大同一中高中数学老师名单-高中数学竞赛初学辅导书
数列的其他应用辅导教案
学生姓名
授课教师
科组长签名
教学课题
性别
上课时间
教学主任签名
数列的其他应用
年级 高二 学科 数学
课时:3课时
第( )次课
共( )次课
教学目标 学会处理数列的应用题
教学重点
与难点
抽出数列的模型
一、知识讲解
1.数列应用题的解题思路
数列在实际生活中有着广泛的应用,因而涉及数列的应用问题非常
多,如人口增长问题、银
行利率问题、浓度配比问题、分期付款问题等等.解题时要充分挖掘题中所给条
件,建立适
当的数列模型求解.
解数列应用题的基本步骤可用图表示如下:
2.数列应用题常见模型
(1)等差模型:如果增加(或减少)的量是一个固定量时,该模型
是等差模型,增加(或减少)
的量就是公差.
(2)等比模型:如果后一个量与前一个量的比
是一个固定的数时,该模型是等比模型,这个
固定的数就是公比.
1
3.数列与其他知识的综合问题
数列的渗透力很强,它和函数、方程、不等式、三角函数、解
析几何等知识相互联系、优化
组合,是高考的重要内容之一.
这类问题往往综合性很强,认真审题、准确理解题意是解题的关键.
二、重点讲解
考向一:等差等比数列的综合应用
【典型例题】已知等差数列{
a
n}的前5项和为105,且
a
10
=2
a
5
.
(Ⅰ)求数列{
a
n
}的通项公式;
(Ⅱ)对任意
m∈N
*
,将数列{
a
n
}中不大于7
2m
的项
的个数记为
b
m
,求数列{
b
m
}的前
m
项和
S
m
.
【迁移训练1】已知{
a
n
}为等差数列,
且
a
3
=-6,
a
6
=0.
(1)求{
a
n
}的通项公式;
(2)若等比数列{
b<
br>n
}满足
b
1
=-8,
b
2
=
a<
br>1
+
a
2
+
a
3
,求{
b
n
}的前
n
项和公式.
2
考向二:等差数列模型的应用
实际问题——等差数列问题——数列运算——回答实际问题
【典型例题】某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000
万元.将其投入生产,到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的
相同,公司
要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金
d
万元,并将剩余资金全部投入下一
年生产
.设第
n
年年底企业上缴资金后的剩余资金为
a
n
万元.
(Ⅰ)用
d
表示
a
1
,
a
2
,并写出a
n
+1
与
a
n
的关系式;
(Ⅱ)若公司希
望经过
m
(
m
≥3)年使企业的剩余资金为4000万元,试确定企业每年上
缴资金
d
的值(用
m
表示).
3
考向三:等比数列模型的应用
【典型例题】从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行
生态环境建设,并以此发展旅
1
游产业,根据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比
上年减少,本年度当地旅游
5
业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作业,预
计今后的旅游业收入每年会
1
比上年增加.
4
(1)设
n
年内(本年度为第一年)总投入为
a
n
万元,旅游业总收入为
b
n<
br>万元,写出
a
n
,
b
n
的表
达式;
(2)至少经过几年,旅游业的总收入才能超过总投入?
【迁移训练1】某企业在
第1年初购买一台价值为120万元的设备
M
,
M
的价值在使用过程
4
中逐年减少.从第2年到第6年,每年初
M
的价值比上年初减少10万元;从第7年开
始,
每年初
M
的价值为上年初的75%.
(1)求第
n
年
初
M
的价值
a
n
的表达式;
(2)设
A
n
=
a
1
+
a
2
+…+
a
n,若
A
n
大于80万元,则
M
继续使用,否则须在第
n
年初对
M
更新.证
n
明:须在第9年初对
M
更新.
考向四:数列与函数、解析几何、不等式的综合应用
数列与函数方程、数列与解析几何、数
列与不等式的综合应用常在高考压轴题上出现,同时
考查学生分类讨论、数形结合、等价转换等数学思想
【典型例题】已知f(x)=log
a
x(a>0且a≠1),设f(a
1<
br>),f(a
2
),…,f(a
n
)(n∈N
*
)是首
项为4,公
差为2的等差数列.
(1)设a为常数,求证:{a
n
}是等比数列;
(2)若b
n<
br>=a
n
f(a
n
),{b
n
}的前n项和是S
n
,当a=2时,求S
n
.
三、重点题型
5
1.已知
f(x)?
________.
x
,x?0
,若
f
1
(x)?f(x),f
n?1
(x)?f(f
n
(x)),n?N
?
,则
f
2014
(x)
的表达式为<
br>1?x
2.数列
{a
n
}
满足
a
n?1?
1.四、课堂小测
1
,a
8
?2
,则
a<
br>1
?
________.
1?a
n
S
n
,
a
n?1
成等差数列,
a
1
?1
,已知数列
?
a
n
?
的前n项和为
S
n
,且
?1<
br>,函数
f(x)?log
3
x
。
n?N
?
,
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)设数列
{b
n
}
满足
b
n
?
52n
?5
的大小。
?
12312
1
,记数列
{b
n<
br>}
的前n项和为T
n
,试比较T
n
与
(n?3)[f
(a
n
)?2]
1n?1
2.在数列
?
a
n
?
中,
a
1
?1,a
n?1
?(1?)a
n
?n
n2
6
(1)设
b
n
?
a
n
,
求数列
?
b
n
?
的通项公式;
n
(2)求数列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
3
.已知等差数列
?
a
n
?
的公差大于0,且
a
3<
br>,a
5
是方程
x
2
?14x?45?0
的两根,数列
?
b
n
?
的前n
1
项的和为
S
n
,且
S
n
?1?b
n
.
2
(1)求数列
?
a
n
?
,
?
b
n
?
的
通项公式;
(2)记
c
n
?a
n
?b
n
,求证:
c
n?1
?c
n
.
五、课后练习
1.数列1,1+2,1+2+4,…,1+2+2
2
+…+2
n
-
1
,…的前n项和S
n
>1020,那么n的最
7
小值是( )
A.7 B.8 C.9 D.10[来源:学+科+网]
?
a
11
2.已知数阵
?
a
21
?
a
31
A.16
C.36
a
12
a
13
a
22
a
32
?
a<
br>23
?
中,每行的三个数依次成等差数列,每列的三个数也依次成等差
a
33
?
B.32
D.40
数列,若a
22
=4,则这九个数的和为( )
3
.设数列{a
n
}是公差不为0的等差数列,a
1
=1且a
1
,a
3
,a
6
成等比数列,则{a
n
}的前n项
和S
n
等于( )
n
2
7n
A.
8
+
8
n
2
3n
C.
2
+
4
n
2
7n
B.
4
+
4
D.n
2
+n
1
4.设数列{a
n
}满足a1
=2,a
n
+
1
=1-
a
,记数列{an
}的前n项之积为Π
n
,则Π
2 013
的值为( )
n
1
A.-
2
1
C.
2
B.-1
D.2
5.等差数列{a
n
}中,S
15
>0,S
16
<0,则
使a
n
>0成立的n的最大值为( )
A.6
C.8
B.7
D.9
2a
n
6.已知数列{a
n
}满足a
1<
br>=
3
,且对任意的正整数m,n都有a
m
+
n
=a<
br>m
+a
n
,则
n
等于( )
1
A.
2
3
C.
2
2
B.
3
D.2
8