上海浦东高二数学补课 圆锥曲线方程知识点总结

高二数学 东南数理化 高中数学教研组

1.圆锥曲线的两个定义：
（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：
椭圆中，与两个定点F
1
，F
2
的距离的和等于常数
2a
，且此常数
2a
一定要大于
F
1
F
2
，
当常数等于
F
1
F
2
时，轨迹是线段F
1
F
2
，
当常数小于
F
1
F
2
时，无轨迹；
双曲线中，与 两定点F
1
，F
2
的距离的差的绝对值等于常数
2a
，且此 常数
2a
一定要
小于|F
1
F
2
|，定义中的“绝 对值”与
2a
＜|F
1
F
2
|不可忽视。
若2a
＝|F
1
F
2
|，则轨迹是以F
1
，F< br>2
为端点的两条射线，
若
2a
﹥|F
1
F
2
|，则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
如（1）已知定点
F
1
(?3,0),F
2
(3,0)
，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是 椭圆
的是
A．
PF
B．
PF

1
?PF
2
?4
1
?PF
2
?6
C．
PF
D．
PF
1
1
?PF
2
? 10
2
?PF
2
2
?12
（答：C）；
（2）方程
(x?6)
2
?y
2
?(x?6)
2
? y
2
?8
表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）
（2）第二定义中 要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距
为分母”，其商即是离心率
e
。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离
与此点到相应准线距离间的关系 ，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。如
1
2
x
上的动点，点P在x 轴上的射影为M，点A的坐
2
1719
标是
(6,)
，则
P A?PM
的最小值是 _____ （答：）
2
2
(08宣武一模) 已知P为抛物线
y?
2.圆锥曲线的标准方 程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位
置的方程）：
x
2
y
2
（1）椭圆：焦点在
x
轴上时
2
?
2
?1
（
a?b?0
），
ab
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y
2
x
2
焦点在
y
轴上时
2
?
2
＝1（
a?b?0
）。
ab
方程
Ax
2
?By
2
?1
表示椭圆 （A，B，同正，A≠B）。
x
2
y
2
如（1）已知方程
??1
表示椭圆，则
k
的取值范围为____
3?k2?k
（答：
(?3,?)?(?
1
2
1
,2)
）；
2
（理科班）（2）若
x,y?R
，且
3x
2
?2y
2?6
，则
x?y
的最大值是____，
x
2
?y
2
的
最小值是___（答：
5,2
）
x
2
y< br>2
（2）双曲线：焦点在
x
轴上：
2
?
2
=1，
ab
y
2
x
2
（3）焦点在
y
轴 上：
2
?
2
＝1（
a?0,b?0
）。
ab（4）方程
Ax
2
?By
2
?1
表示双曲线 （A，B异号）。
x
2
y
2
5
（5）如（1）双曲线的离 心率等于，且与椭圆
??1
有公共焦点，则该双曲
94
2
x
2
线的方程_______（答：
?y
2
?1
）；
4（2）设中心在坐标原点
O
，焦点
F
1
、
F
2
在坐标轴上，离心率
e?
过点
P(4,?10)
，则C的方程为__ _____（答：
x
2
?y
2
?6
）
（3）抛物 线：开口向右时
y
2
?2px(p?0)
，开口向左时
y
2
??2px(p?0)
，开口
向上时
x?2py(p?0)
，开口向 下时
x??2py(p?0)
。
3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）
如:
y?2x
焦点
?
0,
?

2
22
2
的双曲线C
?
?
1
?
8
?
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22
（1） 椭圆：由
x
,
y
分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程x
2
y
2
??1
表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是_ _（答：
m?12?m
3
(??,?1)?(1,)
）
2
（2）双曲线：由
x
,
y
22
项系数的正负决定，焦点在系数为正的 坐标轴上；
（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。
特别提 醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F
1
，F
2
的
位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两
个 参数
a,b
，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物
线问题时，首先要判断开口方向；
c?a?b
。（2）在椭圆中，
a
最大 ，
a?b?c
，在双曲线中，
c
最大，
（3）不要思维定势认为圆锥曲线方程都是标准方程
4.圆锥曲线的几何性质：
2 22222
x
2
y
2
（1）椭圆（以
2
?
2
?1
（
a?b?0
）为例）：
ab
①范围：
?a?x?a,?b?y?b
；
②焦点：两个焦点
(?c,0)
；
③对称性：两条对称轴
x?0,y?0< br>，一个对称中心（0,0），四个顶点
(?a,0),(0,?b)
，其中长轴长为2< br>a
，短轴长为2
b
；
a
2
④准线：两条准线
x??
；
c
⑤离心率：
e?
c
，椭圆
?
0?e?1
，
e
越小，椭 圆越圆；
e
越大，椭圆越扁。
a
25
x
2
y
2
10
如（1）若椭圆，则
m
的值是__（答：3或）；
??1
的离心率
e?
3
5m
5
（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为 顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最
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小值为__（答：
22
）
x
2y
2
??1
（
a?0,b?0
）为例）： （2）双曲线（以
a
2
b
2
①范围：
x??a
或
x?a,y?R
；
②焦点：两个焦点
(?c,0)
；
③对称性：两条对称轴
x?0, y?0
，一个对称中心（0,0），两个顶点
(?a,0)
，
其中实轴长为2
a
，虚轴长为2
b
，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，< br>其方程可设为
x
2
?y
2
?k,k?0
；
a
2
④准线：两条准线
x??
；
c
⑤离心率：
e?
c
，双曲线
?
e?1
，等轴双曲线
?
e?2
，
e
越小，开口越
a
b
x
。
a
小，
e
越大，开口越大；
⑥两条渐近线：
y??
⑦双曲线焦点到渐近线的距离是
b
,垂足恰好在准线上
如（1）双曲线的渐近线方 程是
3x?2y?0
，则该双曲线的离心率等于______
（答：
1313
或）；
23
22
（2）双曲线
a x?by?1
的离心率为
5
，则
a:b
= （答：4或
1
）；
4
x
2
y
2
（3）设 双曲线
2
?
2
?1
（a>0,b>0）中，离心率e∈[
2
,2],则两条渐近线夹
ab
角θ的取值范围是________（答：
[< br>2
??
,]
）；
32
（3）抛物线（以
y?2px(p?0)
为例）：
①范围：< br>x?0,y?R
；②焦点：一个焦点
(
p
,0)
，
2
其中
p
的几何意义是：焦点到准线的距离；
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③对称性：一条对称轴
y?0
，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；
④准线：一条准线
x??
⑤离心率：
e?
p
；
2
c
，抛物线
?
e?1
。如设
a?0,a?R
，则抛 物线
y?4ax
2
的焦点坐
a
1
)
）；
16a
标为________（答：
(0,
x
2
y
2
5、点
P(x
0
,y
0
)
和椭圆
2
?< br>2
?1
（
a?b?0
）的关系：
ab
22
x
0
y
0
（1）点
P(x
0
,y
0
)
在椭圆外
?
2
?
2
?1
；
ab22
x
0
y
0
（2）点
P(x
0
,y
0
)
在椭圆上
?
2
?
2
＝1；
ab
22
x
0
y
0
（3）点
P(x
0,y
0
)
在椭圆内
?
2
?
2
?1
ab
6．直线与圆锥曲线的位置关系：
相交：
??0
?
直线与椭圆相交；图像法
如（1）若直线y=kx+2与双 曲线x
2
-y
2
=6的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是
_ ______（答：(-
15
,-1)）；
3
x
2
y2
??1
恒有公共点，（2）直线y―kx―1=0与椭圆则m的取值范围是______ _（答：
5m
[1，5）∪（5，+∞））；
x
2
y
2< br>??1
的右焦点直线交双曲线于A、B两点，若│AB︱＝4，（3）（3）过双曲线
1 2
则这样的直线有___条（答：3）
（2）相切：
??0
?
直线 与椭圆相切；
??0
?
直线与双曲线相切；
??0
?
直线与
抛物线相切；
（3）相离：
??0
?
直线与椭圆相离；
? ?0
?
直线与双曲线相离；
??0
?
直
线与抛物线相离。
特别提醒：
（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。
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如果直线与双曲线的 渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物
线的轴平行时,直线与抛物线相交 ,也只有一个交点；
x
2
y
2
（2）过双曲线
2
?
2
＝1外一点
P(x
0
,y
0
)
的直线 与双曲线只有一个公共点的情况
ab
如下：
①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的 区域内时，有两条与渐近线平行的直线
和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；
②P点 在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线
和只与双曲线一支相切的两条切 线，共四条；
③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一
条是切线；
④P为原点时不存在这样的直线；
（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个 公共点：两条切线和一条
平行于对称轴的直线。
如（1）过点
(2,4)
作 直线与抛物线
y
2
?8x
只有一个公共点，这样的直线有______（答：
2）；
x
2
y
2
（2）过点(0,2)与双曲线
??1
有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为___
916
（答：
?
?
?
?
445
?
?
,?
?
）；
3
?
?
3
?
?
2
y
2
（ 3）过双曲线
x??1
的右焦点作直线
l
交双曲线于A、B两点，若
AB?
4，则满足
2
条件的直线
l
有____条（答：3）； （4）对于抛物线C：
y?4x
，我们称满足
y
0
?4x
0
的点
M(x
0
,y
0
)
在抛物线的内部，若点
M(x
0
,y
0
)
在抛物线的内部，则直线
l
：
y
0
y?2(x?x
0
)
与抛物线C的位置 关系是
_______（答：相离）；
（5）过抛物线
y?4x
的焦点F
作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长
分别是
p
、< br>q
，则
2
2
2
11
??
_______（答 ：1）；
pq
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x
2
y
2
??1
的右焦点为
F
，右准线为
l
，设某直线
m
交其左支、右支和（6）设双 曲线
169
右准线分别于
P,Q,R
，则
?PFR
和
?QFR
的大小关系为___________(填大于、小于或
等于) （答：等于）；
（7）求椭圆
7x
2
?4y
2
?28
上的点到直线
3x?2y?16?0
的最短距离（答：
813
）；
13
（8）直线
y?ax?1
与双曲线
3x
2
?y
2
? 1
交于
A
、
B
两点。①当
a
为何值时，
A
、
B
分
别在双曲线的两支上？②当
a
为何值时，以AB为直 径的圆过坐标原点？（答：
①
?3,3
；②
a??1
）；
7、焦半径（圆锥曲线上的点P到焦点F的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，
转化到相应准 线的距离，即焦半径
r?ed
，其中
d
表示P到与F所对应的准线的距离。
??
x
2
y
2
如（1）已知椭圆
??1
上 一点P到椭圆左焦点的距离为3，则点P到右准线的距离
2516
为____（答：
3 5
）；
3
（2）已知抛物线方程为
y
2
?8x
， 若抛物线上一点到
y
轴的距离等于5，则它到抛物线的
焦点的距离等于____； < br>（3）若该抛物线上的点
M
到焦点的距离是4，则点
M
的坐标为___ __（答：
7,(2,?4)
）；
x
2
y
2
（4 ）点P在椭圆
??1
上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的
259
横坐标为____（答：
25
）；
12
（5）抛物线
y< br>2
?2x
上的两点A、B到焦点的距离和是5，则线段AB的中点到
y
轴的距
离为______（答：2）；
x
2
y
2
（6）椭 圆F为右焦点，在椭圆上有一点M，使
MP?2MF

??1
内有一点
P(1,?1)
，
43
之值最小，则点M的坐标为_______（答：
(
26
,?1)
）；
3
8、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两 焦点所构成的三角形）问题：常利用第一定
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义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点
P(x0
,y
0
)
到两焦点
F
1
,F
2的距离分别
?
x
2
y
2
2
S
S?bt an?c|y
0
|
，
??1
为
r
，焦点的面积为， 则在椭圆中，
,r?FPF
12
12
2
a
2
b< br>2
当
|y
0
|?b
即
P
为短轴端点时，S
max
的最大值为bc；
1
?
x
2
y2
2
对于双曲线
2
?
2
?1
的焦点三角形有：
S?r
1
r
2
sin
?
?bcot
。 < br>22
ab
如（1）短轴长为
5
，离心率
e?
2
的椭圆的两焦点为
F
1
、
F
2
，过
F
1
作直线交椭
3
圆于A、B两点，则
?ABF
2
的周长为__ ______（答：6）；
（2）设P是等轴双曲线
x
2
?y
2< br>?a
2
(a?0)
右支上一点，F
1
、F
2
是左右焦点，若
PF
2
?F
1
F
2
?0
， |PF
1
|=6，则该双曲线的方程为 （答：
x
2
?y
2
?4
）；
x
2
y
2
→→
??1
的焦点为F
1
、F
2
， 点P为椭圆上的动点，当PF（3）椭圆PF
1
<0
2
·
94
时，点P的横坐标的取值范围是 （答：
(?
3535
,)
）；
55
（4）双曲线的虚轴长 为4，离心率e＝
6
，F
1
、F
2
是它的左右焦点，若过F
1
2
的直线与双曲线的左支交于A、B两点，且
AB
是
AF
2
与
BF
2
等差中项，则
AB
＝
____ ______（答：
82
）；
（5）已知双曲线的离心率为2，F
1
、F
2
是左右焦点，P为双曲线上一点，且
?F
1
PF
2
?60
，
S
?PF
1
F
2
?
x< br>2
y
2
?123
．求该双曲线的标准方程（答：
??1
）；
412
9、圆锥曲线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：
（1）抛物线 以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；椭圆以过焦点的弦为直径的圆和
相应准线相离，双曲线以过焦点的 弦为直径的圆和相应准线相交
（2）设AB为焦点弦， M为与相应准线与x轴的交点，则∠AMF＝∠BMF；
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（3）抛物线设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A
1
，B
1
，若P为A
1
B
1
的
中点，则P A⊥PB；
（4）抛物线（椭圆，双曲线）设AB为焦点弦若AO的延长线交准线于C，则BC平行于x轴，反之，若过B点平行于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线。
10、弦长公式：若直线
y?kx?b
与圆锥曲线相交于两点A、B，且
x
1
,x
2
分别为A、
B的横坐标，则
AB
＝
1?k< br>2
x
1
?x
2
，特别地，抛物线中焦点弦（过焦点的弦），利 用
定义求解。
如（1）过抛物线y
2
=4x的焦点作直线交抛物线于A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
）两点，< br>若x
1
+x
2
=6，那么|AB|等于_______（答：8）；
（2）过抛物线
y
2
?2x
焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知 |AB|=10，O为坐
标原点，则ΔABC重心的横坐标为_______（答：3）；
1 1、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。
b
2
x
0
x
2
y
2
在椭圆
2
?
2< br>?1
中，以
P(x
0
,y
0
)
为中点的弦所 在直线的斜率k=－
2
；在双曲线
ab
ay
0
b
2
x
0
x
2
y
2
??1
中，以
P( x
0
,y
0
)
为中点的弦所在直线的斜率k=
2
； 在抛物线
a
2
b
2
ay
0
y
2
? 2px(p?0)
中，以
P(x
0
,y
0
)
为中点 的弦所在直线的斜率k=
p
。
y
0
x
2
y
2
??1
弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 如（1）如果椭圆
369
（答：
x?2y?8?0
）；
x
2
y
2
（2）已知直线y=－x+1与椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
相交于A、B两点，且线段
ab
AB的中点在直线L：x－2y= 0上，则此椭圆的离心率为_______（答：
2
）；
2
x
2< br>y
2
（3）试确定m的取值范围，使得椭圆
??1
上有不同的两点关于 直线
43
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高二数学 东南数理化 高中数学教研组
?
2132 13
?
y?4x?m
对称（答：
?
?
?
13
,
13
?
?
）；
??
特别提醒：在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验
??0
！

12．你了解下列结论吗？
22
22
（1）双曲线
x< br>?
y
?1
的渐近线方程为
x
?
y
?0
；
a
2
b
2
a
2
b
2
22
b
y
x
（2）以
y??x
为渐近线（即与双曲线?
2
?1
共渐近线）的双曲线方程为
2
a
ab
xy
x
2
y
2
?
为参数，≠0）。如与双曲线且过点
(?3,2
??1
有共同的渐近线，
??
?
(
?
22
916
ab
22
3)
4x
2
y
2??1
） 的双曲线方程为_______（答：
94
（3）中心在原点，坐标轴 为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为
mx
2
?ny
2
?1
；
（4）抛物线的通径为
2p
，焦准距为
p
；
（5）若O A、OB是过抛物线
y
2
?2px(p?0)
顶点O的两条互相垂直的弦，则 直线
AB恒经过定点
(2p,0)

13．动点轨迹方程：
（1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；
（2）求轨迹方程的常用方法：
①直接法：直接利用条件建立
x,y
之间的 关系
F(x,y)?0
；如已知动点P到定点F(1,0)
和直线
x?3的距离之和等于4，求P的轨迹方程．（答：
y
2
??12(x?4)(3?x? 4)
或
y
2
?4x(0?x?3)
）；
②待定系数法：已 知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方
程，再由条件确定其待定系数。如抛物 线顶点在原点，坐标轴为对称轴，过
?
1,4
?
点，
22
抛 物线方程为
_______ （答：
y?16x,x?
1
y
）；
4

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③定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义 直接写出动点的
轨迹方程；
如(1)由动点P向圆
x
2
?y
2
?1
作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60
0
，则
动点P的轨迹方程为 （答：
x
2
?y
2
?4
）；
（2）点M与点F( 4,0)的距离比它到直线
l：x?5?0
的距离小于1，则点M的轨迹方程是
___ ____ （答：
y
2
?16x
）；
(3) 一动圆与两圆⊙M：
x
2
?y
2
?1
和⊙N：
x
2
? y
2
?8x?12?0
都外切，则动圆圆心
的轨迹为 （答：双曲线的一支）；
(4) (08东城一模) 已知定圆
A
：
(x? 1)
2
?y
2
?16
，圆心为
A
，动圆
M
过点
B(1,0)
且
和圆
A
相切，动圆的圆心
M< br>的轨迹记为
C
.求曲线
C
的方程；
④代入转移法：动点P(x,y)
依赖于另一动点
Q(x
0
,y
0
)
的变化而变化，并且
Q(x
0
,y
0
)
又
在某已 知曲线上，则可先用
x,y
的代数式表示
x
0
,y
0
，再将
x
0
,y
0
代入已知曲线得要求的
轨迹方程。
如
?ABC
周长16,
A(?3,0)
,
B(3,0)< br>动点P是其重心,当
C
运动时,则P的轨迹方程为
9x
2
9y
2
__________（答：
??1
?
y?0
?
）
2516
12．圆锥曲线最值,定值,定点问题
基本方法:拿到表达式或和问题等价的代数形式
，0)
及椭圆
x
2
?3y
2
?5
，过点
C
的动直线与椭圆相交于
A， B
两点.(西城)已知定点
C(?1
若线段
AB
中点的横坐标是?
1
，求直线
AB
的方程；
2
(海淀文科)已知椭圆 的中心是坐标原点
O
，它的短轴长为
2
，右焦点为
F
，右准 线
l
与
x
轴相交于点
E
，
FE?OF
，过 点
F
的直线与椭圆相交于
A,B
两点， 点
C
和点
D
在
l
上，
且
ADBCx
轴。求椭圆的方程及离心率；
16.解析几何中求变量的范围问题:
基本方法:一般情况下最终都转化成方程是否有解或转 化成求函数的值域问题.或转化为解
不等式

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17.结合定义解题
(西城)已知两点
A(1，0)
，
B(b，0)
，若抛物线
y
2
?4x
上存在点
C
使
?ABC
为等边三角形，
则
b?
_________
x
2
y
2
( 朝阳)已知双曲线
C
1
:
2
?
2
?1(a?0,b ?0)
的左、右焦点分别为
F
抛物线
C
2
的
1、
F
2
，
ab
顶点在原点，它的准线与双曲线
C
1
的左准线重合，若双曲线
C
1
与抛物线
C
2
的 交点
P
满足
PF
2
?F
1
F
2
， 则双曲线
C
1
的离心率为
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