杨浦区暑假补习班 新王牌高中数学龚Y老师 任意三角比

杨浦新王牌
4．1 任意角的三角比

【知识要点】
1． 弧度制与角度制的定义：把圆周角的360分之一，叫做一度的角；而把弧长等于
半径的 这段弧所对的圆心角叫做一弧度的角。于是
2
?
?360
o
。
2． 与
?
角的终边相同的角的集合：
?
x|x?2k
?< br>?
?
,k?Z
?
。
3． 弧长计算公式：
l?|
?
|?R
。
11
4． 扇形面积计算公式：
S?lR?
?
R
2
。
22
5． 任意角的三角比的定义：设
P(x,y)
是角
?
终边上一点，
|PO|?r
。则定义角
?
的
六种三角比如下：
sin
?
?
yxyxrr
,cos
?
?,tan
?
?;cot
?
?;sec
?
?;csc
?
?。
rrxyxy
【基础训练】
1．若
?
?2006
，则
?
所在的象限是 （ ）
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
?
2．已知
?
为第三象限角，则所在的象限是 （ ）
2
（A）第一或第二象限 （B）第二或第三象限
（C）第一或第三象限 （D）第二或第四象限
3．终 边落在
y
轴上的角
?
的集合为
_________________ ____
。
4．已知记扇形的圆心角为
?
，面积为S，则该扇形的圆心角所 对的弧长为
_________________
。
5．已知角
?
的终边经过点
P(?2a,3a)(a?0)
，则
cos
?
?___ __________
。
【精选例题】
tan
?
?
?0
且cot
?
?cos
?
?0，则
?
,
分别 是第几象限的角？ 例1． 若
sin
?
2

例2．已知一个扇形O AB的面积是
4cm
2
，它的周长是10
cm
，求它的中心角和弦A B
的长。
例3．已知角
?
上一点
P(?3,y)
且
sin
?
?
2
y
，求
cos
?
,tan
?
的值。
4

例4．若
sin
?
?

【能力训练】
一、选择题
2?2m
，求
m
的取值范围。
m?1
?
所在象限为 （ ）
3
（A）一或三 （B）二或四 （C）一、二或三 （D）二、三或四
1．若
sin
?
?0
且
cos
?
?0，则
2．已知角
?
的终边上一点
P(?4a,3a),a?0
， 则
2sin
?
?cos
?
的值为（ ）
2222
（A） （B）
?
（C）或
?
（D）以上均不对
5555
3．已知一扇形的圆心角为
54
，半径
r?20cm
，则扇形的周长为（ ）
（A）
6
?
cm
（B）
60cm
（C）
(40?6
?
)cm
（D）
108cm

4．下列命题中真命题是 （ ）
（A）第一象限的角为锐角
（B）钝角是第二象限的角
?
（C）小于的角是锐角
2
（D）终边在
x
轴负半轴上的角既是第二象限角又是第三象限角
5．条件甲：
?
?
?
；条件乙：
sin
?
?sin
?
，则条件甲是条件乙的（ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分又不必要条件
6．下列各三角函数式中，值为正数的是 （ ）
11
?
?
?
?
（A）
sin?
?
?
（B）
cos250
（C）
tan(?67210
?
)
（D）
cot

3
?
4
?
二、解答题
1
7．已知角
?< br>终边上有一点P到原点的距离为
10
，且
tan
?
??
，求点P的坐标。
3




8．若角
?的终边与正比例函数
y??2x
的图象重合，求角
?
的各三角比的值。


9．已知
?

?
6
?x?
?
3
,cosx?
m?1
，求
m
的取值范围。
m?1

10．已知一个扇形的周长为20
cm
，问 这个扇形半径为何值时，才能使这个扇形面积
最大？最大面积为多少？并求此时扇形的中心角。
4．2 同角三角比的关系

【知识要点】
1． 同角三角比的关系
（1） 倒数关系：
sin
?
?csc
?
?1,tan
?
?cot
?
?1,cos
?
?sec?
?1
；
（2） 平方关系：
sin
2
?
? cos
2
?
?1,1?tan
2
?
?sec
2?
,1?cot
2
?
?csc
2
?
；
sin
?
cos
?
,cot
?
?
。
cos
?
sin
?
2． 已知一个角
?
的某一个三 角比的值，要求角
?
的其余的三角比的值，我们可以先
利用直角三角形求得这些三角比 的绝对值，再根据已知条件确定它们的符号。
【基础训练】
（3） 商数关系：
t an
?
?
1．下列命题：①
sin(
?
?
?
)?tan(
?
?
?
)?cos(
?
?
?
)
；②
tan
cos
2
?
2
?cot
?
2
?1
；③
,2
?
的取值使相关三角比有
222
意义，则正确的式子有（ ）
（A）1 个 （B）2 个 （C）3个 （D）4个
?
?sin
2
?
?1
；④
sec< br>2
2
?
?tna
2
2
?
?1
。其中
?
?
?
,
?
2．若
?
为第二象限的角，则
2sec
?
1?tan
?
2
?
tan
?< br>sec
?
?1
2
?______________
。
3．已知
tan
?
?cot
?
?2,
则
tan< br>3
?
?cot
3
?
?_______________
。
4．化简
cot
?
(sin
?
?cos
?< br>)?
cos
?
?cot
?
?____________
。
sec
?
?tan
?
sec
2
?
? tan
2
?
?_____________
。 5．化简
tan
?
【精选例题】
例1．已知
cos
??
4
，且
?
是第四象限角，求
?
的正弦、正切的值。
5
例2．已知
sin
?
?2cos
?
,tan?
?3cot
?
,?
例3．已知
0?
?
??
2
?
?
?
?
2
,0?
?
?
?
，求
?
,
?
的值。
1
时，求直
4
?
2
，当点
(1,cos
?
)
到直线
xsin
?
?ycos
?
?1?0
的距离为
线的斜率。

例4．证明下列恒等式
tanxcotxtanx?cotx1?secx?ta nx1?sinx
???
（1）；（2）。
1?tanx1?cotxtanx?c otx1?secx?tanxcosx

【能力训练】
一、填空题
1．
sin
4
?
?sin
2
?
cos
2
?
?cos
2
?
?_________ ____
。
2．化简
tan
?
?cot
?
?__ ____________
。
sec
?
3．已知
|cos
?
33
5
4．已知
sin
?
?cos
?
? ,
则
sin
?
cos
?
?___________
。
3
cos
?
?3sin
?
?2
，则
t an
?
?_______
，
sin
2
?
?3sin
?
cos
?
?2cos
2
?
?_____
。 5．若
6sin
?
?2cos
?
|??cos
?
，则
?
的取值范围为
_______________
。
6．已 知
tan
?
??2,sin
?
?0
，则
cos?
?_____________
。
二、解答题
7． 已知
sinx?cosx?a
，
求：（1）
sinxcosx
；（ 2）
sinx?cosx
；（3）
sin
3
x?cos
3< br>x
；（4）
tan
?
?cot
?
。




8．证明下列恒等式：
（1）
cot
2< br>?
?cos
2
?
?cot
2
?
cos
2
?
；（2）
(sin
?
?sec
?
)(cos
?
?sec
?
)?




9． 已知：
a?sec
?
?c?tan
?
?d,b?sec
?< br>?d?tan
?
?c
，
求证：
a
2
?b< br>2
?c
2
?d
2
。





10．已知
sin
?
?2sin
?
, tan
?
?3tan
?
，求
cos
2
?
的 值。

1
。
tan
?
?cot
?

4．3 诱导公式

【知识要点】
1．诱导公式：
第一 组：
sin
?
2k
?
?
?
?
?sin?
;cos
?
2k
?
?
?
?
?cos
?
;
tan
?
2k
?
?
?
??tan
?
;cot
?
2k
?
?
?
?
?cot
?
;
sin
?
?
?
?
? ?sin
?
;cos
?
?
?
?
?cos
?
;
tan
?
?
?
?
??tan
?
;cot
?
?
?
?
??cot
?
;
?k?Z
?
；
第二组：
?
k?Z
?
；
第三组：
sin(
?
?
?
)??sin
?
;co s(
?
?
?
)??cos
?
;
k?Z
?< br>；
?
tan(
?
?
?
)?tan
?
;cot(
?
?
?
)?cot
?
;
sin(?
?
?
)?sin
?
;cos(
?
?
?
)?cos
?
;
?
k?Z
?
；
tan (
?
?
?
)??tan
?
;cot(
?
?
?
)??cot
?
;
sin(?
?
)?sin?
;cos(?
?
)?cos
?
;
22
tan (?
?
)?tan
?
;cot(?
?
)?cot
?
;
22
sin(?
?
)?sin
?
;cos(?< br>?
)??cos
?
;
22
tan(?
?
)? ?tan
?
;cot(?
?
)??cot
?
;
22
第四组：
??
第五组：
??
?
k?Z
?
； 有错误
??
第六组：
??
?
k?Z
?
。 有错误
2．上列每组公式的具体作用及公式的记忆方法：奇变偶不变，符号看象限。
【基础训练】
12
?
?0,(4)cot
?
?100?
?0
， 1．下列各式中：
(1)cos(?1230)?0,(2)tan1 00?0,(3)sin
7
正确的是 （ ）
（A）（1）和（3） （B）（2）和（3） （C）（1）和（4） （D）（3）和（4）
2．如果
sin
?
?
?
?
?
??sin
?
，则角
?
的终边的所在位置是（ ）
（A）第一、二象限（B）第一、二象限及
x,y
轴的正半轴
（C）第三、四象限（D）第三、四象限及
x,y
轴的负半轴
3．下列等式成立的个数是（ ）
?
?
?
?
??
（A）
sin
?
?
?
?
??cos
?
（B）
cos
?
?
?
?
?sin
?
?
2
?
?
2
?

（C）
cot< br>?
?
3
?
?
2
?
?
?
?< br>?
??tan
?
（D）
tan
?
3
?
?
?
?
??tan
?

4．在
ABC中，已知
cosA??
3
5
，则
sin(B?C)?_____ _____,cos(B?C)?_________
，
tan(B?C)?__________,cot(B?C)?_________
。
【精选例题】
例1．已知
sin
?
?
?
?
?
?2cos
?
?
?2
?
?
，求
sin
?
?
?
?
?
?5cos
?
2
?< br>?
?
?
3cos
?
?
?
?
?
?sin
?
?
?
?
的值。
例2．求值
sin< br>2
?
42
o
?
?
?
?cot
?25
o
?
?
?
cot
?
?
?65o
?
?sin
2
?
48
o
?
?
?

例3．求
sin
?
k
?
?x
?sinx
?
cosx
cos
?
k
?
?x
?
?
tan
?
k
?
?x
?
cotxtanx
?
cot
?
k
?
?x
?
,k ?Z
的取值集合。
例4．已知
si
?
n
是方程
5x
2
?7x?6?0
的根，
?
是第四象限的角，
sin(?< br>?
?
3
?
3
?
2
)sin(
2?
?
)tan
2
?
cos
?
?
??
2
?
?
?
?
?
cos
?
?
?
的值。
?
2
?
?
?
?
?cot(
?
?
?
)

【能力训练】
一、填空题
1．已知
sin
?
?
?
?
?
?csc
?
?
?
?
1
sin
?
? 2cos
?
?
2
?
?
?
?
?
2< br>，则
sin
?
?2cos
?
?_____________< br>。
2．“
?
是第四象限的角”是“
sin
?
?3
?
?
?
?
?
?
2
?
??
?
?0
且
cos
?
?
2
?
?
?
?
?0
”的
__________
条件。
3 ．若
cos(3
?
?
?
)??
1
2
,si n
?
?0
，则
sin(2
?
?
?
)?__ ___________
。
4．若
f(tanx)?sinx
，则
f(cot
4
?
3
)?___________
。
5． 已知
f(x)?asi
?
n(x?
?
?)bc
?
o sx(?
?
，其中
a,b,
??
,
都是非零实数，
f(2005?)?
，则
1f(2006)
?____________
。
6．若
?
为锐角，则
sin
?
|log
1
csc
?
2
|
?_______________
。

求
若