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苏教版高中数学(必修二)(基础版)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(家教、补习、复习用)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-14 19:21
tags:高中数学补习

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苏教版高中数学(必修二)
重难点突破
全册知识点梳理及重点题型举一反三巩固练习
柱、锥、台和球

【学习目标】
1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征.
2.能用上述结构特征描绘现实生活中简单物体的结构.
3.了解柱、锥、台、球的概念.
【要点梳理】
【空间几何体的结构394899 棱柱的结构特征】
要点一:棱柱的结构特征
1、定义:一般地,有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且 每相邻两个四边
形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱.在棱柱中,两个相互平行的 面
叫做棱柱的底面,简称底;其余各面叫做棱柱的侧面;相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱.侧
面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点.棱柱中不在同一平面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对
角线.过不相 邻的两条侧棱所形成的面叫做棱柱的对角面.
2、棱柱的分类:底面是三角形、四边形、五边形、…… 的棱柱分别叫做三棱柱、四棱
柱、五棱柱……
3、棱柱的表示方法:
①用表示底面的各顶点的字母表示棱柱,如下图,四棱柱、五棱柱、六棱柱可分别表示
为、、;



②用棱柱的对角线表示棱柱,如上图,四棱柱可以表示为棱柱
棱柱 可表示为棱柱、棱柱等;六棱柱可表示为棱柱、棱柱
或棱柱
、棱柱
等;五
等.
4、棱柱的性质:棱柱的侧棱相互平行.
要点诠释:
有两个面互相平行,其余各个 面都是平行四边形,这些面围成的几何体不一定是棱柱.如
下图所示的几何体满足“有两个面互相平行, 其余各个面都是平行四边形”这一条件,但它
不是棱柱.

判定一个几何体是否是 棱柱时,除了看它是否满足:“有两个面互相平行,其余各个面
都是平行四边形”这两个条件外,还要看 其余平行四边形中“每两个相邻的四边形的公共边
都互相平行”即“侧棱互相平行”这一条件,不具备这 一条件的几何体不是棱柱.
【空间几何体的结构394899 棱锥的结构特征】
要点二:棱锥的结构特征
1、定义:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形 ,由这些面所围成
的几何体叫做棱锥.这个多边形面叫做棱锥的底面.有公共顶点的各个三角形叫做棱锥 的侧
面.各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点.相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱;
2、棱锥的分类:按底面多边形的边数,可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥 ……;



3、棱锥的表示方法:用表示顶点和底面的字母表示,如四棱锥

要点诠释:
棱锥有两个本质特征:
(1)有一个面是多边形;
(2)其余各面是有一个公共顶点的三角形,二者缺一不可.
【空间几何体的结构394899 旋转体的结构特征】
要点三:圆柱的结构特征
1、定义:以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体
叫做圆柱.旋转轴 叫做圆柱的轴.垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的底面.平行于轴
的边旋转而成的曲面叫做圆柱的 侧面.无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆柱的母
线.
2、圆柱的表示方法:用表示它的轴的字母表示,如圆柱
要点诠释:
(1)用一个平行于圆柱底面的平面截圆柱,截面是一个与底面全
等的圆面.
(2) 经过圆柱的轴的截面是一个矩形,其两条邻边分别是圆柱的
母线和底面直径,经过圆柱的轴的截面通常叫 做轴截面.
(3)圆柱的任何一条母线都平行于圆柱的轴.
要点四:圆锥的结构特征 1、定义:以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转而成的曲面所围成
的几何体叫做 圆锥.旋转轴叫做圆锥的轴.


垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的底面 .不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆
锥的侧面.无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆锥的母 线.
2、圆锥的表示方法:用表示它的轴的字母表示,如圆锥
要点诠释:
(1)用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面是一个比底面小的圆面.
(2)经过圆锥 的轴的截面是一个等腰三角形,其底边是圆锥底面的直径,两腰是圆锥
侧面的两条母线.
(3)圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线都是圆锥侧面的母线.
【空间几何体的结构394899 棱台的结构特征】
要点五:棱台和圆台的结构特征 1、定义:用一个平行于棱锥(圆锥)底面的平面去截棱锥(圆锥),底面和截面之间的部
分叫做棱 台(圆台);原棱锥(圆锥)的底面和截面分别叫做棱台(圆台)的下底面和上底面;原
棱锥(圆锥)的 侧面被截去后剩余的曲面叫做棱台(圆台)的侧面;原棱锥的侧棱被平面截去后
剩余的部分叫做棱台的侧 棱;原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分叫做圆台的母线;棱台
的侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶 点;圆台可以看做由直角梯形绕直角边旋转而成,因
此旋转的轴叫做圆台的轴.
2、棱台的表 示方法:用各顶点表示,如四棱台
3、圆台的表示方法:用表示轴的字母表示,如圆台;



要点诠释:
(1)棱台必须是由棱锥用平行于底面的平面截得的几 何体.所以,棱台可还原为棱锥,
即延长棱台的所有侧棱,它们必相交于同一点.
(2)棱台 的上、下底面是相似的多边形,它们的面积之比等于截去的小棱锥的高与原
棱锥的高之比的平方.
(3)圆台可以看做由圆锥截得,也可以看做是由直角梯形绕其直角边旋转而成.


(4)圆台的上、下底面的面积比等于截去的小圆锥的高与原圆锥的高之比的平方.
要点六:球的结构特征
1、定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几 何体叫做球体,
简称球.半圆的半径叫做球的半径.半圆的圆心叫做球心.半圆的直径叫做球的直径.
2、球的表示方法:用表示球心的字母表示,如球O.
要点诠释:
(1)用一个平 面去截一个球,截面是一个圆面.如果截面经过球
心,则截面圆的半径等于球的半径;如果截面不经过球 心,则截面圆
的半径小于球的半径.
(2)若半径为

要点七:特殊的棱柱、棱锥、棱台
特殊的棱柱:侧棱不垂直于底面的棱柱称为斜棱柱;垂直于 底面的棱柱称为直棱柱;底
面是正多边形的直棱柱是正棱柱;底面是矩形的直棱柱叫做长方体;棱长都相 等的长方体叫
做正方体;
特殊的棱锥:如果棱锥的底面是正多边形,且各侧面是全等的等腰三 角形,那么这样的
棱锥称为正棱锥;侧棱长等于底面边长的正三棱锥又称为正四面体;
特殊的棱台:由正棱锥截得的棱台叫做正棱台;
注:简单几何体的分类如下表:
的球的一个截面圆半径为,球心与截面圆的圆心的距离为,则有


要点八:简单组合体的结构特征
1、组合体的基本形式:①由简单几何体拼接 而成的简单组合体;②由简单几何体截去
或挖去一部分而成的几何体;
2、常见的组合体有三 种:①多面体与多面体的组合;②多面体与旋转体的组合;③旋
转体与旋转体的组合.
①多面体与多面体的组合体
由两个或两个以上的多面体组成的几何体称为多面体与多面体的组 合体.如下图(1)
是一个四棱柱与一个三棱柱的组合体;如图(2)是一个四棱柱与一个四棱锥的组合 体;如
图(3)是一个三棱柱与一个三棱台的组合体.

②多面体与旋转体的组合体

由一个多面体与一个旋转体组合而成的几何体称为多面 体与旋转体的组合体如图(1)
是一个三棱柱与一个圆柱组合而成的;如图(2)是一个圆锥与一个四棱 柱组合而成的;而
图(3)是一个球与一个三棱锥组合而成的.

③旋转体与旋转体的组合体

由两个或两个以上的旋转体组合而成的几何体称为旋转 体与旋转体的组合体.如图(1)
是由一个球体和一个圆柱体组合而成的;如图(2)是由一个圆台和两 个圆柱组合而成的;
如图(3)是由一个圆台、一个圆柱和一个圆锥组合而成的.


要点九:几何体中的计算问题
几何体的有关计算中要注意下列方法与技巧:
(1)在正棱锥中,要掌握正棱锥的高、侧面、等腰三角形中的斜高及高与侧棱所构成的
两个直 角三角形,有关证明及运算往往与两者相关.
(2)正四棱台中要掌握其对角面与侧面两个等腰梯形中 关于上、下底及梯形高的计算,
有关问题往往要转化到这两个等腰梯形中.另外要能够将正四棱台、正三 棱台中的高与其斜
高、侧棱在合适的平面图形中联系起来.
(3)研究圆柱、圆锥、圆台等问 题的主要方法是研究它们的轴截面,这是因为在轴截面
中,易找到所需有关元素之间的位置、数量关系.
(4)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开是把立体几何问题转化为平面几何问题处理的重要手
段之一 .
(5)圆台问题有时需要还原为圆锥问题来解决.
(6)关于球的问题中的计算,常作球 的一个大圆,化“球”为“圆”,应用平面几何的有
关知识解决;关于球与多面体的切接问题,要恰当地 选取截面,化“空间”为平面.
【经典例题】
类型一:简单几何体的结构特征
例1.判断下列说法是否正确.
(1)棱柱的各个侧面都是平行四边形;
(2)一个n(n≥3)棱柱共有2n个顶点;
(3)棱柱的两个底面是全等的多边形;
(4)如果棱柱有一个侧面是矩形,则其余各侧面也都是矩形.
【答案】(1)(2)(3)正确,(4)不正确.
【解析】 (1)由棱柱的定义 可知,棱柱的各侧棱互相平行,同一个侧面内两条底边也
互相平行,所以各侧面都是平行四边形.(2) 一个n棱柱的底面是一个n边形,因此每个底
面都有n个项点,两个底面的顶点数之和即为棱柱的顶点数 ,即2n个.(3)因为棱柱同一
个侧面内的两条底边平行且相等,所以棱柱的两个底面的对应边平行且 相等,故棱柱的两个
底面全等.(4)如果棱柱有一个侧面是矩形,只能保证侧棱垂直于该侧面的底边, 但其余侧
面的侧棱与相应底边不一定垂直,因此其余侧面不一定是矩形.
故(1)(2)(3)正确,(4)不正确.
【总结升华】解决这类与棱柱、棱锥、棱台有关的命题真 假判定的问题,其关键在于


准确把握它们的结构特征,也就是要以棱柱、棱锥、棱台概念 的本质内涵为依据,以具体实
物和图形为模型来进行判定.
举一反三:
【变式1】如下图中所示几何体中是棱柱有( )

A.1 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
例2.有下面五个命题:

(1)侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥;
(2)侧棱都相等的棱锥是正棱锥;
(3)底面是正方形的棱锥是正四棱锥;
(4)正四面体就是正四棱锥;
(5)顶点在底面上的射影既是底面多边形的内心,又是底面多边形的外心的棱锥必是
正棱锥.
其中正确命题的个数是( ).
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】 A
【解析】 本题主要考查正棱锥的概念,关键看是否满足定义中的两个条件.
命题(1)中的“各侧面都 是全等的等腰三角形”并不能保证底面是正多边形,也不能
保证顶点在底面上的射影是底面的中心,故不 是正棱锥,如下图(1)中的三棱锥S-ABC,
可令SA=SB=BC=Ac=3,SC=AB=1, 则此三棱锥的各侧面都是全等的等腰三角形,但它不
是正三棱锥;命题(2)中的“侧棱都相等”并不能 保证底面是正多边形,如下图(2)中的
三棱锥P-DEF,可令PD=PE=PF=1,,EF=1, 三条侧棱都相等,但它不是
正三棱锥;命题(3)中的“底面是正方形的棱锥”,其顶点在底面上的射影 不一定是底面的


中心,如下图(3),从正方体中截取一个四棱锥D
1
-ABCD,底面是正方形,但它不是正四棱
锥;命题(4)中的“正四面体”是正三棱锥.三棱锥中共 有4个面,所以三棱锥也叫四面
体.四个面都是全等的正三角形的正三棱锥也叫正四面体;命题(5)中 的“顶点在底面上
的射影既是底面多边形的内心,又是外心”,说明了底面是一个正多边形,符合正棱锥 的定
义.


举一反三:

【变式1 】如果一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何
体一定是棱锥.这种说法是否正确?如果正确说明理 由;如果不
正确,举出反例.
【答案】不正确
【解析】如图所示的几何体由两个底 面相等的四棱锥组合而成,
它有一个面是四边形,其余各面都是三角形,但是该几何体不是棱锥.
类型二:几何体中的基本计算
例3、若三棱锥的底面为正三角形,侧面为等腰三角形,侧棱 长为2,底面周长为9,求
棱锥的高.
【解析】底面正三角形中,边长为3,高为,中心到顶点距离为
,则棱锥的高为.
例 4、用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥,截得
圆台上、下底面的面积之比为1:16,截去的圆锥 的母线长是
3cm,求圆台的母线长.
【解析】设圆台的母线为,截得圆台的上、下底面半
径分别为r,4r.


根据相似三角形的性质得,
所以,圆台的母线长为.
,解得. 【总结升华】用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体,注意抓住截面的性质(与
底面全等或相 似),同时结合旋转体中的轴截面(经过轴的截面)的几何性质,利用相似三角
形中的相似比,构设相关 几何变量的方程组而解得.
例5. 如图(单位:
和体积.
),求图中阴影部分绕旋转一周所形成的几何体的表面积

【思路点拨】所形成的旋转体为一个圆台,并从上底挖去一个半球.
【解析】由题意知, 所求旋转体的表面积由三部分组成:
圆台下底面、侧面和一半球面.

故所求几何体的表面积为

.
.
由,
.
所以,旋转体的体积为:.
【总结升华】平面图形绕某轴旋转一周所形成的旋转体,需认真分 析其结构,结果一般
由圆柱、圆锥、圆台、球等简单旋转体组合。
举一反三:
【变 式1】如图,在四边形
,,求四边形
中,

,,,
旋转一周所成几何 体的表面积及体积.



【答案】



.
【变式2】将圆心角为
体积.
【答案】设扇形的半径和圆锥的母线都为,圆锥的半径为,则
,面积为的扇形,作为圆锥的侧面,求圆锥的表面积和


;;


【变式3】一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以 拼接成一个三棱柱,这个四棱锥的底面为
正方形,且底面边长与各侧棱长相等,这个三棱锥的底面边长与 各侧棱长也都相等.设四棱
锥、三棱锥、三棱柱的高分别为
A. B.




,则
C.
( )
D.

【答案】B


【解析】依据题意,正四棱锥
,且三棱柱的棱长都相等, 假设棱
与正三棱锥组合而成三棱柱
与,可以求出正三棱锥
三棱柱的高都为

,正四棱锥的高为,故
类型三、简单几何体的组合体
例6.指出下图中的图形是由哪些简单几何体构成的.

【解析】分割原图,使它们的每一部分构成简单几何体.
(1)是一个三棱柱和一个四棱柱组合而成的;
(2)是一个圆锥和一个四棱柱组合而成的.
【总结升华】判定实物图是由哪些简单几何体所组成的图形问题,首先要熟练掌握简单
几何体的结构特征,其次要善于将复杂的组合体“分割”成几个简单的几何体.会识别较复
杂的图形是学 好立体几何的第一步,因此我们应注意观察周围的物体,然后将它们“分拆”
成几个简单的几何体,进而 培养我们的空间想象能力和识图能力.
举一反三:
【变式1】如下图,观察下列几何体,分 析它们是由哪些基本几何体组成的,并说出它
们的主要结构特征.

【答案】图(1)是由一个四棱柱在它的上、下底面上向内挖去一个三棱柱组成的几何
体,它有9个面,14个顶点,21条棱,具有四棱柱和三棱柱的结构特征.
图(2)是一个 四棱柱和一个底面与该四棱柱上底面重合的四棱锥组成的几何体,它有
9个面,9个顶点,16条棱,具 有四棱柱和四棱锥的结构特征.


图(3)是由一个三棱柱和一个底面与该三棱 柱的上底面重合的三棱台组成的几何体,
它有9个顶点,8个面,15条棱,具有三棱柱和三棱台的结构 特征.
【变式2】 如下图(1)是由图(2)中的平面图形( )旋转得到的.

【答案】A

【总结升华】要作出一个平面图形绕某一条直线旋转一周所形 成的几何体,一般是先作
出这个平面图形的各顶点(如果是半圆形,则取垂直于这条直线的半径的端点) 关于这条直
线的对称点,再把这些相互对称的两点用圆弧连接起来,也就得出相应的几何体,进而便可< br>判定其是由哪些简单的几何体所组成的几何体.
例7.(1)一个正方体内接于一个球,过球心作一截面,如下图所示,则截面可能的图
形是( )

A.①③ B.②④ C.①②③ D.②③④
(2)如右图所示,在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别
与正方体内切,求两球半径之和.
【答案】 (1)C;(2).
【解析】 (1)当截面平行于正方体 的一个侧面时得③,当截
面过正方体的体对角线时得②,当截面不平行于任何侧面也不过对角
线 时得①,但无论如何都不能截出④.
(2)此题的关键在于作截面.球不可能与边AB、CD 相切,一个球在正方体内,一般
知道作对角面,而两个球的球心连线也应在正方体的体对角线上,故仍需 作正方体的对角面,
得如右图所示的截面图.球心O
1
和O
2
在AC 上,过O
1
、O
2
分别作AD、BC的垂线交于E、F
两点.设小球 半径为r,大球半径为R.


则由AB=1,,得,,
∴.∴.
【总结升华】作适当的截面是解决球与其他几何体形成的组合体问题的关键.
举一反三:
【变式1】 圆锥底面半径为1cm,高为
方体的棱长.
,其中有一个内接正方体,求这个内接正
【答案】
【解析】过圆锥的顶点S和正方体 底面的一条对角线CD作圆锥的截面,得圆锥的轴截
面SEF,正方体对角面
设正方体棱长为x ,则
作SO⊥EF于O,则
,如图所示.
.
,OE=1,
∵ △ECC
1
∽△EOS, ∴ ,即.
∴ ,即内接正方体棱长为
【总结 升华】此题也可以利用△SCD∽△SEF而求.两个几何体相接、相切的问题,关键
在于发现一些截面 之间的图形关系.常常是通过分析几个轴截面组合的平面图形中的一些相
似,利用相似比列出方程而求. 注意截面图形中各线段长度的计算.
类型四、简单几何体的表面展开与折叠问题
例8.请画出下图所示的几何体的表面展开图.

【解析】 将立体图形沿着某些棱剪开,然后伸展到平面上.


表面展开图如下图所示.

【总结升华】要画一个多面体的表面展开图,可 以先用硬纸做一个相应的多面体的实
物模型,然后沿着某些棱把它剪开,并铺成平面图形,进而画出相应 的平面图形.将多面体
的表面展开成平面图形,有利于我们解决与多面体表面有关的计算问题.
举一反三:
【变式1】 如下图所示的两个图形都是立体图形的平面展开图,你能分别说出这些立
体图形的名称吗?

【答案】(1)正方体(2)正四棱锥
例9.有一根长为,底面半径是的圆柱形铁管,用一段 铁丝在铁管上缠绕
圈,并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端,则铁丝的最短长度为多少厘米?
【思路点拨】可以把圆柱沿这条母线展开,将问题转化为平面几何问题.
【解析】如图,把圆柱表面及缠绕其上的铁丝展开在平面上,得到矩形。

由题意知,
点与点
,
就是铁丝的起止位置,
的长度即为铁丝的最短长度.
.

,
故线段

所以,铁丝的最短长度约为


【总结升华】探究几何体表面上最短距离,常将几何 体的表面或侧面展开,化折(曲)
为直,使空间图形问题转化为平面图形问题. 空间问题平面化,是解决立体几何问题基本的、
常用的方法.
例10.长方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
(如图)中,AB=3, BC=4,A
1
A=5,现有一甲壳虫从A出发
沿长方体表面爬行到C.来获取食物, 试画出它的最短爬行路线,并求其路程的最小值.

【答案】

【解析】把长方体的部分面展开,如右图所示.
对甲、乙、丙三 种展开图利用勾股定理可得AC
1
的长分别为、、,由此
可见乙是最短线路,所以甲壳 虫可以先在长方形ABB
1
A
1
内由A到E,再在长方形BCC
1< br>B
1

由E到C
1
,也可以先在长方形AA
1
D
1
D内由A到F,再在长方形DCC
1
D
1
内到F到C
1
,其最短
路程为.
【总结升华】在几何体表面求最短路径问题,就是要“ 化折为直”,因此需要把几何体表面
展开,本题注意要分三种情况讨论.【巩固练习】
1.一个正方形沿不平行于正方形所在平面的方向平移一段距离一定可以形成( ).
A.棱锥 B.四棱柱 C.正四棱柱 D.长方体
2.从长方体的一个顶点出发的三条棱上各取一点
方体的截面,那么这个截面的形状是( ).
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.以上都有可能
3.下列命题中,正确的是( ).
A.有两个面互相平行,其余各面都是四边形的几何体是棱柱
B.棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的侧面
C.棱柱的侧面都是平行四边形,而底面不是平行四边形
D.棱柱的侧棱都相等,侧面是平行四边形
4.下列图形不是正方体表面展开图的是( ).
(不与顶点重合),过此三点作长



5.下列命题:

①圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的一个;②用任意一个平面去截球体得到的截嘶
一定是一个圆面;③用任意一个平面去截圆锥得到的截断一定是一个圆面.
其中正确的个数是( ).
A.0 B.1 C.2 D.3
6.一个直角梯形以较长底为轴进行旋转,得到的几何体是( )
A.一个圆台 B.一个圆锥
C.由两个圆锥组成的组合体 D.由一个圆锥一个圆柱组成的组合体
7.一个棱台至少有 个面;面数最少的一个棱锥有 个顶点;顶点最少的
一个棱台有
条侧棱.
8.正六棱台的两底边长分别为1cm,2cm,高是1cm,它的斜高为 .
9.为球面上相异两点,则通过两点可作的球大圆有 个.
10.长方体的全面积为11,十二条棱的长度之和为24,求这个长方体的一条对角线长.

11.已知三棱锥的底面是边长为a的正三角形,求过各侧棱中点的截面面积.
12.一个四 棱台的上、下底面均为正方形,且面积分别为、,侧面是全等的等腰梯形,
棱台的高为h,求此棱台的侧 棱长和斜高(侧面等腰梯形的高).
13.正四棱锥的高为,侧棱长为,求侧面上斜高(棱锥侧面三角形的高)为多少?
14.如 右图,圆柱侧面上有两点B、D,在D处有一只蜘蛛,在B处有一只
苍蝇,蜘蛛沿怎样的路线行走才能以 最短的路程逮着苍蝇?最短路程是多
少?


【答案与解析】
1.【答案】B


【解析】由棱柱定义可知,选B.
2.【答案】A
【解析】 连结
3.【答案】D
【解析】 紧扣棱柱的定义可知选D.
4.【答案】C
【解析】 由展开图折回去形不成正方体可知选C.
5.【答案】C
【解析】 ①②正确,③中截面也可以是一个三角形或椭圆等.
6.【答案】D
【解析】由圆柱和圆锥的定义可知,该图形是一个圆锥和圆柱.
7.【答案】5 4 3
【解析】面数最少的棱台是三棱台;面数最少的棱锥是三棱锥;顶点最少的棱台是三棱台.
三点,用余弦定理证明知,这个三角形是锐角三角形.
8.【答案】
中,连结,作【解析】在正六棱台
,垂足为
9.【答案】一个或无穷多个
10.【答案】5
,解得斜高为cm.
【解析】设长方体的长、宽、高分别为a、b、c,则,而对角线长
.
11.【答案】
【解析】如右图,△A'B'C'为所求的截面图形,由三角形中位线性质定理,得△A'B'C'∽△ABC,且对应边长之比为1∶2.【答案】


∴.
又∵,∴.
12.【答案】
【解析】上、下底面正方形的边长为

、,此棱台对角面、
过两相对斜高的截面都是等腰梯形,则侧棱长为

斜高 为
13.【解析】如图所示,正四棱锥S-ABCD中高OS=
侧棱SA=SB=SC=SD=
在Rt△SOA中,
OA=

.

=2,∴AC=4.
. ∴AB=BC=CD=DA=
作OE⊥AB于E,则E为AB中点.
连接SE,则SE即为斜高.
在Rt△SOE中,
∵OE=
∴SE=
BC=,SO=,
. ,即侧面上的斜高为
14 .【解析】如右图,将圆柱的侧面沿母线AB展开即得矩形AA'B'B,其中D'、C'分
别为AA' 与BB'的中点.在矩形AD'C'B中,AB=C'D'=。
连接BD',则
线段D'B直走 时路程最短,最短路程为

.根据平面内两点间线段最短知蜘蛛沿着




中心投影和平行投影及直观图画法

【学习目标】
1.了解平行投影与中心投影,了解在平行投影下画空间图形与在中心投影下画 空间图形
两种方法的各自特点,了解空间图形的不同表现形式;
2. 了解画立体图形三视图 的原理,并能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、
棱柱的简易组合体)的三视图.能识别上述 的三视图所表示的立体模型,会用斜二测画法画
出它们的直观图.
【要点梳理】
【空间几何体的三视图与直观图 395059中心投影与平行投影】
要点一:中心投影与平行投影
1.投影、投影线和投影面
由于光的照射,在不透明 物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子,这种现象叫做
投影.其中的光线叫做投影线,留下物体影子 的屏幕叫做投影面.
2.中心投影
我们把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影.中心 投影的投影线交于一点,它
的实质是一个点光源把一个物体射到一个平面上,这个物体的影子就是它在这 个平面上的中
心投影.
3.中心投影的性质
(1)中心投影的投影线交于一点;
(2)点光源距离物体越近,投影形成的影子越大.
4.平行投影
我们把在一束平行光线照射下形成的投影叫做平行投影.投影 线正对着投影面时,叫做
正投影,否则叫做斜投影.
5.平行投影的性质
(1)平行投影的投影线互相平行.
(2)在平行投影之下,与投影面平行的平面图形留下的影子与这个平面图形的形状和大
小完全相同.
6.中心投影与平行投影的区别与联系


(1)平行投影包括斜 二测画法和三视图.中心投影后的图形与原图形相比虽然改变较多,
但直观性强,看起来与人的视觉效果 一致,最像原来的物体.
(2)画实际效果图时,一般用中心投影法,画立体几何中的图形时,一般用平行投影法.
要点二:空间几何体的三视图
【空间几何体的三视图与直观图 395059 三视图】
1.三视图的概念
把一个空间几何体投影到一个平面上,可以获得一个平面图形,但 是只有一个平面图形
很难把握几何体的全貌,因此我们需要从多个角度进行投影,这样才能较好地把握几 何体的
形状和大小.通常,我们总是选择三种投影.
(1)光线从几何体的前面向后面正投影,得到的投影图叫做几何体的正视图;
(2)光线从几何体的左面向右面正投影,得到的投影图叫做几何体的侧视图;
(3)光线从几何体的上面向下面正投影,得到的投影图叫做几何体的俯视图.
几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图.
2.三视图的画法规则
画三视图时,以正视图为准,俯视图在正视图的正下方,侧视图在正视图的正右方,正、
俯、侧三个视图 之间必须互相对齐,不能错位.
正视图反映物体的长度和高度,俯视图反映物体的长度和宽度 ,侧视图反映物体的宽度
和高度,由此,每两个视图之间有一定的对应关系,根据这种对应关系得到三视 图的画法规
则:
(1)正、俯视图都反映物体的长度——“长对正”;
(2)正、侧视图都反映物体的高度——“高平齐”;
(3)俯、侧视图都反映物体的宽度——“宽相等”.
【空间几何体的三视图与直观图 395059 斜二测画法及典型例题1】
要点三:斜二测画法
在立体几何中,空间几何体的直观 图通常是在平行投影下画出的空间图形.要画空间几
何体的直观图,首先要学会水平放置的平面图形的直 观图画法.
对于平面多边形,我们常用斜二测画法画它们的直观图,斜二测画法是一种特殊的平行
投影画法.


斜二测画法的步骤:
(1)在已知图形中取互相垂直的z轴 和y轴,两轴相交于点O.画直观图时,把它们
画成对应的x'轴与y'轴,两轴交于点O',且使∠x 'O'y'=45°(或135°),它们确定
的平面表示水平面.
(2)已知图形 中,平行于x轴、y轴的线段,在直观图中分别画成平行于x'轴、y'
轴的线段,并使它们和所画坐标 轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系
相同.
(3)已知图形中 ,平行于x轴或z轴的线段,在直观图中保持长度不变,平行于y轴
的线段,长度变为原来的一半.画图 完成后,擦去作为辅助线的坐标轴,就得到了平面图形
的直观图.
要点诠释:
用斜 二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点并在直观图中画
出.一般情况下,这些点的 位置都要通过其所在的平行于x、y轴的线段来确定,当原图中
无需线段时,需要作辅助线段.
要点四:立体图形的直观图
(1)用斜二测画法画空间几何体的步骤
①在已知图形中,取互相垂直的x轴和y轴,再取z轴,使∠xOz=90°,且∠yOz=90°;
②画直观图时,把它们画成对应的轴x′,y′,z′,使∠x′O′y′=45°(或135°),
∠ x′O′z′=90°,x′O′y′所确定的平面表示水平平面;
③已知图形中平行于x轴 ,y轴或z轴的线段,在直观图中分别画成平行于x′轴,y′
轴或z′轴的线段;
④在已知平面图形中平行于x轴和z轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于y
轴的线段,长度变 为原来的一半;
⑤擦去作为辅助线的坐标轴,就得到了空间几何体的直观图.
(2)斜二测画法保留了原图形中的三个性质
①平行性不变,即在原图中平行的线在直观图中 仍然平行;②共点性不变,即在原图中
相交的直线仍然相交;③平行于x,z轴的长度不变.
(3)画立体图形与画水平放置的平面图形相比多了一个z轴,其直观图中对应于z轴
的是z'轴,平面 x'O'y'表示水平平面,平面y'O'z'和x'O'z'表示直立平面.平
行于z轴(或在:轴上 )的线段,其平行性和长度都不变.


(4)三视图与直观图的联系与区别
三视图与直观图都是用平面图形来刻画空间图形的位置特征与度量特征,二者有以下区
别:
①三视图从细节上刻画了空间几何体的结构,由三视图可以得到一个精确的几何体,如
零件、建筑图纸等 都是三视图.
②直观图是对空间几何体的整体刻画,可视性高,立体感强,由此可以想象实物的形状.
要点五:已知三视图画直观图
三视图和直观图是空间几何体的两种不同的表现形式.直观图是 在某一定点观察到的图
形,三视图是投射线从不同位置将物体按正投影向投影面投射所得到的图形,对于 同一个物
体,两者可以相互转换.
由三视图画直观图,一般可分为两步:
第一步:想象空间几何体的形状.
三视图是按照正投影的规律,使平行光线分别从物体的正面 、侧面和上面投射到投影面
后得到的投影图,包括正视图、侧视图和俯视图.
正视图 反映出物体的长和高,侧视图反映出物体高和宽,所以正视图和侧视图可以确定
几何体的基本形状,如柱 体、锥体或台体等.俯视图反映出物体的长和宽.对于简单几何体
来说,当俯视图是圆形时,该几何体是 旋转体;当俯视图是多边形时,该几何体是多面体.
第二步:利用斜二测画法画出直观图.
当几何体的形状确定后,用斜二测画法画出相应物体的直观图.注意用实线表示看得见
的部分,用虚线表示看不见的部分.画完直观图后还应注意检验.
【典型例题】
类型一、平行投影与中心投影
例1.下列命题中正确的是( )
A.矩形的平行投影一定是矩形
B.梯形的平行投影一定是梯形
C.两条相交直线的投影可能平行
D.一条线段的平行投影如果仍是一条线段,那么这条线段中点的投影必是这条线段投
影的中心
【答案】 D
【解析】平行投影因投影线的方向变化而不同,因而平行投影改变几何图形的形 状,


因而A、B不正确.
两条直线的交点无论是平行投影还是中心投影仍是同 一个点,这个点在两条直线的投
影上,因而两条直线的投影不可能平行,故C错.
两条线段平行投影的比等于这两条线段的比,因而D正确.
【总结升华】空间图形经过中心投影后,直 线变成直线,但平行线可能变成了相交的直
线,如照片中由近到远,物体之间的距离越来越近,最后相交 于一点.中心投影后的图形与
原图形相比虽然改变较多,但直观性强,看起来与人的视觉效果一致,最像 原来的物体,所
以在绘画时,经常使用这种方法.
例2.如下图所示,正方体ABCD-A< br>1
B
1
C
1
D
1
中,E、F分别是AA1
、C
1
D
1
的中点,G是正方形
BCC
1< br>B
1
的中心,则四边形AGFE在该正方体的各个面上的射影可能是下图中的_____ ___.

【答案】(1)(2)(3)

【解析】要画 出四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影,只需画出四个顶点A、G、
F、E在每个面上的投影, 再顺次连接即得在该面上的投影,并且在两个平行平面上的投影
是相同的.由此可得在面ABCD和面A
1
B
1
C
1
D
1
上的投影是上图(1); 在面ADD
1
A
1
和面BCC
1
B
1
上< br>的投影是上图(2);在面ABB
1
A
1
和面DCC
1
D
1
上的投影是上图(3).故填(1)(2)(3).
【总结升华】画出 一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点如顶点等,
画出这些关键点的投影,再依次连 接即可得此图形在该平面上的投影.
举一反三:
【变式1】如下图所示,E、F分别为正方 体面ADD'A'、面BCC'B'的中心,则四边形
BFD'E在该正方体的各个面上的投影可能是下 图中的________.

【答案】②③
类型二、空间几何体的三视图


例3.螺栓是棱柱和圆柱构成的组合体,如下图,画出它的三视图.

【解析】该物体是由一个正六棱柱和一个圆柱组合而成的.正视图反映正六棱柱的三个
侧面和圆柱侧面,侧视图反映正六棱柱的两个侧面和圆柱侧面,俯视图反映该物体正投影后
是一个正六边 形和一个圆(中心重合).
它的三视图如下图.

【总结升华】(1)对于简单空间几何体的组合体,一定要认真观察,先认识它的基本结
构,然后再画它 的三视图.
(2)在绘制三视图时,应注意:若相邻两物体的表面相交,表面的交线是它们的 分界
线,在三视图中,分界线和可见轮廓线都用实线画出.
(3)画简单组合体的三视图应注 意两个问题:首先,确定正视、侧视、俯视的方向,
同一物体放置的位置不同,所画的三视图就可能不同 ;其次,简单组合体是由哪几个简单几
何体构成的,并注意它们的构成方式,特别是它们的交线位置.
例4.某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 ( )
A . 4 B.


C. D.6








【思路点拨】先由三视图判断出几何体形状,再利用几何体体积公式求解。
【答案】B
【解析】由四棱台的三视图可知该四棱台的上底面是边长为1的正方形,
下底面是边长为2的正方形,高为2,
由棱台的体积公式可知该四棱台的体积,故选B.
举一反三:
【变式1】若某几何体的三视图如下图所示,则这个几何体的直观图可以是(

【答案】B


【变式2】某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

(A)

【答案】C
(B)

(C)200 (D)240
【解析】由三视图可知该几何体是直四棱柱,底面是等腰梯形.底面面积
,几何 体的体积V=S·h=20×10=200.选C.
例5.已知某一多面体内接于球构成一个简单组合 体,如果该组合体的正视图、侧视图、俯
视图均如图所示,且图中的四边形是边长为2的正方形,则该球 的表面积是________.

【答案】12π
【解析】由三视图知:边长为 2的正方体内接于球,故正方体的体对角线长,即为球
的直径长,所以球的表面积为
举一反三:

【变式】某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 .



【答案】16π-16
【解析】由三视图可知该几何体是由圆柱中间除去正四棱柱得到的,
故体积是4π×4-2×2×4=16π-16。
例6.某几何体的三视图如图所示, 则其体积为 .

【思路点拨】先由三视图判断出几何体形状,再利用几何体体积公式求解。
【答案】
【解析】该几何体为一个半圆锥,故其体积为
举一反三:
.
【变式1】 右图是长和宽分别相等的两个矩形.给定下列三个命题,其中真命
题的个数是( ).
①存在三棱柱.其正(主)视图、俯视图如右图 ②存在四棱柱,其正(主)
视图、俯视图如右图 ③存在圆柱,其正(主)视图、俯视图如右图
A.3 B.2 C.1 D.0
【答案】A


【变式2】一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是( )


【答案】D
【解析】由俯视图易知,只有选项D符合题意,故选D。
【变式3】若某几何的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于 cm
3


【答案】24
【解析】此三视图所表示的几何体由一个直三棱柱截去一个三棱锥所得(如图所示),

故其体积。



类型三、空间几何体的直观图
例7.画出水平放置的等边三角形的直观图.
【解析】画法,如图:
(1)在三角 形ABC中,取AB所在直线为x轴,AB边的高所在直线为y轴;画出相应的
轴和 轴,两轴交于点,且使;
(2)以
(3)连接
为中点,在

轴上取
,并擦去辅助线
,在
轴和
轴上取;
. 轴,便获得正△ABC的直观图△

【总结升华】斜二测画法的作图技巧:
1.在 已知图中建立直角坐标系,理论上在任何位置建立坐标系都行,但实际作图时,一
般建立特殊的直角坐标 系,尽量运用原有直线为坐标轴或图形的对称轴为坐标轴,以线段的
中点或图形的对称点为原点; 2.在原图中平行于轴和轴的线段在直观图中仍然平行于轴和轴,原图中不与
坐标轴平行的线段可以 先画出线段的端点再连线,画端点时利用与坐标轴平行的线段;
3.画立体图形的直观图,在画轴时,要再画一条与平面
的线段长度保持不变.
举一反三:
【变式1】 已知正角形ABC的边长为a,那么△ABC的平面直观图△A'B'C'的面积
为( )
垂直的轴,平行于轴
A. B. C. D.
【答案】D


【解析】先根据题意,画出直观图,然后根据直观图△A'B'C'的边长及夹角求解.

如上图(1)、(2)所示的实际图形和直观图.由图(2)可知,A'B'=AB =a,
,在图(2)中作C'D'⊥A'B'于D',则.
∴.
【总结升华】求直 观图的面积的关键是依据斜二测画法,求出相应的直观图的底边和
高,也就是原来实际图形中的高线在直 观图中变为与水平直线成45°角且长度为原来的一
半的线段,以此为依据求出相应的高线即可.反过来 ,由一个平面图形的直观图来确定原平
面图形的面积,也是依据这个规则来确定的.
例8.一 个机器部件,它的下面是一个圆柱,上面是一个圆锥,并且圆锥的底面与圆柱
的上底面重合,圆柱的底面 直径为3 cm,高为3 cm,圆锥的高为3 cm,画出此机器部件的
直观图.
【解析】 这个几何体(部件)是一个简单的组合体,可以先画出下面的圆柱,再画出
上面的圆锥.
画法:(1)如下图(1)所示,画x轴、,y轴、z轴,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.
(2)画圆柱的两底面.按x、y轴画出底面⊙O,使直径为3 cm,在z轴上截取OO',
使OO'=3 cm,过O'作Ox的平行线O'x',Oy的平行线O' y',利用O'x'与O'y'画
出底面⊙O',使其直径为3 cm.
(3)画圆锥的顶点.在z轴上画出点P,使PO'等于圆锥的高3 cm.
(4)成图.连 接A'A、B'B、PA'、PB',擦去辅助线,得到此几何体(部件)的直观
图,如下图(2)所示 .



【总结升华】解此类题,首先要根据题目中的 条件、尺寸想象出实物模型,然后建立坐
标系,按直观图的画法,作出其对应的直观图.


【巩固练习】
1.在下列关于用斜二测画法画直观图的说法中,正确的命题的个数是( ).
①相等的角在直观图中对应的角仍相等;
②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等;
③平行的线段在直观图中对应的线段仍然平行;
④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.给出以下命题,其中正确命题的个数是( )
①如果一个几何体的正视图、侧视图 、俯视图是完全相同的,则这个几何体是球;②
如果一个几何体的正视图和俯视图都是矩形,则这个几何 体是长方体;③如果一个几何体的
正视图、侧视图、俯视图都是矩形,则这个几何是长方体;④如果一个 几何体的正视图和侧
视图都是等腰梯形,则这个几何体是圆台.
A.1 B.2 C.3 D.4
3.以正方形相邻两边为坐标轴建立直角坐标系,在这一坐标系下用斜二测画法 画出的正方
形的直观图是一个平行四边形,其中有一边长为4,则此正方形的面积是( ).
A.16 B.64 C.16或64 D.以上都不对
4.水平放置△ABC, 有一边在水平线上,用斜二测画法作出的直观图是正三角形A'B'C',
则△ABC是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.任意三角形
5.如下图所示为一个平面图形的直观图,则此平面图可能是下列选项中的( )

6.将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如下图所示,则该几何体的左视图为( )

7.一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正(主)视图与侧(左) 视图分别如下图所示,


则该几何体的俯视图为

8.如下图(1)、(2)所示的三视图代表的立体图形分别是________.

9.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

(A) (B)
(C) (D)
10.一个三角形在其直观图中对应一个边长为1的正三角形,原三角形的面积为________.
11.水平放置的△ABC的斜二测直观图如下图,已知A'C'=3,B'
C'=2,则A' B'边上的中线的实际长度为________.


12.某几何体的三视图如图所示,该几何体的体积是________.







13.用斜二测画法作出两边边长分别为3cm和4cm的矩形的直观图.
14.如下图是一个几何体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图.

15.如图,正方形

的边长为,它是水平放置的一个平面图形的直观图. 请画
出原来的平面几何图形的形状,并求原图形的周长与面积.




【答案与解析】
1.【答案】B
【解析】由斜二测画法的定义知,③④正确.
2.【答案】A
【解析】 正方体 的正视图、侧视图、俯视图都是正方形,故①不对;正视图和俯视图都是
矩形的几何体还有可能是圆柱, 故②不对;正视图和俯视图都是等腰梯形的几何体还有可能
是底面是正方形、侧棱相等的四棱台,故④不 对;③显然正确.
3.【答案】C
【解析】此平行四边形的一边长是4,如果是在轴正半 轴上的边长是4,则平行四边形的
轴上的边长是4,则行四边形另一边长是2,那么这时平行四边形的面 积是16;如果是在
的另一边长是8,那么这时平行四边形的面积是64,故选C.
4.【答案】C


【解析】 将△A'B'C'还原,由斜二测画法知,△ABC为钝角三角形.
5.【答案】C
【解析】 很明显平面图形是梯形,在直观图中,右边的线段与y'轴平行,因此平面图形
的上 底与右边的腰应垂直.
6.【答案】D
【解析】 被截去的四棱锥的三条可见侧棱中有两 条为长方体的面对角线,它们在右侧面上
的投影与右侧面(长方形)的两条边重合,另一条为体对角线, 它在右侧面上的投影与右侧
面的对角线重合,对照各图,只有选项D符合.
7.【答案】C
【解析】 正视图中小长方形在左上方,对应俯视图应该在左侧,排除B、D,侧视图中小长
方 形在右上方,对应俯视图应该在下方,排除A,故选C.
8.【答案】正六棱锥、两个圆台的组合体
【解析】由三视图的特征想象原几何体的特征.
9.【答案】A
【解析】该几何体为底面是直角边为的等腰直角三角形,
高为的直三棱柱,其体积为。
10.【答案】
【解析】如右图,由底边长A'B'=1,,那么原来
的高线为,则原三角形的面积.
11.【答案】
【解析】由于直观图中,∠A'B'C'=45°,则在原图形中∠A CB=90°,AC=3,BC=4,
则斜边AB=5,故斜边上的中线长为.
12.【答案】


【解析】将三视图还原直观图,可知是一个底面为正方形(其 对角线长为2),高为2的四
棱锥,其体积为
轴、轴,使13.【解析】采用斜二测画法,即 在已知图形所在的空间中取水平平面,作
,然后依据平行投影的有关性质逐一作图(如下图).
(1)在已知ABCD中取AB,AD所在边为x轴与y轴,相交于点O(O与A重合),
画对应的x '轴、y'轴,使∠x'O'y'=45°.
(2)在x'轴上取A',B',使A'B'= AB=4,在y'轴上取D',使A'D'=AD=
,过D'作D'C'平行x'的直线,且等于A'B '长.
(3)连C'B',所得四边形A'B'C'D'就是矩形ABCD的直观图.



14.【解析】由三视图知该几何体是一个简单组合 体,它的下部是一个正四棱台,上部是一
个正四棱锥.
画法:(1)画轴.如下图(1),画x轴、y轴、z轴,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.

(2)画底面.由三视图知该几何体是一个简单组合体,它的下部是一个正 四棱台,上
部是一个正四棱锥,利用斜二测画法画出底面ABCD,在z轴上截取OO',使OO'等于 三
视图中相应高度,过O'作Ox的平行线O'x',Oy的平行线O'y',利用O'x'与O'y'画出上底面A'B'C'D',如上图(1).
(3)画正四棱锥的顶点,在Oz上截取点P ,使PO'等于三视图中相应的高度,如上


图(1).
(4)成图.连接PA '、PB'、PC'、PD'、A'A、B'B、C'C、D'D,整理得到三
视图表示的几何体的直观 图,如上图(2).
15.【解析】逆向运用斜二测画法规则:“水平长不变,垂直长增倍”,注意平 行于y轴
的为垂直.

如图,建立直角坐标系



轴上取
轴上取
的轴的平行线上取
各点,即得到了原图形.
为平行四边形,

,


. 在过点
连接
由作法可知,
∴平行四边形OABC的周长为
面积为.


平面

【学习目标】
1.利用生活中的实物对平面进行描述;理解平面的概念,掌握平面的画法及表示方法.
2.重点掌握平面的基本性质.
3.能利用平面的性质解决有关问题.
【要点梳理】
【空间点线面之间的位置关系 知识讲解】
要点一、平面的基本概念
1.平面的概念:
“平面”是一个只描述而不定义的原始概念,常见的桌面、黑板面、平静的 水面等都给
我们以平面的形象.几何里的平面就是从这些物体中抽象出来的,但是,几何里的平面是无< br>限延展的.
要点诠释:
(1)“平面”是平的(这是区别“平面”与“曲面”的依据);
(2) “平面”无厚薄之分;
(3)“平面”无边界,它可以向四周无限延展,这是区别“平面”与“平面图形”的依
据.
2.平面的画法:
通常画平行四边形表示平面.
要点诠释:
(1)表示平面的平行四边形,通常把它的锐角画成,横边长是其邻边的两倍;
(2)两个相 交平面的画法:当一个平面的一部分被另一个平面遮住时,把被遮住的部分
的线段画为虚线或者不画;

3.平面的表示法:
(1)用一个希腊字母表示一个平面,如平面、平面、平面等;

或者平面
(2)用表示平面的平行四边形的四个字母表示,如平面
(3)用表示平面的平行四边形的相对两个顶 点的两个字母表示,如平面

4.点、直线、平面的位置关系:


( 1)点A在直线a上,记作
(2)点A在平面
(3)直线在平面
上,记作
内, 记作
;点A在直线a外,记作
;点A在平面外,记作
内,记作


. ;直线不在平面
要点二、平面的基本性质
平面的基本性质即书中的三个公理,它们是研究立体几何的基本理论基础.
1.公理1: < br>(1)文字语言表述:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都
在这个平 面内;
(2)符号语言表述:
(3)图形语言表述:
,,,;

要点诠释:
公理1是判断直线在平面内的依据.证明一条直线在某一平面内,只需证明这条直 线上
有两个不同的点在该平面内.“直线在平面内”是指“直线上的所有点都在平面内”.
2.公理2:
(1)文字语言表述:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面;
(2)符号语言表述:、、三点不共线

(3)图形语言表述:
有且只有一个平面,使得,,

要点诠释:
公理2的作用是确定平面,是 把空间问题化归成平面问题的重要依据.它还可用来证明
“两个平面重合”.特别要注意公理2中“不在 一条直线上的三点”这一条件.
“有且只有一个”的含义可以分开来理解.“有”是说明“存在”,“ 只有一个”说明“唯
一”,所以“有且只有一个”也可以说成“存在”并且“唯一”,与确定同义.
(4)公理2的推论:
①过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面;


②过两条相交直线,有且只有一个平面;
③过两条平行直线,有且只有一个平面.
(5)作用:确定一个平面的依据.
3.公理3:
(1)文字语言表述:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有 一条过该
点的公共直线;
(2)符号语言表述:
(3)图形语言表述:
且;

要点诠释:
公理3的作用是判定两个平面相交及证明点在直线上的依据.
要点三、证明点线共面
所谓点线共面问题就是指证明一些点或直线在同一个平面内的问题.
1.证明点线共面的主要依据:
(1)如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上 的所有点都在这个平面内
(公理1);②经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面(公理2及其 推论).
2.证明点线共面的常用方法:
(1)纳入平面法:先确定一个 平面,再证明有关点、线在此平面内;(2)辅助平面法:
先证明有关的点、线确定平面α,再证明其余 元素确定平面β,最后证明平面a、β重合;
(3)反证法.
3.具体操作方法:
(1)证明几点共面的问题可先取三点(不共线的三点)确定一个平面,再证明其余各
点都在这个平面内;
(2)证明空间几条直线共面问题可先取两条(相交或平行)直线确定一 个平面,再证
明其余直线均在这个平面内.
要点四、证明三点共线问题
所谓点共线问题就是证明三个或三个以上的点在同—条直线上.
1.证明三点共线的依据是公 理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们还
有其他的公共点,且所有这些公共点的集合是一 条过这个公共点的直线.也就说一个点若是
两个平面的公共点,则这个点在这两个平面的交线上.
对于这个公理应进一步理解下面三点:①如果两个相交平面有两个公共点,那么过这两
点的直线就是它们的交线;②如果两个相交平面有三个公共点,那么这三点共线;③如果两
个平面相交, 那么一个平面内的直线和另一个平面的交点必在这两个平面的交线上.
2.证明三点共线的常用方法
方法1:首先找出两个平面,然后证明这三点都是这两个平面的 公共点.根据公理3知,


这些点都在交线上.
方法2:选择其中两点确定一条直线,然后证明另一点也在其上.
要点五、证明三线共点问题
所谓线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点.
1.证明三线共点的依据是公理3.
2.证明三线共点的思路:先证两条直线交于一点,再证明 第三条直线经过这点,把问题
转化为证明点在直线上的问题.
【经典例题】
类型一、平面的概念及其表示
例1.下面的说法中正确的是( ).
A.平行四边形是一个平面
B.任何一个平面图形都是一个平面
C.平静的太平洋面就是一个平面
D.圆和平行四边形都可以表示平面
【答案】D
【解析】 利用平面的基本特征以及平面与平面图形的区别进行判断.
A不正确.我们用平行四边形来表示平面,但不能说平行四边形是一个平面.平行四边
形仅是平面上四条 线段构成的图形,它是不能无限延展的.
B不正确,平面图形和平面是完全不同的两个概念,平面图形是有大小的,它是不可以
无限延展的.
C不正确,太平洋再大也会有边际,也不可能是绝对平面.
D正确.在需要时,除用平行四边形表示平面外,还能用三角形、梯形、圆等来表示平
面.
【总结升华】 平面与平面图形既有区别又有联系.平面没有角度、绝对平展、无边界,
是一种理想的图 形.平面可以用三角形、正方形、梯形、圆等平面图形来表示.但平面图形
如三角形、正方形、梯形等, 它们是有大小之分的,不能说三角形、正方形、梯形等是平面.
举一反三:
【变式1】下列命题:
(1)书桌面是平面;(2)8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚;(3)有一个平面
的长是50 m,宽是20 m;(4)平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念.
其中正确命题的个数为( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】A
例2.平面内的直线a、b相交于点P,用符号语言概述为“,且P∈ ”,
是否正确?
【答案】不正确
【解析】不正确.应表示为:,,且a∩b=P.
相交于点P的直线a、b都在平面 内,也可以说,平面经过相交于点P的直线a、b.题
中的符号语言只描述了直线a、b交于点P,点P 在平面内,而没有描述直线a、b也都在
平面内,下图也是题中的符号语言所表示的情形.



【总结升华】用符号语言来叙述时,必须交代清楚所有元素的位置关系,不能有半点遗
漏.
立 体几何中的三种语言(文字语言、符号语言、图形语言组成立体几何语言,我们强
须准确地把握它们.其 中文字语言比较自然、生动,能将问题研究的对象的含义更明确地叙
述出来.图形语言给人以清晰的视觉 形象,有助于空间想象力的培养;而符号语言更精练、
简洁.三种语言的互译有助于我们在更广阔的思维 领域里寻找解决问题的途径,有利于对思
维广阔性的培养.
举一反三:
【变式1】 根据下列符号表示的语句,说明点、线面之间的位置关系,并画出相应的
图形:(1)A∈
Q∈
,B;(2),,;(3)P∈,P,Q∈,

【解析】(1)点A在平面内,点B不在平面内;
(2)直线在平面
(3)直线经过平面
内,直线m与平面
外一点P和平面
相交于点A,且点A不在直线上 ;
内一点Q.
图形分别如下图(1)、(2)、(3)所示.

类型二、平面的确定
例3.判断下列说法是否正确,并说明理由:
(1)一点和一条直线确定一个平面;
(2)经过一点的两条直线确定一个平面:
(3)两两相交的三条直线确定一个平面;
(4)首尾依次相接的4条线段在同一平面内.
【答案】不正确 正确 不正确 不正确
【解析】(1)不正确.如果点 在直线上,可以确定无数个平面;如果点不在直线上,在
已知直线上任取两个不同的点,由公理2知,有 且只有一个平面,或直接由公理2的推论1
知,有且只有一个平面.
(2)正确.经过同一点的两条直线是相交直线,由公理2的推论2知,有且只有一个
平面.
(3)不正确.3条直线可能交于同一点,也可能有三个不同交点,如下图(1)、(2)
所示.前者, 由公理2的推论2知.可以确定1个或3个平面;后者,由公理2的推论2
及公理1知,能确定一个平面 .



(4)不正确.四边形中三点可确定一个平面 ,而第4点不一定在此平面内,如上图(3),
因此这4条线段不一定在同一平面内.
【总结升华】公理2及其3个推论都是确定平面的依据,对涉及这方面的应用问题,务
必分清它们的条件 .立体几何研究的对象是空间点、线、面的位置关系问题,要有一定的空
间想象能力.对于问题中的点、 线,要注意它们各种不同的位置关系,以及由此产生的不同
结果.
举一反三:
【变式1】正方体的八个顶点一共可以确定 个平面.
【答案】20
例4.在空间内,可以确定一个平面的是( )
A.两两相交的三条直线 B.三条直线,其中的一条与另外两条直线分别相交
C.三个点 D.三条直线,它们两两相交,但不交于同一点
【答案】 D
【解析】 A中两两相交的三条直线,它们可能交于同一个点,也可能不交于同一个点,
若交于同一个点,则三条直 线不一定在同一个平面内,故排除A;
B中的另外两条直线可能共面,也可能不共面,当另外 两条直线不共面时,则三条直线
不能确定一个平面,故排除B;
对于C来说,三个点 的位置可能不在同一直线上,也可能在同一直线上,只有前者才能
确定一个平面,因此排除C;
只有选项D中的三条直线,它们两两相交且不交于同一点,因而其三个交点不在同一条
直线上,由公理2知其确定一个平面.所以应选D.
【总结升华】要准确理解“确定”的含义,即为“ 有且只有”,其包含存在性和唯一性
两个方面.解题时结合空间几何体来考虑会更直观、快速.
类型三、平面的基本性质的应用
例5.如右图,在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,判断下列命题是否正确,
并说明理 由.
(1)直线AC
1
在平面CC
1
B
1
B内;
(2)设正方形ABCD与正方形A
1
B
1
C
1
D
1
的中心分别为O、O
1
,则平
面AA
1
C
1C与平面BB
1
D
1
D的交线为OO
1

(3)由点A、D、C可以确定一个平面;
(4)由点A、C
1
、B
1
确定的平面为ADC
1
B
1

(5)由点A 、C
1
、B
1
确定的平面与由点A、C
1
、D确定的平面是 同一个平面.
【解析】(1)错误.因为点A平面CC
1
B
1B,所以AC
1
不在平面CC
1
B
1
B内.
(2)正确.因为点O∈直线AC,直线AC平面AA
1
C
1
C,所以点O∈ 平面AA
1
C
1
C.同
理,点O
1
∈平面AA1
C
1
C,所以直线OO
1
平面AA
1
C1
C.同理,直线OO
1
平面BB
1
D
1
D. 故
OO
1
为平面AA
1
C
1
C与平面BB
1
D
1
D的交线.
(3)错误.因为点A、O、C在同一直线上,故不能确定—个平面
(4)正确.因为点A、 C
1
、B
1
不共线,故可确定一个平面,又AD∥B
1
C< br>1
,所以点D∈平


面AB
1
C
1
,故 由点A、C
1
、B
1
确定的平面为ADC
1
B
1< br>.
(5)正确.因为点A、C
1
、B
1
确定的平面 为平面ADC
1
B
1
,而由点A、C
1
、D确定的平面也是平面ADC
1
B
1
,故它们确定的是同一个平面.
【总结升华】正确地运用三个公理和有关概念的推理是解决此类题目的依据.

例6.已知直线a∥b,直线与a,b都相交,求证:过a,b,有且只有一个平面.
证明 证法一:如下图所示.由已知a∥b,所以过a,b有且只有一个平面
,∴A∈
面.
,B∈,且A∈,B∈,∴
.设,
.即过a,b,有且只有一个平

证法二:由已知可设


,.
. ,过与a有且只有一个平面
, ∵a∥b,∴过a,b有且只有一个平面
∴B∈
又B
,B∈
a,∴平面




重合.

即a∥b,.过a,b,有且只有一个平面.
【总结升华】在证明多线共面时,可用下面的两种方法来证明:
(1)纳入法:先由部分直线 确定一个平面,再证明其他直线在这个平面内.确定一个
平面的方法:①直线和直线外一点确定一个平面 ;②两条平行线确定一个平面;③两条相交
直线确定一个平面.
(2)重合法:先说明一些直线在一个平面内,另一些直线在另一个平面内,再证明两
个平面重合.
举一反三:
【空间点线面之间的位置关系 例2】
【变式】(1)空间两两相交的四条直线能确定几个平面?
(2)证明空间不共点且两两相交的四条直线在同一平面内.
【答案】(1)1或6;(2)略
【解析】(1)略
(2)分两种情形,有三条交于一个点,没有三条交于一个点.
已知:直线
AB
BC

CD

DA
两两相交,且不过同一点.
求证:直线
AB

BC

CD

DA

共面.



证明:如图(左),

AB

BC

CD

DA
两两相交,且无三条直线相交于一点.


AD

BC

交于点
M

AB

CD
交于点
N
.∴

AB

CD
确定一个平面α.
又∵
C
∈< br>CD

B

AB

D

CD

A

AB
.∴
A

B

C< br>、
D
∈α.
由公理1,知

AD

BC
∈α



AB

BC

CD

DA

四条直线共面.
如图(右),
AB

BC

CD

DA
两两相交,且有三直线交于一点
D


AB

CD
=
C
. ∴

AB

CD
确定一个平面β.
又∵

A
AB

D

CD
,∴
A

D
∈β,
B

AB

D

CD
, ∴
B

D
∈β.


AD
?β,
BD
?β(公理1).∴

AB

BC

CD

DA
四直线共面.
例7.如下图,已知△ABC的三个顶点都不在平面内,它的三边AB、BC、AC延长后分
别交平面 于点P、Q、R.求证:P、Q、R在同一条直线上.
证明 由已知AB的延长线交平面于点P,根据公理3,平面
ABC与平面必相交于一条直线,设为L.
∵P∈直线AB,
∴P∈平面ABC.
又AB∩=P, ∴P∈平面
∴P是平面ABC与平面的公共点.
∵平面ABC∩=,∴P∈,

同理,Q∈,R∈.
∴点P、Q、R在同一条直线上.
【总结升华】多点共线中的这条线一定是两个平面的交线,因此这类 问题实际为两平
面的相交问题.
举一反三:
【空间点线面之间的位置关系 例3】
【变式1】已知E,F,G,H分别是空间四边形各边
AB

AD

BC

CD
上的点,且直线
EF

GH
交 于点
P
.求证:
B

D

P
在同一
直线上.
【解析】



例8. 如下图,在三棱锥S-A BC的边SA、SC、AB、BC上
分别取点E、F、G、H,若EF∩GH=P,求证:EF、GH、 AC三条
直线交于一点.
证明:∵E∈SA,SA平面SAC,F∈SC,SC平面SAC,


∴EF平面SAC.
∵G∈AB,AB平面ABC,H∈BC,BC平面ABC,
∴GH平面ABC,
又∵EF∩GH=P,∴P∈平面SAC,P∈平面ABC.
∵平面SAC∩平面ABC=AC,∴P∈AC.
即直线EF、GH、AC共点于P.
【总结升华】线共点的证明可利用公理1、公理3作为推理的依据.
举一反三:
【变式1】 如下图,已知空间四边形ABCD(即四个点不在同一平
面内的四边形)中,E、H分别 是边AB、AD的中点,F、G分别是边BC、
CD上的点,且.
求证:直线EF、GH、AC相交于一点.
证明:∵E、H分别是边AB、AD的中点,
∴EH∥BD且.
∵F、G分别是边BC、CD上的点,且,
∴FG∥BD且.
故知EH∥FGE且EH≠FG,
即四边形EFGH为梯形,从而EF与GH必相交,设交点为P.
∵P∈EF,EF平面ABC,∴P∈平面ABC.
同理P∈平面ADC.
∵平面ADC∩平面ABC=AC,∴P∈AC.
即EF、GH、AC交于一点P


【巩固练习】
1.“直线经过平面
A. B.
外一点”用符号表示为( )
C. D.
2.下面图形均表示两个相交平面,其中画法正确的是( )

3.经过同一条直线上的3个点的平面( ).
A.有且只有一个 B.有且只有3个 C.有无数个 D.不存在
4.下列说法正确的是( )
A.空间四边形的对角线可能相交
B.四个角都是直角的四边形一定是平面图形
C.两两相交的三条直线一定共面
D.在空间的四点,若无三点共线,则这四点一定不共面.
5.空间四点A,B,C,D共面而不共线,那么这四点中( ).
A.必有三点共线 B.必有三点不共线 C.至少有三点共线 D.不可能有三点共
线
6.若三个平面把空间分成6个部分,那么这三个平面的位置关系是( )
A. 三个平面共线
B. 有两个平面平行且都与第三个平面相交
C. 三个平面共线,或两个平面平行且都与第三个平面相交
D.三个平面两两相交.
7.平面与 平面相交于直线,直线
中,点
与直线
,直线
分别在
的关系是 .
,a∩b =M,则M________.
上,若直线与8.在空间四边形
相交于点,则点
9.经过一点可作 个平面,经过两点可作 个平面,经过三点可作
个平面.有不共面的四点,经过其中三个点可作 个平面.
10.三个平面把空间分成7部分时它们的交线有 条.
11.画一个正 方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
,再画 出平面AC D
1
与平面BD C
1
的交线,并且说明理由.
12.如图,已知
在图中画出平面

13.三个平面,,两两相交于三条直 线,即,,,

分别与

的交线.
,与相交,
已知直线a和b不平行.求证:a、b、c三条直线必过同一点.



【答案与解析】
1.C
【解析】 注意点与直线、 点与平面之间的关系是元素与集合的关系,直线与平面之间的关
系是集合与集合之间的关系.故选C.
2.【答案】D
【解析】 A中图形没有画出两平面的交线;B、C中图形的实、虚线没有按照画法原则去画,
也不正确.故选D.
3.【答案】C
【解析】 根据基本性质2.
4.【答案】B
【解析】 空间四边形的对角线一定不相交,故A不正确;两两相交的三条直线能确定1或
3个 平面,故C不正确;在空间的四点,若无三点共线,则这四点可能共面也可能不共面,
故D不正确.所以 只有B正确.
5.【答案】B
【解析】 空间四点A,B,C,D共面而不共线,则至少 有一点不在其余点中的两点确定的
直线上.如CAB,无论C点在何位置,C,A,B不共线.故选B.
6.【答案】C
【解析】如下图,三个平面相交的截面图是下面两种情况时,把空间分成6个部分.





7.【答案】∈
【解析】因为a∩b=M,
所以M∈.
8.【答案】
,,所以M∈,M∈,又因为平面∩平面=,
【解析】由公理3可得。
9.【答案】无数,无数,无数或1,4
10.【答案】3
【解析】三个平面如图相交时,把空间分成7个部分,所以交线是3条.

11.【解析】如图,为所求.







12.【解析】如图,连接






13.【解析】本题中a、b不平行,又a、b都在平面
也过该点即可,如右图.




∵,,∴,.
内,故a、b必相交于一点,再证出c
与交于点,连接,则平面平面
∵a、b不平行,∴a、b必相交,设a∩b=P.
∵P∈a,
同理,而
,∴P∈.
,∴P∈c.
∴a、b、c相交于一点P,即a、b、c三条直线过同一点.


空间中两条直线的位置关系

【学习目标】
1.了解空间中两条直线的三种位置关系,并能对直线的位置关系进行分类、判断;
2.掌握平行公理及等角定理,并由此知道异面直线所成的角的概念和异面直线垂直的
概念;
【要点梳理】
【空间直线与平面的位置关系399458知识讲解1及例1】
要点一:空间两条直线的位置关系
(1)相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;
(2)平行直线:同一平面内,没有公共点;
(3)异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点.
要点二:平行直线
公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为:,.
公理4说明平行具有传递性,在平面、空间都适用.
定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行并且方向相同,那么这两个角
相等.
要点三:异面直线
1.概念:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.
要点诠释:
(1)异面直线具有既不相交也不平行的特点.
(2)异面直 线定义中“不同在任何一个平面内”是指这两条直线“不能确定一个平面”,
其中的“任何”是异面直线 不可缺少的前提条件.不能把“不同在任何一个平面内”误解为
“不同在某一平面内”,例如下图甲中, 直线a
同在平面
,直线,a∥b,不能由a、b不
内就误认为a与b异面,实际上,由 a∥b可知a与b共面,它们不是异面直线.
(3)“不同在任何一个平面内的两条直线”与 “分别在某两个平面内的两条直线”的含
义是截然不同的,前者是说不可能找到一个同时包含这两条直线 的平面,而后者“分别在某
两个平面内的两条直线”指的是画在某两个平面内的直线,并不能确定这两条 直线异面.它


们可以是平行直线,如下图甲所示,也可以是相交直线,如下图乙所示.

(4)画异面直线时,为了突出它们不共面的特点,常常需要面作 衬托,明显地体现出
异面直线既不相交也不平行的特点,如下图甲、乙、丙所示.

2.定理:过平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过该点的直线是异面直
线。
3.异面直线的判定方法:
(1)利用定义判断两直线不可能在同一平面内.
(2)定理:过平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过该点的直线是异
面直线。
4.异面直线所成的角:
直线a、b是异面直线,经过空间中一点O,分别
引直线, ,相交直线a'、b'所成的锐角
(或直角)叫做异面直线a、b形成的角,如右图所示.当两条异面直 线所成的角是直角时,
这两条异面直线互相垂直.
要点诠释:
异面直线所成角的取值范围是;
求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步:选点→平移→定角→计算.
【典型例题】
类型一、空间两条直线的位置关系
例1.异面直线是指( )
A.空间中两条不相交的直线


B.分别位于两个不同平面内的两条直线
C.平面内的一条直线与平面外的一条直线
D.不同在任何一个平面内的两条直线
【答案】 D
【解析】应根据异面直线的定义“不同在任何一个平面内的两条直线”予以判断.
对于A,空间两条不相交的直线有两种可能:一是平行(共面),二是异面,∴A项排
除.
对于B,分别位于两个不同平面内的直线,既可能平行,也还可能相交,还可能异面,
如上图,就是相交 的情况,B应排除.
对于C,如上图中的a,b可看作是平面
显然它们是相交直线,∴C应排除.
只有D符合定义,∴应选D.
【总结升华】解答这类立体几何的命题的真假判定问题,一方面需要 掌握立体几何中的有
关概念和公理、定理;另一方面要善于寻找特例,构造相关模型,特例模型能快速、 有效地
排除相关的选择项.
举一反三:
【变式1】 判断下列说法是否正 确?若正确,请简述理由;若不正确,请在下列给出的
图形中找出反例,并给予说明.
(1)没有公共点的两条直线是异面直线;
(2)分别在两个平面内的直线一定是异面直线;
(3)分别与两条相交直线都相交的两条直线共面;
(4)分别与两条异面直线都相交的两条直线异面.
【答案】
(1)不正确,如下图①③中的直线a,b;
(2)不正确,如下图②③中的直线AC,BC及a,b.
(3)不正确,如下图②中的直线AB与;
(4)不正确,如下图④中,直线AD与 BC是异面直线AB,AC都与AD,BC相交,
但AB,AC是共面直线.
内的一条直线a与平面外的一条直线b,






【变式2】【空间直线与平面的位置关系399458知识讲解2及例2】
如图,正方体中,点

分别是棱
的中点,判断下列直线的位置关系:
(1)
(3)


:(2)
:(4)




【答案】(1)异面(2)异面(3)共面(4)共面
例2.过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.
【 解析】证明两条直线异面,如果从定义出发直接证明,即不同在任何一个平面内,一
个平面一个平面地寻 找是不可能实现的.因此,必须找到一个间接方法来证明,反证法即为
一种行之有效的好方法.
如右图,已知,,,.
求证:直线AB和a是异面直线.
证明:假设直线AB和a不是异面直线,则AB与a一定共面,设为


,.
,∴由公理2的推论1,即经过一条直线及直线外一点,有且只有一个平面,
,则与重合.

可知直线a与点B可确定一个平面,即为
∴A∈,这与已知矛盾.∴AB与a是异面直线.
【总结升华】(1)本例的结论是一个重要 的定理,即异面直线的判定定理.由此可知,
判定两条直线为异面直线的常用方法有:
①定义法:不同在任一平面内的两条直线.


②定理法:过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线为异面直线.
③推论法:一条异面直线上两点与另一条异面直线上两点所连成的两条直线为异面直线.
④反 证法:反证法是证明立体几何问题的一种重要方法.证明步骤有三步:一是提出与
结论相反的假设;二是 由此假设推出与题目条件或某一公理、定理或某一已被证明是正确的
命题相矛盾的结果;三是推翻假设, 从而肯定与假设相反的结论,即原命题的结论成立.
(2)运用异面直线的判定定理来判定异面直线的 方法可概括为“两点一线一面”.但
应注意:①“两点”均在“线”外;②“线”在“面”内,③“两点 ”中“一点”在“面”
内,“另一点”在“面”外.
举一反三:
【变式1】 已知三条直线a、b、c,a与b异面,b与c异面,那么a与c有什么样的
位置关系?试画图说明.
【答案】直线a与c的位置关系有三种情况:
可能平行,如下图(1);可能相交,如下图(2);可能异面,如下图(3).

【变式2】 如下图,已知:
b、c为异面直线.


,a∩b=A,且,c∥a,求证:

【证明】假设b、c不是异面直线,即b、c为共面直线,则b、c为相交直线或平行直
线.
(1)若b∩c=P,已知
从而,交点P一定在平面、
,,又,则,且,
的交 线上,即P∈a,于是a∩c=P,这与已知条件a∥c矛
盾,因此b、c相交不能成立.
( 2)若b∥c,已知a∥c,则a∥b(公理4),这与已知条件a∩b=A矛盾,因此b、c
平行也不 能成立.


综合(1)(2)可知,b、c为异面直线.
【总结升华】反证法 在立体几何证明题中应用很普遍,我们应该弄清两个问题:一是
什么样的题型适合用反证法;二是反证法 实际上是证明命题的等价命题.要注意若原命题的
结论反面的情况不止一种时,必须将其逐一否定,才能 推出命题结论的正确性.
类型二、平行公理与等角定理的应用
例3.(2014年 江苏南通期末)已知棱长为a的正方体
是棱CD、AD的中点.
求证:(1)四边形
(2)
【答案】详见证明
【证明】(1)如图,连接AC,
在△ACD中,
∵M、N分别是CD、AD的中点,
∴MN是三角形的中位线,
∴MN∥AC,< br>由正方体的性质得:AC∥
∴MN∥

∴四边形
,且

是梯形.





是梯形;

中,M,N分别
(2)由(1)可知MN∥
又因为ND∥
∴∠D NM与
而∠DNM与


举一反三:

相等或互补.
均是直角三角形的锐角,

【变式】 已知E、E
1
分别是正方 体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
的棱AD 、A
1
D
1
的中点.
求证:∠BEC=∠B
1
E
1
C
1

证明:如右图,连接EE
1

∵E
1
、E分别为 A
1
D
1
、AD的中点,∴A
1
E
1
∴四边形A
1
E
1
EA为平行四边形,.∴A
1
A
AE,
E
1
E.


又∵A
1
AB
1
B,∴E
1
EB
1
B,
∴四边形E
1
EBB
1
为平行四边形,
∴E
1
B
1
∥EB.同理E
1
C
1
∥EC .
又∠C
1
E
1
B
1
与∠CEB方向相同,∴∠ C
1
E
1
B
1
=∠CEB.
例4.如右图所示, 在空间四边形ABCD(不共面的四边形称为空间四边形)中,E,F,
G,H分别为AB,BC,CD ,DA的中点.
(1)求证:四边形EFGH是平行四边形;
(2)如果AC=BD,求证:四边形EFGH是菱形.
【解析】 (1)在△ABD中,∵ E,H分别为AB、AD的中
点,∴EH∥BD且,同理在△BCD中,FG∥BD且

∴EH∥FG且EH=FG,∴四边形EFGH为平行四边形.
(2)由(1)同理可得:,而BD=AC,
∴EH=HG=GF=FE.∴四边形EFGH是菱形.
【总结升华】到现在为止,证明两条 直线平行的方法有:一是利
用定义,即证在同一平面内的两条直线不相交;二是利用平行公理,
即利用第三条平行直线来作传递.
例5.如右图所示,△ABC和△的对应顶点的连线AA',
BB',CC'交于同一点D,且
(1)求证:,,;

(2)求的值.
【解析】(1)∵AA'与BB'相交于O点,且,∴.同理,



(2)∵

,,∴AB和AC,
.同理,∠ABC=∠
和所成的
,∠ACB=∠. 锐角(或直角)相等,即∠BAC=∠
∴△ABC∽△.
又,∴.
【总结升华】“等角定理”是平面几何中等角定理的类比推广,但 平面几何中的“如果
一个角的两边分别垂直于另一个角的两边,则这两个角相等或互补”推广到空间中就 不成
立.因此,我们必须慎重地类比推广平面几何中的相关结论.
在运用“等角定理 ”判定两个角是相等还是互补的途径有二:一是判定两个角的方向是
否相同,若相同则必相等,若相反则 必互补;二是判定这两个角是否均为锐角或均为钝角,
若均是则相等,若不均是则互补.

类型三、异面直线所成的角
例6.如下图,正方体AC
1
中,E,F 分别是A
1
B
1
,B
1
C
1
的中点,求异 面直线DB
1

EF所成角的大小.

【解析】 解法一:(直接平移法)如下图1,连接A
1
C
1
,B
1
D
1
,并设它们相交于点O,取
DD
1
的中点G,连接OG,GA1
,GC
1
,则OG∥DB
1
,EF∥A
1
C
1
,∴∠GOA
1
为异面直线DB
1

EF所成的 角或其补角.
∵GA
1
=GC
1
,O为A
1
C< br>1
的中点,∴GO⊥A
1
C
1

∴异面直线DB
1
与EF所成的角为90°.



解法二:分别取AA
1
,CC
1
的中点M,N,
连接MN ,则MN∥EF,如上图2所示,连接DM,B
1
N,B
1
M,DN,
则B
1
N∥DM且B
1
N=DM,
∴四边形DMB
1
N为平行四边形,

∴MN与B
1
D必相交,设交点为P,并设正方体的棱长为1,则,,
, < br>∴DM=DP+MP,∴∠DPM=90°,即DB
1
⊥EF.∴异面直线DB
1
与EF所成的角为90°.
【总结升华】求异面直线所成角的过程是将空间角转化为平面角 求解的过程.通常是通过
解三角形求得.
例7.由四个全等的等边三角形围成的封闭几何体称 为正四面体,如下图1,在正四面
体ABCD中,E,F分别是棱BC,AD的中点,CF与DE是一对 异面直线,在图形中适当
得选取一点,作出异面直线CF,DE的平行线,并作出异面直线CF与DE所 成的角.
222

【解析】解法1:选取平面ACD,该 平面有以下两个特点:①该平面包含直线CF;②
该平面与DE相交于点D.伸展平面ACD,在该平面 中,过点D作DM∥CF交AC的延长
线于M,连接EM可以看出:DE与DM所成的角,即为异面直线 DE与CF所成的角.如
上图2.


解法2:选取平面BCF,该平面 有以下两个特点:①该平面包含直线CF;②该平面与
DE相交于点E.在平面BCF中,过点E作CF 的平行线交BF于点N,连接ND,可以看
出:EN与ED所成的角,即为异面直线FC与ED所成的角 .如下图3.

解法3:选取平面ADE,该平面有如下两个特点 :①该平面
包含直线DE;②该平面与CF相交于点F。在平面ADE中,过点
F作FG∥DE 与AE相交于点G,连接CG,可以看出:FG与FC
所成的角,即为异面直线CF与DE所成的角.如 上图4.
解法4:选取平面BCD,该平面有如下特点:①该平面包含
直线DE;② 该平面与CF相交于点C.伸展平面BCD,在该平面内过点C作CK∥DE与
BD的延长线交于点K, 连接FK,则CF与CK所成的角,即为异面直线CF与DE所成的
角.如图5.
【 总结升华】(1)两条异面直线所成的角是刻画两条异面直线相对位置的一个量,是通
过转化为相交直线 所成的角来解决的。这里我们要注意:两条异面直线所成的角的范围是
0°<≤90°,当=90°时, 这两条异面直线互相垂直.求两条异面直线所成的角的关键
是作出与这两条异面直线分别平行的相交直线 所成的角.作两条异面直线所成的角的方法是:
将其中一条直线平移到某个位置,使其与另一条直线相交 或将两条异面直线同时平移到某个
位置,使它们相交,然后在同一平面内求相交直线所成的角.值得注意 的是:平移后相交所
得的角必须容易算出,因此平移时要求选择恰当的位置.一般提倡像解法2、解法3 那样作
角,因为此角在几何体内部,易求.
(2)本例多方位、多角度思考问题,思路开阔, 运用知识灵活.如我们异面直线所成
的角的问题大有裨益,所以,同学们要认真理解.
举一反三:
【变式1】(2014年 安徽蚌埠期末)已知正方体
(1)与所成的角为________;
所成的角为________. (2)AD与
中:


【答案】(1)60°;(2)45°
【解析】连接


易知.
中,若,,则异面
所成的角.
由△为正三角形,

所成的角就是.
,则∥,连接,则就是
由AD∥BC,知AD与
【变式2】 直三棱柱
直线与所成的角等于
A.30° B.45° C.60° D.90°
【答案】C
【解析】分别取AB、AA
1
、A
1C
1
的中点D、E、F,则
面直线与

所成的角为∠DEF(或 其补角),设
,由余弦定理得,故选C.
,E、F分别是AB,CD的中点,,
,,所以异
,则
例8. 在空间四边形ABCD中,
求AD、BC所成的角.
【解析】要求异面直线AD,B C所成的角,可通过在空间中找一些特殊的点.此题已知
E,F分别为两边中点,故可寻找某一边中点作 角,如BD的中点M,则∠EMF(或其补角)
即为所求角.
如右图,取BD的中点M,连接EM,FM.由题意可知
EM为△BAD的中位线,∴.
同理
角)为所求角。
,∴EM=a,MF=a,且∠EMF(或其补
在等腰 △MEF中,取EF的中点N,连接MN,则MN⊥EF.
已知


,∴.故有.
∠EMN=60°,从而∠EMF=120°>90°.
AD,BC所成的角为∠EMF的补角.


故AD和BC所成的角为60°.
【总结升华】求异面直线所成的角主要是用定义法求解,其步骤:
(1)平 移:选择适当的点,平移异面直线中的一条或两条成为相交直线,这里的点通
常选择处于特殊位置的点, 如线段的中点或端点,也可以是异面直线中某一条上的特殊点.
(2)证明:证明所作的角是异面直线所成的角.
(3)寻找:在立体图形中,寻找或作出含有此角的三角形,
(4)取舍:因为异面直线所成的角的取 值范围是0°<≤90°,所以所作的角为
钝角时,应取它的补角作为异面直线所成的角.
举一反三:
【变式】 过正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
的顶点A作直线,使与棱AB,AD,AA
1
所成的 角
都相等,这样的直线可以作( ).
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
【答案】D


【巩固练习】
1.已知a、b是异面直线,直线c∥a,则c与b( ).
A.一定是异面直线 B.一定是相交直线、
C.不可能是相交直线 D.不可能是平行直线
2.给出以下命题:
①垂直于同一直线的两条直线平行;
②若一个角的两边分别与另一个角的两边平行,则这两个角相等;
③平行移动两条异面直线中的任一条,它们所成的角不变;
④和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条.
上述命题正确的个数是( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
3.如果两条异面直线看成“一对”,那么六棱锥的棱所在的12条直线中,异面直线共有( ).
A.12对 B.24对 C.36对 D.48对
4.(2014年 福建福州期末)如图,点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上,并且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的一个图是( )

5.下列四个结论:
(1)若两条直线都和同一个平面平行,则这两条直线平行;
(2)若两条直线没有公共点,则这两条直线平行;
(3)若两条直线都和第三条直线垂直,则这两条直线平行;

(4)若一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点,则这条直线和这平面平行.
其中正确的个数为( ).
A.0 B.1 C.2 D.3
6.正六面体中,与面的对角线异面的棱有 条.


7.(2014年 湖北武汉期末)已知a,b,c是直线,给出下
列命题:
①若a∥b,b∥c,则a∥c;
②若a⊥b,b⊥c,则a⊥c;
③若a∥b,b⊥c,则a⊥c;
④若a与b异面,则至多有一条直线与a,b都垂直


其中真命题是______________(写出所有正确命题的序
号)


8.右图是正方体平面展开图,在这个正方体中:
①BM与ED平行; ②CN与BE是异面直线;
③CN与BM成60?角; ④DM与BN垂直.
以上四个命题中,正确命题的序号依次是 ;
9.(2014年 江苏 南通期末)在正方体
中点,则在空间中与三条直线
中,E,F分别为棱,的
,EF,C D都相交的直线有________条


,DA⊥AC,10.如右图,等腰直角三 角形ABC中,∠A=90°,
DA⊥AB,若DA=1,且E为DA的中点.求异面直线BE与CD所 成角的
余弦值.
11.设异面直线a与b所成的角为50°,O为空间一定点,试讨论,过点 O与a、b所成的
角都是()的直线有且仅有几条?
12.一条直线经过平面内一点,又经过 平面外一点,判断这条直线与平面的位置关系,并说
明理由.
13.在长方体
上.
(1)过P点在空间作一直线,使∥直线BD,应该如何作图?并说明理由.
(2)过P点在平面
应该如何作图?
内作一直线,使与直线BD成角,这样的直线有几条?< br>的面上有一点P(如下图),其中P点不在对角线

14.是正方体.


(1)哪些棱所在的直线与直线BA′是异面直线?
(2)求BA′与CC′夹角的度数.
15.三个平面
(1)判断c与
,,.如果,,,且直线,.
的位置关系,并说明理由;
(2)判断c与a的位置关系,并说明理由.






【答案与解析】
1.【答案】D
【解析】 若c∥b,则由c∥a,得a∥b,与已知a、b异面矛盾.故应选D.
2.【答案】A
【解析】 ①错,如教室的墙角,可知垂直于同一直线的两直线可能相交;②错,方向相反
时两 角互补;④错,有无数条;只有③正确.
3.【答案】B
【解析】 六条侧棱不是异面直 线,一条侧棱与底面六边形的两条边相交,与另四条边异面,
这样异面直线一共有4×6=24(对), 故应选B.
4.【答案】C
【解析】A,B中PQ∥RS,D中直线PQ与RS相交(或R P∥SQ),即直线PQ与RS共面,
均不满足条件;C中的直线PQ与RS是两条既不平行,又不相交 的直线,即直线PQ与RS
是异面直线

故选C.
5.【答案】A
【解析】 (1)若两条直线都和同一个平面平行,则这两条直线三种位置关系都有可能;(2)
若两条直线没有公共点,则这两条直线平行或异面;(3)若两条直线都和第三条直线垂直,
则这两条 直线三种位置关系都有可能;(4)若一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点,
则这条直线和平面 三种位置关系都有可能.故选A.
6. 【答案】 6
【解析】画出正方体的图形,即可数出。


7.【答案】①③
【解析 】根据平行直线的传递性可知①正确;若a⊥b,b⊥c,则a与c可以平行也可以相
交或异面,②不正 确;易知③正确;与两条异面直线都垂直的直线有无数条,④不正确


填①③


8. 【答案】 ③④
9.【答案】无数
【解析】如图示,

在EF上任取一点M,直线与M确定一个平面,这个平面与CD有且仅有1个交
点N ,当M取不同的位置时就确定不同的平面,从而与CD有不同的交点N,而直线MN
与这3条异面直线都 有交点

故填无数


10.【解析】根据异面直线所成角的定义, 我们可以选择适当的点,分别引BE与DC的平行
线,换句话说,平移BE(或CD).设想平移CD, 沿着DA的方向,使D移向E,则C移
向AC的中点F,这样BE与CD所成的角即为∠BEF或其补角 ,解△EFB即可获解.
取AC的中点F,连接BF、EF,在△ACD中,E、F分别是AD、AC的中点,
∴EF∥CD,
∴∠BEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角(或其补角).
在Rt△EAB中,AB=1,,∴.
在Rt△AEF中,,,∴.
在Rt△ABF中,AB=1,,∴.
在等腰△EBF中,,
∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为.
.a
1
与b
1
夹角为50°11.【解析】过点O作a
1
∥a,b
1
∥b,则相交直线a< br>1
、b
1
确定一平面
或130°,设直线OA与a
1
、b
1
所成的角均为角,


故当<25°时,直线不存在;当=25°时,直线有且仅有1条;
<65°时,直线有且仅有2条; 当25°<
当=65°时,直线有且仅有3条;
<90°时,直线有且仅有4条; 当65°<
当=90°时,直线有且仅有1条.
12.【解析】如右图,设A∈,A∈
因为A∈,A∈
平行.
,即直线与平面
,,B∈.
不有公共点,所以直线与平面
假设直线与平面
又B∈,而
不相交,则
,所以B∈

,这与题设矛盾,所以.
根据直线与平面的位置关系知,满足题设条件的直线与平面相交.
13.【解析】(1)连接
求作的直线.

(2)在平面


内作
,∴
,∴∥BD.
,,使与
角,即
相交成角,
,在平面内过P点作直线,使,则即为所
与BD也成为所求作的直线.
若与BD是异面直线,则与BD所成的角,
当时,这样的有且只有一条;



时,这样的
与BD共面,则
有两条.
与BD平行,这样的直线只有一条.
14.【解析】


(1)由异面 直线的判定方法可知,与直线BA′成异面直线的有:直线B′C′、AD、
CC′、DD′,DC、D ′C′.
(2)由BB′∥CC′,可知∠B′BA′等于异面直线BA′与CC′的夹角, 所以异面
直线BA′与CC′的夹角为45°.
15.【解析】(1)c∥
无公共点,则c∥
(2)c∥a.因为
,且
∥b,所以c∥a.

∥,所以与没有公共点, 又,,则,
.因为∥,所以与没有公共点,又c,所以c与
,所以a,b没有公共点.由于a, b都在平面内,因此a∥b,又c


直线与平面的位置关系

【学习目标】
1.掌握直线与平面平行的判定定理、性质定理;
2.掌握直线与平面垂直的判定定理、性质定理;
3.能熟练应用直线与平面平行、垂直的判定和性质定理解决相关问题.
【要点梳理】
【线面平行的判定与性质39945 知识讲解1】
要点一:直线和平面平行的判定
文字语言:直线和平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,
则该直线与此平 面平行.简记为:线线平行,则线面平行.
图形语言:




符号语言:
要点诠释:
(1)用该定理判断直线a与平面
① 直线a在平面
②直线b在平面
外,即
内,即
平行时,必须具备三个条件:


、,.
③直线a,b平行,即a∥b.
这三个条件缺一不可,缺少其中任何一个,结论就不一定成立.
(2)定理的作用
将直线和平面平行的判定转化为直线与直线平行的判定,也就是说,要证明一条直线
和一个平面平行,只 要在平面内找一条直线与已知直线平行即可.
【线面平行的判定与性质 399459知识讲解2】
要点二:直线和平面平行的性质
文字语言:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平 面与此平面的交线与该直


线平行.简记为:线面平行则线线平行.
符号语言:若
图形语言:
,,,则.

要点诠释:
直线和平面平行的性质定理可简述为“若线面平行,则线线平行”.可以用符号表示:
若a∥,,,则a ∥b.这个性质定理可以看作直线与直线平行的判定
平行,定理,用该定理判断直线a与b平行时,必须 具备三个条件:(1)直线a和平面
即a∥;(2)平面和相交,即
内,即

(3)直线a在平面.三个条件缺一不可,在应用这个定理时,要防止
出现“一条直线平行于一个平面 ,就平行于这个平面内一切直线”的错误.
要点三:直线和平面垂直的定义与判定
1.直线和平面垂直的定义
如果直线和平面
作.直线叫平面
要点诠释: < br>(1)定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”,这与“无数条
内的任意一 条直线都垂直,我们就说直线与平面
的垂线;平面
互相垂直,记
叫直线的垂面;垂线和 平面的交点叫垂足.
直线”不同,注意区别.
(2)直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式.
(3)若,则.
2.直线和平面垂直的判定定理
文字语言:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直.
图形语言:



符号语言:
特征:线线垂直
要点诠释:
线面垂直

(1)判定定理的条件中:“平面内的两条相交直线”是关键性词语,不可忽视.
(2)要判 定一条已知直线和一个平面是否垂直,取决于在这个平面内能否找出两条相交直
线和已知直线垂直,至于 这两条相交直线是否和已知直线有公共点,则无关紧要.
相关的重要结论
①过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个;过一点与已知平面垂直的直线有且只有
一条.
②如果两条平行线中的一条与一个平面垂直,那么另一条也与这个平面垂直.
③如果两个平行平面中的一个与一条直线垂直,那么另一个也与这条直线垂直.
要点四:直线与平面垂直的性质
1.基本性质
文字语言:一条直线垂直于一个平面,那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.
符号语言:
图形语言:


2.性质定理
文字语言:垂直于同一个平面的两条直线平行.
符号语言:
图形语言:


3.直线与平面垂直的其他性质
(1)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面。
(2)若于,,则。
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行。
(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则它必垂直于另一个平面。
要点诠释:
线面垂直关系是线线垂直、面面垂直关系的枢纽,通过线面垂直可以实现线线垂直和面
面垂直关 系的相互转化。
要点五:直线与平面所成的角
1.直线与平面所成角的定义
一条 直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线
叫做这个平面的斜线.过斜线上斜足外的一点向平 面引垂线,过
垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.平面的一条斜
线和它在平面上的 射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所
成的角.
要点诠释:
(1)直线与平面平行,直线在平面上的射影是一条直线.
(2)直线与平面垂直时射影是点.
(3)斜线上任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上.
2.直线与平面所成的角的范围:

直线和平面平行或直线在平面内,
直线和平面所成角的范围是0°≤
=0°.
≤90°.
3.求斜线与平面所成角的一般步骤:
(1)确定斜线与平面的交点即斜足;
(2)经过斜线上除斜足外任一点作平面的垂线,确定垂足,进而确定斜线在平面内的射
影;


(3)解由垂线、斜线及其射影构成的直角三角形,求出线面角.
【典型例题】
类型一、直线与平面平行的判定
例1.已知AB,BC,CD是不在 同一平面内的三条线段,E,F,G分别是AB,BC,
CD的中点,求证:AC平面EFG, BD平面EFG.
【思路点拨】欲证明AC∥平面EFG,根据直线和平面平行的判定定理,只需证明 AC
平行于平面EFG内的一条直线,如右图可知,只需证明AC∥EF.
【解析】
证明:如右图,连接AC,BD,EF,GF,EG.
在△ABC中,E,F分别是AB,BC的中点,∴AC∥EF,
又AC平面EFG,EF平面EFG,
于是AC∥平面EFG.
同理可证BD∥平面EFG.
【总结升华】由线面平行的判定定理判定直线与平面平行的顺序 是:(1)在平面内寻
找直线的平行线;(2)证明这两条直线平行;(3)由判定定理得出结论. < br>例2.已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一个平面内,P、Q
分别为 对角线AE、BD上的点,且AP=DQ,如右图.求证:PQ∥平面CBE.
证明:作PM∥AB交BE于点M,QN∥AB交BC于点N,则PM∥QN.
∴,.
∵AP=DQ,∴EP=BQ.
又∵AB=CD,EA=BD,
∴PMQN.
∴四边形PMNQ是平行四边形.
∴PQ∥MN.
综上,PQ平面CBE,MN平面CBE,
又∵PQ∥MN,∴PQ∥平面CBE.
【总结升华】证线面平行,需证线线平行,寻找平行线是解决此类问题的关键.
举一反三:


【变式1】在正方体
的中心,求证:面
中,


是正方形
证明:如图,取面
ABCD
的中心
O
,连
,且
四边形
,又

是平行四边形


【变式2 】已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点,E、F分别为AB、PD的中点,求证:
AF∥平面P EC.
【解析】证明线面平行,根据判定定理,作出平行四边形,利用平行四边形的性质,证
明平面外直线与平面上的直线平行.
【证明】设PC的中点为G,连接EG、FG.
∵F为PD中点,∴GF∥CD且GF=
∵AB∥CD,AB=CD,E为AB中点,
CD.
∴GF∥AE,GF=AE,四边形AEGF为平行四边形.
∴EG∥AF,
又∵AF平面PEC,EG平面PEC,∴AF∥平面PEC.
【 总结升华】要证明直线和平面平行,只须在平面内找到一条直线和已知直线平行就可
以了.注意适当添加 辅助线,重视中位线在解题中的应用.
类型二、直线与平面平行的性质
例3.【线面平行的判定与性质 399459例3】
已知直线∥平面,直线∥平面,平面平面
,与平面

,∴∥,
=,求证


, 证明:经过


∥平面
∥,
作两个平面和


分别相交于直线和
, ∥平面


又∵

平面
平面
,平面
∩平面
,∴∥平面
=,

,平面
∴∥,又∵∥,∴∥.
【总结升华】证明线线平行的问 题,往往可以先证线面平行,由线面平行得出线线平行,这
是立体几何中证明线线平行最常用的方法之一 .
举一反三:
【变式1】 过正方体AC
1
的棱BB
1
作一平面交平面CDD
1
C
1
于EE
1

求证:BB
1
∥EE
1

【证明】如图.
∵C C
1
∥BB
1
,∴CC
1
∥平面BEE
1
B
1

又∵平面CEE
1
C
1
过CC
1
且交平面BEE
1
B
1
于EE
1

∴CC
1
∥EE
1

∵CC
1
∥BB< br>1
,∴BB
1
∥EE
1

【总结升华】“欲证线线平行,需证线面平行”是证明线线平行的基本思想.
【变式2】四边 形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD
外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和A P作平
面交平面BDM于GH.求证:AP∥GH.
【解析】如图,连接AC交BD于O,连接MO,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴O是AC的中点,又M是PC的中点,
∴AP∥OM.
根据直线和平面平行的判定定理,则有PA∥平面BMD.
∵平面PAHG∩平面BDM=GH,
根据直线和平面平行的性质定理,∴PA∥GH. < br>【总结升华】利用线面平行的性质定理解题的步骤:(1)确定(或寻找)一条直线平
行于一个平 面;(2)确定(或寻找)过这条直线且与这个平面相交的平面;(3)确定交线;
(4)由定理得出结 论.
例4.如图所示,已知异面直线AB、CD都平行于平面,且AB、


CD 在的两侧,若AC、BD与分别交于M、N两点,求证:.
【解析】如图所示,连接AD交平面
平面ABD与的交线.
∵CD∥,AB∥
于Q,连接MQ、NQ.MQ、NQ分别是平面ACD、
,∴CD∥MQ,AB∥NQ.
于是,,∴.
【总结升华】利用线面平行的性质定理,可以把有的立体问题转化为
平 面内的平行问题,利用平行线截割定理,可以解决有关线段成比例或三角形的面积比等问
题.
在应用线面平行的性质定理时,应着力寻找过已知直线的平面与已知平面的交线,有
时为了得到交线还需 作出辅助平面,本例通过连接AD作出平面ACD与平面ABD,得到交
线MQ和NQ.


例5. 如图所示,已知平面
线,且AB,CD
∥平面,AB与CD是两 条异面直
.如果E,F,G分别是AC,CB,BD的中
∥. 点,求证:平面EFG∥
【解析】由已知条件可知EF∥AB,FG∥CD.
∴EF∥
CD∥BM
,FG与CD可确定一个平面,设BM=
FG∥. BG平面ABCD∈平面ABC,即A,
∩平面CDGF,由于,故有
FG∥BM
如果E,F,G三点共线,则有G∈平面ABC
B,C,D共面,与AB,CD是异面直线矛盾.故E, F,G三点不共线,即EF与FG是平
面EFG内的两条相交直线.∴平面EFG∥,而,故平面EFG ∥∥.
【总结升华】(1)要善于对线线、线面平行的概念、判定和性质进行类比、探索、总
结,特别要注意相互转化,使之统一.
(2)要能够灵活地作出辅助线和辅助平面来解题,在作辅助线 和辅助平面时,必须有
理论依据,也就是要以某一定理为依据,切忌主观臆断,随意地作辅助线、辅助平 面.


举一反三:
【变式1】 如图所示,已知点P是ABCD所在平面外一 点,
M、N分别是AB、PC的中点,平面PBC∩平面APD=.
(1)求证:∥BC;
(2)MN与平面PAD是否平行?试证明你的结论.
【解析】方法一:(1)因为BC∥AD,BC
PAD.
又因为平面PBC∩平面PAD=,所以BC∥.
(2)平行.如下图(1),取PD的中点 E,连接AE,NE,可以证得NE∥AM且NE=AM.所
以四边形AMNE是平行四边形.
所以MN∥AE.所以MN∥平面PAD.
方法二:(1)因为AD∥BC,AD平面PBC,BC平面PBC,所以AD∥平面PBC.
平面PAD,AD平面PAD,所以BC∥平面
又因为平面PBC∩平面PAD=,所以∥AD.因为 AD∥BC,所以∥BC.
(2)平行.如下图(2),设Q是CD的中点,连接NQ,MQ,则MQ ∥AD,NQ∥PD,
而MQ∩NQ=Q,所以平面MNQ∥平面PAD.
又因为MN平面MNQ,所以MN∥平面PAD.

类型三、直线与平面垂直的判定
例6.下列命题中正确的个数是( )
①如 果直线与平面
②如果直线与平面
③如果直线不垂直于
④如果直线不垂直于
内的 无数条直线垂直,则
内的一条直线垂直,则
,则
,则



内没有与垂直的直线;
内也可以有无数条直线与垂直.
A.0 B.1 C.2 D.3


【答案】B
【解析】当直线与平面< br>故在平面
平行或在平面内时,在平面内都有直线与直线垂直,
内存在一组平行线(无数条 )与垂直,因此①②③均错,④正确。
【总结升华】“无数条直线”只说明直线的条数有无穷多,而“ 任意条直线”除能说明直
线无穷多条外,还说明直线的位置关系是任意的,是不受限制的。解题时一定要 加以区别。
举一反三:
【变式】设直线
A.在平面
B.过直线
C .与直线
D.与直线
【答案】B
【解析】可以通过观察正方体
为直线
选项
,平面

为平面
垂直且与
,由
进行判断,取
均与垂直知,
错;由平面
与平面相交但不垂直,则下列说法中正确的是( )
垂直
垂直
平行
内有且只有一条直线与直线
有且只有一个平面与 平面
垂直的直线不可能与平面
平行的平面不可能与垂直
错;由

平行知,选项
平行且与垂直知,选项错,故选B。
例7. 如图,已知空间四边形ABDC的边BC=AC,AD=BD,作BE⊥CD,E为垂足,
作AH⊥BE 于H,求证:AH⊥平面BCD。
【思路点拨】要证AH⊥平面BCD,只需利用直线和平面垂直的判 定定理,证AH垂直
平面BCD中两条相交直线即可。
【解析】
证明:取AB中点F,连CF,DF,
∵AB=BD,∴CF⊥AB。
又∵AD=BD,∴DF⊥AB,
∴AB⊥平面CDF,∴AB⊥CD。
又BE⊥CD,且AB∩BE=B,
根据直线与平面垂直的判定定理,直线CD⊥平面ABE。
∴CD⊥AH。


而AH⊥BE,CD∩BE=E,∴AH⊥平面BCD。
【总结升华】本题主 要考查线面垂直的判定,关键是找到平面
BCD内与AH垂直的两条相交直线,要证线面垂直,需证线线 垂直;
要证线线垂直,需证线面垂直,即通过判定定理实现线线垂直与线
面垂直的互相转化。
例8.如图所示,四边形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,△PAD是等腰三角形,M,
N分别是AB,PC的中点,求证:MN⊥平面PCD。
【解析】取PD的中点E,连接AE,NE,∵N,E为中点,
∴NE为△PCD的中位线,
∴NE∥CD且NE=CD。
又M为AB的中点,∴AM∥CD且AM=
∴AM∥NE且AM=NE,
∴四边形AENM为平行四边形,∴AE∥MN。
又△PAD为等腰三角形,∴AE⊥PD,
又PA⊥平面ABCD,∴PA⊥DC,而DC⊥AD。
∴DC⊥平面PAD。∴AE⊥DC,∴AE⊥平面PDC。
由AE∥MN知,MN⊥平面PCD。
【总结升华】(1)判定线面垂直的方法:
CD,
①利用线面垂直定义:一直线垂直于平面内的任意直线,则这条直线垂直于该平面。
②用线面垂直判定定理:一直线与平面内的两相交直线都垂直,则这条直线与平面垂
直。
③用线面垂直性质:两平行线之一垂直于平面,则另一条也必垂直于这个平面。
(2)证明线 线(或线面)垂直有时需多次运用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理,
实现线线垂直与线面垂直的相 互转化。
举一反三:
:空间的线面垂直 398999 例2
【变式1】 正方体,求证:


面.
证明:(略写)


同理:
所以面





【变式2】 一个多面体的三视图的直观图如下图(1),(2)所示,其中M,N分别是
AB,AC的中点,G是D F上的一个动点。
(1)求证:GN⊥AC;
(2)当FG=GD时,在AD上确定一点P,使GP∥平面FMC。

【解析】如图,(1)连接FN,BD,由题意知,B,D,N三点共线,且AC⊥DN。
因为FD⊥AD,FD⊥CD,AD∩CD=C,
所以FD⊥平面ABCD。
又AC平面ABCD,所以FD⊥AC。
又AC⊥DN,FD∩DN=D,所以AC⊥平面FDN。
又GN平面FDN,所以AC⊥GN。
(2)取DC的中点S,连接AS,GS,GA,因为 M是AB的中点,G是DF的中点,
则GS∥FC,AS∥CM。因为GS∩AS=S,MC∩FC=C ,所以平面GSA∥平面FMC。又GA
平面GSA,所以GA∥平面FMC。
因此,当点P在点A处时,有GP∥平面FMC。
例9.在正△ABC中,E、F、P分别是 AB、AC、BC边上的点,满足AE∶EB=CF∶
FA=CP∶PB=1∶2 [如图(1)]。将 △AEF沿EF折起到△A
1
EF的位置,使二面角A
1
-EF-B


成直二面角,连接A
1
B、A
1
P [如图(2)]。求证:A
1
E⊥平面BEP。

【思路点拨】 如图(1),由平面几何的知识可得EF⊥AE,EF⊥BE。如图(2),这两
个位置关系没有变化,而点A、B、E的相对位置关系发生了变化,翻折前这三点共线,但
是翻折后不 共线。证明A
1
E⊥平面BEP转化为证明A
1
E垂直于平面BEP内的两条 相交直线
BE和EF即可。由于EF⊥BE在翻折前后没有变化,所以只需证明A
1
E ⊥BE即可。
【证明】不妨设正三角形ABC的边长为3,则在图(3)中,取BE的中点D,连接DF。
∵AE∶EB=CF∶FA=1∶2,∴AF=AD=2。
而∠A=60°,∴△ADF为正三角形。
又AE=DE=1,∴EF⊥AD。
则在图(2)中,A
1
E⊥EF,BE⊥EF,
∴∠A
1
EB为二面角A
1
-EF-B的一个平面角。
由题设条件知此二面角为直二面角,∴A
1
E⊥BE。
又BE∩EF=E, ∴A
1
E⊥平面BEF,即A
1
E⊥平面BEP。
【总结升华】解 决本题的关键是翻折前EF⊥BE,并且在翻折后没有变化,而点A、B、
E的相对位置关系发生了变化 。由此可见,解决翻折问题的关键是对翻折前的平面图形与翻
折后的立体图形进行对比,有哪些位置关系 和相关量发生了变化,如果发生变化,那么发生
了怎样的变化?哪些没有发生变化?切不可混淆不清。
举一反三:
【变式1】 如图①,在正方形SG
1
G
2
G
3
中,E、F分别是边G
1
G
2
、G
2
G
3
的中点,D是EF
的中点,现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个几何体(如 图②),使G
1
、G
2
、G
3
三点重
合于点G,这 样,下面结论成立的是( )

A.SG⊥平面EFG B.SD⊥平面EFG C.GF⊥平面SEF D.GD⊥平面SEF


【答案】A
类型四:直线与平面垂直的性质
例10.设a,b为异面直线,AB是它们的公垂线(与两异面直线都垂直且相交的直线)。
(1)若a,b都平行于平面
(2)若a,b分别垂直于平面
,求证:AB⊥
,,且< br>;
,求证:AB∥c。
,可先证明线与线的平【思路点拨】(1)依据直线和平面垂 直的判定定理证明AB⊥
行。(2)由于此时垂直的关系较多,因此可以考虑利用线面垂直的性质证明A B∥c。
【证明】(1)如图(1),在
确定的平面与平面
面的交线为b'。
∵a∥
又∵AB⊥
∴AB⊥
,b∥,∴a∥a',b∥b'。
内任 取一点P,设直线a与点P
的交线为a',设直线b与点P确定的平面与平
,AB⊥b,∴AB ⊥a',AB⊥b',

(2)如图,过B作BB'⊥,则AB⊥BB'。
又∵AB⊥b,∴AB垂直于由b和BB'确定的平面。
∵b⊥,∴b⊥c,∵BB'⊥,∴BB'⊥c。
∴c也垂直于由BB'和b确定的平面。
故c∥AB。
【总结升华】由第(2)问的证明可以看出,利用线面垂直的性质证明线与线的 平行,
其关键是构造平面,使所证线皆与该平面垂直。如题中,通过作出辅助线BB',构造出平
面,即由相交直线b与BB'确定的平面,然后借助于题目中的其他垂直关系证明。
举一反三:
【变式1】 设,m是两条不同的直线,
A.若⊥m,m
C.若∥
【答案】B
【解析】两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面。
:空间的线面垂直398999 例3
,m
,则⊥
是一个平面,则下列命题正确的是( )
,∥m,则m⊥
,m∥,则∥m
B.若⊥
,则∥m D.若∥


例11.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD, AC⊥CD,
∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.
(1)证明:AE⊥CD;
(2)证明:PD⊥平面ABE.
【思路点拨】(1)由PA⊥底面ABCD,可得 CD⊥PA,又CD⊥AC,故CD⊥面PAC,从而证得
CD⊥AE;
(2)由等腰三角形 的底边中线的性质可得AE⊥PC,由(Ⅰ)知CD⊥AE,从而AE⊥面PCD,
AE⊥PD,再由 AB⊥PD 可得 PD⊥面ABE。
【解析】
(1)证明:在四棱锥P- ABCD中,PA⊥底面ABCD,CD?平面ABCD,∴CD⊥PA.
又CD⊥AC,PA∩AC=A,∴CD⊥面PAC,
∵AE?面PAC,故CD⊥AE.
(2)证明:由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得PA=AC,
∵E是PC的中点,∴AE⊥PC,
由(1)知CD⊥AE,从而AE⊥面PCD,故AE⊥PD.
由(1)知,AE⊥CD,且PC∩CD=C,所以AE⊥平面PCD.
而PD?平面PCD,∴AE⊥PD.
∵PA⊥底面ABCD,PD在底面ABCD内的射影是AD,AB⊥AD,∴AB⊥PD.
又∵AB∩AE=A,∴PD⊥面ABE
【总结升华】直线与平面垂直的性质定理(以及补充 性质)是线线、线面垂直以及线
面、面面平行相互转化的桥梁,因此必须熟练掌握这些定理,并能灵活地 运用它们.
举一反三:
【变式】如图,已知矩形ABCD,过A作SA⊥平面AC,再过A 作
AE⊥SB交SB于E,过E作EF⊥SC交SC于F.
(1)求证:AF⊥SC;
(2)若平面AEF交SD于G,求证:AG⊥SD.
【解析】
证明:(1)∵SA⊥平面AC,BC平面AC,∴SA⊥BC.
∵四边形ABCD为矩形,∴AB⊥BC,∴BC⊥平面SAB,∴BC⊥AE.
又AE⊥SB,∴AE⊥平面SBC,∴AE⊥SC.


又EF⊥SC,∴SC⊥平面AEF,∴AF⊥SC.
(2)∵SA⊥平面AC,∴SA⊥DC,
又AD⊥DC,∴DC⊥平面SAD,∴DC⊥AG.
又由(1)有SC⊥平面AEF,AG平面AEF,
∴SC⊥AG,∴AG⊥平面SDC,∴AG⊥SD.
类型五、直线和平面所成的角
例12.如图,三棱锥A- SBC中,∠BSC=90°,∠ASB=∠ASC=60°,
SA=SB=SC。
求直线AS与平面SBC所成的角。
【思路点拨】确定AS在平面SBC上的射影是关键,即 找过点A的
平面SBC的垂线。因为∠ASB=∠ASC=60°,SA=SB=SC,所以△ASB与 △ASC都是等边
三角形。
因此,AB=AC。
【解析】
取BC的中点D,连接AD,SD,则AD⊥BC。
设SA=a,则在Rt△SBC中,,。
在Rt△ADC中,,则AD+SD=SA,所以AD⊥SD。
222
又BC∩SD =D,所以AD⊥平面SBC。因此,∠ASD即为直线AS与平面SBC所成的
角。
在Rt△ASD中,
的角为45°。
,所以∠ASD=45°,即直线AS与平面S BC所成
【总结升华】求直线与平面所成的角的步骤:作角,即作出或找到斜线与它的射影所
成 的角;证角,即证明所作的角即为所求;求角,求角或角的三角函数值。其中作角是关键,
而确定斜线在 平面内的射影是作角的突破口。
举一反三:
【变式1】 (1)正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中,BB
1
与 平面ACD
1
所成角的余弦值为( )


A. B. C. D.
(2)已知三棱锥S—ABC中,底面ABC为边长等于2的等边三角形,SA垂直 于底面
ABC,SA=3,那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
【答案】(1)D(2)D


【巩固练习】
1.下列说法中正确的是( )
①过平面外一点有且仅有一条直线和已知平面垂直;② 过直线外一点有且仅有一个平
面与已知直线垂直;③过平面外一点可作无数条直线与已知平面平行;④过 直线外一点只能
作一条直线与已知直线垂直.
A.①②③ B.①②③④ C.②③ D.②③④
2.对于平面
A.若m⊥
C.若m
的共面的直 线m,n,下列命题中是真命题的为( )
,m⊥n,则n∥
,n∥
B.若m∥,n∥,则m∥n
,则m∥n D.若m,n与

所成角相等,则m∥n
,则平面、的位置关系是3.已知三条互相平行的直线a、b、c中,
( )
A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.重合
4.已知m,n是两条不重合的直线,、是两个不重合的平面,给出下列三个命题:
①;②;③
其中正确命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
5.下列四个正方体图形中,
、、

为正方体的两个顶点,
分别是为其所在棱的中点,能得出
的图形的序号是( )
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④( )
6.如图,在正方体ABCD—A< br>1
B
1
C
1
D
1
中,若E是A
1< br>C
1
的中点,则直线CE
垂直于( )
A.AC B.BD C.A
1
D D.A
1
D
1
7.平面四边形,为平面外一点,则、、、
中最多有 个直角三角形.
8.设三棱锥P—ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H,给出下列命题:
①若PA⊥BC,PB⊥AC,则H是△ABC的垂心;


②若PA、PB、PC两两互相垂直,则H是△ABC的垂心;
③若∠ABC=90°,H是AC的中点,则PA=PB=PC;
④若PA=PB=PC,则H是△ABC的外心。
则正确命题的序号有________。
9.如右图,P为梯形ABCD所在平面外一点,CD
的中点。
求证:BE∥平面PAD。

10.两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平 面相交于AB,MAC,N
FB,且AM=FN,过M作MH⊥AB于H.
求证:MN∥平面BCE.



11.如右图,直线AB 和CD是异面直线,AB∥,CD∥,AC
2AB,E为PC
=M,BD


=N,求证:.
12.一个多面体的直观图及三视图如下图(1),(2)所示,M,N分别 是A
1
B,B
1
C
1
的中点。
求证:(1)MN∥平面ACC
1
A
1

(2)MN⊥平面A
1
BC。


13.如右图,在圆锥PO中,已知
⊙O的直径AB=2,点C在
CAB=30°,D为AC的 中点。
(1)证明:
(2)求直线

AC⊥平面POD;
OC和平面PAC所成角的正弦值。

上,且∠
14.如图,已知PA⊥矩 形ABCD所在平面,M、N分别是AB、
PC的中点.
(1)求证:MN⊥CD;
(2)若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面PCD.

15.如图,在正三棱柱
(1)求证:
(2)求证:平面
平面;
平面.
中,是的中点.


【答案与解析】
1.【答案】A
【解析】 过直线a外一点P可作一平面
垂直,从而④不正确.
2.【答案】C
【解析】 借助长方体模型可排除选项A,B,D。
3.【答案】C
【解析】 D显然不对,因两个平面的位置关系中无重合这种情况,而平面
能平行或相交。
4.【答案】A
【解析】 ①m与n可能异面;②n有可能在内,也可能与平行;③m有可能在内。
、的位置可
与直线a垂直,平面内所有过P的直线均与


5.【答案】B
【解析】根据线面平行的判定定理判断,只有B正确。
6.【答案】B
【解析】 BD⊥AC,BD⊥CC
1
,∴BD⊥平面A
1
ACC
1
, ∴BD⊥CE.
7.【答案】4
【解析】连接

,当这四条线段中 有一条垂直于平面,且平面四边
是矩形时,这4个三角形都是直角三角形.
8.【答案】①②③④
【解析】根据线面垂直的判定及定义可证明。
9.【解析】如右图,取PD中点F,连接EF,FA。
∵E为PC中点,∴在△PDC中,,∴EFAB,
∴四边形ABEF为平行四边形,∴BE∥AF。
∵AF平面PAD且BE平面PAD,∴BE∥平面PAD。
10.【解析】∵正方形ABCD中,MH⊥AB,∴则MH∥BC,
连结NH,由BF=AC,FN=AM,得,∴NH∥AF∥BE.
由MH∥BC,NH∥BE,∴平面MNH∥平面BCE.
∵MN平面MNH,平面MNH∥平面BCE,∴MN∥平面BCE.
于点Q,连结MQ、QN. 11.【证明】如图,连结AD交平面


.


12.【证明】由题意知,该几何体是一个三棱柱,且侧棱与底面垂直,其 中AC⊥BC,
AC=BC=CC
1

(1)由已知AA
1
⊥平面A
1
B
1
C
1
,所以AA
1
⊥A
1
B
1
,因此四边形ABB
1
A
1
为矩形 ,连接AB
1

则A,M,B
1
三点共线,且M是AB
1< br>的中点。连接AC
1
,在△AB
1
C
1
中,M,N分 别为AB
1

B
1
C
1
的中点,所以MN∥AC< br>1
。因为AC
1
平面ACC
1
A
1
,MN平 面ACC
1
A
1
,所以MN∥平面ACC
1
A
1< br>。
(2)因为AC⊥BC,BC⊥CC
1
,AC∩CC
1
= C,所以BC⊥平面ACC
1
A
1
,所以BC⊥AC
1
,< br>又四边形ACC
1
A
1
为正方形,所以AC
1
⊥A< br>1
C。又BC∩A
1
C=C,因此AC
1
⊥平面A
1
BC,又MN
∥AC
1
,所以MN⊥平面A
1
BC。
13.【解析】(1)因为OA=OC,D是AC的中点,所以AC⊥
OD。
又PO⊥底面⊙O,AC底面⊙O,所以AC⊥PO。
而OD,PO是底面POD内的两条相交直线,所以AC⊥平
面POD。
(2)由(1)知,AC⊥平面POD,又AC
面POD⊥平面PAC。
在平面POD中,过O作OH⊥PD于H,如图,则OH⊥平面PAC。
连接CH,则CH是OC在平面PAC上的射影,
所以∠OCH是直线OC和平面PAC所成的角。
平面PAC,所以平
在Rt△ODA中,。
在Rt△POD中,。
在Rt△OHC中,。
14.证明:(1)取PD的中点E,又N为PC的中点,连接NE,则NE∥CD,.
又∵AM∥CD,,∴,∴四边形AMNE为平行四边形.


∴MN∥AE.

PD.
(2)当∠PDA=45°时,Rt△PAD为等腰直角三角形,
则AE⊥PD.又MN∥AE,∴MN⊥PD.
又PD∩CD=D,∴MN⊥平面PCD.
15.【证明】(1)如图,




(2)


正三棱柱
平面
平面

是等边三角形,且


平面

平面
平面
平面




是的中点,


平面

正三棱柱



平面

.∴MN⊥


平面与平面的位置关系

【学习目标】
1.掌握平面与平面平行的判定定理、性质定理;
2.掌握平面与平面垂直的判定定理、性质定理;
3.能熟练应用平面与平面平行、垂直的判定和性质定理解决相关问题.
【要点梳理】
要点一:两平面平行的判定
文字语言:如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行.
图形语言:



符号语言:若
要点诠释:
(1)定理中平行于同一个平面的两条直线必须是相交的.
(2)定理充分体现了等价转化的 思想,即把面面平行转化为线面平行,可概述为:线
面平行面面平行.
、,,且、,则.
要点二:判定平面与平面平行的常用方法
1.利用定义:证明两个平面没有公共点,有时直接证明非常困难,往往采用反证法.
2.利 用判定定理:要证明两个平面平行,只需在其中一个平面内找两条相交直线,分
别证明它们平行于另一个 平面,于是这两个平面平行,或在一个平面内找到两条相交的直线
分别与另一个平面内两条相交的直线平 行.
3.平面平行的传递性:即若两个平面都平行于第三个平面,则这两个平面互相平行.
【空间面面平行的判定与性质399113知识讲解】
要点三:平面和平面平行的性质
文字语言:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行.
符号语言:若
图形语言:
,,,则.



要点诠释:
(1)面面平行的性质定理也是线线平行的判定定理.
(2)已知两个 平面平行,虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面,但是这两
个平面内的所有直线并不一定相互 平行,它们可能是平行直线,也可能是异面直线,但不可
能是相交直线(否则将导致这两个平面有公共点 ).
要点四:平行关系的综合转化
空间中的平行关系有线线平行、线面平行、面面平行.这 三种关系不是孤立的,而是
互相联系的.它们之间的转化关系如下:

证明平行关系的综合问题需灵活运用三种平行关系的定义、判定定理、性质定理.
有关线面、面面平行的判定与性质,可按下面的口诀去记忆:
空间之中两直线,平行相交和异面.
线线平行同方向,等角定理进空间.
判断线和面平行,面中找条平行线;
已知线和面平行,过线作面找交线.
要证面和面平行,面中找出两交线.
线面平行若成立,面面平行不用看.
已知面与面平行,线面平行是必然.
若与三面都相交,则得两条平行线.
要点五:二面角
1.二面角定义
平面内的一条直线把平面分成两部分,这两部分通 常称为半平面.从一条直线出发的两个


半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面 角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.
表示方法:棱为
也可在
、面分别为的二面角 记作二面角.有时为了方便,
内(棱以外的半平面部分)分别取点
.如果棱记作,那么这个二面 角记作二面角
,将这个二面角记作二面角
或.

2.二面角的平面角
(1) 二面角的平面角的定义:在二面角的棱上任取一点,以该点为垂足,在两个半平面
内分 别作垂直于棱的射线,则这两条射线构成的角叫做二面角的平面角.
(2)二面角的平面角
个 半平面相交时,0°<
的范围:0°≤≤180°.当两个半平面重合时,=0°;当两
<18 0°;当两个半平面合成一个平面时,=180°.

二面角的大小可以用它的平面角来度 量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是
多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.
(3) 二面角与平面角的对比

图形


定义 从半面内一点出发的两条射线(半直线)所组
成的图形
表示
从空间内二直线出发的两个半平面所组
成的图形
角 二面角
由射线、点(顶点)、射线构成,表示为∠AOB 由半平面、线(棱)、半平面构成,表示



为二面角
(4) 二面角的平面角的确定方法
方法1:(定义法)在二面角的棱上找一特殊点,在两个半平面内分
别作垂直于棱的射线.
如右图,在二面角
点O作OA⊥a,在平面
的棱a上任取一点O,在平面内过
内过点O 作BO⊥a,则∠AOB为二面角的平面角.
方法2:(垂面法)过棱上一点作棱的垂直平面 ,该平面与二面角的两个半平面产生交
线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角.
如下图(左),已知二面角
过棱上一点O作一平面
∴,
,使

,且,。
,且⊥OA,⊥OB,
的平面角. ∴∠AOB为二面角

方法3:(垂线法)过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线,过垂足作棱的垂线,
利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角,此种方法通常用于求二面角的所有题目,具
体步骤:一 找,二证,三求.
如上图(右),已知二面角A-BC-D,求作其平面角.
过点A作AE⊥平面BCD于E,过E在平面BCD中作EF⊥BC于F,连接AF.
∵AE⊥平面BCD,BC平面BCD,∴AE⊥BC.
又EF⊥BC,AE∩EF=E,
∴BC⊥平面AEF,∴BC⊥AF
由垂面法可知,∠AFE为二面角A- BC-D的平面角。
要点六、平面与平面垂直的定义与判定
1.平面与平面垂直定义


定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面垂直.
表示方法:平面与垂直,记作.
画法:两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.如图:

2.平面与平面垂直的判定定理
文字语言:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.
符号语言:
图形语言:



特征:线面垂直
要点诠释:
平面与平面垂直的判定定理告诉我们,可以通过直线与平 面垂直来证明平面与平面垂直.
通常我们将其记为“线面垂直,则面面垂直”.因此,处理面面垂直问题 转化为处理线面垂
直问题,进一步转化为处理线线垂直问题.以后证明平面与平面垂直,只要在一个平面 内找
到两条相交直线和另一个平面内的一条直线垂直即可.
要点七:平面与平面垂直的性质
1.性质定理
文字语言:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
符号语言:
图形语言:

面面垂直


要点诠释:
面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法,在解决二面角问 题中作二面角的平面
角经常用到。这种线面垂直与面面垂直间的相互转化,是我们立体几何中求解(证) 问题的
重要思想方法。
2.平面与平面垂直性质定理的推论
如果两个平面互相垂直 ,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线,在第
一个平面内。
要点八:垂直关系的综合转化
线线垂直、线面垂直、面面垂直是相互联系的,能够相互转化, 转化的纽带是对应的定
义、判定定理和性质定理,具体的转化关系如下图所示:

在解决问题时,可以从条件入手,分析已有的垂直关系,早从结论探求所需的关系,从
而架起条件与结论的桥梁.
垂直间的关系可按下面的口诀记忆:
线面垂直的关键,定义来证最常见,
判定定理也常用,它的意义要记清.
平面之内两直线,两线交于一个点,
面外还有一条线,垂直两线是条件.
面面垂直要证好,原有图中去寻找,
若是这样还不好,辅助线面是个宝.
先作交线的垂线,面面转为线和面,
再证一步线和线,面面垂直即可见.
借助辅助线和面,加的时候不能乱,
以某性质为基础,不能主观凭臆断,
判断线和面垂直,线垂面中两交线.


两线垂直同一面,相互平行共伸展,
两面垂直同一线,一面平行另一面.
要让面和面垂直,面过另面一垂线,
面面垂直成直角,线面垂直记心间.
【典型例题】
类型一、平面与平面平行的判定
例1.已知正方体ABC D—A
1
B1
C
1
D
1
,求证:平面AB
1
D
1
∥平面BDC
1

【思路点拨】要证明两个平面平行,由面面平行的判定定 理
知:须在某一平面内寻找两条相交且都与另一平面平行的直线.
【解析】
【证明 】如图,∵ABA
1
B
1
,C
1
D
1
A< br>1
B
1
,∴ABC
1
D
1

∴四 边形ABC
1
D
1
为平行四边形,∴AD
1
∥BC
1

又AD
1
∴BC
1
∥平面AB
1
D
1

同理,BD∥平面AB
1
D
1

又BD∩BC
1
=B,∴平面AB
1
D
1
∥平面BDC1

【总结升华】利用面面平行的判定定理判定两个平面平行的程序是:(1)在第一个 平
面内找出(或作出)两条平行于第二个平面的直线;(2)说明这两条直线是相交直线;(3)
由判定定理得出结论.
例2.如右图,正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中,M、N、E、F分别
是棱A
1B
1
、A
1
D
1
、B
1
C
1
、C
1
D
1
的中点.
求证:平面AMN∥平面EFDB.
【证明】连接MF,
∵M、F分别是A
1
B
1
、C
1
D
1
的中点,且四边形A
1
B
1
C
1
D
1
为正方形,
∴MF
又A
1
D
1A
1
D
1

AD,∴MFAD,
平面EFDB,AM平面EFDB,
平面AB
1
D
1
,B C
1
平面AB
1
D
1

∴四边形AMFD是平行四边形,∴AM∥DF.∵DF
∴AM∥平面EFDB.
同理,AN∥平面EFDB.


又AM、AN平面AMN,且AM∩AN=A,
∴平面AMN∥平面EFDB.
【总结升华】应用判定定理时,一定要注意“两条相交直线” 这一关键性条件,问题
最终转化为证明直线和直线的平行.
举一反三:
【变式1】已知在正方体中 ,M,N分别是,的中点,
在该正方体中作出过顶点且与平面AMN平行的平面,并证明你的结论.
【解析】与平面AMN平行的平面有以下三种情况:

下面以上图(1)为例进行证明:
证明:∵四边形ABEM是平行四边形,∴BE∥AM,
又BE平面BDE,AM

平面BDE,∴AM∥平面BDE.

,∴MN∥BD,
∵MN是
∵四边形
又BD
的中位线,∴
是平行四边形,∴
平面BDE,MN平面BDE,∴MN∥平面BDE.
又AM、MN平面AMN,且MN∩AM=M,
由平面与平面平行的判定定理可得,平面AMN∥平面BDE.
【变式2】 如右图所示, 在三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
中,点D,E分别是BC与 B
1
C
1
的中
点.
求证:平面A
1
EB∥平面ADC
1

【证明】由棱柱的 性质知,B
1
C
1
BC,又D,E分别为BC,B
1
C1
的中点,所以C
1
EDB,
则四边形C
1
DBE为平 行四边形,因此EB∥C
1
D,
又C
1
D平面ADC
1< br>,EB平面ADC
1
,所以EB∥平面ADC
1

BD,所以四边形EDBB
1
为平行四边形,则EDB
1
B. 连接 DE,同理,EB
1
因为B
1
BA
1
A(棱柱的性质),所 以EDA
1
A,则四边形EDAA
1
为平行四边形,所以

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