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高中数学函数奇偶性的性质及其应用专题辅导

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-14 19:26
tags:高中数学补习

叙述高中数学课程性质-xy高中数学题


高中数学函数奇偶性的性质及其应用

如果对于函数f(x)的定义 域内任意一个x,都有
f(?x)??f(x)
,那么函数f(x)叫做奇函
数;如果 对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有
f(?x)?f(x)
,那么函数f(x)叫做 偶函
数。
其判定的法则是:(1)看关系式是否出现
f(?x)??f(x )
(此为奇函数)或
f(?x)?f(x)
(此为偶函数),(2)看定义域是否关于 原点对称;(3)看图象是否关于原点对称(此
为奇函数)或关于y轴对称(此为偶函数)。显然,法则 (1),(2)与法则(3)是等价
的。也就是说,一个函数不满足这三条法则中的任何一条,它是非奇 非偶函数;如果函数
f(x)满足了法则(1),(2)或者满足法则(3),则可判定它的奇偶性。
因此,就奇偶性而言函数可以分为四类:①奇函数;②偶函数;③既是奇函数又是偶
函 数;④非奇非偶函数。
设f(x)是奇函数,如果当x>0时,
f(x)?g(x)
,则
?
g(x)(x?0)

f(x)?
?

?g(?x)(x?0)
?
(证明从略,类似情况略)。
设f(x)是奇函数,如果当x>0时,f(x)是增函数,则当x<0时,f(x)仍然是增函数(证
明从略,类似情况略)。

一. 判断函数的奇偶性
例1. 判定函数
f(x)?1?x
2
?x
2
?1
的奇偶性。
2
?
?
1?x?0
解:函数的定义域满足
?
2
,即为
{?1,1}
,函数的图象表示两个点:(-1,0),
?
x?1?0
?
(1,0)。其图象既关于原点对称,又关于y轴对称。从而函数f(x)既是 奇函数又是偶函数。

二. 求函数的函数值
a
x
?a
?x
例3. 设
f(x)??b?logc
(x?x
2
?1)?x
2
(其中a,b,c为常数),且f(?2)?5

2
试求f(2)的值。
a
x
?a
?x
解:设
g(x)??b?logc
(x?x
2
?1)
,易证g(x)是奇函数,故
2

g(?2)??g(2),f(x)?g(x)?x
2

(1)
?
f(?2)?g(?2)?4
于是
?

f(2)??g(?2)?4(2)
?
两式相加得:
f(2)?8?f(?2)?8?5?3
,即
f(2)?3


三. 函数的解析式
例3. 设f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时 ,
f(x)?lg(x?1)?2x
2
?1
。试求此函数
的解析式。
解:(1)当x=0时,
f(0)?f(?0)??f(0)
,于是
f(0)?0

(2)当x<0时,
?x?0
,则
f(? x)?lg(?x?1)?2(?x)
2
?1
,由于f(x)是定义在R上
的 奇函数,则


(x?1)?2x
2
?1

f(x)??f(?x)??lg?
此函数的解析式为
?
?lg?(x?1)?2x
2
?1(x?0)
?

f(x)?
?
0(x?0)

?
32
?
x?2x?1(x?0)

例4. 设
x?(?1,1)
,f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,
f(x)?g(x)?2x?l g(1?x)
,求f(x)
的表示式。
解:f(x)是奇函数,有
f(?x)??f(x)
;g(x)是偶函数,有
g(?x)?g(x)
,则
(?x)
?
f(x)?g(x)?2x?lg1

?

f(?x)?g(?x)?2(?x)?lg1(?x)
?
?
f(x)?g( x)?2x?lg(1?x)

?

?f(x)?g(x)??2x?lg(1?x)
?
两式相减得
f(x)?2x?
11?x
lg()

21?x

四. 解不等式
例5. 解不等式
(x?1)(x?2)(x?3)(x?4) ?(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)?120

解:设
f(x)? (x?1)(x?2)(x?3)(x?4)?(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)
,因
f(?x)?f(x)

则f(x)是偶函数,即f(x)的奇数次方为0,可设
f (x)?2x
4
?Ax
2
?48
,以x=1代入,得

2?1
4
?A?1
2
?48?(1?1)(1?2)(1?3)(1 ?4)?(1?1)(1?2)(1?3)(1?4)

解得A=70,即
f (x)?2x
4
?70x
2
?48
,原不等式可化为:

2x
4
?70x
2
?48?120


x
4
?35x
2
?36?0


(x
2
?36)(x
2
?1)?0

因而
x
2
?1,x??1
或x>1

例6. (20 04年上海卷)设奇函数f(x)的定义域是[-5,5]。当
x?[0,5]
时,f(x)的 图
象如图1,则不等式f(x)<0的解是______________。

图1
解:根据奇函数图象关于原点成中心对称的性质,画出函数
y?f(x)
在区 间[-5,5]
上的图象如图2,易知不等式
f(x)?0
的解是
(?2,0 )?(2,5]



图2

五. 在二项式的展开式中的应用
例7. 若
(1?2x?3x
2
?4x3
)
11
(1?2x?3x
2
?4x
3
)11
?a
66
x
66
?a
65
x
65
???a
1
x?a
0
,求
a
65
?a1
的值。
解:设
f(x)?(1?2x?3x
2
?4 x
3
)
11
(1?2x?3x
2
?4x
3
)
11
,则f(x)是偶函数

f(x)?a
66
x
66
?a
65
x
65
?
?
?a
1
x?a
0
的奇数次方的系数

a
65
?a
63
???a
3
?a
1
?0


a
65
?a
1
?0


六. 函数的奇偶性的综合应用题
ax
2
?1
例8. 已知函数
f( x)?(a?0,b?0)
是奇函数,当x>0时,f(x)有最小值2,其中
bx?c
5
b?N
?
,且
f(1)?

2
(1)试求f(x)的解析式;
(2)问函数f(x)的图象上是否存在关于点(1,0)对 称的两点,若存在,求出点的坐
标;若不存在,说明理由。
解:知函数
y? f(x)(a?0,b?0)
是奇函数,
f(?x)??f(x)
,则c=0
由于
f(x)?
a1a
a?15
x??2
2
,所以
a?b
2
,又
a?b
2
,又
f(1)??
,于是
bbx
b2
b
2b
2
?5b?2?0

1
解得
?b?2
,又
b?N
?

2
所以b=1,a=1
1
所以
f(x)?x?

x
x
2
?1
(2) 设点(x
0
,y
0
)存在关于点(1,0)对称点(
2?x
0
,y
0
),此两点均在函数
y?
x
x
0
2
?1(2?x
0
)
2
?1
,?y
0
?< br>的图象上,则
y
0
?

22?x
0
联立以上两式得
x
0
?2x
0
?1?0
,即
x0
?1?2
,从而,当
x
0
?1?2
时,得
2
y
0
?22
;当
x
0
?1?2
时,得y
0
??22

即存在点(
1?2,22
),(
1?2,?22
)关于点(1,0)对称。
湖南省永州市第一中学(425006)




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