高中数学必修四知识讲解,巩固练习(复习补习,期末复习资料)：14【提高】正切函数的性质与图象

（1）
f(x)?tan
2
x?tan
2
(x??
)?f(x?
?
)

?
函数
y?tan2
x
是周期函数，最小正周期是
?
．
（2）
f(x) ?|tanx|?|tan(
?
?x)|?f(x?
?
)

?
y?|tanx|
是周期函数，最小正周期是
?
．
（3）由图象知，函数不是周期函数





（4）是周期函数，最小正周期是
类型四：正切函数的单调性
例4．（2017春 河北邢台月考）设函数
f(x)?tan(?
（1）求函数的定义域、周期和单调区间
（2）求不等式
f(x)?
?
．
2
x
?
)
．
23
3
的解集．
【思路点拨】（1）由条件利用正切函数的定义域、周期性和单调性，求得函数的定义域、
周期和单调区 间．
（2）不等式即
tan(?
可得结论．
x
?
?x
??
可得
k
?
????k
?
?
，由 此求得x的范围，
)?3
，
232233
5
?
,k?Z}< br>，T=2π，函数的增区间为
3
?
5
??
4
?
（2）不等式的解集为
(2k
?
?,2k
?
?(2k
?< br>?,2k
?
?)
，k∈Z；
]
，k∈Z
3333< br>x
?
x
??
【解析】（1）根据函数
f(x)?tan(?)
，可得
??k
?
?
，k∈Z，
23232
5?
5
?
求得
x?2k
?
?
，故函数的定义域为
{x|x?2k
?
?,k?Z}
．
33
【答案】（1）定 义域为
{x|x?2k
?
?
?2
?
．
1
2
?
x
??
?
5
?
令
k
?
????k
?
?
，k∈Z，求得
2k
?
??x?2k?
?
，
223233
?
5
?
故函数的增区间 为
(2k
?
?,2k
?
?)
，k∈Z．
33x
?
?
x
??
（2）求不等式
f(x)?3
， 即
tan(?)?3
，∴
k
?
????k
?
?，
232233
它的周期为
6

?

求得
2k
?
?
?
3
?x?2k
?
?
4
?
?
4
?
，故不等式的解集为
(2k
?
?,2k
?
?]
，k∈Z．
333
【总结升华】（1）对于形如
y?tan(
?
x?
?
)
（
?
，
?
为非零常数）的函数的性质的研
究，应以正切函数的性质为基础，运用整体思想求解．若?
＜0，一般先利用诱导公式将x
的系数化为正数，再进行求解．
（2）比较正 切函数值的大小，可利用诱导公式将其转化为同一单调区间的锐角的正切
函数，再比较大小．
举一反三：
【变式1】求函数
y?|tan(2x-
?
3
)|
的单调增区间.
【答案】
?
?
k
??
k?
5
?
?
?,?
?

26212
??
【变式2】函数
f(x)?tan
?
x
在区间
(?
【解析】
??
,)
单调递减，求实数
?
的取值范围.
22
函数
f(x)?tan
?
x
在区间
(?
??
,)
单调递减
22

??
?
x?
??
?
??
?
,
?
，且
?
?0
，即
22
??
?
?
?
?
x??
?
2
?
?
??
?

?
?
?
x?
，解得：
?x??
2
?2
?
2
?
?
?
?0
?
?
?< br>??
??
??
?
?
?
,?
?
??
?,
?

?
2
?
2
?
??
22
?
?
?
?
??
?
?
2
?
2
?
?

??
?
??
?
?< br>2
?
2
??1?
?
?0

类型五：正切函数性质的综合应用
例5．（1）求函数
y?tan
?
3x?
性；
（2）求函 数
y??tanx?10tanx?1
，
x?
?
7
2
?
?
?
?
?
的定义域、值域，并指出它的周期性、奇 偶性、单调
3
?
?
??
?
,
?
的值域；
4
?
3
?

（3）设函数
f(x)?tan(
?
x?
?
)
(
?
?0,0?
?
?
?
2
)
，已知函数
y?f(x)
的图象与x
轴相邻 两交点的距离为
?
?
?
?
，且图象关于点
M
??,0
?
对称，求
f(x)
的解析式．
2
?
8
?
【解析】（1）由
3x?
?
3
?k
?
?
?
2
，得
x?
k
?
5
?
， < br>?
318
∴所求定义域为
?
xx?R,且x?
值域为R，周期
T?
?
?
k
?
5
?
?
?,k?Z
?
．
318
?
?
3
，是非奇非偶函数．
在区间
?
?
k
??
k
?
5
?
?
?,?
?
（k∈Z）上是增函数．
?
318318
?
（2）设tan x=t．
∵
x??
?
??
?
,
?
，∴
t?[1,3]
．
4
?
3
?
∴y=―tan
2
x+10tan x―1=―t
2
+10t―1=―(t―5)
2
+24．
∴当t=1，即
x?
?
4
时，y
min
=8，
时，
y
max
?103?4
． 当
t?3
，即x?
?
3
∴函数的值域为
[8,103?4]
．
（3 ）由题意可知，函数
f(x)
的最小正周期
T?
∵
?
＞0， ∴
?
=2．从而
f(x)?tan(2x?
?
)
．
?
2
，即
??
?
．
|
?
|2< br>∵函数
y?f(x)
的图象关于点
M
?
?
?
?
?
,0
?
对称，
8
??
∴
2?
?
?
k
?
2k
??
?
?
?
?< br>?
?
（k∈Z），即．
?
??
（k∈Z）
?
2
24
?
8
?
∵
0?
?
?
?< br>2
，∴
?
只能取
?
．
4
故
f(x )?tan
?
2x?
?
?
?
?
?
． 4
?
?
?
【总结升华】第（1）题是用整体的思想，将函数
y? tan
?
3x?
8

?
?
?
作整体代换 ，转化
3
?

为对函数y=tan x的性质的研究；
第（2 ）题中换元化归为给定区间上的二次函数值域问题是解决这类问题常用的方法，
特别注意换元后立即明确 新元的范围；
第（3）题，
y?Atan(
?
x?
?
)< br>，（A＞0，ω＞0）的图象及性质可与y=tan x的图象和性质
加以类比得到．
举一反三：
【变式】（2017春 湖北恩施州期末）函数f（x）=tanωx（ω＞0） 的图象的相邻两个零
点的距离为
?
?
，则
f()
的值是（ ）
6
2
3
C．
3
D．1
3
A．
?3
B．
【答案】C
【解析】∵函数f（ x）=tanωx（ω＞0）图象相邻两个零点的距离为
∴
T?
?
，
2
??
?
，
?
2
∴ω=2，
∴f（x）=tan2x；
∴
f()?tan(2?
??
66)?tan
?
3
?3
．
故选：C．


【巩固练习】
1．若
tanx?0
,则（ ）.
A．< br>2k
?
?
C．
k
?
?
?
2
?x?2k
?
,k?Z
B．
2k
?
?
?< br>2
?x?(2k?1)
?
,k?Z

?
2
?x?k
?
,k?Z
D．
k?
?
?
2
?x?k
?
,k?Z

2．函数
f(x)?
tan2x
的定义域为（ ）.
tan x
??
A．
?
?
??
?
x|x?R
且
x?
k
4
,k?Z
?
B．
?
x|x?R
且
x?k
?
?,k?Z
?

2
C．
?
??
?
x|x?R
且
x?k
?
?
?
,k?Z
?
D．
?
x|x?R
且
x?k
?
?,k?Z
?

44
??
3．（2017 安徽月考）
函数y＝lg(1＋tan x)的定义域是( )
A．
(k
?
?
C．
(k
?
?

?
?
,k
?
?)(k?Z)
B．
(k
?
?,k
?
?)(k?Z)

2224
???
,k
?
?)(k?Z)
D．
(k
?
?,k
?
?)(k?Z)

4244
9
???

4．下列函数不等式中正确的是（ ）.
4323
?
?tan
?
B．
tan
?
?tan
?

7755
13151312
C．
tan(?
?
)?tan(?
?
)
D．
tan(?
?
)?tan(?
?
)

7845
A．
tan
5．直线y=3与函数y=tanωx（ω＞0）的图象相交，则相邻两交 点的距离是（ ）
A．π B．
2
?
?
C．
?
?
D．
2
?
?
6．（2017春 山东高密市月考）函数
y?tan(2x?
A．
(?
?
4
)
的其中一个对称中心为（ ）
?
（0，0） D．
(,0)

,0)
B．
(,0)
C．
824
cotx
??
7．已知
a?(tanx)
，
b?(tanx)
sinx
，
c?(tanx)
cosx
，
d?log
cotx
cosx
?
0?x?
?
?
?< br>?
?
，
4
?
则a、b、c、d的大小顺序为（ ）
A．d＜b＜a＜c B．d＜a＜b＜c C．d＜a＜c＜b D．a＜c＜b＜d
8．函数
y?tan
?
x?
?
??
?
?
的单调区间为（ ）
4
?
A．
?
k
?
?
?
?
?
2
,k
?
?
?
?
2
?
?
，k∈Z B．
?
k
?
?
?
?
?
?
3
??
?
,k
?
?
?
，k∈Z
44
?
C．
?< br>k
?
,k
?
?
?
?
?
?
2
?
?
，k∈Z D．
?
k
?
??
4
,k
?
?
?
?
?
，k∈Z
4
?
9．（2017春 甘肃张掖月考）不等式
tan
?
?
10．函数
f(x)?
3
?0
的解集为________．
3
2
的最大值为________．
2
tanx?2tanx?2
11.在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．若函数
y?f(x)
的图象恰好
经过
k
各格点，则称该函数
f(x)
为
k
阶格点函数．下列函数中是一阶格点函数的
是 ．
①
y?sinx
②
y?cos(x?
?
6
)
③
y?cosx?1
④
y?x
2

12．关于x的函数
f(x)?tan(x?
?
)
有以下说法：
（1）对任意的
?
，
f(x)
既不是奇函数也不是偶函数；
（2）不存在
?
，使
f(x)
既是奇函数，又是偶函数；
10

（3）存在
?
，使
f(x)
是奇函数；
（4）对任意的
?
，
f(x)
都不是偶函数．
其中不正确 的说法的序号是________，因为当
?
=________，该说法不成立．
13．（2018 湖南益阳月考）已知函数
f(x)?3tan(2x?
（1）求f（x）的定义域与单调区间
（2）比较
f()
与
f(?
?
3
)
．
?
?
82
)
的大小．
14．（2017春 山东文登市月 考）是否存在实数a，且a∈Z，使得函数
y?cot(
?
4
?ax)
在
?
5
x?(,
?
)
上是单调递增的？若存在，求出a的 一个值，若不存在，请说明理由．
88
15．已知函数
f(x)?ta
?< br>n(?x
?
，且对于定义域内任何实数x，都有
f(x)?f(x?1)?f( x?2)
，试比较
tan(
?
a?
?
?3
?
)
与
tan(
?
a?
?
?3
?
)
的大小．

【答案与解析】
1．【答案】C
【解析】由图象可知C正确．
2．【答案】A
【解析】要使式子有意义，则正切型函数本身有意义，且分母不为零，知A正确．
3．【答案】C
【解析】
由题意得1＋tan x＞0，即tan x＞－1，
由正切函数的图象得
k
?
?
?
4
?x?k
?
?
?
2
(k?Z)
．
4．【答案】D
【解 析】同名函数比较大小时，应化为同一单调区间上两个角的函数值后，应用函数的单调
性解决；而对于不 同名函数，则应先化为同名函数再按上面方法求解.
13
?
17
?
17
?
2
?
?
?3
?
)?tan(?)
，
tan(?)?tan(??3
?
)?tan(?)
，又
44555
?
2
?

???
45
?
2
?所以
tan(?)?tan(?)
，故D成立．
45
tan(?
5．【答案】C
【解析】直线y=3与y=tanωx 图象的相邻交点的距离为y=tanωx的最小正周期，∵
d?T?
?
，故选C．
?
6．【答案】A
【解析】对于函数
y?tan(2x?

?
4
)
，令
2x?
?
4
?
k
?
2k?1
，求得
x?
?
，k∈Z，
28
11

故函数的图象的对称中心为
(
故选：A．
7．【答案】C
2k?1
?
,0)
，k∈Z，
8
?
3
?
【解析】∵
0?x?
，不妨取
x?
，于是
a?
?< br>?
3
?
?
46
??
?
?
3
?
3
?
，
?0
，
b?
?
?
3?
?
?0
??
1
2
?
3
?
c ?
?
?
3
?
?
??
3
2
?0，
d?log
3
3
?0
．
2
3
3< br>2
1
2
又∵
0?
?
3
?
3
?1
，从而
0?
?
?
3
?
?
3
? ?
?
3
?
?
?
?
3
?
?
??
?
3
?
?
?
?
3
?
?
．
??
∴d＜a＜c＜b．
8．【答案】D
【解析】先作出y?tan
?
x?
?
?
?
?
?
的图象 ，再将x轴下方的图象对称对x轴上方，即可得到
4
?
?
?
?
???
y?tan
?
x?
?
的图象，如图．由图可知，
y ?tan
?
x?
?
的单调递增区间是
4
?
4
???
??
?
??
???
k
?
?,k
?
?k
?
?,k
?
?
，k∈Z；单调递减区间是，k∈Z．对 比选项可得D符
??
??
4444
????
合要求．
9． 【答案】
(?
?
6
?k
?
,
?
2
?k
?
)
，k∈Z
【解析】∵
tan
?
?
∴当
?
?(?
33
?0
，即
tan
?
? ?

33
??
,)
时，
?
?(?,)
< br>2262
3
??
的解集为
(??k
?
,?k
?
)
，k∈Z
3
62
3
??
?0
的解集 为
(??k
?
,?k
?
)
，k∈Z
3
62
??
又∵正切函数y=tan x的周期T=π
∴
tan
?
??
即不等式
tan
?
?
故答案为：(?
10．【答案】2
?
6
?k
?
,
?
2
?k
?
)
，k∈Z
12

【解析】∵
f(x)?
11．【答案】①③
2
，∴当tan x=－1时，
f(x)
有最大值2．
2
(tanx?1)?1
【解析】以函数
y?sinx
为例，最好先从纵坐标开始考虑， 可能成为格点的点的横坐标为
x?
k
?
(k?z)
，其中，只有当< br>k?0
时，
x
为整数，所以，此函数为一阶格点函数，其他
2
函数可用同样方法分析．
12．【答案】（1） π（或kπ，k∈Z）
【解析】 对于（1），显然当
?
?k
?
，k∈Z时，
f(x)?tan(x?
?
)?tan(x?k
?
)?tanx
，
此时函数为奇函数 ，故（1）错；（3）正确．
（2）也正确，因为定义在R上的函数如果既是奇函数，又是偶函数，那 么这个函数恒
为零，显然对于任意的
?
，
f(x)
都不可能恒为零， 从而不存在
?
，使
f(x)
既是奇函数，
又是偶函数；
（4）是正确的，不存在这样的
?
，使
f(x)
是偶函数．
因此本题不正确的说法的序号是（1），因为当
?
?
?
（或kπ，k∈Z） 时，该说法不成
立．
13．【答案】（1）定义域为
{x|x?
k
?
5
?
??
（2）
f()?f(?)

?,k?Z }
；
21228
【解析】（1）由函数
f(x)?3tan(2x?
求得
x?
?
3
)
，可得
2x?
?
3
?k
?
?
?
2
，
k
?
5
?< br>k
?
5
?
，k∈Z，故函数的定义域为
{x|x???,k? Z}
．
212212
???
k
??
k
?
5
?
令
k
?
??2x??k
?
?
，求得，
??x??
232212212
k
??
k
?
5?
故函数的单调增区间为
(?,?)
．
212212
?
2
?
（2）
f()?3tan??33

23
???7
?
7
?
5
?
f(?)?3tan[2?(?)?]? 3tan(?)?3tan(
?
?)?3tan?0

883121212
∴
f()?f(?
??
82
)

14．【解析】假设存在实数 a，且a∈Z，使得函数
y?cot(
?
?
5
?ax)
在< br>x?(,
?
)
上是单调
488
递增的，
由余切函数的单调性可知：y=cot x在每一个开区间（kπ，（k+1）π），k∈Z上都是减函数，
则a＜0，由
y?cot(ax?
?
)??cot(?ax?)
，
44
13
?

由
k
?
? ?ax?
?
4
k
?
?
?k
?
?
?
，k∈Z，解得
?
4
?x?
k
?
?
?a< br>?
5
?
k
?
?k
?
?
4
?
?
?
5
?
?
4
， 再由假设可得，
?a88?a
解得，当k=0时，－2≤a≤―2，则a=―2．
所 以存在实数a且a=―2，使得函数
y?cot(
5
?
4
，
?a
?
?
5
?ax)
在
x?(,
?
)< br>上单调递增．
488
15．【解析】∵
f(x)?f(x?1)?f(x?2 )
，∴
f(x?1)?f(x?2)?f(x?3)
．
两式相加，得
f(x)??f(x?3)
，即
f(x?3)??f(x)
，
∴
f(x?6)?f[(x?3)?3]??f(x?3)?f(x)
，
上式对定义域内任何实数x都成立，故
f(x)
是周期T=6的周期函数．
∵
f(x)?tan(
?
x?
?
)
，
∴
tan(
?
a?
?
?3
?
)?tan[
?
(a?3)?
?
]?f(a?3)
．
tan(
?
a?
?
?3
?
)?tan[
?
(a?3)?
?]?f(a?3)
．
∵
f(a?3)?f[(a?3)?6]?f(a?3)
，
∴
ta n(
?
a?
?
?3
?
)?tan(
?
a?
?
?3
?
)
．


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