高中数学高二下会考复习资料,会考练习,高考复习资料,补习资料：5.1 空间几何体

空间几何体的结构及其三视图和直观图
[基础达标]
一、选择题
1．下列命题中，正确的是( )
A．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱
B．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥
C．侧面都是矩形的四棱柱是长方体
D．底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正
棱柱
解析：认识棱柱 一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的
形状两方面去分析，故A，C都不够准确，B中对等腰三 角形的腰是
否为侧棱未作说明，故也不正确．
答案：D
2．[2019·河南郑州 质量检测]一个锥体的正视图和侧视图如图
所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )

解析：若俯视图为选项C，侧视图的宽应为俯视图中三角形的高
3
，所以俯 视图不可能是选项C.
2
答案：C
3．[2019·东北四市联考]如图，在正方 体
ABCD
－
A
1
B
1
C
1
D< br>1
中，
P
是线段
CD
的中点，则三棱锥
P
－
A
1
B
1
A
的侧视图为( )

1

解析：

如图，画出原正方体的侧视图，显然 对于三棱锥
P
－
A
1
B
1
A
，
B
(
C
)
点均消失了，其余各点均在，从而其侧视图为
D
.
答案：D



4.

如图，矩形
O
′
A
′
B
′
C
是水平放置的一个平面图形的直观图 ，
其中
O
′
A
′＝6 cm，
O
′
C
′＝2 cm，则原图形是( )
A．正方形 B．矩形
C．菱形 D．一般的平行四边形
解析：如图，在原图形
OABC
中，
应有
OD
＝2
O
′
D
′＝2×22＝42(cm)，
CD
＝
C
′
D
′＝2 cm，
所以
OC
＝
OD
2
＋
CD
2
＝42
2
＋2
2
＝6(cm)，所以
OA
＝
OC
，
故四边形
OABC
是菱形，因此选C.
答案：C
5．如图所示是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直
观图是( )

2

解析：先观察俯视图，由俯视图可知选项 B和D中的一个正确，
由正视图和侧视图可知选项D正确，故选D.
答案：D
6． [2019·济南模拟]我国古代数学家刘徽在学术研究中，不迷
信古人，坚持实事求是．他对《九章算 术》中“开立圆术”给出的公
式产生质疑，为了证实自己的猜测，他引入了一种新的几何体“牟合
方盖”：以正方体相邻的两个侧面为底做两次内切圆柱切割，然后剔
除外部，剩下的内核部分．如果“ 牟合方盖”的主视图和左视图都是
圆，则其俯视图形状为( )


< br>解析：本题考查几何体的三视图．由题意得在正方体内做两次内
切圆柱切割，得到的几何体的直观 图如图所示，由图易得其俯视图为
B，故选B.
答案：B
7．[2019·河北模 拟]某几何体的三视图如图所示，记
A
为此几
何体所有棱的长度构成的集合，则( )
3

A．3∈
A
B．5∈
A

C．26∈
A
D．43∈
A



解析：由三视图可得，该几何体的直观图如图所示，其中底面是
边长为4 的正方形，
AF
⊥平面
ABCD
，
AF
∥
DE，
AF
＝2，
DE
＝4，可求
得
BE
的长为4 3，
BF
的长为25，
EF
的长为25，
EC
的长为42，
故选D.
答案：D
8．[2019·河南百校联考]如图，网格纸上小正方形的边 长为1，
图中粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长
的棱的长度为( )

A．23 B．3
C.6 D.5

解析：根 据三视图，利用棱长为2的正方体分析知，该多面体是
一个三棱锥，即三棱锥
A
1－
MNP
，如图所示，其中
M
，
N
，
P
是棱长为
2的正方体相应棱的中点，可得棱
A
1
M
最长，
A
1
M
＝2
2
＋2
2
＋1
2
＝3 ，
4

故最长的棱的长度为3，选B.
答案：B
9．[2019·江西南昌月考]一个几何体的三视图如图所示，在该
几何体的各个面中，面积最小的 面的面积为( )

A．8 B．4
C．43 D．42

解析：由三视图可知该几何体的直观图如图所示，由三视图特征
可知，
PA
⊥平面
ABC
，
DB
⊥平面
ABC
，
AB
⊥
AC
，
PA
＝
AB
＝
AC
＝4 ，
DB
1
＝2，则易知
S
△
PAC
＝
S< br>△
ABC
＝8，
S
△
CPD
＝12，
S梯形
ABDP
＝12，
S
△
BCD
＝×42×2
2
＝42，故选D.
答案：D

10．[2019·江西南昌模拟]如 图，在正四棱柱
ABCD
－
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
点
P
是平面
A
1
B1
C
1
D
1
内一点，则三棱锥
P
－
B CD
的正视图与侧视图的面
积之比为( )
A．1：1 B．2：1
C．2：3 D．3：2
解析：根据题意，三棱锥
P
－
BCD< br>的正视图是三角形，且底边为
正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高；侧视图是三角形，且底边
为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高．故三棱锥
P
－
BCD
的 正
5

视图与侧视图的面积之比为1：1.
答案：A
二、填空题
11．下列说法正确的有________个．
(1)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．
(2)正棱锥的侧面是等边三角形．
(3)底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱
锥．

解 析：(1)错误．棱锥的定义是：有一个面是多边形，其余各面
都是有一个公共顶点的三角形，由这些面 所围成的多面体叫做棱
锥．而“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公
共顶 点的三角形”，故此说法是错误的．如图所示的几何体满足此说
法，但它不是棱锥，理由是△
A DE
和△
BCF
无公共顶点．
(2)错误．正棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是等边三角形．

(3)错误． 由已知条件知，此三棱锥的三个侧面未必全等，所以
不一定是正三棱锥．如图所示的三棱锥中有
AB
＝
AD
＝
BD
＝
BC
＝
CD
.满
足底面△
BCD
为等边三角形．三个侧面△
ABD
，△
ABC
，△
ACD
都是等
腰三角形，但
AC
长度不一定，三 个侧面不一定全等．
答案：0
12．[2019·山东安丘模拟]一个几何体的三视图如图 所示，其中
正视图是边长为2的正三角形，俯视图是正方形，那么该几何体的侧
视图的面积是_ _______．

6

解析：根据三视图可 知该几何体是一个四棱锥，其底面是正方形，
侧棱相等，所以这是一个正四棱锥．其侧视图与正视图是完 全一样的
3
2
正三角形．故其面积为×2＝3.
4
答案：3 13．如图，
E
，
F
分别为正方体的面
ADD
1
A
1
，面
BCC
1
B
1
的中心，则
四边 形
BFD
1
E
在该正方体的面上的射影可能是________．

解析：分别作出在六个面上的射影可知选②③.
答案：②③
14．[2019·洛 阳高三统考]在半径为4的球面上有不同的四点
A
，
B
，
C
，
D
，若
AB
＝
AC
＝
AD
＝4，则平面
BCD
被球所截得图形的面积为
________．
解析：因为
A
，
B
，
C
，
D
为球面上不同的四点，所以
B
，
C
，
D
不
共线，由
AB
＝
A C
＝
AD
知
A
在平面
BCD
内的射影为△
BCD
外接圆的圆
心，记圆心为
O
1
.设
O
为球的 球心，则
OB
＝
OC
＝
OD
，故
O
在平面
BCD
内的投影也为△
BCD
外接圆的圆心
O
1
， 故有
OA
⊥平面
BCD
.又
AB
＝
AC
＝
AD
＝4，所以平面
BCD
垂直平分线段
OA
.记△
BCD
外接圆的半径为
r
，
?
1
?
22
由勾股定理得
r
＋
?
OA
?
＝4
2
，即< br>r
2
＝16－4＝12.从而平面
BCD
被球所
?
2
?
截得的图形即△
BCD
的外接圆，其面积为π
r
2
＝12π.
答案：12π

7

[能力挑战]

15．[2019·惠州调研]某三棱锥的三视图如 图所示，且图中的三
个三角形均为直角三角形，则
xy
的最大值为( )
A．32
B．327
C．64
D．647

解析： 将三视图还原为如图所示的三棱锥
P
－
ABC
，其中底面
ABC是直角三角形，
AB
⊥
BC
，
PA
⊥平面
AB C
，
BC
＝27，
PA
2
＋
y
2
＝10
2
，(27)
2
＋
PA
2
＝
x2
，所以
xy
＝
x
10
2
－[
x2
－27
2
]＝
x
128－
x
2
x< br>2
＋128－
x
2
≤＝64，当且仅当
x
2
＝128－
x
2
，即
x
＝8时取等号，
2
因此xy
的最大值是64.选C.
答案：C

8