经检验
x?log
a
2
是方程的解，此时y=0；
所以交点坐标为
(log
a
2,0)


















初中高中数学教师
备课组
日期 上课时间
学生情况：
--------
--------
--------
班级 学生
主课题： 任意角的三角比
教学目标：
1. 知道任意角和象限角的概念，会表示出所有与角错误!未找到引用源。终边 相
同的角，会表示出某象限角的全体
2. 知道弧度的意义，能进行角度制与弧度制的换算
3. 会用扇形的圆心角的弧度数和半径求出扇形的弧长和面积
4、会利用计算器求已知角的三角比

1
教学重点：
1. 知道任意角的三角比的定义，会根据角错误! 未找到引用源。的终边上的一点
的坐标求出角错误!未找到引用源。的六个三角比，会利用任意角的三角 比的定
义进行求值、化简和证明
2. 知道任意角错误!未找到引用源。的六个三角比在各个象限内的符号，能确定
某个角的三角比的符号

教学难点：
1. 熟练掌握任意角三角比定义、符号，会用任意角三角比定义和符号处理问题



考点及考试要求：
1. 掌握任意角三角比的概念，正确进行弧度和角度的换算
2、弧长和扇形面积的计算





教学内容

1
【知识精要】
一、终边相同角的认识 1、一条射线绕端点按逆时针方向旋转所形成的角为
正角
，其度量值是正的；按
顺 时针方向旋转所形成的角为
负角
，其度量值是负的。
2、当一条射线没有旋转时，我们也认为形成了一个角，这个角叫做
零角
。
3、所有与角错误!未找到引用源。有重合终边的角（包括角错误!未找到引用源。
本身）的集合表示为 错误!未找到引用源。

例1、如图所示，写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合。







答案：错误!未找到引用源。


例2、在直角坐标系中，若角错误!未找 到引用源。与错误!未找到引用源。的终
边互为反向延长线，则角错误!未找到引用源。与错误!未找到 引用源。之间的关
系一定是（ ）
A、错误!未找到引用源。 B、错误!未找到引用源。
C、错误!未找到引用源。 D、错误!未找到引用源。
答案：D


例3、如果错误!未找到引用源。是第二象限角，那么错误!未找到引用源。是第
几象限的角？
答案：（1）当错误!未找到引用源。时，第一象限角
（2）当错误!未找到引用源。时，第二象限角
（3）当错误!未找到引用源。时，第四象限角

二、弧度制
1、把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。用符号rad表示，读作
弧度
2、用“弧度”作为单位来度量角的单位制叫做
弧度制
。
3、一个角的大小 可以用角度制表示，也可以用弧度制表示，他们之间的换算关
系是：错误!未找到引用源。弧度，1°= 错误!未找到引用源。弧度，1弧度=错
误!未找到引用源。
★注：一个角的度数乘以错误! 未找到引用源。就是这个角的弧度数，一个角的
弧度数乘以错误!未找到引用源。就是这个角的度数。

例4、下列各数按大小顺序排列，其中排法正确的是（ ）

1
错误!未找到引用源。
B、错误!未找到引用源。
C、错误!未找到引用源。
D、错误!未找到引用源。
答案、C


例5、计算：错误!未找到引用源。
答案：错误!未找到引用源。


三、弧长公式与扇形面积公式
1、一般地说，如果一个半径为r的圆的圆心角错误 !未找到引用源。所对的弧长
为l，那么比值错误!未找到引用源。就是角错误!未找到引用源。的弧度 数的绝
对值，即错误!未找到引用源。，这里错误!未找到引用源。的正负由它的终边的
旋转方 向决定；零角的弧度数为零
2、当圆心角为错误!未找到引用源。弧度时，弧长错误!未找到引用源。 ，扇形的
面积错误!未找到引用源。

例6、地球赤道的半径约为6370km，求 赤道上1′的弧长（错误!未找到引用源。
去3.14，结果精确到0.01km）
答案：错误!未找到引用源。


例7、将铁片剪成一个半径为9厘米，弧长为15厘米的扇形零件，求这扇形的
面积
答案：错误!未找到引用源。


四、任意角的三角比
1、
sin
?
= cot
?
=

y


tan
?
= csc
?
=
cos
?
= sec
?
=
P(
·
x,y)
O x

2、根据终边相同角的概念有：
错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。

例8、已知角错误!未找到引用源。的终边上一点错误!未找到引用 源。，求错误!
未找到引用源。、错误!未找到引用源。和错误!未找到引用源。
答案：错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。

1




例9、已知角错误!未找到引 用源。的终边上的一点为P，错误!未找到引用源。（O
为坐标原点），且错误!未找到引用源。（错误 !未找到引用源。），求点P的坐标
答案：P（-15，-20）


例 10、已知错误!未找到引用源。，且错误!未找到引用源。是第四象限的角，求
错误!未找到引用源。 的其他三角比
答案：错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!
未找到引用源。，错误!未找到引用源。


例11、求证：错误!未找到引用源。


例12、化简：错误!未找到引用源。
答案：2


例13、确定下列三角比的符号：
（1）错误!未找到引用源。； （2）错误!未找到引用源。
（3）错误!未找到引用源。 （4）错误!未找到引用源。
答案：（1）第二象限角；（2）第三象限角；（3）第一象限角；（4）第四象限角


例14、已知错误!未找到引用源。且错误!未找到引用源。，确定角错误!未找到
引用源。所属的象限
答案：（1）当错误!未找到引用源。时，第一象限角；（2）当错误!未找到引 用源。
时，第四象限角



例15、设错误!未找到引用源。，则错误!未找到引用源。等于（ ）
A、错误!未找到引用源。； B、错误!未找到引用源。 C、错误!未找到
引用源。 D、错误!未找到引用源。
答案：B


例16、不用计算器，求下列各三角比
（1）错误!未找到引用源。； （2）错误!未找到引用源。
（3）错误!未找到引用源。 （4）错误!未找到引用源。

1
答案：（1）错误!未找到引用源。；（2 ）错误!未找到引用源。；（3）错误!未找到
引用源。；（4）1


例17、下列各式中，值的符号为正的是（ ）
A、错误!未找到引用源。； B、错误!未找到引用源。
C、错误!未找到引用源。； D、错误!未找到引用源。
答案：D


【巩固练习】
1、已 知角错误!未找到引用源。的终边经过点P错误!未找到引用源。，求错误!
未找到引用源。，错误!未 找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用
源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到 引用源。的值
答案：
错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。 ，错误!
未找到引用源。，错误!未找到引用源。，
错误!未找到引用源。

2、已知错误!未找到引用源。，求错误!未找到引用源。的值
答案：错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。
3、已知错误!未找到引用源。，错误 !未找到引用源。是第二象限的角，求错误!
未找到引用源。的值
答案：错误!未找到引用源。


4、已知一个扇形的圆心角是错误!未找 到引用源。，弧长等于错误!未找到引用
源。，求这个扇形的半径的扇形的内切圆的半径
答案：3cm，1cm


5、已知角错误!未找到引用源。的终边上有一 点(x,3)，且错误!未找到引用源。，
求错误!未找到引用源。的值
答案：错误!未找到引用源。


6、已知一个扇形AOB的面积是1错误 !未找到引用源。，周长是4cm，求它的圆
心角和弧AB的长
答案：2弧度，2cm


7、已知错误!未找到引用源。是第四象限的角，且满足错误!未找到引用源。， 求
错误!未找到引用源。的取值范围
答案：错误!未找到引用源。

1







【自我测试】
1、终边在错误!未找到引用源。轴上的角错误!未找到引用源。的集合是（ C ）
A、错误!未找到引用源。； B、错误!未找到引用源。；
C、错误!未找到引用源。； D、错误!未找到引用源。；

2、若扇形的周长是16cm，圆心角是2弧度，则扇形的面积是（ A ）
A、16错误!未找到引用源。 B、32错误!未找到引用源。 C、10错
误!未找到引用源。 D、32错误!未找到引用源。

3、若圆的一段弧长等于该圆的内接正三角形的边长，则这弧所对的圆心角的弧
度数是（ B ）
A、1 B、错误!未找到引用源。 C、错误!未找到引用源。
D、错误!未找到引用源。
4、若错误!未找到引用源。，则点（错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。）
必在（ B ）
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

5、满足错误!未找到引用源。的错误!未找到引用源。的取值范围是___错误!未找到引用源。____

6、判断值得符号：错误!未找到引用源。____错误!未找到引用源。___0

7、若错误!未找到引用源。是第三象限的角，则错误!未找到引用源。是第____
二或四____ 象限的角

8、如果错误!未找到引用源。，那么错误!未找到引用源。________错 误!未找到引
用源。________

9、将下列各角的角度数化成弧度数：（保留错误!未找到引用源。）
15°=____错误!未找到引用源。____弧度； 75°=____错误!未
找到引用源。____弧度；
225°=_____错误!未找到引用源。____弧度； —315°=_____错误!
未找到引用源。______弧度

10、将下列各角的弧度数转化成叫度数：（精确到0.1度）
错误!未找到引用源。弧度=______36______度； 错误!未找
到引用源。弧度=_______15_____度；

1
错误!未找到引用源。弧度=____—420____度； 8弧度错误!
未找到引用源。____458.4____度；

11、若错误!未 找到引用源。，且错误!未找到引用源。，则错误!未找到引用源。
_____错误!未找到引用源。_ _____

12、计算：错误!未找到引用源。________错误!未找到引用源。___________




初中高中数学教师
备课组
日期 上课时间
学生情况：
--------
班级 学生

1
--------
--------
主课题： 三角恒等式（一）
教学目标：
1. 掌握同角三角比的八个基本关系式，并会应用同角三角比的关系求值、化简
和证明
2. 掌握 错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。、错
误!未找到引用源。、错误 !未找到引用源。、错误!未找到引用源。的三角比与错
误!未找到引用源。的三角比的关系，并会应用 这些关系求值、化简和证明







教学重点：
1. 掌握两角的和与差的三角比公式，并会应用于求值、化简和证明
2. 会将错误!未找到引用源。化为一个角的一个三角比的形式，并会应用于求值
和化简



教学难点：
1. 掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会应用于求值、化简和证明
2. 掌握半角的正弦、余弦、正切公式，并会应用于求值、化简和证明


考点及考试要求：
1. 倍半角的正弦、余弦、正切公式及应用
2. 知道万能置换公式，并会应用于求值、化简和证明






教学内容

1
【知识精要】
1、同角三角比的关系：
（1）倒数关系：
错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。， 错误!未找到引
用源。
（2）商数关系：
错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。
（3）平方关系：
， 错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。
例1、已知错误!未找到引用源。，求错误!未找到引用源。的值
答案：错误!未找到引用源。








例2、已知错误!未找到引用源。，且错误!未找到引用源。，求错误!未找到引 用源。
和错误!未找到引用源。的值。
答案：错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。











2、诱导公式
（1）错误!未找到引用源。； 错误!未找到引用源。；
错误!未找到引用源。； 错误!未找到引用源。；
（2）错误!未找到引用源。； 错误!未找到引用源。；
错误!未找到引用源。； 错误!未找到引用源。；
（3）错误!未找到引用源。； 错误!未找到引用源。；
错误!未找到引用源。； 错误!未找到引用源。；

例3、利用诱导公式，求下列各三角比的值：
（1）错误!未找到引用源。；（2 ）错误!未找到引用源。；（3）错误!未找到引用源。；

1
（4）错误!未找到引用源。
答案：（1）错误!未找到引用源。；（2）错误!未找到引用 源。；（3）错误!未找到引
用源。；（4）错误!未找到引用源。





例4、已知错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，求错误!未找到引用 源。、
错误!未找到引用源。的值。
答案：错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。












【巩固练习】
1、已知错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。 是第二象限的角，求错误!
未找到引用源。的其余三角比的值。
答案：
错误!未找到 引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!
未找到引用源。，错误!未找到引用 源。






2、已知错误!未找到引用源 。，求错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。和
错误!未找到引用源。的值。
答案： 错误!未找到引用源。，当错误!未找到引用源。是第一象限角时，错误!未
找到引用源。，错误!未找 到引用源。；当错误!未找到引用源。是第三象限角时，
错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。

1

3、求下列各三角函数值
（1）错误!未找到引用源。；（2）错误!未找到引用源。；（3 ）错误!未找到引用源。；
（4）错误!未找到引用源。
答案：（1）错误!未找到引用源。 ；（2）错误!未找到引用源。；（3）错误!未找到引
用源。；（4）错误!未找到引用源。








4、根据条件，求角错误!未找到引用源。：
（1）已知错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。；
（2）已知错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。；
答案：（1）当错误!未找到引 用源。在第二象限时，错误!未找到引用源。；当错
误!未找到引用源。在第一象限时，错误!未找到引 用源。；（2）当错误!未找到引
用源。在第二象限时，错误!未找到引用源。；当错误!未找到引用源 。在第四象
限时，错误!未找到引用源。；


5、若错误!未找到引用源 。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，则m
的取值范围是（ C ）
A、错误!未找到引用源。 B、错误!未找到引用源。 C、错误!
未找到引用源。 D、
错误!未找到引用源。




6、若错误!未找到引用源。，在（1）错误!未找到引用源。；（2）错误!未 找到引用
源。；（3）错误!未找到引用源。；
（4）错误!未找到引用源。中，与错误!未找到引用源。相等的是（ C ）
A、（1）和（2） B、（3）和（4） C、（1）和（4） D、（2）和（3）



7、化简错误!未找到引用源。
答案：4

1

【自我测试】
1、满足下列关系式的
错误!未找到引用源。存在的是（ B ）
A、错误!未找到引用源。且错误!未找到引用源。 B、错
误!未找到引用源。且
错误!未找到引用源。
C、错误!未找到引用源。且错误!未找到引用源。 D、错
误!未找到引用源。且错误!未找到引用源。
2、若错误!未找到引用源。，则错误!未找到引用源。的值是（ C ）
A、1； B、错误!未找到引用源。； C、2； D、
错误!未找到引用源。
3、错误!未找到引用源。是第四象限角，错误!未找到引用源。 ，则错误!未找到引
用源。等于（ B ）
A、错误!未找到引用源。 B、错误!未找到引用源。
C、错误!未找到引用源。 D、错误!未找到引用源。
4、化简错误!未找到引用源。等于（ C ）
A、错误!未找到引用源。 B、错误!未找到引用源。 C、错误!
未找到引用源。 D、
错误!未找到引用源。
5、已知错误!未找到引用源。，且错误!未找到引用源。，则错误!未找到引用源。
的值是（ B ）
A、错误!未找到引用源。 B、错误!未找到引用源。 C、
错误!未找到引用源。 D、错误!未找到引用源。
6、错误!未找到引用源。的值是（ D ）
A、错误!未找到引用源。 B、错误!未找到引用源。
C、错误!未找到引用源。 D、错误!未找到引用源。
7、求下列各三角比的值：
（1）错误!未找到引用源。；（2 ）错误!未找到引用源。；（3）错误!未找到引用源。；
（4）错误!未找到引用源。
答案 ：（1）错误!未找到引用源。；（2）错误!未找到引用源。；（3）错误!未找到引
用源。；（4） 错误!未找到引用源。



初中高中数学教师
备课组
日期 上课时间
学生情况：
--------
班级 学生

1
--------
--------
主课题： 三角恒等式（二）
教学目标：
1. 掌握同角三角比的八个基本关系式，并会应用同角三角比的关系求值、化简
和证明
2. 掌握 错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。、错
误!未找到引用源。、错误 !未找到引用源。、错误!未找到引用源。的三角比与错
误!未找到引用源。的三角比的关系，并会应用 这些关系求值、化简和证明







教学重点：
1. 掌握两角的和与差的三角比公式，并会应用于求值、化简和证明
2. 会将错误!未找到引用源。化为一个角的一个三角比的形式，并会应用于求值
和化简



教学难点：
1. 掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会应用于求值、化简和证明
2. 掌握半角的正弦、余弦、正切公式，并会应用于求值、化简和证明


考点及考试要求：
1. 倍半角的正弦、余弦、正切公式及应用
2. 知道万能置换公式，并会应用于求值、化简和证明





教学内容

1
【知识精要】
1、两角和与差的余弦公式
（1）错误!未找到引用源。
（2）错误!未找到引用源。
例1、求下列各式的值：
（1）错误!未找到引用源。； （2）错误!未找到引用源。；
答案：（1）错误!未找到引用源。；（2）错误!未找到引用源。




2、诱导公式：
（1）错误!未找到引用源。； 错误!未找到引用源。；
错误!未找到引用源。； 错误!未找到引用源。；
（2）错误!未找到引用源。； 错误!未找到引用源。；
错误!未找到引用源。； 错误!未找到引用源。；
3、两角和与差的正弦公式：
（1）错误!未找到引用源。
（2）错误!未找到引用源。
例2、化简：错误!未找到引用源。
答案：错误!未找到引用源。



例3、已知错误!未找到引用 源。，错误!未找到引用源。，且错误!未找到引用源。、
错误!未找到引用源。均为锐角，求错误!未 找到引用源。的值
答案：错误!未找到引用源。






例4、计算错误!未找到引用源。
答案：错误!未找到引用源。







例5、求证：错误!未找到引用源。

1






例6、已知错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。 ，错误!未找到引用源。，
错误!未找到引用源。，
（1）求错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。的值；（2）求错误!未找到引
用源。
答案：（1）错误!未找到引用源。；错误!未找到引用源。；（2）错误!未找到引用源。

4、两角和 与差的正切公式：
（1）错误!未找到引用源。；错误!未找到引用源。，错误 !未找到引用源。，错误!
未找到引用源。，错误!未找到引用源。
（2）错误!未找到引用 源。；错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!
未找到引用源。，错误!未找到引用源。
例7、已知错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，求下列三角比的值：
（1）错误!未找到引用源。；（2）错误!未找到引用源。
答案：（1）错误!未找到引用源。；（2）错误!未找到引用源。






例8、已知A、B、C满足错误!未找到引用源。，错误!未找到引用 源。，求证：错
误!未找到引用源。







【巩固练习】
1、化简：错误!未找到引用源。
答案：错误!未找到引用源。




2、已知错误!未 找到引用源。，且错误!未找到引用源。为第四象限角，判断错误!
未找到引用源。所在的象限

1
答案：第三象限角








3、已知错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，且错误!未 找到引用源。，错
误!未找到引用源。，求错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。
答案：错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。






4、已知错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，求错误!未找到引用源。的
值
答案：错误!未找到引用源。




5、化简下列各式：
（1）错误!未找到引用源。； （2）错误!未找到引用源。
答案：（1）错误!未找到引用源。；（2）2


6、已知错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，求错误!未找到引用源。、错
误!未 找到引用源。、错误!未找到引用源。
答案：错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。





7、化简：错误!未找到引用源。
答案：错误!未找到引用源。

1


【自我测试】
1、已知错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。 都是锐角，
错误!未找到引用
源。，错误!未找到引用源。，求证：错误!未找到引用源。








2、化简：错误!未找到引用源。
答案：错误!未找到引用源。




3、已知错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，且错误!未找到引用源 。、
错误!未找到引用源。，试求错误!未找到引用源。
答案：错误!未找到引用源。








4、若错误! 未找到引用源。，错误!未找到引用源。，且错误!未找到引用源。，求错
误!未找到引用源。
的值
答案：错误!未找到引用源。







5、已知错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，求
错误!未找 到引用源。

1
的值
答案：5










6、已知错误!未找到引 用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!
未找到引用源。，求错误!未找到引用 源。的值
答案：错误!未找到引用源。









7、如果方程错误!未找到引用源。的两根之和等于两根之积的一半，判断△ABC
的形状
答案：等腰


初中高中数学教师
备课组
日期 上课时间
学生情况：
--------
班级 学生

1
--------
--------
主课题： 三角恒等式（三）
教学目标：
1. 掌握同角三角比的八个基本关系式，并会应用同角三角比的关系求值、化简
和证明
2. 掌握 错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。、错
误!未找到引用源。、错误 !未找到引用源。、错误!未找到引用源。的三角比与错
误!未找到引用源。的三角比的关系，并会应用 这些关系求值、化简和证明







教学重点：
1. 掌握两角的和与差的三角比公式，并会应用于求值、化简和证明
2. 会将错误!未找到引用源。化为一个角的一个三角比的形式，并会应用于求值
和化简



教学难点：
1. 掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会应用于求值、化简和证明
2. 掌握半角的正弦、余弦、正切公式，并会应用于求值、化简和证明


考点及考试要求：
1. 倍半角的正弦、余弦、正切公式及应用
2. 知道万能置换公式，并会应用于求值、化简和证明





教学内容

1
【知识精要】
1、二倍角的正弦、余弦、正切公式

错误!未找到引用源。______________
错误!未找到引用源。_______ __________=_______________=______________
错误!未找到引用源。_______________
2、半角公式
错误!未找到引用源。_________________
错误!未找到引用源。______________
错误!未找到引用源。_______ ________=______________=_____________
3、万能置换公式
用错误!未找到引用源。来表示错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。、错误!
未找到 引用源。，即万能置换公式
错误!未找到引用源。_____________，错误!未找到引用源 。_________________，
错误!未找到引用源。________________
【精解名题】
1、已知错误!未找到引用源。，且错误!未找到引用源。为第四象限的角，判 断错
误!未找到引用源。所在的象限
答案：第三象限角









2、已知错误!未找到引用源。，错 误!未找到引用源。，求错误!未找到引用源。、
错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。
答案：错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。

1

3、求错误!未找到引用源。的值
答案：错误!未找到引用源。





4、证明恒等式：错误!未找到引用源。






5、已知错误!未找到引用源。，求错误!未找到引用源。的值
答案：11.4



6、已知错误!未找到引用源。，且错误!未找到引用源。在第二象限，求错误! 未
找到引用源。和错误!未找到引用源。的值
答案：错误!未找到引用源。,2



7、已知错误!未找到引用源。，则错误!未找到引用源。_______________
答案：错误!未找到引用源。

1

8、求证：错误!未找到引用源。





9、已知错误!未找到引用源。，求证：错误!未找到引用源。





【巩固练习】
1、求下列各式的值
（1）错误!未找到引用源。；（2）错误!未找到引用源。
答案：错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。



< br>2、（1）已知：112.5°错误!未找到引用源。135°且错误!未找到引用源。，求错
误 !未找到引用源。和错误!未找到引用源。
（2）已知：错误!未找到引用源。，求错误!未找到引用源。
答案：（1）错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。；（2）错误!未找到引用源。




3、化简
错误!未找到引用源。
答案：错误!未找到引用源。

1







4、求证：错误!未找到引用源。





5、已知错误!未找到引用源。，求错误!未找到引用源。的值
答案：错误!未找到引用源。







6、求错误!未找到引用源。的值
答案：错误!未找到引用源。




7、若错误!未找到引用源。，化简错误!未找到引用源。

1
答案：错误!未找到引用源。
8、已知错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。，求（1）错误!未找到引用源。，
（2）错误!未找到引用源。的值
答案：（1）错误!未找到引用源。，（2）错误!未找到引用源。






【自我测试】
1、已知错误!未找到引用源。，求错误!未找到引用源。的值
答案：错误!未找到引用源。





2、已知错误!未找到引用源。，错误!未找到 引用源。，且错误!未找到引用源。，
错误!未找到引用源。，求错误!未找到引用源。的值
答案：错误!未找到引用源。







3、已知错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。)，求错误!未找到引用源。
与错误!未找到引用源。的值
答案：错误!未找到引用源。，2

1
4、已知错误!未找到引用源。，且错误!未找到引用源。，求错误!未找到引用源。
的值
答案：错误!未找到引用源。







5、已知错误!未找到引用源。，求
错误!未找到引用源。的值
答案：错误!未找到引用源。




初中高中数学教师
备课组
日期 上课时间
学生情况：
--------
--------
班级 学生

1
--------
主课题： 正弦定理、余弦定理
教学目标：
1. 掌握用两边及夹角的正弦表示三角形面积的公式
2. 掌握正弦定理与余弦定理，并知道定理的推导过程








教学重点：
1. 正余弦定理的推导
2. 正余弦定理及面积公式的应用
3. 用正余弦定理及面积公式解决实际问题


教学难点：
1. 应用正余弦定理解决实际问题
2. 正余弦定理的应用


考点及考试要求：
1. 熟练掌握正余弦定理及面积公式
2. 熟练应用正余弦定理及面积公式解决实际问题










【知识精要】
1、三角形面积等于任意两条边与它们夹角的正弦的积的一半，即：
错误!未找到引用源。
例1、在△ABC中，已知错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找
到引用 源。，求错误!未找到引用源。的大小
答案：60°或120°

1




2、正弦定理
在△ABC中角A、B、C 所对的边分别为错误!未找到引用源。、错误!未找到引
用源。、错误!未找到引用源。，则
错 误!未找到引用源。，
即在一个三角形中，个边与其对角正弦值的比相等，都等于其外接圆的直径。
3、正弦定理的变形应用
（1）错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。或
错误!未找到引用源。
（2）错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。
（3）错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，常用
于边化角
（4）错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，常用
于角化边
（5）错误!未找到引用源。
例2、在△ABC中，
（1）已知错误!未找到引用 源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，
求错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源 。；
（2）已知错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，
求 错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。.
答案：（1）错误!未找到引用源。，错误!未找到 引用源。；（2）错误!未找到引用
源。，错误!未找到引用源。；错误!未找到引用源。，错误!未找 到引用源。



例3、在△ABC中，已知错误!未找到引用源。，错误 !未找到引用源。，错误!未找
到引用源。，则错误!未找到引用源。等于（ ）
A、错误!未找到引用源。 B、错误!未找到引用源。 C、
错误!未找到引用源。 D、错误!未找到引用源。
答案：C

例4、已知在△ABC中，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，求错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。和错误!未找到引用
源。
答案：错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。

1
4、余弦定理
三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余
弦的积的两倍.即
错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。
5、余弦定理的变形公式
错误!未找到引用源。，
错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。
例5、在△ABC中，错误!未找到引用源。，则A等于（ ）
A、60° B、45° C、120° D、30°
答案：C
例6、已知△ABC中，错误!未找到引用源。，求△ABC各角的度数.
答案：A=45°，B=60°，C=75°







【巩固练习】
1、在△ABC中，已知错误!未找到引用源。，错误! 未找到引用源。，错误!未找到
引用源。，求A，C和c的长
答案：1°A=60°，C=7 5°，错误!未找到引用源。；2°A=120°，C=15°，错
误!未找到引用源。







2、（1）在△ABC中，错误!未 找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到
引用源。，求错误!未找到引用源。，错误!未找 到引用源。
（2）在△ABC中，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引< br>用源。，求A，b
（3）在△ABC中，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误 !未找到引
用源。，求C，错误!未找到引用源。
（4）在△ABC中，错误!未找到引用源 。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引
用源。，求c，错误!未找到引用源。
答案：（ 1）错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。；（2）1°错误!未找到引
用源。，错误!未找到 引用源。；2°错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。
（3）错误!未找到引用源。，错误! 未找到引用源。；（4）1°错误!未找到引用源。，
错误!未找到引用源。；2°错误!未找到引用源 。，错误!未找到引用源。

1











3、在△ABC中，已知 错误!未找到引用源。，且错误!未找到引用源。，确定△ABC
的形状
答案：等边三角形








4、在△AB C中，错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。、错误!未找到引用
源。分别为角A，B，C的对 边，S为△ABC的面积，且错误!未找到引用源。
（1）求角B的度数；（2）若错误!未找到引用源。，S=错误!未找到引用源。，求
b的值
答案：（1）错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。；（2）错误!未找到引用
源。或 错误!未找到引用源。



5、在△ABC中，角A，B，C所对的边分 别为错误!未找到引用源。、错误!未找到
引用源。、错误!未找到引用源。若错误!未找到引用源。， 求错误!未找到引用源。
答案：错误!未找到引用源。









6、在△ABC中，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。

1
（1）求错误!未找到引用源。的值
（2）设△ABC的面积S=错误!未找到引用源。，求BC的长
答案：（1）错误!未找到引用源。；（2）错误!未找到引用源。








7、在△ABC中，求证：
错误!未找到引用源。








8、在△ABC中，三个内角A，B，C满足错误!未找到引用源。，试判断△ABC的形
状
答案：直角三角形










【自我测试】
1、在△ABC中，求证：错误!未找到引用源。

1
2、在△ABC中，已知错误!未找到引用源。，求C的大小
答案：45°或135°









3、在△ABC中，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，求C
答案：30°







4、已知，在△ABC中，满足错误!未找到引用源。，试判定△ABC的形状
答案：直角三角形






5、要使错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。为
钝角三角形的三 边，求错误!未找到引用源。的取值范围
答案：错误!未找到引用源。










6、在△ABC中，求证：错误!未找到引用源。

1











初中高中数学教师
备课组
日期 上课时间
学生情况：
--------
--------
--------
班级 学生
主课题： 解斜三角形
教学目标：
1. 掌握用正弦定理与余弦定理解斜三角形
2. 能应用解三角形的知识解决实际问题，培养并提高分析问题与解决问题的能
力








教学重点：
1. 正余弦定理及面积公式
2. 灵活应用所学公式解斜三角形
3. 应用所学知识解决实际问题


教学难点：
1. 应用正余弦定理解决实际问题
2. 正余弦定理的应用

1
考点及考试要求：
1. 熟练掌握正余弦定理及面积公式
2. 熟练应用正余弦定理及面积公式解决实际问题








【知识精要】
1、错误!未找到引用源。
2、错误!未找到引用源。
3、（1）错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。或
错误!未找到引用源。
（2）错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。
（3）错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，常用
于边化角
（4）错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，常用
于角化边
（5）错误!未找到引用源。
4、错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。
5、错误!未找到引用源。，
错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。

【精解名题】
1、在△ABC中，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未 找到引用
源。，求错误!未找到引用源。边上中线BD的长.
答案：错误!未找到引用源。

2、在
?
ABC
中，若
?
a?b?c
??
c?b?a
?
?3bc
，则
A?
??
．
A．
150
o
B．
120
o
C．
60
o
D．
30
o


3、在
?
ABC
中，若
a?13
，
c ?4
，
A?60
，则
b?
__________．


4、在
?
ABC
中，若
b?
o
2，
A?30
o
，
C?105
o
，则此三角形的周长为< br>__________．
5、已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，S是△A BC的面积．若a=4，

1
b=5，S=5
3
，求c的长度．





6、在
?
ABC
中，
AB?AC?3
，
BC?2
，
?B
的平分线交过点
A
且与
BC
平行< br>的线于点
D
．求
?ABD
的面积．





7、已知
△ABC
的周长为
2?1
，且
sinA?sinB?2sinC
．
（I）求边
AB
的长；
（ II）若
△ABC
的面积为
sinC
，求角
C
的度数．







9
、在
?ABC中，?B?45?,AC?10,cosC?
D是AB的中点，求中线CD的长度。






1
6
25
，求（1
）
BC??
（
2
）若点

5
10、如图，已知错误!未找到引用源。，D是BC上一点，错误!未找到引用源。，
错误!未找到 引用源。，错误!未找到引用源。，求AB的长
A

1
答案：错误!未找到引用源。










11、甲船在错误!未找到引用源。处发现乙船在北偏东6 0°的错误!未找到引用
源。处，乙船正以每小时错误!未找到引用源。海里的速度向正北方向航行，如
果甲船的速度是每小时错误!未找到引用源。海里，那么甲船应朝什么方向前进，
才能最快与乙 船相遇？
答案：北偏东30°









12、河对岸有两棵树A、B，由于缺少渡河工具，无法过河直接测得 A、B之间的
距离.假定可测得从本案上的任意一点出发的两条射线之间的夹角，以及本岸上
任 意两点之间的距离，请你利用解斜三角形的方法，设计测量AB距离的方案，
并给出具体的计算方法.







14、在锐角三角形AB C中，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!
未找到引用源。，求△ABC中最小内角 的正弦值与最大内角的余弦值.
答案：错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。

1





15、在△ABC中，已知
错误!未找到引用源。，
求角A的大小.
答案：120°








16、山上有一座电视接收塔，塔高50米，在山下地面C处测得塔顶A的仰角为
7 5°，测得塔底B的仰角为60°，求山高.
答案：错误!未找到引用源。米











1 7、某观察站C在城A的南偏西20°的方向，由A出发的一条公路，走向是难
偏东40°，在C处测得 距C处31千米的公路上B处有一人正沿公路向A城走去，
走了20千米后到达D处，此时C、D间的距 离为21千米，问这个人还要走多少
路可到达A城.
答案：15千米

1


18、在△ABC中，∠B=60°，∠A大于∠C，三角形面积为错误!未找到 引用源。，
三条边之和为错误!未找到引用源。.求∠A、∠C以及三边错误!未找到引用源。、
错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。的长.
答案：∠A=75°，∠C=45°，错误! 未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!
未找到引用源。


















【自我测试】
1310
1、 在⊿ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且
tanA?,cosB?

210
（1）求tanC的值; （2）若⊿ABC最长的边为1，求b。










2、在△
ABC
中，角
A,B, C
所对的边分别为
a,b,c
，已知
a?2
，
c?3
，
cosB?
（1）求
b
的值；（2）求
sinC
的值．
1
．
4

1



3、 在
?ABC
中，已知
AC?3
，
sinA?cosA?2
．
（Ⅰ）求
sinA
的值；
（Ⅱ）若
?ABC
的面积
S?3
，求
BC
的值．





4、在
△ABC
中，内角A，B，C
对边的边长分别是
a，b，c
，已知
c?2
，
C?
（Ⅰ）若
△ABC
的面积等于
3
，求
a，b
；

（Ⅱ）若
sinC?sin(B?A)?2sin2A
，求
△A BC
的面积．

5、设
?ABC
的内角
A，B，C
的对边分别为
a
,
b
,
c
，且
A
=60
o
，错误!未找到引用
源。
.
求：
a
（Ⅰ）的值；（Ⅱ）cot
B
+cot C的值.
c

?
．
3
智立方高一第二学期期中考试
数学试卷
（考试时间：120分钟 满分：150分）
题
号
得
分

得分


一
1-20

评卷人
二
21-30

31

32

三
33

34

35

总
分


一．填空题 (本大题满分60分)本大题共有20题，只要求直接填写结

1
果，每题填对得3分，否则一律得零分.

1．函数
y?
x
?
4?x
?
lg
?
x?3
?
2
的定义域 是
2．已知
f(cosx)?cos3x
，则
f(sin
3．如果
log
2?
?
6
)
的值为_______________ ___
1?4x
?0
，则x=
3
9
?x
4．设
f(x)?2,g(x)
的图像与
f(x)
的图像关于直线
y?x< br>对称，
h(x)
的图像由
g(x)
的
图像向右平移1个单位得 到，则
h(x)
为________________
5．函数
y?log
1
(3x?2)
的定义域是________
2
6．函数
f(x)?log
3
x?5(x?9)
的反函数 的定义域是____________
7．满足
sin
a
=-sin
a
8．若
sin
?
?cos
?
?
的
a< br>的取值范围是

2
，则
tan
?
?cot
?
的值为________
9．若
sin
3
?
?cos3
?
?1
，则
sin
?
?cos
?
的 值是__________
10．已知
sin(
?
?
?
) cos
?
?cos(
?
?
?
)sin
?
?
11．已知
cos(
?
?
?
)?
3
，则< br>cos
?
=__________
5
43
,cos(
?
?
?
)??,
则
tan
?
tan
?
?
________
55< br>12．若
13sin
?
?5cos
?
?9,13cos
?
?5sin
?
?15
，则
sin(
?
?
?
)
=______
13．若函数
f(x)?asinx?bcosx< br>的最小值为m，且
f()?1
，则m的取值范围是_______
?
3
14. 若
cos2
?
?
15. 函数y=< br>3
,
则
sin
4
?
?cos
4
?< br>?
___________
5
sinxcosxtanxcotx
+ + +的值域为___________
|sinx||cosx||tanx||cotx|
22
16. 若
tan
?
?2
，则
sin
?
?2sin
?
cos
?
?3cos
?
?
___________
17. 已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是 __________
222
18. 已知
cos
A
=cos
q
×sin
C
,cos
B
=sin
q
×sin
C
，则
sinA?sinB?sinC
的值为
19. 求值
(1+tan1°)(1+tan2°)……(1+tan44°)
=
20. 在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图

1
为基础 设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如
图）．如果小正方形的面 积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为
?
，
那么
cos 2
?
的值等于 ．
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有10题，每题都给出代号为A、B、C、D的
得分 评卷人
四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结

论的代号写在题后的圆括号内，选对得2分，不选、选错一

律得零分．
2 1．若
log
3
a
log
a
b
?5
，则b 等于（ ）
A.
a
3
B.
a
5
C.3
5
D.
5
3

22．对于
a?0,a?1
，在下列说法中，正确的是（ ）
若M=N，则
log
a
M?log
a
N
② 若
log
a
M?log
a
N
，则M=N
2222
若
log
a
M?log
a
N
，则M=N ④ 若M=N，则
log
a
M?log
a
N

A.①③ B.② C. ①② D. ②③④
23．如果方程
lgx?(lg5?lg7) lgx?lg5?lg7?0
的两根是
?,?
，则
???
=（ ）
A.
lg5?lg7
B.
lg35
C.35 D.
2
1

35
D、32
p

24. 若扇形的周长是16cm，圆心角是2弧度，则扇形的面积是（ ）
A、16cm B、32
25.函数
f(x)?cos
A.
{?1,?
2
C、10
p
?
x
3
(x?Z)
的值域是 （ ）
1111
,0,,1}
B.
{?1,?,,1}

2222
3333
,0,,1}
D.
{?1,?,,1}

2222
C.
{?1,?

26.若
sin
?
?
m?34?2m
，则实数m的值为（ ）
,cos
?
?
m?5m?5
A.可取
(?,9]
中的一切值 B.0 C.8 D.0或8

27.若
1
3cos
?
1?tan
?
2
?
sin
?
1?cot
?
2
??1
，则角
?
在 （ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

1
28.若
cos
?
?a,sin
??b,
?
?(0,
?
),
?
?(0,
?
)
，则
cos(
?
?
?
)
的值的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
29.已知
cos(?
?
?
)?
33?1
?
,sin
?
s in
?
?,
?
,
?
?(0,)
，则有（ ）
242
?
5
?
?
5
?
????
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??< br>??
??
1212
44
A
?
B
?
C
?
或
?
D以上答案都不对
?
?
?
?
?
?
?
5
?
?
?
?
5
?
?
?
?
?
?
??
?4? 4
?12?12
?

30.下列四个命题中假命题是（ ）
A. 存在这样的
a
,
b
，使得
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?

B. 不存在无穷多个
a
,
b
，使得< br>cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
??sin
?
sin
?

C. 对于任意的
a
,
b
，
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?

D. 不存在这 样的
?
,
?
，使得
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
三．解答题 (本大题满分85分)本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.

得分



评卷人


31．（本小题满分10分）



2222
已知
6sin
?
?3sin
?
?4sin
?
?0
，求
sin
?
?sin
?
的最大值







得分 评卷人
32．（本小题满分10分）



1143
??,0?
?
??
?
?
，求
?
?
?
. 已知
cos(2
?
?
?
)??,sin(
?
?2
?
)?
14742

1
得分 评卷人


33．（本小题满分16分，第一小题4分，第二小题5分，第三小题
7分）
2
已知关于x的方程
mx?(2m?3)x?(m?2)?0(m?0)
两根为< br>tan
?
,tan
?

（1）求m的取值范围。
（2）求
tan(
?
?
?
)
的最小值。
（3）求
msin(
?
?
?
)?(2m?3)sin(
?< br>?
?
)cos(
?
?
?
)?(m?2)cos(?
?
?
)
的值。



























22

1
得分 评卷人



34．（本小题满分10分）


mx
2
+8
x
+
n
已知函数
f
(
x
)=log
3
的定义域为R，值域为[0,2]，求m、n的值。
2
x
+1





























得分 评卷人
35．（本小题满分20分，第一小题8分，第二小题12分）




已知
1?a?2
，函数
f(x)?log
a
(x ?x
2
?1)(x?1)

（1）求函数f(x)的反函数
f
?1
(x)
，
x?D

1
2
x
?2
?x
?1
（2）设
x?D
，
g(x)?
，比较
f(x)
与g(x)的大小
2

1

参考答案与评分标准
一．填空题：

1．； 2．-1； 3．-2; 4．
h(x)??log
2
(x?1)
；
5．
x?(,1]
； 6.
[?3,??)
；7．
2kp
+
p
,2k
p
+2
p
； 8．2； 9．1； 10．
?
11.-7; 12.
2；
19. 2 20.
22
2
3
[]
4
；
5
3
56
112
13.
(??,?1]
; 14.
?
15. {4，-2，0} 16. 17. 18.
5
65
5sin1
7

25
二．选择题：21．C；22．B; 23．D； 24．A； 25. B;
26. D;27. C; 28. B; 29. C； 30. B；
三．解答题：
31．
32.
9
且
m?0

4
2m?3m?2
（2）
tan
?
?tan
?
??

,tan
?
tan
?
?
mm
3?2m333
9
tan(< br>?
?
?
)???m??
，所以当
m?
，
ta n(
?
?
?
)
最小值为
?

2244
4
33.解：（1）
m?
（3）m-2


34. m=n=5.

a
x
?a
?x
35. （1）
f(x)?
，因为< br>y?x?x
2
?1
在
(1,??)
单调递增
2?1
所以
y?x?x
2
?1
>1,由
1?a?2
得
f(x)?log
a
(x?x
2
?1)
?(0,??)

a
x
?a
?x
(x?0)
，
D?(0, ??)
则反函数为
f(x)?
2
?1
a
x
?a< br>?x
2
x
?2
?x
1
x
1
?
（2）
f(x)?g(x)?
=
(a?2
x
)(1?
xx
)
<0
22
2a2
?1

1
所以
f


?1
(x)?g(x)