高中数学凸函数在高考中的应用专题辅导

高中数学凸函数在高考中的应用专题辅导
田祚鹏

函数是高中数学 中的边缘知识点，在苏教版高一新教材中由指数函数和对数函数中的两
道探究拓展题（
P
55
P
71
）涉及，在人教版中由
P
119
的探索与研究 阅读材料涉及。在近两年的
高考中，全国各地的高考题和模拟题对函数的这一性质都有所考查。
凸函数的定义有几何定义、代数定义、切线定义等几种形式
（1）凸函数的几何定义（引自人教版高一数学教材
P
119
）
函 数
y?f(x)
，任意
x
1
,x
2
?D,M
1
(x
1
,f(x
1
))、M
2
(x
2
,f(x
2
))
，如果函数
y?f(x)
在区
间< br>[x
1
,x
2
]
上的图像总是在线段
M
1< br>M
2
的下方，我们就说函数的图像在区间D上是下凸的，
这样的函数叫下凸函数 ；
函数
y?f(x)
，任质
x
1
,x
2
?D,M
1
(x
1
,f(x
1
))、M
2
(x
2
,f(x
2
))
，如果函数
y?f(x)
在 区
间
[x
1
,x
2
]
上的图像总是在线段
M
1
M
2
的上方，我们就说函数的图像在区间D上是上凸的，
这样的 函数叫上凸函数。
（2）凸函数的代数定义
设f(x)是定义在区间D上的函数，若对于任 何
x
1
、x
2
?D
和实数
??(0,1)
，有
f[?x
1
?(1??)x
2
]??f(x
1
)?(1??)f(x
2
)
，则称f(x)是D上的下凸函数。
设f(x) 是定义在区间D上的函数，若对于任何
x
1
、x
2
?D
和实 数
??(0,1)
有
f[?x
1
?(1??)x
2
]??f(x
1
)?(1??)f(x
2
)
，则称f(x)是D上的 上凸函数。
（3）凸函数的切线定义（引自华东师大编写《数学分析》）：
设函数
y?f(x)
在（a，b）内可导，若曲线
y?f(x)
位于其每点处切线的上方，则 称曲
线是向下凸的；
设函数
y?f(x)
在（a，b）内可导，若曲线y?f(x)
位于其每点处切线的下方，则称曲
线是向上凸的。
（4）两个定理
定理1：设函数
y?f(x)
在（a，b）内可导，则曲线
y?f(x)在（a，b）内是向下（上）
凸的充要条件是导函数
f
?
(x)
（a，b）内递增（递减）；
定理2：设函数
y?f(x)
在（a，b）二阶可导， 则曲线
y?f(x)
在（a，b）内是向下（上）
凸的充要条件是
f
?
(x)?0(?0)

（5）琴生不等式
①如果函数f(x)在区间D上 是上凸函数，则对于区间内的任意
x
1
,x
2
,?,x
n< br>，有
x?
?
?x
n
1
[f(x
1
) ?
?
?f(x
n
)]?f(
1
)
，当且仅当
x
1
?x
2
???x
n
时，等号成立。
nn< br>②如果函数f(x)在区间上是下凸函数，则对于区间内的任意
x
1
,x
2
,?,x
n
，有
x?
?
?x
n
1[f(x
1
)?
?
?f(x
n
)]?f(
1< br>)
，当且仅当
x
1
?x
2
???x
n
时，等号成立。
nn

在最近几年的高考中，对凸函数的考查以各种形式出现。
例1 （2005年湖北省高考试题）在
y?2
x
,y?log
2
x,y?x
2
,y?cos2x
这四个函数中，
当
0?x< br>1
?x
2
?1
时，使
f(
x
1
?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)
恒成立的函数的个数是 （ ）
)?
22
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
分析：在凸函数的代数定义中，令
??1
得到严格上凸函数的条件

f(
x
1
?x
2
f(x
1
)? f(x
2
)
，本题考查的就是凸函数的定义，显然在以上四个函数中，只有
) ?
22
y?cos2x和y?log
2
x
在（0，1）上是严格上凸 的。

例2 苏教版课本探究题（1）对于任意的
x
1
,x2
?R
，若函数
f(x)?2
x
，试比较
f(
x
1
?x
2
)
2
f(x
1
)?f(x2
)
的大小关系；（2）对于任意的
x
1
、x
2
?(0,??)
，若函数
f(x)?lgx
，试比
2
x?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)
较
f(
1< br>的大小关系；
)
与
2
2
x?x
2
f(x< br>1
)?f(x
2
)
分析：由图像可知，函数
f(x)?2x
也是严格的下凸函数，则
f(
1
；
)?
22
x?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)
函数
f (x)?lgx
是严格的上凸函数，则
f(
1
。
)?
22
与此类似，1994年全国文科试卷，考查了一道有关凸性的题：已知函数
f(x)?log< br>a
x
x?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)
（
a?0
且
a?1,x?R
），若
x
1
,x
2
?R
，判断
f(
1
的大小，并加以证
)< br>与
2
2
与
明。

例3 （2005年北京试题） 对于函数f(x)定义域中任意
x
1
,x
2
(x
1
?x
2
)
，有如下结论：
（1）
f(x
1
?x< br>2
)?f(x
1
)?f(x
2
)
；
（2）
f(x
1
?x
2
)?f(x
1
)?f(x
2
)

f(x
1
)f(x
2
)
?0
； （3）
x
1
?x
2
（4）
f(
x
1
?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)
。当
f(x)?lgx< br>时，上述结论中正确结论的序号是
)?
22
___________。
分析：本题是考查函数
f(x)?lgx
的性质，其中④涉及函数的凸性，函数
f( x)?lgx
是
严格上凸的，则应满足
f(

例4 （2005年 孝感一模试题）已知四个函数（1）
f(x)?ax?b
，（2）
f(x)?x
2
?ax?b
，
（3）
f(x)?a
x
(a?1)
（4）
f(x)?log
a
x(0?a?1)
，其中满足性质
x< br>1
?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)
，本题结论为②③。
)?
22
x
1
??x
2
f( x
1
)??f(x
2
)
)?,(0???1)
的函数有__ ________个。
1??1??
1?
分析：本题考查的是函数凸性的一般定义， 不妨令
?p
，则
?1?p
，以上条
1??1??
件变形为< br>f(px
1
?(1?p)x
2
)?pf(x
1
)?( 1?p)f(x
2
)
，即函数下凸的条件，注意到一次函数即
f(
是 上凸的，又是下凸的，所以本题（1）（2）（3）（4）都满足条件。

例5 证明以下等式
（1）若a、b、c为正实数，求证：
abc
abc
a?b?c
?(abc)
3
.

（2）在△ABC中，求证：

sinA?sinB?sinC?
33
;

2
（3）设
x?0,y?0
，证明：
xlnx?ylny?(x?y)ln
x ?y
.

2
分析：本例是几个典型的构造凸函数证明不等式的问题，解决这一 类问题的关键是要构
造合理的凸函数。
证明：（1）考查函数
f(x)?xlnx( x?0)
，其二阶导数
f
?
(x)?
由下凸函数的琴生不等式得1
?0
，故其为下凸函数。
x
a?b?ca?b?c1
ln?( alna?blnb?clnc).
即
333
ln(a
a
b
b
c
c
)?ln(
a?b?c
a?b?c
).

3
a?b?c
a?b?c
).

3
而函数
y?lnx
单调递增，故
a
a
b
b
c
c
? (
而
a?b?c
3
?abc
，两式联立即得。
3
（2）证明：考查正弦函数
y?sinx
，在（0，
?
）上为凸函数，由上凸 函数的琴生不等
式得
sinA?sinB?sinCA?B?C?3
?sin?sin ?.

3332
33
.
即
sintan?sinB?si nC?
2
（3）证明：考查函数
f(x)?xlnx(x?0)
，其二阶导数
f
?
(x)?
1
?0
，故其为下凸函数，
x
所以
f(

x?yf(x)?f(y)x?yx?y
1
)?,即 ln?(xlnx?ylny).

22222
例6 （2005年全国高考题压轴题）
（1）设函数
f(x)?xlog
2
x? (1?x)log
2
(1?x)(0?x?1)
，求f(x)的最小值；
（ 2）设正数
p
1
,p
2
,p
3
,?,p
2
n
满足
p
1
?p
2
?p
3
??? p
2
n
?1
，求证：
p
1
log
2
p
1
?p
2
log
2
p
2
?p
3
log
2
p
3
??p
2
n
log
2
p
2
n
log
2
p
2
n
?? n.

分析：本题第二小问是这几年中考考查函数的凸性比较难的一道题，很多杂志都给出了< br>用数学归纳法等方法解决此问的解法，其实这道题的命题背景是利用函数的凸性，结合琴生
不等式 证明不等式的问题，在此仅证（2）。
证明：（2）考查函数
f(x)?xlog
2
x
，则
f
?
(x)?log
2
x?log
2
e,f
??
(x)?
1
log
2
e?0
，由
x
凸函数的导数定义，知函数
f(x)?xlog
2
x
为下凸函数，由下凸函数的琴生不等式得
f(
p
1
?p
2
? ??p
2
n
2
n
2
n
因为
p
1< br>?p
2
?p
3
???p
2
n
?1
代 入得
)?
f(p
1
)?f(p
2
)???f(p
2
n
)

p
1
log
2
p
1
?p
2
log
2
p
2
?
?
?p
2
n
log
2
p
2
n
1
f(
n< br>)?

22
n
11
p
1
log
2< br>p
1
?p
2
log
2
p
2
?
?
?p
2
n
log
2
p
2
n
.
即
n
log
2
n
?
222
n
整 理得：
p
1
log
2
p
1
?p
2
log
2
p
2
?p
3
log
2
p
3
???p
2
n
log
2
p
2
n
??n.

其实，我们可以编拟出很多这种利用函数的凸性，结合凸函数的琴生 不等式构造的不等
式，在此编写两则，供读者参考。
1、设
0
?
x
i
??
,i
?
1,2,
?
,n
。证明：
1
（1）
n
n
?
1
sinx
i
? sin(
n
i?1
sinx
i
x?[sin(
n
?
x);

i
n
1
x
i
]
n
.

n
i?1
i?1
提示：考查函数
f(x)?sinx
，其中（
0,?
）上为上凸函数；考查
f(x)?lnsinx
，其在
（2）
?
?
i?1
n
（
0,?
）上也为上凸函数，利用上凸函数的 琴生不等式可得。
2、已知正实数
a
i
(i
?
1,2,< br>?
,n)
满足
?
i?1
n
a
i
?1
，求证：
?
i?1
n
(a
i
?
11
)?(n?)
n
.

a
i
n
5?(x
2
?2)
2
1
提示：考查函数
f(x)?ln(x?),x?(0,1)
。因
f
??
(x)??0
，故该函数为下
x
[x(1?x
2
)]
2< br>凸函数，利用下凸函数的琴生不等式可得。