人教版高中数学(选修2-2)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习)

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新人教版高中数学（选修2-2）
重难点突破

知识点梳理及重点题型巩固练习
变化率与导数
【学习目标】
（1）理解平均变化率的概念；
（2）了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；
（3）理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；
（4）会求函数在某点的导数或瞬时变化率；
【要点梳理】
要点一、平均变化率问题
1.变化率
事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值 ”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比
值；
2.平均变化率
一般地 ，函数f(x)在区间
?
x
1
,x
2
?
上的平均变 化率为：
要点诠释：
① 本质
：
如果函数的自变量的“增量”为
? x
,且
?x?x
2
?x
1
,相应的函数值的“增量”为f(x
2
)?f(x
1
)

x
2
?x
1
?y
,
?y?f(x
2
)?f(x
1
)
,则函数
f(x)
从
x
1
到
x
2
的平均变化率为
?y
f(x
2
)?f(x
1
)
?< br>
?xx
2
?x
1
② 函数的平均变化率可正可负，平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.
即递增或递减幅度的大小。

对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义 。如位移运动中，位移S（m）从t
1
秒到t
2
秒的
平均变化率即为 t
1
秒到t
2
秒这段时间的平均速度。

高台跳水运动中 平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，要想更精确地刻画物体运动，
就要研究某个时刻 的速度即瞬时速度。

3.如何求函数的平均变化率
求函数的平均变化率通常用“两步”法：
①作差：求出
?y?f(x
2)?f(x
1
)
和
?x?x
2
?x
1

②作商：对所求得的差作商，即
要点诠释：
?y
f(x
2
)?f(x
1
)
?
。
?xx
2
?x
1
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1.
?x
是
x
1< br>的一个“增量”，可用
x
1
??x
代替
x
2
，
同样
?y?f(x
2
)?f(x
1
)
。
2.
x
是一个整体符号，而不是与
x
相乘。
3. 求函 数平均变化率时注意
x,y
，两者都可正、可负，但
x
的值不能为零，
y
的值可以为零。若
函数
y?f
?
x
?
为常函数 ，则
y
=0.
要点二、导数的概念
定义：函数
f(x)
在
x?x
0
处瞬时变化率是
lim
f
?
x
0
??x
?
?f
?
x
0
?
?y
， 我们称它为函数
?lim
?x?0
?x
?x?0
?x
0y?f
?
x
?
在
x?x
0
处的导数,记作f
?
?
x
0
?
　或
　y
?
x ?x
即

f
?
?
x
0
?
＝lim
f
?
x
0
??x
?
?f
?
x0
?
?y

?lim
?x?0
?x
?x?0
?x
要点诠释：
① 增量
?x
可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0。
?x?0
的意义：
?x
与0之间距离要多近
有多近，即
|?x?0|
可以小 于给定的任意小的正数。
②
?x?0
时，Δy在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数。
即存在 一个常数与
?y
f(x
0
??x)?f(x
0
)
无 限接近。
?
?x?x
③ 导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时 变化率。如瞬时速度即是位移在这一时
刻的瞬间变化率。

要点三、求导数的方法：
求导数值的一般步骤：
① 求函数的增量：
?y?f(x
0
??x)?f(x
0
)
；
?y
f(x
0
??x)?f(x
0
)
；
?
?x?x
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?y< br>③ 求极限，得导数：
f'(x
0
)?lim
。
?lim
?x?0
?x
?x?0
?x
② 求平均变化率：
也可称为三步法求导数。

【典型例题】
类型一：求平均变化率
例1．（2015春 河池期末）函数
f(x)?2x
从
x?
1
到x=2的平均变化率为（ ）
2
A．2 B．
【答案】B
22
2
C． D．
2

3
3
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【思路点拨】求出从
x?
11
到x=2的增量
?y?f(2)?f()
，然后利用平均变化率的公式求出即可。
2 2
11
1
到x=2的增量
?y?f(2)?f()?2?2?2??2?1? 1
，
22
2
【解析】函数
f(x)
从
x?
∴
f(x)
从
x?
1
?y12
到x=2的平均变化率为< br>??
，
2
?x
2?
1
3
2
故选：B。
【总结升华】 由于平均变化率是函数值增量与自变量增量之比，所以求函数从
x?x
0
到x=上的平均
变化率问题，就是求
举一反三：
2
【变式1】 求
y?x
在
x?x
0
附近的平均变化率.
?y
f(x
0
??x)?f(x
0
)
的值。 ?
?x?x
【答案】
?y?(x
0
??x)
2
?x
0

22
x
0
?2x
0
?x??x< br>2
?x
0
?y
(x
0
??x)
2
? x
0
???2x
0
??x
所以
?x?x?x
2
所以
y?x
在
x?x
0
附近的平均变化率为
2x
0
??x

2
2
【变式2】求
y?2x?1
在
x
0
到
x
0
??x
之间的平均变化率，并求
x
0
?1
，
?x?
【答案】当变量从
x
0
变到
x
0
??x
时，函数 的平均变化率为
2
f(x
0
??x)?f(x
0
)[2( x
0
??x)
2
?1]?[2x
0
?1]
?4x< br>0
?2?x

?
?x?x
2
1
时平均变化率的值.
2
当
x
0
?1
，
?x?
11
时，平均变化率的值为：
4?1?2??5
.
22
2
【变式3】 已知函数
f
(< br>x
)=
?x?x
的图象上的一点
A(?1,?2)
及临近一点
B(?1??x,?2??y)
,
则
?y
?
．
?x
2
【答案】 ∵
?2??y??(?1??x)?(?1??x)
，
?y?(?1??x)
2
?(?1??x)?2
??3??x
∴
?x?x
类型二：利用定义求导数值
【变化率与导数 383113 例1】
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例2 （1）求函数
f(x)?3x
2
在x=1处的导数.
（2）求函数f(x )=
?x
2
?x
在
x??1
附近的平均变化率，并求出在该 点处的导数．
【解析】 (1)
?y?f(1??x)?f(1)?3(1??x)2
?3?6?x?3(?x)
2

?y
?x
?
6?x?3(?x)
2
?x
?6?3?x
,
?
lim( 6
x?0
?3?x)?6
，即
f
?
(1)?6
.
所以 函数
f(x)?3x
2
在x=1处的导数为6 .
（2） 依照定义，f(x)在
x??1
的平均变化率，为两增量之比，
需先求
?y ?f(x)??(?1??x)
2
?(?1??x)?2?3?x?(?x)
2
0
??x)?f(x
0
，
再求：
?y
?x
?< br>3?x?(?x)
2
?x
?3??x
，即为f(x)=
?x< br>2
?x
在
x??1
附近的平均变化率。
再由导数定义得：
f
?
(?1)?
?
lim
?y
x?0
?x
?
?
lim(3
x?0
??x)?3

【总结升华】利用定义求函数的导数值，需熟练掌握求导数的步骤和方法，即三步法。
举一反三：
【变式1】（2015春 唐山校级期中）设函数
f(x)
在x
f(x
0
处可导，则
lim
0
??x)?f(x
0
)
?x
等于（
?x?0
A．
f'(x
0
)
B．
f'(?x
0
)
C．
?f'(x
0
)
D．
?f(?x
0
)

【解析】
lim
f(x0
??x)?f(x
0
)
?x?0
?x
??limf(x
0
??x)?f(x
0
)
?0
??x
? ?f'(x
0
)
，
?x
故选C。
【变式2】 求函数 求
y?x
2
在
x?x
0
附近的平均变化率，并求出在该点处 的导数．
?y
(x
2
2
【答案】
?y?(x
0
??x)
2
?x
2
0
，所以
?x
?0
??x)?x
0
?x

22
?
x
0
?2x
0
?x??x
2
?x
0
?x
?2x
0
??x

∴
f
?
(x
0
)?
?
lim
?y
x?0
?x
?
?lim(2
x?0
x
0
??x)?2x
0

【变式3】 若
f(x)?(x?1)
2
，求
f'(2)
和
(f(2))'

【答案】 因为
?y?f(2??x)?f(2)?(1 ??x)
2
?1?2?x?(?x)
2
，所以
?y
?x?
2??x

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）

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所以
f'(2)?
lim(2??x)?2

?x?0
因为
f(2)?1
，所以实际是求函数
y?1在 x?1< br>处的导数值，
?y?1?1?0
，
所以
lim0?0
，即(f(2))'
= 0
?x?0
?y
?
0
?x
类型三：实际问题中导数的应用
例3. 质点M按规律s=2t
2< br>+3做直线运动(位移单位：cm，时间单位：s)，求质点M在t=2时的瞬时速
度.
【解析】根据平均速度的意义，运用导数的知识求解。
s(2??t)?s(2)2(2?? t)
2
?3?(2?2
2
?3)
瞬时速度v=
lim

?lim
?t?0?t?0
?t?t
=
lim
(8+2 Δt)=8（cms）
?t?0
【总结升华】 t=2时的瞬时速度就是t=2附近平均速度的极限，亦即速度在t=2时导数。
举一反三：
3
s(t)?t?3
【变式1】如果一个质点从固定点A开始运动，关于时间t的位 移函数是
求（1）t=4时，物体的位移是s(4);
（2）t=4时，物体的速度v(4);
（3）t=4时，物体的加速度a(4).
【答案】(1)
s(4)?4?3?67

3
?s(4??t)
3
?3?(4
3
?3)
??48?12?t?(?t)
2< br> (2) t=4时，
?t?t
?s
?lim
?< br>48?12?t?(?t)
2
?
??
?48

?t?0
?t
?t?0
lim
∴v(4)=48
?s(t ??t)
3
?3?(t
3
?3)
??3t
2
?3t ?t?(?t)
2
(3)
?t?t
∴
v(t)?lim
?s
?lim
?
3t
2
?3t ?t?(?t)
2
?
?3t
2

??
?t?0?t
?t?0
?vv(t??t)?v(4)
3(4??t)2?3?4
2
?24?3?t

??
t=4时 ?t
?t?t
?v
?lim
?
24?3?t
?
?24

?t?0
?t
?t?0
lim
∴a (4) = 24
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【变式2】一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？
【答案】自由落体的运动公式 是
s?
1
2
gt
（其中g是重力加速度）.
2
当 时间增量
?t
很小时，从3秒到（3＋
?t
）秒这段时间内，小球下落的快慢 变化不大.
因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度.
从3秒到（3＋
?t
）秒这段时间内位移的增量：
?s?s(3??t)? s(3)?4.9(3??t)
2
?4.9?3
2
?29.4?t?4.9( ?t)
2

?s
?29.4?4.9?t
.
?t
?s
结论：
?t
越小，越接近29.4米秒
?t
?s
当
?t
无限趋近于0时，无限趋近于29.4米秒.
?t
从而，
v?
??
【变式3】 质点按规律s (t)=at
2
+1做直线运动（位移单位：m，时间单位：s）。若质点在t=2 s时的瞬时
速度为8 m s，求常数a的值。
【答案】 ∵Δs=s(2+Δt)―s( 2)=a(2+Δt)
2
+1―a×2
2
－1=4aΔt+a(Δt)
2
，
∴
?s
?4a?a?t
。
?t
?s
?4a
，即4a=8。
?t?0
?t
∴在t=2 s时，瞬时速度为
lim
∴a=2。【巩固练习】
一、选择题
1、在平均变化率的定义中，自变量的增量
?x
是（ ）
A．
?x?0
B．
?x?0
C．
?x?0
D．
?x?0

2．（2014春 古蔺县校级月考）在曲线y=x2+1的图象上取一点（1，2）及邻近一点（1+ Δx，2+Δy），则
Δy∶Δx为（ ）
A．
?x?
111

?2
B．
?x??2
C．Δx+2 D．
2??x?
?x?x?x
2
3．质点运动规律
s?t?3
，则在时间（3，3+Δt）中，相应的平均 速度等于（ ）
A．6+Δt B．
6??t?
9
C．3+Δt D．9+Δt
?t
4. 已知函数
y?f(x)
，下列说法错误的是（ ）
A.
?y?f(x
0
??x)?f(x
0
)
叫函数增量
B.
?y
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?
叫函数在[
x
0
,x
0
??x
]上的平均变化 率
?x?x
C.
f(x)
在点
x
0
处的导数记为
y
?

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D. < br>f(x)
在点
x
0
处的导数记为
f
?
(x< br>0
)

5．（2015春 宝鸡校级月考）如果质点按规律
s=3t
运动，则在t=3时的瞬时速度为（ ）
A．6 B．18 C．54 D．81
6． 设
f(x)?ax?4
，若
f'(1)?2
，则a=（ ）
A．2 B．－2 C．3 D．不确定
7．（2015春 南阳校级月考）设函数
f(x)
可导，则
lim
A.
f(1)
B.
3f(1)
C.
8．物体自由落体运动的方程为
s?s(t)?
若
v?lim
''
2
?x?0
f(1??x)?f(1)
等于（ ）
3?x
1
'
f(1)
D.
f
'
(3)

3
1
2
。
gt
（g=9.8 m s
2
）
2
s(1??t)?s(1)
=9.8 m s，那么说法正确的是（ ）
?t?0
?t
A．9.8 m s是在0～1 s这段时间内的速率
B．9.8 m s是从1 s到(1+Δt) s这段时间内的速率
C．9.8 m s是物体在t=1 s这一时刻的速率
D．9.8 m s是物体在1 s到(1+Δt) s这段时间内的平均速率

二、填空题
9．已知函数y＝x+3，当
x
＝1时，
?y
＝ .
?x
10.如图，函数
f
(
x
)的图象是折线段
ABC
,其中
A
,
B
,
C
的坐标分别为（0，4 ）（，2，0）（6，，4），则
f[f(0)]
= ；
?x?0
lim
f(1??x)?f(1)
= .
?x

11．函数
y?x?
三、解答题
12．已知函数< br>f
(
x
)＝2
x
＋1，分别计算在区间[－3，－1]，[0 ,5]上函数
f
(
x
)的平均变化率．
13．求函数
y?
1
在x=1处的导数是 .
x
x
在
x?1
处的导数[来源:学_科_网Z_X_X_K
14． 已知函数
y=log
2
x+1
。
（1）求函数在[2，2.1]上的平均变化率；
（2）若自变量从
x
0< br>增加到
x
0
+Δx
，该函数的平均变化率又是多少？（
x0
＞0）
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2
?
(1?t?3)
?
3t?1　　　　
15． 物体运动方程如下
s?
?

2
(t?3)
?
?
2?3(t?3)　　
求此物体在t=2 和 t=4 时的瞬时速度
【答案与解析】

1. 【答案】 C
【解析】
?x
可正可负但不能为零。
2． 【答案】C
?y(1??x)
2
?1?(1?1)
???x?2
。故选C。 【解析】
?x?x
3． 【答案】 A
【解析】 由平均速度的定义，有
v?
4. 【答案】 C
【解析】 正确的写法应该是
y'|
x?x
0

5． 【答案】 B
?ss(t??t)?s(t)
。故选A。
?
?t?t
?s3(3 ??t)
2
?3?3
2
?lim?lim(3?t?18)?18
。 故选B。 【解析】
v?lim
?t?0
?t
?t?0?t?0
?t
6． 【答案】 A
【解析】 ∵
f'(1)?lim
7． 【答案】 C
【解析】
lim
?x?0
?x?0
f(1??x)?f(1)a? x
?lim?a?2
，∴a=2，故选A。
?x?0
?x?x
f( 1??x)?f(1)1f(1??x)?f(1)1
'
=
lim
=
f(1)

?x?0
3?x3?x3

8． 【答案】 C
【解析】
v?lim
s(1??t)?s(1)
s时的导数值。由导数的物理意义，得9.8
?s'(1)
，即s（t）在t=1
?t?0
?t
m s是物体在t=1 s这一时刻的速率。故选C。
9. 【答案】 1
【解析】
?y(1??x)?3?(1?3)
??1

?x?x
10. 【答案】 2， 2
【解析】 由图可知：f(0)=4,f(4)=2; f(x)=-2x+4,带入可得。
11. 【答案】 0
11
?(1?)
?y
1??x1
?1?
1
，所以
y'|?lim
?y
?lim(1?
1
)?0
。 【解析】
?
x?1
?x?0
?x
?x?0
1??x
?x?x 1??x
f(?1)?f(?3)
?2
12. 【解析】 函数
f
(
x
)在[－3，－1]上的平均变化率为
?1?(?3)
1??x?
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函数
f
(
x
)在[0,5]上的平均变化率为
f(5)?f(0)
?2
.
5?0
13. 【解析】
?y1??x?
?
?x?x
1
?
?y11
1
?li m?
，
y'|
x?1
?lim
?x?0
?x
?x ?0
1??x?1
2
1??x?1
14．【解析】（1）
∵x
1
=2，x
2
=2.1，Δx=x
2
－x
1
=0 .1
，
∴
f(x
1
)?log
2
2?1?2，
f(x
2
)?log
2
2.1?1?2.07
，
∴函数在[2，2.1]上的平均变化率
?y
f(x
2
)?f(x
1
)
2.07?2
???0.7
。
?xx
2?x
1
0.1
（2）
x
1
?x
0
,x
2
?x
0
??x

f(x
0
)?log
2
x
0
?1
， f(x
0
??x)?log
2
(x
0
??x)?1，
?y?f(x
0
??x)?f(x
0
)?log
2
(x
0
??x)?log
2
x
0
?log
2
?
?x
?
x
0
??x
?log
2
?
1?
?
，
x
0
x
0
??
1
?x
∴ 函数的平均变化率
15. 【解析】
当t=2时，
ｓ＝3t?1
, 2
?
?x
??
?x
?
?y
?log
2
?
1?
?
??x?log
2
?
1?
?。
?xxx
0
?
0
???
?ss(t??t)?s( t)6t?t?3?t
2
v?lim?lim?lim?lim(6t?3?x)?6t?12 .

?x?0
?t
?x?0?x?0?x?0
?t?t
当t =4时,
s?2?3(t?3)　
,
2
s(t??t)?s(t)2?3 (4??t?3)
2
?2?3(4?3)
2
v?lim?lim
?x ?0?x?0
?t?t

3(?t)
2
?6?t
?lim? lim3?t?6?6.
?x?0?x?0
?t
?
物体在t=2和 t=4时瞬时速度分别为12和6。







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导数的几何意义
【学习目标】
1．理解导数的几何意义。
2．理解导数的全面涵义。
3．掌握利用导数求函数图象的切线的斜率。
4．会求过点（或在点处）的切线方程。

【要点梳理】

要点一、导数几何意义
1. 平均变化率的几何意义——曲线的割线
函数
y?f(x)
的平均变化率
线的斜率。
如图所示，函数
f(x)
的平均变化率
?y
f(x
2
)?f(x
1
)
?
的几何意义是表示连接函数
y?f(x)
图像上两点割
?xx
2
?x
1
?y
f(x
2
)?f(x
1)
?
的几何意义是：直线AB的斜率。
?xx
2
?x
1

事实上，
k
AB
?
换一种表述：
曲线上一点
P( x
0
,y
0
)
及其附近一点
Q(x
0
?? x,y
0
??y)
，
经过点
P
、
Q
作曲线的割线
PQ
，
则 有
k
PQ
?
y?f(x)
y
A
?y
Bf(x
2
)?f(x
1
)
?y
??
。
x
A
?x
B
x
2
?x
1
?x
y

Q

P

?

M

x

O

(y
0
??y)?y
0
?y
?
。
(x< br>0
??x)?x
0
?x
要点诠释：根据平均变化率的几何意义，可求解 有关曲线割线的斜率。

2.导数的几何意义——曲线的切线 T
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图1
沿着曲线
f (x)
趋近于点
P(x
0
,f(x
0
))
时，割线
PP
n
的变化趋势是
)(n1,2?,3,4)
如图1，当
P
n
(x
n
,f(x
n
)
什么？
我们发 现,当点
P
n
沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线
PP
n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线
PT称为曲线在点P处的切线.

定义 ：如图，当点
Q(x
0
??x,y
0
??y)
沿曲线无限接 近于点
P(x
0
,y
0
)
，
即
?x?0
时，割线
PQ
的极限位置直线
PT
叫做曲线在点
P
处的切线。
也就是：当
?x?0
时，割线
PQ
斜率的极限，就是切线的斜率。
y

Q

y?f(x)

T
P

?

M

x

O
即：
k?lim
f(x
0
??x)?f(x)
?y
?lim?f
?
(x
0
)
。
?x?0
?x
?x?0
?x
要点诠释：（1）曲线上一点切线的斜率值只与该点的位置有关。
（2）切线斜率的本质———函数在
x?x
0
处的导数。
（3）曲线的切线的斜率的符号可以刻画函数的增减性。
P(x
0
,f(x
0
))
①若曲线
y?f(x)
在点处的导数不存在，但有切线，则切 线与
x
轴垂直。
②
f'(x
0
)?0f'(x
0
)?0
，切线与
x
轴正向夹角为锐角，
f(x)
瞬时递增； ，切线与
x
轴正向夹角为钝角，
f(x)
瞬时递减；
f'(x
0
)?0
，切线与
x
轴零度角，瞬时无增减。

（4）曲线的切线可能和曲线有多个公共点；
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为什么要用割线的极限位置来定义切线，而不说“与曲线只有一个公共点的直线叫做切线？”
过去我们定义圆的切线就是“与圆有且只有一个公共点的直线”，这个定义符合圆、椭圆等一类曲线，
那 么，能否对任何曲线C都用“与C有且只有一个公共点”来定义C的切线呢？如图1-1-2-1的曲线C是我们熟知的正弦曲线y=sin x的一部分，直线
l
2
显然与曲线C有唯一公共 点M，但我们不能说直线
l
2
与曲线
C相切；而直线
l
1< br>尽管与曲线C有不止一个公共点，但我们可以说直线
l
1
是曲线C在点N处的切 线。

要点二、曲线的切线
（1）用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤：
①求出切点
(x
0
,f(x
0
))
的坐标;
②求 出函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导数
f
?
(x
0
)

③得切线方程
y?f(x
0
)?f< br>?
(x)(x?x
0
)

（2）在点
(x
0
,f(x
0
))
处的切线与过点（x
0
，y
0）的切线的区别。
在点
(x
0
,f(x
0
))
处的切线是说明点
(x
0
,f(x
0
))
为此切线的切点 ；而过点（x
0
，y
0
）的切线，则强调切线
是过点（x
0
，y
0
），此点可以是切点，也可以不是切点。因此在求过点（x
0
，y
0
）的切线方程时，先应判断点
（x
0
，y
0
）是否为曲线
f(x)
上的点，若是则为第一类解法，若不同则必须先在曲线上取一切点
(x
1
,f(x
1
))
，
求过此切点的切线方程
y?y
1
?f'(x
1
)(x?x
1
)
，再将点（ x
0
，y
0
）代入，求得切点
(x
1
,f(x1
))
的坐标，进而
求过点（x
0
，y
0
）的 切线方程。

要点三、导数的概念
导函数定义：
由函数f(x)在x= x
0
处求导数的过程可以看到,当时,
f
?
(x
0
)
是一个确定的数，那么,当x变化时,便是x的
一个函数,我们叫它为f(x)的导函数. 记作：
f
?
(x)
或
y
?
，
即:
f
?
(x)?y
?
?lim
要点诠释：
?x?0
f(x??x)?f(x)

?x
函数
f(x)
在点
x
0
处的导数
f
?
(x
0
)
、导函数
f
?
(x)
之间的区别与联系。
（1 ）函数在一点处的导数
f
?
(x
0
)
，就是在该点的函数的 改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常
数，不是变数。
（2）函数的导数，是指某一区间内任一点x而言的，也就是函数f(x)的导函数。 '
（3）函数
f(x)
在点
x
0
处的导数
f( x
0
)
就是导函数
f
?
(x)
在
x?x< br>0
处的函数值。

导函数也简称导数，所以
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所以求函数在一点处的导数，一般是先求出函数的导函数，再计算这点的导数函数值。

导函数求法：
由导数的定义可知，求函数
y?f(x)
的导数的一般方法是：
（1）.求函数的改变量
?y?f(x??x)?f(x)
。
?yf(x??x)?f(x)
。
?
?x?x
?y

（3）.取极限，得导数
y
＝
lim
。
?x?0
?x
（2）.求平均变化率

要点四、导数的定义的几种形式：
割线的极限即为切线，即为导数，从这个几何意义上看导数式可以有多种表达形式，如：
y' ?lim
?x?0
f(x??x)?f(x)f(x)?f(x??x)f(x??x)?f( x)
；（或：
y'?lim
；
y'?lim
；）
?x?0 ?x?0
?x??x??x
f(x)?f(x
0
)
。
x? x
0
y'?f'(x
0
)?lim
x?x
0
要点诠 释：只要是
?x?0
时，极限式所表示的是割线的斜率（或其若干倍），就能表示为导数式。

【典型例题】
类型一、求曲线的切线方程
【导数的几何意义 385147 例1】
例1．曲线的方程为
y?x?1
，那么求此曲线在点
P
（1，2）处的切线的斜率，以及切线的方程.
2
【解析】 利用导数的几 何意义，曲线在点
P
（1，2）处的切线的斜率等于函数
y?x?1
在
x?1
处的导
数值，再利用直线的点斜式方程写出切线方程.
2
2
由
y?x?1
得
y
?
?(x?1)
?
?2x，所以曲线在点
P
处的切线斜率为
k?y
?
|
x?1< br>?2
，
2
过点P的切线方程为
y?2?2(x?1)
，即< br>y?2x
.
【总结升华】 求曲线上一点处切线的步骤：

① 求函数
y
=
f
(
x
)在点
x?x
0
处的导数，即曲线
y
=
f
(
x
)在
P(x
0
，f(x
0
))
处切线的斜率。
②由点斜式写出直线方程：< br>y?y
0
?f
?
(x
0
)(x?x
0
)
；如果
y
=
f
(
x
)在
P(x
0
，f(x
0
))
的切线平行于
y
轴（此
时导数 不存在）时，由切线定义知：切线方程为：
x?x
0
.
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举一反三：
【变式1】（2015春 儋州校级期末）过曲线
y?f(x)?
2+Δy）作割线，则当Δx=0.5时割线的斜率为（ ）
A．
x
图象上一点（2，―2）及邻近一点（2+Δx，―
1?x
15
2
B． C．1 D．
?

33
3
【答案】B
【解析】当Δx=0.5时，2+Δx=2.5，
故
?2??y?
2.55
??
，
1?2.53
故
k
PQ
5
??2
2
?
3
?
。
2.5?23
故选B。

【变式2】已知函数
f
(
x
)＝
x
＋3，则
f
(
x
)在(2，
f
(2))处的切线方程为________．
【答案】
∵
f
(
x
)＝
x
＋3，
x
0
＝2
∴
f
(2)＝7，Δ
y
＝
f
(2＋Δ
x< br>)－
f
(2)＝4·Δ
x
＋(Δ
x
)
∴
2
2
2
?y?y
＝4＋Δ
x
. ∴
lim
＝4.即
f
′(2)＝4.
?x?0
?x?x< br>又切线过(2,7)点，所以
f
(
x
)在(2，
f
( 2))处的切线方程为
y
－7＝4(
x
－2)
即4
x
－
y
－1＝0.
【变式3】（2015春 潍坊期末）函数
f(x)?x?4x?5
的图象在
x?1
处的切线在
x
轴上的截距为
（ ）
A. 10 B. 5 C.
?1
D.
?
【答案】
?
【解析】
'
3
3

7
3

7
f (x)?x
3
?4x?5,?f
'
(x)?3x
2
?4 ，

?f(1)?7
，即切线的斜率为7，又
f(1)?10
，故切点坐标（1,10），

?
切线的方程为：
y?10?7(x?1)
，当
y?0
时，
x??
切线在
x
轴上的截距为
?

【导数的几何意义 385147 例2】
3
，
7
3
。
7
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例2 求曲线
y?x
经过点
P(1,1)
的切线方程.
【解析】 本题要分点
P(1,1)
是切点和
P(1,1)
不是切点两类进行求解. < br>若点
P(1,1)
是切点，由
y?x
得
y
?
?3x
，
则
k?3
，于是切线方程为
y?1?3(x?1)
，即
y?3x?2
；
3
2
3
1?x
0
3
若点
P(1,1)
不是切点，设切点为
(x
0
,x
0
)
：则切线率
k?y'?3x
0
，所以
3x
0< br>?

1?x
0
32
2
解之得
x
0< br>??
13331
，所以
k?
，所以切线方程是
y?1?(x? 1)
，即
y?x?
.
24444
【总结升华】
求切线方 程，首先要判断所给的点是否是切点。若是，可用求切线方程的步骤求解；若不是，可设出切
点，写出切 线方程，结合已知条件求出切点坐标，从而得到切线方程。
举一反三：
【变式1】 已知： 函数
f(x)?x?3x
，经过点
(2,2)
作函数图象的切线，求：切线的 方程。
3
【答案】 对于函数
f(x)?x?3x
，
f
?
(x)?lim
3
?y
?3x
2
?3

? x?0
?x
由于点
(2,2)
在函数
f(x)
图象上， < br>（1）当点
(2,2)
是切点时，函数
f(x)
图象在点
(2 ,2)
处的导数即为切线的斜率，
即：
k?f
?
(2)?3?2?3?9
，
切线方程为：
9x?y?16?0
；
3
（2）当点
(2, 2)
不是切点时，设点
(x
0
,x
0
?3x
0)
为切点，
2
3
x
0
?3x
0
?2
函数
f(x)
在此处的导数（即切线的斜率）
k?f
?
(x
0
)?3x?3?
（
x
0
?2
）
x0
?2
2
0
32
2
即：
x
0
?3x
0
?4?0
?
(x
0
?1)(x
0
?2)?0
?
x
0
??1
，
即此时点
(?1,2)
为切点，此时切线方程为
y?2
。
【变式2】已知曲线
y?
1
。
x
（1）求曲线过点A（1，0）的切线方程；
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（2）求满足斜率为
?
的曲线的切线方程。
1
3
【答案】 （1）设过点A（1，0）的切线的切点坐标为
?
a,
?
?
f(a? ?x)?f(a)1
1
?
lim??
，因为，所以该
?
?x ?0
a
?
?xa
2
切线的斜率为
?
11
1
y???(x?a)
。 ① ，切线方程为
aa
2
a
2< br>1
。所以所求的切线方程为y=―4x+4。
2
将A（1，0）代入①式，得
a?
?
1
?
111
（2）设切点坐标为
P
?
x
0
,
?
，由（1）知，切线的斜率为
k??
2
，则
?
2
??
，
x
0
??3
。那
x
0
x
0
3
x
0
??
么切点为< br>P
?
3,
?
?
?
?
3
?
3
?
或。
P'?3,?
??
?
??
?
3< br>?
3
?
?
123123
x?
或
y??x?< br>。
3333
所以所求的切线方程为
y??
【导数的几何意义 385147 例3】
【变式3】设函数
f(x)?x?2ax?bx?a
，
g(x)?x?3x?2
，
其中
x?R
，
a,b
为常数 ，已知曲线
y?f(x)
与
y?g(x)
在
点（2,0）处有相同 的切线
l
.求
a,b
的值，并写出切线
l
的方程.
322
(2??x)
3
?2a(2??x)
2
?b(2??x)? a?(2
3
?8a?2b?a)
【答案】
f'(2)?lim
< br>?x?0
?x
2
?
?lim
?
12?8a?b?6? x?(?x)
?
?12?8a?b


?x?0
?< br>(2??x)
2
?3(2??x)?2?(2
2
?3?2?2)
g'(2)?lim?lim(1??x)?1

?x?0?x?0
?x
由 已知：
f(2)?0
且
f'(2)?g'(2)
?
a??2,b?5
，因为
k?g'(2)?1

所以
l
的方程：
y?x?2

类型二、利用定义求导函数
例3．求函数
y?
4
在x=2处的导数。
x
2
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【解析】 解法一：（导数定义法）
444(?x)
2
?4? x
?
2
??1?1?
∵
?y?
，
22
( x?2)2(?x?2)(?x?2)
∴
?y?x?4
??
。
?x(?x?2)
2
?y?x?4
??lim??1
。
? x?0
?x
?x?0
(?x?2)
2
∴
lim
解法 二：（导函数的函数值法）
∵
?y?
444?x(2x??x)
???
，
(x??x )
2
x
2
x
2
(x??x)
2
∴
?y4(2x??x)
??
2
。
2
?xx(x??x)
? y4(2x??x)8
??lim
2
??
3
。
?x?0< br>?x
?x?0
x?(x??x)x
∴
y'?lim
∴
f'(2)?y'|
x?2
??1
。
【总结升华】求导数的步骤和求导数值的步骤一样，叫三步法求导。
举一反三：
【变式1】已知
f(x)?
【答案】 因为
?y?
x?2
，求
f'(x)
，
f'(2)

x??x?2?x?2
，所以
?y
?
?x
x??x?2? x?2(x??x?2)?(x?2)
??
?x
?x(x??x?2?x?2)
1
。
x??x?2?x?2
当Δx→0时，
f'(x)?
111
?
。 ，当x=2时，
f'(2)?
22?2
4
2 x?2
【变式2】求函数
y?
1
在
(0,??)
内的导函数 。
x
解：
?y?
11
??
x??xx
x?x?? x
，
x??x?x
?yx?x??x(x?x??x)(x?x??x)
? ?
?x
?x?x??x?x?x?x??x?x?(x?x??x)

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?
??x
?
?x?x??x?x?(x?x??x)
?1

x??x?x?(x?x??x)

y
?
?lim
?x?0
?1?11
?
3
???x
2

2
x??x?x?(x?x??x)x?2x
类型三、导数的几种形式
例4. 若
f'(x
0
)?2
，则
lim
k?0< br>f(x
0
?k)?f(x
0
)
?
________。
2k
【解析】 根据导数定义：
f'(x
0
)?lim
k?0
f[x
0
?(?k)]?f(x
0
)
（这时Δ=－k ），
?k
所以
lim
k?0
f(x
0
?k)?f (x
0
)

2k

?lim
?
?
?
1
f[x
0
?(?k)]?f(x
0
)
??
?

k?0
2?k
??

??
f [x
0
?(?k)]?f(x
0
)
11
?lim???2? ?1
。
2
k?0
?k2
【总结升华】
（1）有一种错误的解法：
根据导数的定义：
f'(x
0
)?lim
k?0
f(x
0
?k)?f(x
0
)
（ 这时Δx=k），
k
所以
lim
k?0
f(x
0?k)?f(x
0
)
1
f(x
0
?k)?f(x)0
1
?lim??2?1
。
k?0
2k2k2
（2） 在导数的定义中，增量Δx的形式是多种多样的，但不论Δx选择哪种形式，Δy也必须选择与之
相对应 的形式。利用函数
f(x)
在x=x
0
处可导的条件，可以将已给定的极限式 恒等变形为导数定义的形式。
概念是解决问题的重要依据，只有熟练掌握概念的本质属性，把握其内涵与 外延，才能灵活地应用概念进行
解题。
举一反三：
【变式1】已知函数y＝f(x )在x＝x
0
处的导数为11，则
lim
?x?0
f
?x
0
?2?x
?
?f
?
x
0
?
＝____。
?x
【答案】
lim
?x?0
f
?
x
0
?2?x
?
?f
?
x
0
?
f
?
x
0
?2?x
?
?f
?
x
0
?
＝
?2lim
＝－2f′(x
0
)＝－2×11＝－22 .
?x?0
?x?2?x
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【变式2】设
f
(
x
)为可导函数，且满足
lim
x?0
f(1)?f(1?2x)
?
－ 1，则过曲线
y
＝
f
(
x
)上点(1，
f
(1))处的切
2x
线斜率为( )
A．2
C．1
【答案】

lim
x?0




B．－1
D．－2
f(1)?f(1?2x)f(1?2x)?f(1)
?lim?
－1，即
y
′|
x
＝1
＝－1， x?0
2x?2x
则
y
＝
f
(
x
)在 点(1，
f
(1))处的切线斜率为－1，故选B.
【变式3】. 若
f'(x
0
)?a

f(x
0
??x)?f(x
0
??x)
f
?
x
0
??x
?
? f
?
x
0
?
lim
（1）求
lim
的值。 （2）求的值。
?x?0
?x?0
?x
?x
f
?
x
0
??x
?
?f
?
x
0
?
f< br>?
x
0
??x
?
?f
?
x
0
?
??lim??f'(x
0
)??a
【答案】
lim
?x?0?x?0
?x??x
lim
?x?0
f(x
0
?? x)?f(x
0
??x)
?x
?
lim
?x?0
f (x
0
??x)?f(x
0
??x)
1
?
?x?( ??x)
?
2
?2
lim
?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
??x)
2?x

?2f'(x
0
)?2a

【巩固练习】
一、选择题
1. 设
f(x)?ax?4
，若
f'(1)?2
，则a=（ ）
A．2 B．－2 C．3 D．不确定
2．在曲线
y?x
上切线的倾斜角为
A．(0,0)
C.
(






2
?
的点是( )
4
B．(2,4)
D.
(,)

11
,)

164
11
42
3. （2014春 满州里市月考）已知函数y＝f(x )的图象如图，则f′(x
A
)与f′(x
B
)的大小关系是( )
A．f′(x
A
)>f′(x
B
)
B．f′(x
A
)B
)
C．f′(x
A
)＝f′(x
B
)
D．不能确定
4．已知曲线
y
＝
f
(
x
)在
x
＝5处 的切线方程是
y
＝－
x
＋8，则
f(5)
及
f'( 5)
分别为( )
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A．3,3



B．3，－1
D．－1，－1 C．－1,3
5．设f′(x
0
)＝0 ，则曲线y＝f(x)在点(x
0
，f(x
0
))处的切线( )
A．不存在



B．与x轴平行或重合
D．与x轴斜交 C．与x轴垂直
6.（2015春 宜春校级月考）设
f(x)
存在导数且满足
的点（1，
f(1)
）处的切线的斜率为（ ）
A.
?1
B.
?2
C.1 D.2
lim
?x?0
f(1)?f(1?2?x)
??1
，则曲线
y?f(x)
上
2?x
二、填空题
7．曲线
y? f(x)
在点
(x
0
,f(x
0
))
处的切线方程 为3x+y+3=0，则
f'(x
0
)
________0。（填“＞”“＜ ”“＝”
“≥”或“≤”）
2
8.（2015春 宁县校级期末）设点P（
?3,f(?3)
）是曲线
y?x?3x?
3
上的一点，则过点P处切
5
线的倾斜角为 。
9．已知函数
y?f(x)
在
x=x
0
处的导数为11 ，则
lim
2
?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?
________。
?x
10．若曲线
y?x?a x?b
在点
(0,b)
处的切线方程是
x?y?1?0
，则
a?b?
______。
11．若抛物线
y=x―x+c
上一点P的横坐标 是―2，抛物线过点P的切线恰好过坐标原点，则c的值为
________。
2
三、解答题
12．若曲线y＝x
2
－1的一条切线平行于直线y＝4x－3.求这条切线的方程．
13．已知曲线
y=x―1
与
y=3―x
在x=x
0
处的切线互相垂直，求x
0
。

14．曲线
y??x?4x
上有两点A（4，0）、B（2，4）。求：
（1）割线AB的斜率
K
AB
及AB所在直线的方程；
（2）在曲 线上是否存在点C，使过C点的切线与AB所在直线平行？若存在，求出C点的坐标及切线方
程；若不存 在，请说明理由。
15．求曲线
y?x?3x?1
经过原点的切线方程.
【答案与解析】
1. 【答案】A [解析]
f'(1)?lim
2. 【答案】 D
【解析】 易求
y
′＝2
x
，设在点
P
(
x
0
，
x
0)处切线的倾斜角为
2
23
2
32
?x?0
f(1?? x)?f(1)a?x
?lim?a?2
，∴a=2，故选A。
?x?0
?x?x
?
，则2
x
0
＝1，
4
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∴
x
0
＝
3. 【答案】B
【解析】由图象可知函数在A处的切线斜率小于B处的切线斜率，
∴根据导数的几何意义可知
f'(x
A
)?f'(x
B
)
，
故选：B。
4. 【答案】 B
【解析】 由题意易得：
f
(5)＝－5＋8＝3，
f
′(5)＝－1，故应选B.
5． 【答案】 B
111
，∴D.
(,)

242
【解析】 由导数的几何意义知B正确，故应选B.
6．【答案】 A
'
【解析】
y?f(x)
在点（1，
f(1)
）处的切线的斜率为
k?f(1)?
故选A。

7．【答案】 ＜
lim
?x?0
f(1)?f(1?2?x)
??1
，
2?x
【解析】 由题知
f'(x
0
)
就是切线方程 的斜率，即
f'(x
0
)??3
，故
f'(x
0
) ?0
。
8．【答案】
?

【解析】
2
3< br>f
'
(x)?2x?3,?f
'
(?3)??23?3??3

2
?k??3
，所以倾斜角为
?
。
3
2
8.（2015春 宁县校级期末）设点P（
?3,f(?3)
）是曲线
y?x?3x?
3
上的一点，则过点P处切
5
线的倾斜角为 。

9．【答案】 －11
【解析】 ∵
f'(x
0
)?lim
∴
lim
10．【答案】 0
【解析】 ∵(0,b)在切线上, ∴b=1,由定义可求出
y'?a
，∴a=1 ∴a-b=0.
由导数的定义知y＇=3x+6x+6=3(x+2x+1)+3=3(x+1)+3，
所以
当
x=－1
时，斜率有最小值为3。又因为当x=－1时，y=－14，
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222
?x?0
f(x
0??x)?f(x
0
)
?11
，
??x
?x?0f(x
0
??x)?f(x
0
)
??f'(x
0
)??11

?x

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所以切线方程为y+14=3(x+1)，即y=3x－11。
11．【答案】 4
【解析】 ∵y＇=2x－1，∴
y'|
＝
lim
5
。 又P（－2，6+c），∴
x??2
??
6?c
∴c=4。12．【解析】
f
′(
x
)
??5
，
?2
?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?

?x
(x??x)
2
?1?(x
2
?1)2x?x?(?x)
2
lim?lim
＝
lim(2x??x)?2x

?x?0?x?0
?x?0
?x?x
设切点坐标为(
x
0
，
y
0< br>)，则由题意知，
f
′(
x
0
)＝4，即2
x< br>0
＝4，∴
x
0
＝2.
代入曲线方程得
y
0
＝3.
故该切线过点(2,3)且斜率为4.
所以这条切线的方程为
y
－3＝4(
x
－2)，
即4
x
－
y
－5＝0.
13．【解析】 在x=x0处曲 线y=x―1的切线斜率为2x
0
，曲线y=3―x的切线斜率为―3x
0
。
2
∵
2x
0
?(?3x
0
)??1
，∴
x
0
?
232
1
。
3
6
14．【解析】 （1）∵
k
AB
?
4?0
??2
，
2?4
∴割线AB所在直线方程是
y=―2(x―4)
，
即
2x+y―8=0。
（2）由导数定义可知
y＇=―2x+4，―2x+4=―2，

∴x=3，y=－3
2
+3×4=3。
∴在曲线上存在点C，使过C点的切线与AB所在直线平行，C点坐标为（3，3），
所求切线方程为
2x+y－9=0
。

15. 【解析】 原点坐标（0，0）不满足曲线
y?x?3x?1
的方程，故原点不是切点.
32< br>设过原点的切线的切点坐标为（x
0
，y
0
），则
y
0
?x
0
?3x
0
?1
.
32
2
∵
y'?3x?6x
，∴切线斜率为
y'|
x?x
0
?3 x
0
?6x
0

2
2
切线方程为
y?y< br>0
?(3x
0
?6x
0
)(x?x
0
)
∵切线必过原点（0，0）
2
32
∴
?y
0
?(3x
0
?6x
0
)(?x
0
)
，将
y
0
?x
0
?3x
0
?1
代入
32
∴
2x
0
?3x
0
?1?0

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3222
∴
2x
0
?2x
0
?x
0
?1?0
，
(x
0
?1)(2x
0
?x
0
?1)?0
2
∴
(x
0
?1)(2x
0
?1)?0，解出x
0
=1或
x
0
??
1

2< br>2
当x
0
=1时，切线斜率为
y'|
x?1
?3?1 ?6?1??3

∴过原点的切线方程为y=－3x
当
x
0
??
1
2
115
1
时，切线斜率为
y'|
1?3?(?)?6?(?)?

x??
224
2
2
∴过原点的切线方程为
y?

15
x
.
4
导数的计算

【学习目标】 1. 牢记几个常用函数的导数公式，并掌握其推导过程。
2. 熟记八个基本初等函数的导数公式，并能准确运用。
3. 能熟练运用四则运算的求导法则，
4. 理解复合函数的结构规律，掌握求复合函数的求导法则：“由外及内，层层求导”．
【要点梳理】
知识点一：基本初等函数的导数公式
（1）
f(x)?C
（C为常数），
f'(x)?0

（2 ）
f(x)?x
（n为有理数），
f'(x)?n?x
（3）
f(x )?sinx
，
f'(x)?cosx

（4）
f(x)?cosx
，
f'(x)??sinx

（5）
f(x)?e
，
f'(x)?e

x
（6）
f(x)?a
，
f'(x)?a?lna

x
xx
nn?1

1

x
1
（8 ）
f(x)?log
a
x
，
f'(x)?log
a
e
。
x

（7）
f(x)?lnx
，
f'(x)?
要点诠释：
1． 常数函数的导数为0，即C＇=0（C为常数）．其几何意义是曲线
f(x)?C
（C为常数） 在任意点
处的切线平行于x轴．
2．有理数幂函数的导数等于幂指数n与自变量的 （n－1）次幂的乘积，即
(x)'?nx
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nn?1
（n∈Q）．

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特别地
?
1
1
?
1
?
(x)'?
，。
'??
?
2
x
2x
?
x
?
3．正弦函数的导数等于余弦函数，即（sin x）＇=cos x．
4．余弦函数的导数等于负的正弦函数，即（cos x）＇=－sin x．
5．指数函数的导数：
(a)'?alna
，
(e)'?e
． 6．对数函数的导数：
(log
a
x)'?
xxxx
11
log
a
e
，
(lnx)'?
．
xx
11有时也把
(log
a
x)'?log
a
e
记作：
(log
a
x)'?

xxlna

以上常见函数的求导公式不需要证明，只需记住公式即可．
知识点二：函数的和、差、积、商的导数
运算法则：
（1）和差的导数：
[f(x)?g(x)]'?f'(x)?g'(x)

（2）积的导数：
[f(x)?g(x)]'?f'(x)g(x)?f(x)g'(x)

（3）商的导数：
[
要点诠释：
f(x)f'(x)?g(x)?f(x )?g'(x)
]'?
（
g(x)?0
）
2
g(x)[g(x)]
1. 上述法则也可以简记为：
（ⅰ）和（或差）的导数：
(u?v)'?u'?v'
，
推广：
(u
1
?u
2
??u
n
)'?u'
1
?u'
2
??u'
n
．
（ⅱ）积的导数：
(u?v)'?u'v?uv'
，
特别地：
(cu)'?cu'
（c为常数）．
（ⅲ）商的导数：
?
?
u
?
u'v?uv'
(v?0)
，
?
'?
2
v
?
v
?
两函数商的求导法则的特例

?
?
f(x)
?< br>f'(x)g(x)?f(x)g'(x)
'?(g(x)?0)
，
?
2
g(x)
?
g(x)
?
?
1
?
1'? g(x)?1?g'(x)g'(x)
'???(g(x)?0)
．
?
22
g(x)g(x)
?
g(x)
?
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当
f(x)?1
时，
?

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这是一个函数倒数的求导法则．

2．两函数积与商求导公式的说明
（1）类比：
(uv)'?u'v?uv'
，?
?
u
?
u'v?uv'
（v≠0），注意差异，加以区分．
?
'?
2
vv
??
（2）注意：
?
?
u
?
u'
?
u
?
u'v?uv'
（v ≠0）．
?
'?
且
??
'?
2
vv'vv
????
3．求导运算的技巧
在求导数中，有些函数虽然表面形式 上为函数的商或积，但在求导前利用代数或三角恒等变形可将
函数先化简（可能化去了商或积），然后进 行求导，可避免使用积、商的求导法则，减少运算量．
知识点三：复合函数的求导法则
1．复合函数的概念
对于函数
y?f[
?
(x)]
，令< br>u?
?
(x)
，则
y?f(u)
是中间变量u的函数，
u?
?
(x)
是自变量x的函数，
则函数
y?f[
?(x)]
是自变量x的复合函数．
要点诠释： 常把
u?
?
(x)
称为“内层”，
y?f(u)
称为“外层” 。
2．复合函数的导数
设函数u?
?
(x)
在点x处可导，
u'
x
?
?'(x)
，函数
y?f(u)
在点x的对应点u处也可导
y'
u
?f'(u)
，
则复合函数
y?f[
?
(x)]
在 点x处可导，并且
y'
x
?y'
u
?u'
x
，或写 作
f'
x
[
?
(x)]?f'(u)?
?
'(x)
．
3．掌握复合函数的求导方法
（1）分层：将复合函数
y?f[
?
(x)]
分出内层、外层。
（ 2）各层求导：对内层
u?
?
(x)
，外层
y?f(u)
分 别求导。得到
?
'(x),f'(u)

（3）求积并回代：求出两导数的积 ：
f'(u)?
?
'(x)
，然后将
u用
?
(x) 替换
，即可得到
y?f[
?
(x)]
的导数。
要点诠释： 1. 整个过程可简记为分层——求导——回代，熟练以后，可以省略中间过程。若遇多重 复合，
可以相应地多次用中间变量。
2. 选择中间变量是复合函数求导的关键。求导时需要 记住中间变量，逐层求导，不遗漏。求导
后，要把中间变量转换成自变量的函数。
【典型例题】
类型一：求简单初等函数的导数
例1. 求下列函数的导数：
(1)
x
3
(2)
1
(3)
x
（4）
y?sinx
（5）
lnx

2
x
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【解析】
33－12
(1) (
x
)′=3
x
=3
x
；
(2) (
1
－2－2－1－3
)′=(
x
)′=－2
x
=－2
x

2
x
1
2
?1
1
1
1?
1
1
2
(3)
(x)
?
?(x)
?
?x

?x
2?
22
2x
（4）
y'?(sinx)'?cosx
；
（5）
y'?(lnx)'?
1
；
x
【总结升华】（1） 用导数的定义求导是求导数的基本方法，但运算较繁。利用常用函数的导数公式，可以简
化求导过程，降 低运算难度。
（2）准确记忆公式。
（3）根式、分式求导时，先将根式、分式转化为幂的形式。
举一反三：
【导数的计算229880 例题1】
【变式】求下列函数的导数：
(1)
y
=
【答案】
(1)
y
′=(1
32
2
3
x
y?logx?log
2
x； (2)
y
= （3）y=2x―3x+5x＋4 （4）
2
3
x
1
－3－3－1－4
)′=(
x
)′=－3
x
=－3
x

3
x
1
3
2
?1?
1
1
1
(2
y
?
?(x)
??(x)
?
?x
3
?x
3

33
3< br>（3）
y'?2(x)'?3(x)'?5(x)'?(4)'?6x?6x?5
2
（4）∵
y?log
2
x?log
2
x?log2
x
，∴
y'?(log
2
x)'?
322
1
.
x?ln2
类型二：求函数的和、差、积、商的导数
例2. 求下列函数导数：
(1) y＝3x＋xcosx； (2)y＝
【解析】
(1)
y
′＝6
x
＋cos
x
－
x
sin
x
.(2)
y
′＝
2
x
x
； (3)y＝lgx－e；（4）y=
e
x
tanx.
1?x
1?x ?x1
1
xx
?
.(3)
y
′＝(lg
x
)′－(e)′＝－e.
22
(1?x)(1?x)
xln10
e
x
(4)
y
=
e
tanx+.
2
cosx
'
x
【总结升华】
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（1）熟记基本初等函数的导数公式和灵活运用导数的四则运算法则，是求导函数的前提。
（2）先化简再求导，是化难为易，化繁为简的基本原则和策略。
举一反三：
【变式1】（2015春 兰山区期中）函数
y?xcosx?sinx
的导数为（ ）
A.
xsinx
B.
?xsinx
C.
xcosx
D.
?xcosx

【答案】B
【变式2】 求下列各函数的导函数
（1）
y=(x+1)(x+2)(x+3)。
（2）
y=xsinx;
（3）
y=
【答案】
（1）
∵y=(x+3x+2)(x+3)=x+6x+11x+6，∴y＇=3x+12x+ 11。
222
（2）
y′=（x）′sinx＋x（sinx）′=2xsinx＋ xcosx
2
x?cosx

x?sinx
2322
(x ?cosx)
?
(x?sinx)?(x?cosx)(x?sinx)
?
（ 3）
y'?

(x?sinx)
2
=
(1?sinx)(x ?sinx)?(x?cosx)(1?cosx)

(x?sinx)
2
?xcosx?xsinx?sinx?cosx?1

2
(x?sinx)
=
【变式3】求下列函数的导数.
（1） y ＝（2 x
2
－5 x ＋1）e
x
；
（2）
y?(x?1)(
1
?1)
；
x
（3） y ＝
sinx?xcosx

cosx?xsinx
【答案】
（1） y′＝(2 x
2
－5 x ＋1)′e
x
＋(2 x
2
－5 x ＋1) (e
x
)′
＝（4 x －5）e
x
＋（2 x
2
－5 x ＋1）e
x

＝（2x
2
－x －4）e
x

11
?
1?x1?x
（2）
y?(x?1)??x
2
?x
2
， < br>xx
1
?
3
1
?
1
2
∴
y '??x?x
2
.
22
（3）y′＝
1
[(sin x －x cos x)′(cos x ＋x sin x)－(sin x －x cos x)·(cos x ＋x sin x)′]
2
(cosx?xsinx)
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＝
1
[(cos x －cos x ＋x sin x) (cos x ＋x sin x)－(sin x －x cos x) (x cos x)]
(cosx?xsinx)
2
xsinxcosx?x
2
sin
2
x?xsinxcosx?x
2
cos
2
x
x
2
＝＝
(cosx?xsinx)
2
co sx?xsinx
类型三：求复合函数的导数
例3求下列函数的导数：
（1）
y?
1
?
； （2）
y?cos(3x?)
；
(1?3x)
4
6
2（3）
y?ln(2x?3x?1)
；
【解析】
（1）设μ=1-3x，
y?
?
?4
，则
?5

y'
x
?y'
?
?
?
'
x
??4
?
（2）设
?
?3x?
?(?3)?
12
。
(1?3x)
5
?
6
，y=cosμ，则

y'
x
?y'
?
?
?
'
x
??s in
?
?3??3sin(3x?
?
6
)
。
22
（3）设
u?2x?3x?1,则u'?4x?3，y'
u
?lnu?ln( 2x?3x?1)

y'
x
?y'
u
?u'
x?
(4x?3)ln(2x
2
?3x?1)

【总结升华】
把一部分量或式子暂时当作一个整体，这个整体就是中间变量。求导数时需要记住中间变量，注 意
逐层求导，不能遗漏。求导数后，要把中间变量转换成自变量的函数。
举一反三：
【变式1】（2014春 晋江市校级期中）设
f(x)?sin2x
，则
f()
=（ ）
'
?
3
A.
3
B.
?3
C.1 D.
?1

2
【答案】D
【解析】因为
f(x)?sin2x
，所以
f(x)?(2x)cos2x?2cos2x
，
则
f()?2cos
?
2?
'
''
?
3
?
?
?
?
?
??1
，故选D。
3
?
【导数的计算229880 例题2】
【变式2】 求下列函数导数.
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（1）
y?ln(x?2)
； （2）
y?e
【答案】
（1）
y?lnu
，
u?x?2

∴
y'
x
?y'
u
?u'
x
?(lnu)'?(x?2)'

?
（2）
y?e
，
u?2x?1
.
u
∴
y'
x
?y'
u
?u'
x
?(e)'?(2x?1 )'
?2e
u
?2e
2x?1

2x?1
； （3）
y?cos(2x?1)
.
2
11

?1?
ux?2
u
（3）
y?cosu
，
u?2x?1
， 2
∴
y'
x
?y'
u
?u'
x
?(c osu)'?(2x?1)'
??4xsinu??4xsin(2x?1)
.
2
2
例4 求下列函数导数.
(1)
y?(1?2x)
； （2）
y?x1?x
2
； （3）
y?sin
2
(2x?
【解析】
(1) 令
u?1?2x
2
,
y?u
,
82727
??? ?
?y
?
x
?y
u
u
x
?(u)(1?2 x)?8u?4x?32x(1?2x).

28
?
3
)

8
（2）
y'?(x1?x
2
)'?x'?1?x
2
?x?(1?x
2
)'


?1?x?x ?
2
2
(1?x
2
)'
21?x
2
?1? x?
2
x
2
1?x
2
?
1?2x
2
1?x
2
。
（3）设
y?
?
，μ=sinv，
v?2x?
?
3
，则
v?2

y '
x
?y'
?
?
?
'
V
?v'
x
?2
?
?cos
?2sin(2x?
?
3
2
?
?2sin(4x?)
3
)?cos(2x?
?
3
)? 2

在熟练掌握复合函数求导以后，可省略中间步骤：

y'?
?
sin(2x?
?
?
2
?
??
?
?
?
)
?
'?2sin(2x?)?
?< br>sin(2x?)
?
'

3
?
3
?
3
?
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?2sin(2x?

?
3
2
?2sin(4x?
?
)
3
)?c os(2x?
?
3
)?(2x?
?
3
)'

【总结升华】
（1）复合函数求导数的步骤是：
①分清复合关系，适当选定中间变量，正确分解复合关系（简称分解复合关系）；
②分层求导，弄清每一步中哪个变量对哪个变量求导数（简称分层求导）；
③将中间变量代回为自变量的函数。
简记为分解——求导——回代，当省加重中间步骤后，就没有回代这一步了，
即分解（复合关系）——求导（导数相乘）。
（2）同一个问题可有多种不同的求导方法，若能化简的式子，则先化简，再求导。
举一反三：
【变式1】 求y ＝sin
4
x ＋cos
4
x的导数．
【答案】
解法一 y ＝sin
4
x ＋cos
4
x＝(sin
2
x ＋cos
2
x)
2
－2sin
2
cos
2
x＝1－
＝1－
1
2
sin2 x
2
131
（1－cos 4 x）＝＋cos 4 x．y′＝－sin 4 x．
444
4433
解法二
y′＝(sin

x)′＋(cos

x)′＝4 sin

x(sin x)′＋4 cos

x (cos x)′
＝4 sin

3

x cos x ＋4 cos

3

x (－sin x)＝4 sin x cos x (sin

2

x －cos

2

x)
＝－2 sin 2 x cos 2 x＝－sin 4 x
【变式2】求下列函数导数：
?
22
?
（1）
y?
；

?x?
?
?
?
?
2
?
22
1?2x
??
1
?
cosx
?
（2）．求函数
y?
?
。 ?
的导数（
sinx?0
）
2
sinx
??
【 答案】 （1）设u=1－2x，则
y?u
2
?
1
2
2
。
?
1
?
3
?
2
∴
y'
x
?y'
u
?u'
x
?
?
?u
?
?(?4x )

?
2
?
33
??
12x
2
2
2
2

??(1?2x)(?4x)?2x(1?2x)?
。
22
2
(1 ?2x)1?2x
cosx
?
cosx
?
2cosx(cosx)' sin
2
x?cosx(sin
2
x)'
?
?
?< br>（2）．方法一：
y'?2

?
'?
sin
2
x
?
sin
2
x
?
sin
2
xsin< br>6
x
2cosx(?sin
3
x?2cos
2
x?s inx)2cosx4cos
3
x
???

?
。
sin6xsin
3
xsin
5
x
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(cos
2
x)' sin
4
x?cos
2
x(sin
4
x)'
cos
2
x
方法二：∵
y?
，∴
y'?

sin
8
x
sin
4
x
2cosx(?sinx)sin
4
x?cos
2
x?4sin
3
xcosx2cosx4cos3
x
???

?
。
835
sinxsinxsinx
类型四：利用导数求函数式中的参数
【基本不等式392186 例题1】
例5 （1）
f(x)?ax?3x?2
，若
f'(?1)?4
，则a的值为（ ）
A．
32
10131619
B． C． D． < br>3333
（2）设函数
f(x)?cos(3x?
?
)(0?
?
?
?
)
，若
f(x)?f'(x)
是奇函数，
则
?
=________。
【解析】 （1）∵
f'(x)?3ax?6x
，
∴
f'(?1)?3a?6?4，∴
a?
2
10
，故选A。
3
（2）由于
f'(x)??3sin(3x?
?
)
， < br>∴
f(x)?f'(x)?cos(3x?
?
)?3sin(3x?
?
)?2sin
?
3x?
?
?
?
?
5
?
6
?
?
，
?
若
f(x)?f'(x)
是奇函数，则
f(0)?f'(0)?0
，即
0?2sin
?
?< br>?
所以
?
?
?
?
5
?
6
?
?
，
?
5
?
?k
?
(k?Z)
。
6
又因为
0?
?
?
?
，所以
?
?
?
6
。
【总结升华】 求函数的导数的基本方法是利用函数的和、差、积、商的导数运算法则 以及复合函数的
导数运算法则，转化为常见函数的导数问题，再利用求导公式来求解即可。
举一反三：
【变式1】
已知函数
f(x)?ax?bx?cx
过 点（1，5），其导函数
y?f'(x)
的图象
如图3-2-1所示， 求
f(x)
的解析式。
【答案】∵
f'(x)?3ax?2bx?c
，
由
f'(1)?0
，
f'(2)?0
，
f(1)?5
，得
2
32
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?
3a?2b?c?0
?
a?2
??
?
12a?4b?c?0
，解得
?
b??9
，
?
a?b?c ?5
?
c?12
??
∴函数
y?f(x)
的解析式为
f(x)?2x?9x?12x
。
【导数的计算229880 例题3】
【变式2】已知
f(x)
是关于
x
的多项式函数，
2（1）若
f(x)?x?2xf
?
(1)
，求
f
?(0)
；
32
（2）若
f
?
(x)?3x?6x且
f(0)?4
，解不等式
f(x)?0
.
【解析】显然f
?
(1)
是一个常数，所以
f'(x)?2x?2f
?
(1)

所以
f'(1)?2?1?2f
?
(1)
，即
f'(1)??2

所以
f'(0)?2?0?2f
?
(1)??4

∵
f
?
(x)?3x?6x
，
∴可设
f(x)?x?3x?c

∵
f(0)?c?4

∴
f(x)?x?3x?4?(x?1)(x?2)

由
f(x)? 0
，
解得
?
x|x??1且x?2
?

322
232
2
【巩固练习】
一、选择题
1．(2014春 福建月考)下列导数运算正确的是（ ）
1
?
1
?
x
'
x?1
A.
?
x?
?
?1?
2
B.
?
2
?
?x2

x
?
x
?
C.
?
cosx
?
?sinx
D.
?
xlnx
?
?lnx?1

2．设函数
f(x)?(1?2x)
，则
f'(1)?
（ ）
A．0 B．―1 C．―60 D．60
3．质点做直线运动的方程是
s?
4
t
，则质点在t=3时的速度是（ ）（位移单位：m 时间单位：s）
A．
310
'
''
1
43
2
4
B．
1
43
3
C．
2
1
23
3
D．
1
34
2
4
3

4．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)的导数为( )
A．2(x－a) B．2(x＋a)
22
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C．3(x－a) D．3(x＋a)
5．（2014 上海二模）已知
f(x)?(2x?1)?
3< br>2222
2a
?3a
，若
f
'
?
?1
?
?8
，则
f(?1)
=（ ）
x
A.4 B.5 C.-2 D.-3
'
6．（2015 文昌校级模拟）设
f(x)?xlnx
，若
f(x
0
)?2
，则
x
0
=（ ）
A.
e
B.
ln2
C.
2
ln2
D.
e

2
2
7．
y?log
3
cosx (cosx?0)
的导数是（ ）
A．
?2log
3
e?tanx
B．
2log
3
e?cotx
C．
?2log
3
e?cosx
D．
二、填空题
8．设
f(x)?2sin(3x?
log
2
e

cos
2
x
?
)
，则
f'()?
________ ____。
33
?
9．设y=(2x+a)
2
，且
y'|
x?2
?20
，则a=________。
10．
y?
1
xsin2x
的导数是________。
2
11．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y=x
3
―10x+3上，且在 第二象限内，已知曲线C在点P处
的切线的斜率为2，则点P的坐标为________。
三、解答题
12．已知
f(x)?cosx
，
g(x)?x
，求适合
f'(x)?g'(x)?0
的x的值。
13．求下列函数的导数。
（1）
y?(
3x?4
3
)
；
6x?7
5
（3）
y?(sin5x?cos5x)
。
1 4．求曲线
y?
1
1
在点
(1,)
处的切线方程。
22
(3x?x)
16
(1?3t)
15．设一质点的运动规律为
s?e
的速度v。
?
?
1
?
cos
?
2
?
t?
?
（s单位是m；t的单位是s），试求
t?s
时质点运动
3
?
3
?
【答案与解析】
1．【答案】D
【解析】
?
x?
?
?
1
?
1
?
1
?
x
'
'?(x)?'?'?1
2?2
xlnx
，故B错误。 ，A错误。
???
2
x
?
x?
x
?
??
?
cosx
?
'
??si nx
，故C错误。所以只有D正确。
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2．【答案】D
【解析】 ∵
f'(x)?10(1?2x)?(?6x)
，∴
f'(x)|
x?1
?60
。
3．【答案】A
【解析】
s?
4
3921
?
3
1
?
3
1
4
t?t
， 则
s'?t
，当t=3时，
s'??3
4
?
。
4
3
4
4
43
1
4
4．【答案】C < br>222
【解析】
f
′(
x
)＝(
x
－
a
)＋(
x
＋2
a
)[2(
x
－
a)]＝3(
x
－
a
)．
5．【答案】A
【解析】
2a
?3a

x
2a
?f
'< br>(x)?3(2x?1)
2
?2?
2

x
f(x)? (2x?1)
3
?
f
'
(?1)?8,

?3?2?2a?8
,故有
a?1
，
2
?f(x)?(2x?1)
3
??3

x
?f(?1)??1?2?3?4
，故选A.
6．【答案】D
【解析】
f
'
(x)?lnx?1
，故
f
'(x
0
)?2
可化为
lnx
0
?1?2
；故< br>x
0
?e;
故选D。

7．【答案】A
2
【解析】 ∵
y?log
3
cosx
，
∴
y'?
8．【答案】-3
【解析】
f'(x)?6cos(3x?
9．【答案】1
1
l og
3
e?2cosx(?sinx)??2tanx?log
3
e
。
cos
2
x
??
3
??
),?f'()?6c os(?)??3

3333
【解析】
y'?2(2x?a)?2?4(x2?a?)
，且x=2，则a=1。
10．【答案】
1
sin2x?xcos2x

2
1
【解析】
y?xsin2x
，
2
111< br>则
y'?sin2x?xcos2x?2?sin2x?xcos2x
。
222
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11．【答案】（―2，15）
【解析】
y'?3x
2
? 10
，令
y'?2?x
2
?4
，
P在第二象限
?
x=―2
?
P（―2，15）。
12．【解析】
f'(x)??sinx
，
g'(x)?1
， 则
?sinx?1?0
，
sinx?1
，即
sinx?1
。
∴
x?2k
?
?
?
2
(k?Z)
。
13．【解析】（1）
y'??135(3x?4)
2
(6x?7)
?4
。
（2）
y'?5(sin5x?cos5x)
4
(sin5 x?cos5x)'


?5(sin5x?cos5x)
4
(5cos5x?5sin5x)


?25(sin5x?cos5x)
4
(cos5x?sin5x)
； 14．【解析】
y?(3x?x
2
)
?2
，则
y'?? 2?
3?2x
(3x?x
2
)
3


y '|
55
x?1
??2?
4
3
??
32
。
∴切线方程为
y?
15
16
??
32
(x?1)

即5x+32y-7=0。
15．【解析】：∵
s?e
(1?3t)< br>cos
?
?
?
?
?
2
?
t?
3
?
?
，
∴
s'??3e
(1?3t)
cos
?
?
?
2
?
t?
?
?
3
?
?
?e
(1?3t)
?
?
?
?
?sin (2
?
t?
?
?
3
)
?
?
?2< br>?


??3e
(1?t3
c
)
o< br>?
?
s
?
2t?
?
?
?
?
?
2
?(t13)
?
s
?
?
?
?
3
?
?e
?
i
?
nt?2
3
?
?
，
∴
s'|
0
t?
1
??3ecos
?
?2
?
e
0
sin
?
?3
。
3
【巩固练习】
一、选择题
1．已知
f'(x)
图象如 图3-3-1-5所示，则
y?f(x)
的图象最有可能是图3-3-1-6中的（
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）

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2．下列命题成立的是( )
A．若f(x)在(a，b)内是增函数，则对任何x∈(a，b)，都有f′(x)>0
B．若在(a，b)内对任何x都有f′(x)>0，则f(x)在(a，b)上是增函数
C．若f(x)在(a，b)内是单调函数，则f′(x)必存在
D．若f′(x)在(a，b)上都存在，则f(x)必为单调函数
3. 函数f(x)＝(x－3)e
x
的单调递增区间是( )
A．(－∞，2)
C．(1,4)




B．(0,3)
D．(2，＋∞)

4．（2015 湖南）设函数
f(x)?ln(1?x)?ln(1?x)
，则
f(x)
是（ ）
A．奇函数，且在（0,1）上是增函数
B．奇函数，且在（0,1）上是减函数
C．偶函数，且在（0,1）上是增函数
D．偶函数，且在（0,1）上是减函数
5. 已知对任意实数x，有f(-x)= -f( x)，g(-x)=g(x)，且x>0时，
f'(x)?0,g'(x)?0
，则x<0时( )
(A)
f'(x)?0,g'(x)?0
(B)
f'(x)?0,g'(x)?0

(C)
f'(x)?0,g'(x)?0
(D)
f'(x)?0,g'(x)?0

6．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有( )
A．f(0)＋f(2)<2f(1)
C．f(0)＋f(2)≥2f(1)


B．f(0)＋f(2)≤2f(1)
D．f(0)＋f(2)>2f(1)
2
7．（2015 天津校级模拟）若函数
f(x)?2x?lnx
在其定义域内的一个子区间
?
k?1,k?1
?
内不是单调函
数，则实数
k
的取值范围是（ ）
A.
?
1,??
?
B.
?
1,

?
3
?
?
C.
?
1,2
?
D.
?
2
?
?
3
?
,2
?

?
?
2
?
二、填空题
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8．函数
f(x)?x?x
的单调增区 间是________和________，单调减区间是________。
9．函数y＝xsinx＋cosx，x∈(－π，π)的单调增区间是____________．
10．函数y＝ln(x
2
－x－2)的单调递减区间为__________． < br>11．若函数y＝x
3
－ax
2
＋4在(0,2)内单调递减，则实数 a的取值范围是____________．
3
三、解答题
12．确定下列函数的单调区间
(1) y=x
3
－9x
2
+24x (2) y=3x－x
3

13．设函数f(x)＝x
3
－3ax
2
＋3bx的图象与直线12 x＋y－1＝0相切于点(1，－11)．
(1)求a、b的值；
(2)讨论函数f(x)的单调性．
14．已知函数f(x)=ax+3x-x+1在R上是减函数，求a的取值范围。
15．(2015 北京)已知函数
f(x)?ln
32
1?x
．
1?x
(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
?
x
3
?
(Ⅱ)求证：当x∈(0，1)时，
f(x)?2
?
x?
?
；
3
??
?
x
3
?
(Ⅲ )设实数k使得
f(x)?k
?
x?
?
对x∈(0，1)恒成立，求 k的最大值．
3
??
【答案与解析】
1. 【答案】C.
【解析】 由
f'(x)
图象可知，
f'(x)?0?x?0
或x ＞2；
f'(x)?0
，0＜x＜2。
2. 【答案】B.
【解析】 若
f
(
x
)在(
a
，
b
)内是增函数，则
f
′(
x
)≥0，故A错；
f
(
x
)在(
a
，
b
)内是单调函数与
f
′(
x
)是否存在无必然联系，故C错；
f
(
x
)＝2在(
a
，
b
)上的导数为
f
′(
x
)＝0存在，但
f
(
x
)无单调
性，故D错．
3. 【答案】D.
xxx
【解析】
f
′(
x
)＝(
x
－3 )′e＋(
x
－3)(e)′＝(
x
－2)e，
令
f
′(
x
)>0，解得
x
>2，故选D.
4. 【答案】A
【解析】函数
f(x)?ln(1?x)?ln(1?x)< br>，函数的定义域为（-1,1），
函数
f(?x)?ln(1?x)?ln(1?x)
=
?
?
ln(1?x)?ln(1?x)
?
=
?f (x)
，所以函数是奇函数。
排除C,D，正确结果在A,B，只需判断特殊值的大小，即可 推出选项，x=0时，
f(0)?0
；
x?
1
时，
2
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1111
f()?ln(1?)?ln(1?)?ln3?1
，显然
f(0)?f()
，函数 是增函数，所以B错误，A正确。
2222
5. 【答案】B.
【解析】 < br>f
(
x
)为奇函数，
g
(
x
)为偶函数，奇 (偶)函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同(反)，
∴
x
<0时，
f
′(
x
)>0，
g
′(
x
)<0.
6. 【答案】 C
【解析】 由(
x
－1)
f
′(< br>x
)≥0得
f
(
x
)在[1，＋∞)上单调递增，在(－∞， 1]上单调递减或
f
(
x
)恒为
常数， 故
f
(0)＋
f
(2)≥2
f
(1)．故应选C.
7. 【答案】B
【解析】因为
f(x)
定义域为
?
0 ,??
?
，又
f
'
(x)?4x?
1
x
， 由
f
'
(x)?0,
得
x?
1
2
。 < br>?
当
x?
?
?
?
0,
1
?
2
?
?
时，
f
'
(x)?0,当?
?
?
1
?
2
,??
?
?
?
时，
f'
(x)?0
，据题意，
?
?
k?1?
1
?< br>2
?k?1
?
k?1?0
1?k?
3
2
.< br> 故选B
8. 【答案】
?
?
?
??,?
3< br>?
?
3
?
?

?
3
??
33
?
?
?
?
?
3
??
?
?
?
?
?
?
?
3
,
3
?< br>?
?

【解析】 求导，然后解不等式。
9． 【答案】< br>?
?
?
?
,?
?
?
?
和
?
?
0,
?
?
?


?
2
??
2
?
【解析】
y
′＝
x
cos
x
，当－π<
x
<－
?
2
时， cos
x
<0，∴
y
′＝
x
cos
x
>0 ，
当0<
x
<
?
2
时，cos
x
>0 ，∴
y
′＝
x
cos
x
>0.
10. 【答案】(－∞，－1)
【解析】

函数
y
＝ln(
x
2
－
x
－2)的定义域为(2，＋∞)∪(－∞，－1)，
令< br>f
(
x
)＝
x
2
－
x
－2，
f
′(
x
)＝2
x
－1<0，得
x
<
1
2
，
∴函数
y
＝ln(
x
2
－
x
－2)的单调减区间为(－∞，－1)．
11. 【答案】 [3，＋∞)
【解析】
y
′＝3
x
2
－2
ax
，由题 意知3
x
2
－2
ax
<0在区间(0,2)内恒成立，
即
a
>
3
2
x
在区间(0,2)上恒成立，∴
a≥3.
12. 【解析】
(1) 解：y′=(x
3
－9x
2
+24x)′=3x
2
－18x+24=3(x－2)(x－4)
令3(x－2)(x－4)＞0，解得x＞4或x＜2.
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，解得

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∴y=x
3
－9x< br>2
+24x的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2)
令3(x－2)(x－4)＜0，解得2＜x＜4
.∴y=x
3
－9x
2
+24x的单调减区间是(2，4)
(2) 解：y′=(3x－x
3
)′=3－3x
2
=－3(x2
－1)=－3(x+1)(x－1)
令－3(x+1)(x－1)＞0，解得－1＜x＜1.
∴y=3x－x
3
的单调增区间是(－1，1).
令－3(x+1)(x－1)＜0，解得x＞1或x＜－1.
∴y=3x－x
3
的单调减区间是(－∞，－1)和(1，+∞)
13．【解析】
2
(1)求导得
f
′(
x
)＝ 3
x
－6
ax
＋3
b
.
由于
f
(
x
)的图象与直线12
x
＋
y
－1＝0相切于点(1，－ 11)，
所以
f
(1)＝－11，
f
′(1)＝－12，
?
?
1－3
a
＋3
b
＝－11
即
??
?
3－6
a
＋3
b
＝－12

，
解得
a
＝1，
b
＝－3.
(2)由
a
＝1，
b
＝－3得
f
′(
x
)＝3
x
2
－6
ax
＋3
b
＝3(
x
2
－2
x
－3)＝3(
x
＋1)(
x
－3)．
令
f
′(
x
)>0，解得
x
<－1或< br>x
>3；又令
f
′(
x
)<0，解得－1<
x
<3.
所以当
x
∈(－∞，－1)时，
f
(
x
)是增函数；
当
x
∈(3，＋∞)时，
f
(
x
)也是增函数；
当
x
∈(－1,3)时，
f
(
x
)是减函数．
14. 【解析】
?
a?0
?
a?0
f
?
(x)?3ax
2
?6x?1?0,
所以
?
?
?
?a??3
。
?
??0
?
36?12a?0
15．【解析】
【思路点拨 】利用导数的几何意义，求出函数在x=0处的函数值及导数值，在用直线方程的点斜式写出直线
?x
3
?
方程；第二问，要证明不等式
f(x)?2?
?
在x∈(0，1)成立，可用作差法构造函数
?
x
3
??
x
3
g(x)?f(x)?2(x?
，利用导数研究个
)
g（x）在区间(0， 1)上的单调性，由于
g
?
(x)?0
，g（x）在(0，
3
1)上为增函数，则g（x）＞g(0)=0，问题得证；第三问与第二问类似，构造函数研究函数的单调性， 但需要
对参数k做讨论．
【解析】(Ⅰ)
f(x)?ln(1?x)?ln(1?x)

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f
?
(x)?
11
?
，
f
?
(0)?2
．
1?x1?x
又因为f(0)=0，所以曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程 为y=2x．
x
3
(Ⅱ)令
g(x)?f(x)?2(x?)
，则
3
2x
4
g
?
(x)?f
?
(x)?2( 1?x)?
．
1?x
2
2
因为
g
?
(x )?0(0?x?1)
，所以g(x)在区间(0，1)上单调递增．
所以g(x)＞g(0)=0，x∈(0，1)，
x
3
即当x∈(0，1)时，
f(x)?2(x?)
．
3
x
3
(Ⅲ)由(Ⅱ)知，当k≤2时，
f(x)?k(x?)
对x∈ (0，1)恒成立．
3
x
3
当k＞2时，令
h(x)?f(x)? k(x?)
，则
3
kx
4
?(k?2)
h
?(x)?f
?
(x)?k(1?x)?
．
1?x
2
2
所以当
0?x?
4
k?2
时，
h
?
(x) ?0
，
k
k?2
)
上单调递减．
k
4
因此h(x)在区间
(0，
3
k?2
x
当
0?x?
4
时，h(x)＜h(0)=0，即
f(x)?k(x?)
．
k
3
x
3
所以当k＞2时，
f(x)?k(x?)
并非对x∈(0，1) 恒成立．
3
综上可知，k的最大值为2．

导数的应用一--- 函数的单调性
【学习目标】
1. 理解函数的单调性与其导数的关系。
2. 掌握通过函数导数的符号来判断函数的单调性。
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3. 会利用导数求函数的单调区间。
【要点梳理】
要点一、函数的单调性与导数的关系
我们知道，如果函数
f (x)
在某个区间是增函数或减函数，那么就说
f(x)
在这一区间具有单调性，先< br>看下面的例子：
函数
y?f(x)?x?4x?3
的图象如图所示。考虑到曲 线
y?f(x)
的切线的斜率就是函
数
f(x)
的导数，从图象可以 看到：在区间（2，+∞）内，切线的斜率为正，即
f'(x)?0
时，

f (x)
为增函数；在区间（－∞，2）内，切线的斜率为负，即
f'(x)?0
时，< br>f(x)
为减函数。
导数的符号与函数的单调性：
一般地，设函数
y?f(x)
在某个区间内有导数，则在这个区间上，
①若
f
?
(x)?0
，则
f(x)
在这个区间上为增函数； < br>②若
f
?
(x)?0
，则
f(x)
在这个区间上为减 函数；
③若恒有
f
?
(x)?0
，则
f(x)
在 这一区间上为常函数.
反之，若
f(x)
在某区间上单调递增，则在该区间上有f
?
(x)?0
恒成立（但不恒等于0）；若
f(x)
在某区间上单调递减，则在该区间上有
f
?
(x)?0
恒成立（但不恒等于0 ）．
要点诠释：
1.因为导数的几何意义是曲线切线的斜率，故当在某区间上
f< br>?
(x)?0
，即切线斜率为正时，函数
f(x)
在这个区间上为增函 数；当在某区间上
f
?
(x)?0
，即切线斜率为负时，函数
f(x )
在这个区间上为减函数；
即导函数的正负决定了原函数的增减。
2.若在某区间上 有有限个点使
f'(x)?0
，在其余点恒有
f'(x)?0
，则
f (x)
仍为增函数（减函数的情
形完全类似）。
即在某区间上，
f
?
(x)?0
?
f(x)
在这个区间上为增函数；
f
?< br>(x)?0
?
f(x)
在这个区间上为减函数，但反之不成立。
3.
f(x)
在某区间上为增函数
?
在该区间
f
?
(x )?0
；
f(x)
在某区间上为减函数
?
在该区间
f?
(x)?0
。
在区间(a,b)内，
f'(x)?0
（或< br>f
?
(x)?0
）是
f(x)
在区间(a，b)内单调递增（ 或减）的充分不必要条
件！
例如：
f(x)?x?f'(x)?3x?0，f'(0 )?0,f'(x)?0(x?0)，
而f(x)在R上递增.
4.只有在某区间内恒有f
?
(x)?0
，这个函数
y?f(x)
在这个区间上才为常数 函数.
5.注意导函数图象与原函数图象间关系.
要点二、利用导数研究函数的单调性
利用导数判断函数单调性的基本方法
设函数
y?f(x)
在区间（a，b）内可导，
（1）如果恒有
f '(x)?0
，则函数
f(x)
在（a，b）内为增函数；
（2）如果恒有
f'(x)?0
，则函数
f(x)
在（a，b）内为减函数；
（3 ）如果恒有
f'(x)?0
，则函数
f(x)
在（a，b）内为常数函数。
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32
2

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要点诠释：
（1）若函数
f(x)
在区间（a，b）内单调递增 ，则
f'(x)?0
，若函数
f(x)
在（a，b）内单调递减，则
f'(x)?0
。
（2）
f'(x)?0
或
f'(x)?0
恒成立，求参数值的范围的方法——分离参数法：
a?g(x)
或
a?g(x)。
要点三、利用导数求函数单调区间的基本步骤
（1）确定函数
f(x)
的定义域；
（2）求导数
f'(x)
；
（3）在函数
f(x)
的定义 域内解不等式
f'(x)?0
或
f'(x)?0
；
（4）确定
f(x)
的单调区间。或者：
令
f'(x)?0
，求出它在定义域内的一切实数根。把这些实数根和函数的间断点（即
f(x)
的无定义点）的横坐标按从小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数
f(x)
的定义区间分成若 干个小区间，判断
在各个小区间内
f
?
(x)
的符号。
要点诠释：
1.求函数单调区间时，要注意单调区间一定是函数定义域的子集。
2.求单调区间常常通过列表的方法进行求解，使解题思路步骤更加清晰、明确。
【典型例题】
类型一：求函数的单调区间
【变化率与导数 370874 例1】
例1、确定函数
f(x)?2x
3
?6x
2
?7
的 单调区间.
【解析】
f'(x)?6x?12x?6x(x?2)
。
令
f'(x)?0
，得x＜0或x＞2，
∴当x＜0或x＞2时函数
f(x)
是增函数。
因此，函数
f(x)
的单调增区间为（－∞，0）和（2，+∞）。
令
f'(x)?0
，得0＜x＜2。
∴函数
f(x)
在（0，2）上是减函数，其单调递减区间为（0，2）。
【总结升华】（1）解决此类题目，关键是解不等式
f'(x)?0
或
f'(x)?0
。
（2）注意写单调区间时，不是连续的区间一般不能用并集符号“U”。
举一反三：
【变式1】
求下列函数的单调区间：
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（1）
f(x)?x?2x?x

（2）
f(x)?3x?2lnx(x?0)
；
（3）
f(x)?sinx(1?cosx)(0?x?2
?
)
；
【答案】
（1）
f'(x)?3x?4x?1
。
令3x
2
―4x+1＞0，解得x＞1或
x?
2
2
32
1
。
3
1
3
因此，y=x
3
－2x
2
+x 的单调递增区间为（1，+∞）和
(??,)
。
再令3x
2
－4x+x＜0，解得
1
?x?1
。
3
?
1
?
?
3
?
因此，y=x
3
－2x
2
+x的单调递减区间为
?
,1
?
。
（2）函数的定义域为（0，+∞），
23x
2
?1
f'(x)?6x??2?
。
xx
3
3x
2
?1
?0
， 结合x＞0，可解得
x?
令
f'(x)?0
，即
2?
；
3
x
3
3x
2
?1
?0
， 结合x＞0，可解得
0?x?
令
f'(x)?0
，即
2?
。
3
x
∴
f(x)
的单调递增区间为
?
?
3
??
3
?
,??0,
，单调递减区间为
??
?3
??
3
?
?
。
????
2
（3）
f'(x)?cosx(1?cosx)?sinx(?sinx)?2cosx?cosx?1
?2(cosx?1)(cosx?1)
。
∴0≤x≤2π，∴使
f'(x)?0
的
x
1
?
?
3
，
x
2
?
?
，
x
3
?
5
?
，
3
…
－
?
则区间[0，2π]被分成三个子区间。如表所示：
x 0


…
+
?
?

3
0

…
－
?
π
0

5
?

3
0

…
+
?
2
?



f'(x)

f(x)

所以函数
f(x)?sinx(1?cosx)
（0≤x ≤π）的单调递增区间为
?
0,
?
和
?
?
,2?
?
，单调递减区间为
?
3
??
3
?
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?
?
??
5
?

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?
?
5
?
,
?
?
。
?
?
33
?
例2. 求函数
y?x?ax
（a∈R）的单调区间。
【解析】
y'?3x?a

① 当a≥0时，y＇≥0，函数
y?x?ax
在（－∞，+∞）上为增函数。
② 当a＜0时，令3x
2
+a=0得
x??
3
2
3
?3a
，
3
?
?3a
?
∴y＇＞0的解集为
?
??,?
?
??
3
??
y＇＜0的解集为
?
?
?
?3a
?
?
?
3
,??
?
?
。
??
?
?
?
?3a?3a
?
,
。
?
?
33
?
??
?3a
??
?3a
∴函 数
y?x?ax
的单调增区间是
?
??,?
?
??
和
?
?
3
,??
?
?
，
3
?? ??
3
减区间是
?
?
?
?
?
?3a?3a
?
,
。
?
?
33
?
3
综上可知 ：当a≥0时，函数
y?x?ax
在（－∞，+∞）上单调递增。
??
?3 a
??
?3a
3
y?x?ax
??,?,??
当a＜0时， 函数在
???
??
和
?
?
3
?
上单调递增 ，在
3
????
?
?3a?3a
?
?,
上单调递减 。
??
??
33
??
【总结升华】
（1）解决此类题目 ，关键是解不等式
f'(x)?0
或
f'(x)?0
，若
f'(x)
中含有参数，往往要分类讨论。
（2）特别应注意，在求解过程中应先写出函数的定义域，再 在定义域的范围内写出单调区间，即定义域优
先考虑的原则。
举一反三：
【变式】已知函数f(x)＝e
x
－ax－1，求f(x)的单调增区间。
【答案】 f′(x)＝e
x
－a，
若a≤0，则f′(x)＝e
x
－a≥0，
若a>0，e
x
－a≥0，∴e
x
≥a，x≥ln a.
∴当a≤0时，即f(x)递增区间是R；当a>0时，f(x)的递增区间是[ln a，＋∞)．
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类型二：判断、证明函数的单调性
1
2
x?lnx
是单调递减函数.
2
13
(x? )
2
?
22
1x?x?1x?x?1
24
【解析】 f'(x)?1?x??????
xxxx
13
x?0
，
(x? )
2
??0
，
24
例3．当
x?0
时，求证：函 数
f(x)?x?
∴
f'(x)?0

??)
上是单调递减函数. 故函数
f(x)
在
(0，
【总结升华】 判断、证明函数的单调性的步骤：
1、求导；2、变形（分解或配方）；3、判断导数式的符号,下结论。
举一反三：
【变式1】当
x?0
时，求证：函数
f(x)?x?
1
2
x?ln(1?x)
是单调递减函数.
2
11?x
2
?1x
2
???
【答案】
f'(x)?1?x?

x?1x?1x?1< br>x?0
，∴
x?1?0
，
x
2
?0
，
∴
f'(x)?0

??)
上是单调递减函数. 故函数
f(x)
在
(0，
【变化率与导数 370874 例3】
【变式2】
设
f
?
(x)
是函数
f(x)< br>的导函数，将
y?f(x)
和
y?f
?
(x)
的图象 画在同一个直角坐标系中，不可能正
确的是（ ）


y y y y






O O O O
x x x x


A． B． C． D．
【答案】D
【变式3】(2015 陕西)设
f(x)?x?sinx
，则
f(x)
（ ）
A.既是奇函数又是减函数 B.既是奇函数又是增函数
C.是有零点的减函数 D.是没有零点的奇函数
【答案】B
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【解析】 由于
f(x)?x?sinx
的定义域为R，且满足
f(?x)??x?sinx?? f(x)
，
可得
f(x)
为奇函数。
再根据
f'(x)?1?cosx?0
，可得
f(x)
为增函数，
故选B。
3
, 讨论函数
f(x)
的单调性.
a2
【解析】由题设知
a?0,f
?
(x)?3ax
2
? 6x?3ax(x?)
．
a
例4．已知函数
f(x)?ax
3?3x
2
?1?
令
f
?
(x)?0得x
1?0,x
2
?
（i）当a>0时，
若
x?(??,0)
，则
f
?
(x)?0
，所以
f(x)
在区间
(? ?,0)
上是增函数；
若
x?(0,)
，则
f
?
(x)?0
，所以
f(x)
在区间
(0,)
上是减函数；
若
x?(,??)
，则
f
?
(x)?0
，所以
f( x)
在区间
(,??)
上是增函数；
（ii）当a＜0时，
若< br>x?(??,)
，则
f
?
(x)?0
，所以
f(x)
在区间
(??,)
上是减函数；
若
x?(,0)
，则f
?
(x)?0
，所以
f(x)
在区间
(,0)
上是增函数；
若
x?(0,??)
，则
f
?
(x)?0
，所以
f(x)
在区间
(0,??)
上是减函数．
【总结升华】 （1）在判断函数的单调性时，只需判断函数的导数恒大于0或恒小于0。
（ 2）在判断含参数函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义
域来确定f'(x)
的符号，否则会产生错误判断。分类讨论必须给予足够的重视，真正发
挥数学解 题思想在联系知识与能力中的作用，从而提高简化计算的能力。
（3）分类讨论是重要的数学解题方法 。它把数学问题划分成若干个局部问题，在每一个局部
问题中，原先的“不确定因素”不再影响问题的解 决，当这些局部问题都解决完时，整
个问题也就解决了。
举一反三：
【变式】已知函数，
f(x)?x?
2
．
a
2
a
2
a
2
a
2
a
2
a
2
a
2
a
2
a
2
?1?alnx
,
a＞0 ，讨论
f(x)
的单调性.
x
w
【答案】由于
f(x)?1?
2a
?

2
xx
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令
t?
1
得y?2t
2
?at?1(t?0)< br>x
2
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

① 当
??a?8?0
,即
0?a?22
时,
f(x)?0
恒成立.
?f(x)
在(－∞,0)及(0,＋∞)上都是增函数.
② 当
??a ?8?0
,即
a?22
时
2
2
w.w.w.k.s.5.u .c.o.m

a?a
2
?8a?a
2
?8
由< br>2t?at?1?0
得
t?
或
t?
44
a?a
2
?8a?a
2
?8
?0?x?
或
x?0
或x?

44
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

a? a
2
?8a?a
2
?8a?a
2
?8a?a
2?8
?t???x?
又由
2t?at??0
得
4422
2
综上 当
0?a?22
时,
f(x)
在
(??,0)及(0,??)
上都是增函数.
a?a
2
?8a?a
2
?8
,)
上是减函数,当
a?22
时,
f(x)
在
(
22
a?a
2
?8a ?a
2
?8
)及(,??)
上都是增函数. 在
(??,0)(0,
22
类型三：已知函数单调性，求参数的取值范围
w.w.
例5．（2015 南昌三模）已知
f(x)?x?ax
在[1,+∞)上 是单调增函数，则
a
的取值范围是（ ）
A.
?
3,??
?
B.
?
1,3
?
C.
?
??,3
?
D.
?
??,3
?

【答案】D
【思路点拨】由
f( x)?x?ax
在
?
1,??
?
上是单调增函数，得
f(x )?3x?a?0
在[1,+∞)上恒成立，
3'2
3
分离参数
a< br>后求出函数
y?3x
在
?
1,??
?
上的最小值得答 案。
2
【解析】
2
f(x)?x
3
?ax
在[1 ,+∞)上是单调增函数，
?f
'
(x)?3x
2
?a?0
在[1,+∞)上恒成立。
即
a?3x
在[1,+∞)上恒成立。
y?3 x
2
在[1,+∞)上为增函数，
?y
min
?3

?a?3
，故选D。
【总结升华】（1）
f(x)
在某区间上为增 函数
?
在该区间
f
?
(x)?0
；
f(x)
在某区间上为减函数
?
在该区
间
f
?
(x)?0
。
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（2 ）
a?f(x)
恒成立，则
a?f(x)
max
；
a?f( x)
恒成立，只需
a?f(x)
min
，这是求变量a的范
围的常用 方法。
举一反三：
【变式1】已知函数
f(x)?4x?ax
2< br>?
'2
2
3
x(x?R)
在区间
?
?1,1
?
上是增函数，求实数
a
的取值范围．
3
'
【答 案】
f(x)?4?2ax?2x
，因为
f
?
x
?
在区间
?
?1,1
?
上是增函数，所以
f(x)?0
对x?
?
?1,1
?
恒
成立，即
x?ax?2?0
对
x?
?
?1,1
?
恒成立，解之得：
?1?a?1
2
所以实数
a
的取值范围为
?
?1,1
?< br>．
【变式2】已知向量a=（
x
，x+1），b=（1―x，t），若函数< br>f(x)?a?b
在区间（―1，1）上是增函数，
求t的取值范围。
【答案】 解法一：依定义
f(x)?x(1?x)?t(x?1)??x?x?tx?t
，
232
2
??3x?2x?
。
t
则
f'(x )
若
f(x)
在（―1，1）上是增函数，则在区间（―1，1）上有
f'( x)?0
。
∴
f'(x)?0?t?3x?2x
在区间（―1，1）上恒成立。
考虑函 数
g(x)?3x?2x
，由于
g(x)
在图象的对称轴为
x?t≥x
2
―2x在区间（―1，1）上恒成立
?t?g(?1)
，即t≥ 5。
解法二：依定义
f(x)?x(1?x)?t(x?1)??x?x?tx?t
，
f'(x)??3x?2x?t
。
若
f(x)
在（－1，1）上 是增函数，则在区间（－1，1）上有
f'(x)?0
。
∵
f'(x)
的图象是开口向下的抛物线，
2322
2
2
2
1
，且
g(x)
在开口向上的抛物线，故要使
3
1)?t?5?0
时，
f'(x)
在（―1，1）上满足
f'(x)?0，即
f(x)
∴当且仅当
f'(1)?t?1?0
，且
f'(?
在（―1，1）上是增函数。
故t的取值范围是t≥5。

【变式3】设
f(x)?
1
3
ax?x
恰有三个单调区间，试确定a的取值范围， 并求其单调区间.
3
2
【答案】
f'(x)?ax?1

（1）当
a?0
时，则
f'(x)?0
恒成立，
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此时f(x)在R上为单调函数，只有一个单调区间为
(??,??)
，不合题意；
（2）当
a?0
时，
f'(x)?0???
11
?x??
，
aa
11
f'(x)?0?x???或x??

aa
∴当
a?0
时，函数有三个单调区间，
增区间为：
(??
11
,?)
；
aa
11
)
，
(?,??)
.
aa
导数的应用二------函数的极值与最值

减区间为：
(??，-?

【学习目标】 1. 理解极值的概念和极值点的意义。
2. 会用导数求函数的极大值、极小值。
3. 会求闭区间上函数的最大值、最小值。
4. 掌握函数极值与最值的简单应用。
【要点梳理】
知识点一：函数的极值
（一）函数的极值的定义：
一般地，设函数
f(x)
在点
x?x
0
及其附近有定义，
（1）若对于
x
0
附近的所有点，都有
f(x)?f(x
0
)
，则
f(x
0
)
是函数
f(x)
的一个 极大值，记作
y
极大值
?f(x
0
)
；
（2） 若对
x
0
附近的所有点，都有
f(x)?f(x
0
)
，则
f(x
0
)
是函数
f(x)
的一个极小值，记作y
极小值
?f(x
0
)
.
极大值与极小值统称极值.
在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.
要点诠释：
由函数的极值定义可知：
（1）在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f(x)在x=x
0
及其附近有定义，否则无从比较.
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