(完整版)高一数学竞赛培训教材(有讲解和答案)

高中思维训练班《高一数学》

第1讲-----集合与函数(上)
『本讲要点』:复杂的集合关系与运算、函数定义的深化
『重点掌握』:函数的迭代
1.定义M与P的差集为M-P={x | x∈M且x不∈P} ,若A={y | y=x
2
}B={x |
-3≤x≤3} ,再定义 M△N =（M-N)∪(N-M），求A△B
2.集合A=
{1,2,3}
中,任意取出一 个非空子集,计算它的各元素之和.则所有非空子集
的元素之和是 ________ .若A=
{1,2,3,?,n}
,则所有子集的元素之和
是 .
3.已知集合
222
,a
3
,a
4
}
A?{a
1
,a
2
,a
3
,a
4
}
B?{a
1
2
,a
2
,,其中
a
1
?a
2
?a
3
?a
4
,并且都是正整
数.若
A ?B?{a
1
,a
4
}
,
a
1
?a
4
?
10
.且
A?B
中的所有元素之和为124,求集合A、B.
*4. 函数
f(n)
?
?
n
?
1000
?
n
?
3
，求
f(84)
(本讲重点迭代法)
?
f(f(n
?
5)),n
?
1000
n个
*
5. 练习:定义:
f
n
(x)
?
?
.已知
f( x)
是一次函数.当
f(
?
f(
?
?
?
f
?
(x)
?
)),n
?
N
??
f
10
(
x
)
?
1024
x?
1023
．求
f(x)
的解析式．(本讲重点迭代法)
*6.设f(x)定义在正整数集上，且f (1)=1,f(x＋y)=f(x)＋f(y)＋xy。求f(x) (本
讲重点顺序拼凑法)
『课后作业』:
7. 当n≥10时,f(n)=n-3;当n<10时,f(n)=f[f(n+5)] .求f（7）(本讲重点迭代
法)
*8.
已知f(1)=
1
1< br>且当n＞1时有
f(n)
5
1
=2(n＋1)。求f(n) (n∈N
+
)
(本
f
(
n?
1)
讲重点顺序拼凑法 )

9.求集合A =
{1,2,3,?,10}
所有非空子集的元素之和
10.已知不等式ax+bx+ c＞0,的解集是{x|m＜x＜n},m＞0,求不等式cx+bx+a＜0
的解集
作业答案:7.8,8.
1
n+3n+1,9.略,10. x<1n或x>1m
答案:
1. 【解】 A{x|x≥0} B={x|-3≤x≤3} A-B={x|x＞3}
B-A={x|-3≤x＜0} A△B={x|-3≤x＜0或x＞3}
2. 【解】〖分析〗已知
{1,2,?,n}的所有的子集共有
2
n
个.而对于
?i?{1,2,?,n}
, 显
然
{1,2,?,n}
中包含
i
的子集与集合
{1,2, ?,i?1,i?1,?,n}
的子集个数相等.这就说明
i
在集合
{1,2 ,?,n}
的所有子集中一共出现
2
n?
1
次,即对所有的
i
求和,可得
S
n
?
2
n
?
1
2
22
(
?
i).
集合
{1,2,?,n}
的 所有子集的元素之和为
i
?
1
n
2
n
?
1
(1
?
2
???
n)
?
2
n
?< br>1
?
n(n
?
1)

2
=
n
?
(n
?
1)
?
2
n?1
.

2
a?a?a?a
a?a
A?B?{a,a}
1234
1
, 又
a
1
?N
,所以
a
1
?
1.

14
,
?
1
3. 【解】
?
,且
2
2
a
a?a
a?a?
10
a?
9
3
24
又
14
,可得
4
,并且或
?a
4
.

2
2
1
?
3
?a
3
?
9?a
3
?
81
?
124,
a?
9
a?
3
2
2
若,即,则有解得
a
3
?
5
或
a
3
??
6
(舍)
此时有
A?{1,3,5,9},B?{1,9,25,81}.

若
2
a
3
?
9
,即
a
3
?
3,此时应有
a
2
?
2
,则
A?B
中的所有元素 之和为100
?
124.不合题
意.
综上可得,
A?{1,3,5,9},B?{1,9,25,81}.

5【解】
解：设f(x)=ax＋b (a≠0)，记f{f[f…f(x)]}=f
n
(x)，则
n次

f
2
(x)=f[f(x)]=a(ax＋b)＋b=a< br>2
x＋b(a＋1)
232
f
3
(x)=f{f[f(x) ]}=a[ax＋b(a＋1)]＋b=ax＋b(a＋a＋1)
b(1
?
a
10
)
依次类推有：f
10
(x)=ax＋b(a＋a＋…＋a＋1)=a x＋
1
?
a
109810
由题设知：
b(1
?
a
10
)
a=1024 且=1023
1
?
a
10
∴a=2，b=1 或 a=－2，b=－3
∴f(x)=2x＋1 或 f(x)=－2x－3
8.
解：令y=1，得f(x＋1)=f(x)＋x＋1
再依次令x=1，2，…，n－1，有
f(2)=f(1)＋2
f(3)=f(2)＋3
……
f(n－1)=f(n－2)＋(n－1)
f(n)=f(n－1)＋n
依次代入，得
f(n)=f(1)＋2＋3＋…＋(n－1)＋n=
n(n?1)

2
∴f(x)=
x(x?1)

2
(x∈N
+
)
高中思维训练班《高一数学》

第2讲 -----函数(下)
『本讲要点』:1.单调函数不等式的解法 2.根据抽象的函数条件拼凑出特定值的
方法 3.抽象函数的周期问题
*1例 f(x)在x>0上为增函数,且
f()?f(x)?f(y)
.求:
(1)
f(1)
的值.
(2)若
f(6)?1
,解不等式
f(x?3)?f()?2

2例 f(x)对任意实数x与y都有f(x) + f(y) = f(x+y) + 2,当x>0时,f(x)>2
1
x
x
y

(1) 求证:f(x)在R上是增函数
(2) 若f(1)=52,解不等式f(2a-3) < 3
3练f(x)是定义在x>0的函数,且f(xy) = f(x) + f(y);当x>1时有f(x)<0;f(3)
= -1.
(1) 求f(1)和f(19)的值
(2) 证明f(x)在x>1上是增函数
(3) 在x > 1上,若不等式f(x) + f(2-x) < 2成立,求x的取值范围
4例几个关于周期的常见的规律:
5练习:f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x-2) = -f(x),以下结论正确的是(多
选):______________
A.f(2) = 0
B.f(x) = f(x+4)
C.f(x)的图象关于直线x=0对称
D.f(x+2) = f(-x)
『课后作业』:
6 定义在x>0上,当x>1时,f(x)>0;对任意的正实数x和y都有f(xy) = f(x) +
f(y).
(1) 证明f(x)在x>0上为增函数
(2) 若f(5) = 1,解不等式f(x+1) – f(2x) > 2
*7已知函数f(x)对任意实数x,都有f (x＋m)＝－
1
?
f(x)
,求证f(x)是周期函数
1
?
f(x)
7. 当n≥10时,f(n)=n-3;当n<10时,f(n)=f[f(n+5)] .求f（7）(本讲重点迭代
法)

*8.
已知f(1)=
1
1
且当n＞1时有
f(n)
5
1
=2(n＋1)。求f( n) (n∈N
+
)
(本
f
(
n?
1)
讲 重点顺序拼凑法)
9.求集合A =
{1,2,3,?,10}
所有非空子集的元素之和
10.已知不等式ax
2
+bx+c＞0,的解集是{x|m＜x＜n},m＞0,求不等式cx
2
+bx+ a＜0
的解集
作业答案:6. 07. 当n≥10时,f(n)=n-3;当n<10时,f(n)=f[f(n+5)] .求f（7）(本讲重点迭代
法)
*8.
已知f(1)=
1
1< br>且当n＞1时有
f(n)
5
1
=2(n＋1)。求f(n) (n∈N
+
)
(本
f
(
n?
1)
讲重点顺序拼凑法 )
9.求集合A =
{1,2,3,?,10}
所有非空子集的元素之和
10.已知不等式ax
2
+bx+c＞0,的解集是{x|m＜x＜n},m＞0,求不等式 cx
2
+bx+a＜0
的解集
『上讲课后作业回顾』:化学
5. 有4.0克+2价金属的氧化物与足量的稀盐酸反应后，完全转化为氯化物，测得
氯化物的质量为9.5 克，通过计算指出该金属的名称。(差量法)

6.取100克胆矾，需加入多少克水才能配成溶质质量分数为40%的硫酸铜溶液( 十
字交叉法)
高中思维训练班《高一数学》

第3讲----- 函数的周期专题(下)、简单的函数对称问题
『本讲要点』:函数的周期和对称问题一直是高考的难点,本讲对此进行专题性讲解
『重点掌握』:凑f(x)法计算函数的周期

『需要的知识背景』:函数的奇偶性,一次函数、二次函数
1例已知f（x）是定义在R上的函数，满足f（x+1）= - f（x）
（1）证明：f（x）是周期函数，并求最小正周期
（2）当x∈[0,1）时，f（x）=x ，求在 [-1,0）上的解析式
（T=2 ，已求好）（f（x）=-x -1 ，已求好）
**2例f(x)图像满足下列条件，试证明f(x)为周期函数
（1）关于x=a, x=b 对称. （2）关于(a,0), (b,0)对称. （3）关于(a,0),
x=b对称.
*3练对函数f(x),当x∈（-∞，+∞）时，f(2-x)=f(2+x ),f(7-x)=f(7+x),证明函数y=f(x)
为周期函数,并求出最小正周期
f(x)=f(4-x)=f(14-x) f(x)=f(x+10) T=10
推广该题 ，对任意不相等的两个实数a,b,如果对任意x满足
f(a-x)=f(a+x),f(b-x)=f (b+x)，则该函数是以2(b-a)为周期的周期函数，证明同上面类
似
4例设f(x)和g(x)均为周期函数，f(x)的周期为2，g(x)的周期为3，问： f(x)±g(x),
f(x)g(x) 是否是周期函数若是,求出它们的周期
f(x)的周期为2，--->f(x+2m)=f(x)
g(x)的周期为3，--->g(x+3n)=g(x)
2与3的最小公倍数是6，--->f(x+6s)=f(x),g(x+6s)=g(x)
f(x+6s)±g(x+6s)=f(x)±g(x)---->f(x)±g(x)是周期为6的周期函数 ；
f(x+6s)g(x+6s)=f(x)g(x)-------->f(x)g(x)也是周 期为6的周期函数。
高中思维训练班《高一数学》

第4讲----- 函数的对称专题(下)
第5讲----- 对称与周期的关系
『本讲要点』:较复杂的对称与周期、函数的对称与周期之间的关系
知识点1:两个函数的图象对称性
性质1：
y?f(x)
与
y?? f(x)
关于
x
轴对称。
换种说法：
y?f(x)
与y?g(x)
若满足
f(x)??g(x)
，即它们关于
y?0
对称。
性质2：
y?f(x)
与
y?f(?x)
关于Y轴对称。
换种说法：
y?f(x)
与
y?g(x)
若满足
f(x)? g(?x)
，即它们关于
x?0
对称。
性质3：
y?f(x)与
y?f(2a?x)
关于直线
x?a
对称。
换种说法：y?f(x)
与
y?g(x)
若满足
f(x)?g(2a?x)
，即它们关于
x?a
对称。

性质4：
y?f(x)
与
y?2a?f(x)
关于直线
y?a
对称。
换种说法：
y?f(x)
与
y?g(x)
若满足
f(x)?g(x)?2a
，即 它们关于
y?a
对称。
性质5：
y?f(x)与y?2b?f(2a?x)
关于点
(a,b)
对称。
换种说法：
y?f(x)
与y?g(x)
若满足
f(x)?g(2a?x)?2b
，即它们关于点
( a,b)
对称。
性质6：
y?f(a?x)
与
y?(x?b)关于直线
x
?
知识点2:单个函数的对称性
性质1：函数
y? f(x)
满足
f(a?x)?f(b?x)
时，函数
y?f(x)
的 图象关于直线
x
?
称。
证明：
性质2：函数
y?f(x )
满足
f(a?x)?f(b?x)?c
时，函数
y?f(x)
的图 象关于点（
c
）对称。
2
a?b
，
2
a
?
b
对
2
a
?
b
对称。
2
证明：
性质3：函数
y?f(a?x)
的图象与
y?f (b?x)
的图象关于直线
x
?
证明：
知识点3:对称性和周期性之间的联系
性质1：函数
y?f(x)
满足f(a?x)?f(a?x)
，
f(b?x)?f(b?x)
(a?b)
，求证：函数
y?f(x)
是周期函数。
b
?
a
对称。
2
证明：
性质2：函数
y?f(x)
满足
f(a?x)? f(a?x)?c
和
f(b?x)?f(b?x)?c
(a?b)
时，函数< br>cc
（函数
y?f(x)
图象有两个对称中心（
a
，）、（< br>b
，）时，函
y?f(x)
是周期函数。
22
数
y? f(x)
是周期函数，且对称中心距离的两倍，是函数的一个周期）
证明：
性质3 ：函数
y?f(x)
有一个对称中心（
a
，
c
）和一个对称 轴
x?b
（
a
≠
b
）时，该

函数也 是周期函数，且一个周期是
4(b?a)
。
证明：
推论：若定义在
R
上的函数
f(x)
的图象关于直线
x?a
和点
(b,0 )(a?b)
对称，则
f(x)
是
周期函数，
4(b?a)
是它的一个周期
证明：
性质4：若函数
f(x)
对定义域内的任意
x
满足：
f(x?a)?f(x?a)
,则
2a
为函数
f (x)
的周期。（若
f(x)
满足
f(x?a)?f(x?a)
则< br>f(x)
的图象以
x?a
为图象的对称轴，应
注意二者的区别)
证明：
性质5：已知函数
y?f
?
x
?
对任意实 数
x
,都有
f
?
a?x
?
?f
?
x
?
?b
，则
y?f
?
x
?
是以
2a
为周期的函数
证明：
『例题与习题』:
1例（2005高考·福建 理）
f(x)
是定义在
R
上的以3为周期的奇函数，且
f(2)?0
，
则方程
f(x)?0
在区间（0，6）内解的个数的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
*2例
f(x)
的定义 域是
R
，且
f(x?2)[1?f(x)]?1?f(x)
,若
f( 0)?2008
. 求
f
(2008)
的值。
3练 函数
f
?
x
?
对于任意实数
x
满足条件
f
?< br>x
?
2
?
?
f
?
f
?
5< br>?
?
?
_______________。
1
，若
f
?
1
?
??5,
则
f
?
x
?< br>解：由
f
?
x
?
2
?
?
11
?
f(x)
，所以
f(5)?f(1)??5
，则
得
f< br>?
x
?
4
?
?
f
?
x
?< br>f
?
x
?
2
?
11
??

f(
?
1
?
2)5
f
?
f
?
5< br>?
?
?
f(
?
5)
?
f(
?
1)
?
0
?
上是增函数，且
f(x?2)??f(x)
. *4例 若函数
f(x)
在
R
上是奇函数，且在
?
?1，

①求
f(x)
的周期；
②证明
f(x)
的 图象关于点
(2k,0)
中心对称;关于直线
x?2k?1
轴对称,
(k?Z)
;
③讨论
f(x)
在
(1,2)
上的单调性；
解: ①由已 知
f(x)??f(x?2)?f(x?2?2)?f(x?4)
，故周期
T?4.
②设
P(x,y)
是图象上任意一点,则
y?f(x)
,且
P
关于点
(2k,0)
对称的点为
P
1
(4k?x ,?y)
.
P
关于直线
x?2k?1
对称的点为
P
2
(4k?2?x,y)

∵
f(4k?x)?f(?x)??f(x)?? y
,∴点
P
1
在图象上,图象关于点
(2k,0)
对称.
又
f(x)
是奇函数,
f(x?2)??f(x)?f(?x)

∴
f(4k?2?x)?f(2?x)?f(x)?y

∴点
P
2
在图象上,图象关于直线
x?2k?1
对称.
③ 设
1?x
1
?x
2
?2
，则
?2??x
2
??x
1
??1
，
0?2?x
2
?2?x
1
?1

∵
f(x)
在
(?1,0)
上递增, ∴
f(2?x
1
)?f(2?x
2
)
……(*)
又
f(x?2)??f(x)?f(?x)
∴
f(2?x
1)?f(x
1
)
,
f(2?x
2
)?f(x
2
)
.
所以：
f(x
2
)?f(x
1
)
，
f(x)
在
(1,2)
上是减函数.
5例 已知函数
y ?f(x)
是定义在
R
上的周期函数，周期
T?5
，函数
在
[1,4]
上是二次函
y?f(x)(?1?x?1)
是奇函数.又知
y?f(x)
在
[0,1]
上是一次函数，
数，且在
x?2
时函数取得最小值
?5
.
（1）证明：
f(1)?f(4)?0
；
（2）求
y?f(x),x?[1,4]
的解析式；
**（3）求
y?f(x)
在
[4,9]
上的解析式.
解 ：∵
f(x)
是以
5
为周期的周期函数，且在
[?1,1]
上是奇函数，∴

f(1)??f(?1)??f(5?1)??f(4)
，∴< br>f(1)?f(4)?0
.
②当
x?[1,4]
时，由题意可设f(x)?a(x?2)
2
?5 (a?0)
，
由
f(1)? f(4)?0
得
a(1?2)
2
?5?a(4?2)
2
?5 ?0
，∴
a?2
，
∴
f(x)?2(x?2)
2
?5(1?x?4)
.
③∵
y?f(x)(?1?x?1)
是奇函数，∴
f(0)?0
，
又知
y?f(x)
在
[0,1]
上是一次函数，∴可设
f( x)?kx(0?x?1)

而
f(1)?2(1?2)
2
?5??3
，
∴
k ??3
，∴当
0?x?1
时，
f(x)??3x
，
从而< br>?1?x?0
时，
f(x)??f(?x)??3x
，故
?1?x?1
时，
f(x)??3x
.
∴当
4?x?6
时，有
?1?x?5?1
，∴
f(x)?f(x?5)??3(x?5)??3x?15
.
当
6?x?9
时，
1?x?5?4
，
∴
f(x) ?f(x?5)?2[(x?5)?2]
2
?5?2(x?7)
2
?5

∴
f(x)
?
?
?
?
3x
?
15,
2
4
?
x
?
6
6
?
x?
9
?
2(x
?
7)
?
5,
.
『课后作业』:
6练 已知定义在
R
上的奇函数
f(x)
满足
f(x?2)??f(x)
，
则
f(6)
的值为（ B ）
(A)－1 (B) 0 (C) 1 (D)2
解：因为
f(x)
是定义在
R
上的奇函数
所以
f(0)?0
，又
f(x?4)??f(x?2)?f(x)
，故函数，f(x)
的周期为4
所以
f(6)?f(2)??f(0)?0
，选B
7练定义在R上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5－x) = f (5+x),则f (x)
一定是（ A ） （第十二届高中数学希望杯 第二题）


(B)是偶函数，但不是周期函数
(D)是奇函数，但不是周期函数
(A)是偶函数，也是周期函数
(C)是奇函数，也是周期函数
解：∵f (10+x)为偶函数，∴f (10+x) = f (10－x).

∴f (x)有两条对称轴 x = 5与x =10 ，因此f (x)是以10为其一个周期的周期函数，
∴x =0即y轴也是f (x)的对称轴，因此f (x)还是一个偶函数。
故选(A)
8练设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)= －f(x),当0≤x≤1时，f (x) = x，则
f (7.5 ) = （B ）
(A) 0.5 (B) －0.5 (C) 1.5 (D) －1.5
解：∵y = f (x)是定义在R上的奇函数，∴点（0，0）是其对称中心；
又∵f (x+2 )= －f (x) = f (－x)，即f (1+ x) = f (1－x)， ∴直线x = 1
是y = f (x) 对称轴，故y = f (x)是周期为2的周期函数。
∴f (7.5 ) = f (8－0.5 ) = f (－0.5 ) = －f (0.5 ) =－0.5 故选(B)
高中思维训练班《高一数学》

第6讲-----归纳总结,作业回顾
物理**5例如图1一8所示，有两根不可伸长的柔软的轻绳，长度分别为
l
1
和< br>l
2
，
它们的下端在C点相连接并悬挂一质量为m的重物，上端分别与质量可忽 略的小
圆环A、B相连，圆环套在圆形水平横
杆上．A、B可在横杆上滑动，它们与
横 杆间的动摩擦因数分别为μ
1
和μ
2
，
且
l
1?l
2
。试求μ
1
和μ
2
在各种取值情
况下， 此系统处于静态平衡时两环之
间的距离AB。

物理6作业A跳伞运动员打开伞后经 过一段时间,将在空中保持匀速降落,已知运
动员和他身上装备的总重量为G
1
，圆顶 形降落伞伞面的重量为G
2
，有12条相同的
拉线（拉线重量不计）,均匀分布在伞面 边缘上,每根拉线和竖直方
向都成30°角。则每根拉线上的张力大小为：(答案在本页最下边)

A、
G?G
2
G
3G
1
3(G
1
?G
2
)
B、 C、
1
D、
1

18
18
126
物理7作业如图2—7所示，AO 是质量为m的均匀细杆，可绕O轴
在竖直平面内自动转动。细杆上的P点与放在水平桌面上的圆柱体接触，圆柱体靠在竖直的挡板上而保持平衡，已知杆的倾角为θ ，
AP长度是杆长的，各处的摩擦都不计，则挡板对圆柱体的作用力
等于 。(答案在本页最下边)
??
HBrO
3
化学*5作业三氟化溴溶于水可发生如下反应： BrF
3
＋ H
2
O
?
1
4
＋ Br
2
＋ HF＋ O
2
↑
(1)其中发生自身氧化还原反应的物质是____________；
(2)当有5.0 mol水参加反应时，由水还原的BrF
3
的物质的量为____________，
由BrF
3
还原的BrF
3
的物质的量为____________；
(3)当有5.0 mol水作还原剂参加化学反应时，由水还原的BrF
3
的物质的 量为
____________，由BrF
3
还原的BrF
3
的物质 的量为____________；
(4)当有5.0 mol水未参加氧化还原反应时，由水还原的 BrF
3
的物质的量为
____________，由BrF
3
还原 的BrF
3
的物质的量为____________。
答案：(1)BrF
3
(2)1.3 mol 0.67 mol (3)3.3 mol 1.7 mol(或1.8
mol) (4)2.2 mol 1.1 mol
高中思维训练班《高一数学》

第6讲-----第一阶段考试(数学)
满分:150分 时间:120分钟
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题只有一项是符
姓名 分数

合要求的）
1、 已知集合A=
x y?x
2
,x?Z
，B=
yy?x
2
,x?Z
，则 A与B的关系是
A
A
?B
B
B?A
C B
?A
D
AIB??

????
2、设全集
U
={1，2，3，4， 5},
A?C
U
B?
?
1,2
?
，则集合
C
U
A?B
的子集个数最多
为
A. 3 B. 4 C. 7 D.
8
3、设A={
x|0?x?2
}, B={
y|0?y?2
}, 下 列各图中能表示从集合A到集合B的映
3
2
1
0
y
3
2
1
1
23
A.
x
y
3
2
1< br>y
3
2
1
y
0
1
23
B.
x
0
1
23
C.
x
0
1
23
D.
x
射是
4、已知函数
f(x)?ax
2
?x?c
，且
f(x)?0
的解集为（－2，1）则函数
y?f(?x)
的图
象为
?
1
?
x
?
,x
?
A
?< br>1
??
1
?
5、设集合A=
?
0,
?
, B=
?
,1
?
, 函数f(x)=
?
2
若x
0
?A
, 且f [ f
22
????
?
2
?
1
?
x
?
,x
?
B,
?
(x
0
)]
?A
,则x0
的取值范围是( )
A.
?
0,
?
B.
?
,
?
C.
?
,
?
D.
?
0,
?

?
4
??
42
??
42
??
8
?
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6、若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪
生函数”，
那么函数解析式为
y?2x
2
?1
，值域为{1，7}的“孪生函数”共有 （ ）
?
1
??
11
??
11
??
3
?

A．10个 B．9个 C．8个 D．4个
1
?
x
2
7、函数
y
?
是 （ ）
x
?
1
?
x
?
2
A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．是奇函数又
是偶函数
8、已知 y = f ( x ) 是定义在R 上的偶函数, 且在( 0 , +
?
)上是减函数，如
果x
1
< 0 , x
2
> 0 ,
且| x
1
| < | x
2
| , 则有（ ）
A．f (－x
1
) + f (－x
2
) > 0 B. f ( x
1
) + f ( x
2
) < 0
C. f (－x
1
) －f (－x
2
) > 0 D. f ( x
1
) －f ( x
2
) < 0
2
x
?
bx
?
c,x
?
0,
若f(-4)=f(0 ),f(-2)=-2,则关于x的方程
f(x)?x
9、设函数
f(x)
?
2,x
?
0.
?
的解的个数为
(A). 1 （B）2 （C）3 （D）4 （ ）
10、一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示. 某天0点到
6点，该水池的蓄水量如图丙所示.（至少打开一个水口）
给出以下3个论断：① 0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；
③4点到6点不进水不出水. 则正确论断的个数是
A． 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空题：本答题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上。
11、设f （x）是定义在（0，+）上的减函数，那么f（2）与f（a+2a+2）的大小
关系是______ _____________
12、满足条件｛0，1｝∪A={0,1}的所有集合A的个数是 个
13、已知
(x
?
0)
?
1　　
，则不等式
x? (x?1)f(x?1)?5
的解集是

f(x)
?< br>?
(x
?
0)
?
?
1　　
2
14、 如果函数
f
?
x
?
满足：对任意实数
a,b
都有< br>f
?
a?b
?
?f
?
a
?
f
?
b
?
,且
f
?
1
?
?1
，则 :

f
?
2
?
f
?
3
?< br>f
?
4
?
f
?
5
?
f
?< br>2011
?
______________
????…??
f
?
1
?
f
?
2
?
f
?
3
?
f
?
4
?
f
?
2010
?
( x
?
9)
?
x
?
3
,则f(7)
?

15、
已知
f(x)
?
?
f[f (x
?
4)](x
?
9)
?
三、解答题：（满分75分，要 求写出详细的解题过程）
16、（满分12分）设A={x∈Z|
?6?x?6}
，
B?
?
1,2,3
?
,C?
?
3,4,5,6< br>?
，求：
（1）
A?(B?C)
； （2）
A?C
A
(B?C)

17、（满分12分）若集合
M?
?
x|x
2
?x?6?0
?
,N?
?
x|x
2
?x?a?0
?
，且
N?M
，求
实数a
的值。
18、（满分12分）设
f
(
x
)
?ax
2
?
(
b?
8)
x?a?ab
,
不 等式f
(
x
)
?
0
的解集是（－3，2）.


（1）求
f
（
x
）；
（2）当函数
f
（
x
）的定义域是[0，1]时，求函数
f
（
x
） 的值域.
?
?
x
2
?
2x(x
?
0)< br>?
(x
?
0)
19、（满分12分）已知奇函数
f(x)< br>?
?
0
?
x
2
?
mx(x
?
0)
?
（1）求实数m的值，并在给出的直角坐标系中画出
y?f(x)
的 图象；
（2）若函数
f
（
x
）在区间[－1，|
a
|－2]上单调递增，试确定
a
的取值范围.
20、（满分13分）某民营企业 生产A，B两种产品，根据市场调查和预测，A产品
的利润与投资成正比，其关系如图1，B产品的利润 与投资的算术平方根成正
比，其关系如图2（注：利润与投资单位是万元）
（1）分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数，并写出它们的函数关系
式。
（ 2）该企业已筹集到10万元资金，并
全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样
分配这10万 元投资，才能是企业获得最大

利润，其最大利润约为多少万元。（精确到1万元）。 < br>21（、满分14分）若非零函数
f(x)
对任意实数
a,b
均有f(a?b)?f(a)?f(b)
，且当
x?0
时，
f(x)?1；
（1）求证：
f(x)?0
；（2）求证：
f(x)
为减函数 （3）当
f(4)?
等式
f
(
x?
3)
?f
(5
?x
2
)
?

1
4
1
时，解不
16
参考答案
一、选择题：CDBDC BBCCB
二、填空题：11. f（2）> f（a
2
+2a+2）； 12. 4 ； 13.
?
??，

2
?
；
14. 2010 ； 15. 6
三、解答题：16、解：
QA?
?
?6,?5,?4,?3,? 2,?1,0,1,2,3,4,5,6
?
……………2分
（1）又
QB? C?
?
3
?
?A?(B?C)?
?
?6,?5,?4,?3 ,?2,?1,0,1,2,3,4,5,6
?
……6分
（2）又
QB?C ?
?
1,2,3,4,5,6
?
得
C
A
(B?C) ?
?
?6,?5,?4,?3,?2,?1,0
?

?A?C
A
(B?C)
?
?
?6,?5,?4,?3,?2,?1,0
?< br> ……………12分
17、解： A={-3, 2}
1
4
11
⑵ 当△=0，即
a?
时，B={
?
}, B
?A
不成立……………8分
42
1
⑶ 当△>0，即
a?
时，若B
?A
成立 则：B={-3, 2}
4
⑴ 当△<0，即
a?
时，B=
?
， B
?A
成立 …………………4分
∴ a= -3x2=-6 ………………………………………12分
18、解：（1）由已知方程
f
（
x
）=0的两根为－3和2（
a
<0）



由韦达定理得
从而
f
(
x
)
??
3x
2
?
3
x?
18
………………………………………… 6分
（2）
f
(
x
)
??
3(
x
2
?x?
)
?
18
=
?
3(
x?
)
2
?
18

1
4
3
4
12
3
4

而
x?[0,1]
对称轴
x??
,
从而
f(x)在[0,1]
上为减函数
所以，当
x?< br>0
时
,
f
max
(
x
)
?
18,
当x?
1
时
,
f
min
(
x
)
?
12

故所求函数
f(x)
的值域为[12，18]…………………………12分
19、（1）当
x
<0
f(?x)??(x)
2
?2(? x)??x
2
?2x

1
2
时，－
x
>0 ，
又
f
（
x
）为奇函数，∴
f(?x)??f(x)??x
2
?2x
，
2
f
（
x
）＝
x＋2
x
，∴
m
＝2 ……………
∴
4分
y＝
f
（
x
）的图象如右所示
?
?
x
2
?
2x
?
（2）由（1）知
f
（
x）＝
?
0
?
x
2
?
2x
?
……………6分
(x
?
0)
(x
?
0)
，…8分
(x
?
0)
由图象可知，
f(x)
在[－1，1]上单调递 增，要使
f(x)
在[－1，|
a
|－2]
?
|a|
?
2
??
1
上单调递增，只需
?

|a|
?
2
?
1
?
……………10分
……………12分 解之得
?3?a??1或1?a?3
< br>20、（1）投资为
x
万元，A产品的利润为
f(x)
万元，B产品的 利润为
g(x)
万元，
由题设
f(x)
=
k
1< br>?x
，
g(x)
=
k
2
?x
，.
由图知
f(1)?
?
k
1
?
，又
g(4) ?
?
k
2
?

从而
f(x)
=
x,(x?0)
，
g(x)
=
1
4
5
x
，
(x?0)
……………6分
4
1
4
1
4
5
2
5
4
（2）设A产品投入
x
万元，则B产品投 入10-
x
万元，设企业的利润为y万元
Y=
f(x)
+
g(10?x)
=
?
x
4
5
10?x
，（
0?x?10
），
4
10
?
t
2
51525
?
t
??
(t
?
)
2
?
,(0< br>?
t
?
10),

令
10
?x
?
t,
则
y
?
444216
当
t?
，
y
max
?4
，此时
x?10?
5
2< br>25
=3.75
4

?
当A产品投入3.75万元，B产品投入6.25万元时，
企业获得最大利润约为4万元。 ……………12分
21、解：（1）
f(x)?f(?)?f
2
()?0

又若f(x
0
)=0, 则f(x)=f(x- x
0
+ x
0
)=f(x-x
0
)f(x
0
)=0与已经矛盾，
故 f(x)> 0 …………………………4分
（2）设
x
1
?x
2
则
x
1
?x
2
?0
又 ∵
f(x)
为非零函数
=
f(x
1
)
?
1
?
f(x
1< br>)
?
f(x
2
)
,
f(x
2
)< br>x
2
x
2
x
2
f(x)
为减函数 … ………………………9分（3）由
f(4)?f
2
(2)?
11
结合 （2）
，由（1）?f(2)?
原不等式转化为
f(x?3?5?x
2
)?f(2)
，
164
得：
x?
2
?x
2
?
2
?
0
?x?
1

故不等式的解集为
?
x|0?x?1
?
； …………………………14分
高中思维训练班《高一数学》

第8讲----- 指数与对数(一)
『本讲要点』:利用对数增减性比较大小、对数方程
12
200 2
?
112
2003
?
1
1.试比较
2003与的大小
12
?
112
2004
?
1
< br>解：对于两个正数的大小，作商与1比较是常用的方法，记12
2003
=a＞0，则有
?
a
?
?
1
?
2
12
2002< br>?
112
2003
?
1
?
12
?
?
12a
?
1
?
(a
?
12)(12a
?< br>1)
12a
?
145a
?
12
?
?
1

g
÷
2004
=
=
=
12< br>2003
?
112
?
112a
2
?
24a< br>?
12
12(a
?
1)
2
a
?
1a
?
1
12
2002
?
112
2003
?< br>1
故得：
2003
>
2004

12
?112
?
1

*2.已知函数
f
(
x)=log
a
x
(
a
>0,
a
≠1,
x>0
)若
x
1
,
x
2
∈R
+
,试比较与
的大小
解：
f
(
x
1
)+
f
(
x
2
)=log
a
(
x
1
x< br>2
) ∵
x
1
,
x
2
R
+
,∴
号)，
(当且仅当
x
1
=
x
2
时，取“=”
当
a
>1时，有，∴
即 (当且仅当
x
1
=
x
2
时，取“=”号)
当
a
>1时，有，∴
即 (当且仅当
x
1
=
x
2
时，取“=”号)
*3例.设
a
、
b
分别是方程log
2
x +
x
– 5 = 0和2
x
+
x
– 5 = 0的根，求a + b及log
2
a
+ 2
b

解：在直角坐标系内分别作出函数
y
=2
x
和
y
=log
2
x
的图象，再作直线
y
=
x
和
y
= -
x
+5，
由于
y
=2
x
和
y
=log
2
x
互为反函数，故它们的图象关于直线
y
=
x
对称，方程log
2
x
+
x
-5=0的
根
a
就是直线
y
= -
x
+5与对数曲线
y
=log
2
x
的交点A的横坐标，方程2
x
+
x
-5=0的根
b
就
是直线
y
= -
x
+5与指数曲线
y
=2
x
的交点B的横坐标
设
y
= -
x
+5与
y
=
x
的交 点为M，则点M的横坐标为(2.5,2.5)，
所以
a
+
b
=2
x
M
=5 log
2
a
+2
b
=2
y
M
=5
4练.设
f
(
x
)=min(3+
大值
，log
2
x
),其中min(
p
,
q
)表示
p< br>、
q
中的较小者，求
f
(
x
)的最
解：易知
f
(
x
)的定义域为(0,+无穷)

因为
y
1
=3+在(0,+￥)上是减函数，
y
2
=log
2< br>x
在(0,+￥)上是增函数，而当
y
1
=
y
2，即
3+=log
2
x
时，
x
=4，所以由
y
1
=3+和
y
2
=log
2
x
的图象可 知
故当
x
=4时，得
f
(
x
)的最大值是2
5例. 设y=log
12
[a
2x
+2(ab)
x
-b
2 x
+1](a＞0,b＞0)，求使y为负值的x的取值范围
解：∵(12)＜1,要使y＜0,只要
2xx2x
a+2(ab)-b+1＞1，
即a
2x
+2(ab)
x
-b
2x
＞0
→b
2x
[(ab)
2x
+2(ab)
x
-1]＞0
→[(ab)
x
]
2
+2(ab)
x
-1＞0
→
→∵
→.
；

>

1°当a＞b＞0时,ab＞1,
2°当b＞a＞0时,0＜ab＜1,
3°当a=b＞0时，x∈R
6.解方程:
(1)
x
+ log
2
(2
x
- 31) = 5


解：( 1)原方程即：log
2
2
x
+log
2
(2
x< br>-31)

=5
log
2
[2
x
(2
x
-31)]=5 (2
x
)
2
-31×2
x
= 32 解得：2
x
=32, ∴
x
=5
*(2) 2
lg
x
×
x
lg2
- 3×
x
lg2
-2
1+lg
x
+ 4 = 0
(2)原方程即：(2
lg
x
)
2
-5×2
lg
x
+4 = 0 解得：
x
1
=100,
x
2
=1
*7.设
a
>0且
a
≠1,求证：方程
a
x
+
a
-
x
=2
a
的根不在区间[-1,1]内
解：设
t
=
a
x
,则原方程化为：
t
2
-2
at
+1=0 (1) 由Delta = 4
a
2
-4>0得
a
>1
令
f
(
t
)=
t
2
-2
at
+1 ,
f
(
a
)=
a
2
-2
a
2
+1=1-
a
2
<0

所以
f
(
t
)的图象与横轴有的交点的横 坐标在之外，故方程
t
2
-2
at
+1=0在之外
有两个实 根，原方程有两实根且不在区间[-1,1]内