高一数学辅导教案：指数与指数函数

指数与指数函数辅导教案

学生姓名
授课教师
科组长签名
教学课题
1.了解指数函数模型的实际背景.
教学目标
2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．
1.理解指数函数的概念，并掌握指数函数的单调性与函数图象通过的特殊点.
2.知道指数函数是一类重要的函数模型．


性别
上课时间
教学主任签名
指数与指数函数
年级 高一 学科 数学
课时：3课时

第（ ）次课
共（ ）次课
教学重点
与难点
一、知识点讲解
1．分数指数幂
n
( 1)规定：正数的正分数指数幂的意义是
a
＝a
m
(a>0，m，n∈N*
，且n>1)；正数的负分数
指数幂的意义是
a
?
m
n
m
n
＝
1
n
(a>0，m，n∈N
*
， 且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分
a
m
数指数幂没有意义．
(2)有理数指数幂的运算性质：a
r
a
s
＝a
r
＋
s
，(a
r
)
s
＝a
rs
，(ab)
r
＝a
r
b
r
，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
2．指数函数的图象与性质
y＝a
x

a>1 0图象

定义域
值域
性质
(1)R
(2)(0，＋∞)
(3)过定点(0,1)
1

(4)当x>0时，y>1；
当x<0时，0(5)当x>0时，0当x<0时，y>1
(6)在(－∞，＋∞)上是增函(7)在(－∞，＋∞)上是减函
数
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)(
4
－4
2
4
数
)
4
＝－4.( )
1
2
(2)(－1)＝(－1)＝－1.( )
(3)函数y＝a
x
是R上的增函数．( )
－
(4)函数y＝
a
x＋1
(a>1)的值域是(0，＋∞)．( )
(5)函数y＝2
x
－
1
是指数函数．( )
1
(6)函数y＝(
4
)
1
－
x
的值域是(0，＋∞ )．( )
二、重点题型讲解
题型一 指数幂的运算
例1 化简：(1)a
3
b
2
3
ab
2
(ab)ab
1< br>4
1
2
4
?
1
3
1
3
2< br>(a>0，b>0)；
1
?
27
?
2
3
( 2)(－
8
)＋(0.002)
2
－10(5－2)
－
1< br>＋(2－3)
0
.











思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分 数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计
算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运 算的先后顺序．
2

(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
4
(1)化简16x
8
y
4
(x<0，y<0)得( )
A．2x
2
y B．2xy C．4x
2
y D．－2x
2
y
1
?
1
(2)
()
2< br>?
4
(4ab
?1
)
3
(0.1)
?1?(a
3
?b)
1
?3
2
＝________.
题型二 指数函数的图象和性质
例2 (1)函数f(x)＝a
x
－
b
的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1，b<0
B．a>1，b>0
C．00
D．0 (2)已知函数f(x)＝2
|2x
－
m|
(m为常数)，若f(x)在区间 [2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是
________．
思维升华 (1)对与指数 函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通
过平移、对称变换得到其图象． (2)对复合函数的性质进行讨论时，要搞清复合而成的两个函数，然后对两层函数分别进行
研究．
3

(1)若函数y＝2
－
x
＋
1
＋m的图象不经过第一象限 ，
则m的取值范围是________．
(2)若函数f(x)＝a
x
－1 (a>0且a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a＝________.
三、易错题型
忽略对底数的讨论致误
2
3
典例：(12分)已知函数y＝
b＋a
x＋2x
(a，b是常数且a>0，a≠1)在区间[－
2
，0]上有ymax
＝3，
5
y
min
＝
2
，试求a、b的 值．








温馨提醒 (1)指数函数的底数不确定时，单调性不明确，从而无法确定其最值，故应分a>1
和0(2)解决和指数函数有关的值域或最值问题时，要熟练掌握指数函数 的单调性，搞清复合函
数的结构，利用换元法求解时要注意新元的取值范围.
四、课堂小测
1．函数f(x)＝a
x
－
2
＋1(a>0且a≠1)的图象必经过 点( )
A．(0,1) B．(1,1)
4

C．(2,0) D．(2,2)
1
2．已知a＝2
2.5
， b＝2.5
0
，c＝(
2
)
2.5
，则a，b，c的大小关 系是( )
A．a>c>b
C．b>a>c
B．c>a>b
D．a>b>c
1
3．若函数f(x)＝a
|2x
－
4|
(a>0，a≠1)，满足f(1)＝
9
，则f(x)的单调递减区间是( )
A．(－∞，2]
C．[－2，＋∞)
B．[2，＋∞)
D．(－∞，－2]
?
1－3ax＋10a， x≤7，
4．已知函数 f(x)＝
?
x
－
7
是定义域上的递减函数，则实数a的
?
a， x>7
取值范围是( )
11
A．(，)
32
12
C．[
2
，
3
)
16
B．(，]
311
16
D．(
2
，
11
]

5．已知实数a，b满足等式2 015
a
＝2 016
b
，下列五 个关系式：①0④bA．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．若指数函数y＝a
x
在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a＝________.
7 ．已知正数a满足a
2
－2a－3＝0，函数f(x)＝a
x
，若实数m、n 满足f(m)>f(n)，则m、n的
大小关系为________．
8．若函数f(x)＝ a
x
－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．



9．已知函数f(x)＝a·2
x
＋b·3
x
，其中常数a，b满足ab≠0.
(1)若ab>0，判断函数f(x)的单调性；
(2)若ab<0，求f(x＋1)>f(x)时x的取值范围．





5

1
?
?

10．设函数f(x)＝
?
x
?
?
e
x

A．(－∞，1]
x>0
x≤0
，
，

若F(x)＝f(x)＋x，x∈R，则F(x)的值域为( )
B．[2，＋∞)
C．(－∞，1]∪[2，＋∞) D．(－∞，1)∪(2，＋∞)
e
x＋e
－
x
11．函数y＝
x
－
x
的图象大致为 ( )
e－e

6

?
3
?
x
2＋3a
12．关于x的方程
?
2
?
＝有负数根，则实数a的取值范围为__________．
??< br>5－a
13．已知函数f(x)＝e
x
－e
－
x
(x ∈R且e为自然对数的底数)．
(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性；
(2)是否存 在实数t，使不等式f(x－t)＋f(x
2
－t
2
)≥0对一切x都成立？ 若存在，求出t；若不存
在，请说明理由．



















7

8