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沙城中学补习班数学第一轮复习教案 第十九讲 3．3 等差数列
一．知识网络
1．定义：
a
n?1
?a
n
?d(
常数)(n?N
?
)
2．通项公式：
a
n
?a<
br>1
?(n?1)d
，推广：
a
n
?a
m
?(
n?m)d
a
n
?a
m
a
n
?a
1
d=
n?1
，d=
n?m
是点列（n，an）所在直线的斜率.
3
．前n项的和：
S
n
?
n(a
1
?a
n
)
dd
n(n?1)
?na
1
?d
?n
2
?
(a
1
?)n
22
22
变式：
S
n?
a
1
?a
n
n
2
4．等差中项：若a、b、c成等差数列，则b为a与c的等差中项:2b=a+c
5．性质:设{an}是等差数列，公差为d,
(1)若m+n=p+q,则am+an=ap+aq
(2)
an,an+m,an+2m……组成公差为md的等差数列.
(3) Sn, S2n-Sn,
S3n-S2n……组成公差为n2d的等差数列.
(4)当n=2k-1为奇数时，
S
n
=nak；
6．等差数列的判定方法(n∈N*)
(1)定义法: an+1-an=d是常数
(2)等差中项法:
(3)通项法:
7．
2a
n?1
?a
n
?a
n?2
a
n
?a
1
?(n?1)d
(4)前n项和法:<
br>S
n
?An
2
?Bn
a
1
,d,n,an
,S
n
知三求二, 可考虑统一转化为两个基本量;或利用数列性质,
三数:
a?d,a,a?d
,
四数
a?3d,a?d,a?d,a?3d
8.会从函数角度理解和处理数列问题.
二、经典例题
【例1】(1)若一个等差数列前3项和为34,后3项和为146,且所有项的和为390,
求这个数列项数.
(2)等差数列
解(1)
?
a
n?
的前10项的和
S
10
?100,
前100项的和
S
100
?10
,求前110项的和
S
110
.<
br>
Qa
1
?a
2
?a
3
?34,又a
n
?a
n?1
?a
n?2
?146
Qa
1
?a
n
?a
2
?a
n?1
?a
3?a
n?2
两式相加得:3(a
1
?a
n
)?180,a
1
?a
n
?60
由S
n
?
,
n(a
1
?a
n
)
?390,得n?13
2<
br>
(2)分析一:方程的思想,将题目条件应用公式表示成关于首项
a
1
与公差
d
的两个方程.
解法一:设
?
a
n
?<
br>的首项为
a
1
,公差
d
,则
11
1
?
?
d??
10a??10?9d?100
1
?
?
??
50
2
解得:
??
?
100a?
1
?
100?99d?10
?
a?
1099
1
?
?
1<
br>100?2
?
1
?S
110
?110a
1
??110?109d??110
2
分析二:运用前n项和变式:
S
n
?An
2
?Bn
,
?
a
?
S
解法二:
n
为等差数列,故可设
n
?An
2
?Bn
?
100A?10B?100
解得11
0A?B??1
?
10000A?100B?10
则
?
?
S
110
?110
2
A?110B?110(110A?B)??110
解法三：
?S
100
?S
10
?
(a
11
?a
100
)?90
??90?a
11
?a
100
??2
2
?S
110
?
110(a
1
?a
110
)(a
11
?a
100
)?110
???110
22
方法提炼:本题是等差数列的基本计算,要求熟练准确.
题(1)利用了等差数列的性质和前Sn公式的特点;
题(2)法一:转化为两个基本量,是重要的方法;法二利用了前n项和公式的函数式特征.
【例2】数列{an}的前n项和为Sn=npan（n∈N*）且a1≠a2，
（1）求常数p的值； （2）证明：数列{an}是等差数列.
分析：（1）注意讨论p的所有可能值.
?
S
1
n?1,
?
S?S
n?1
（2）运用公式an=
?
n
n?2.
求an.
解：（1）当n=1时，a1=pa1，若p=1时，a1+a2
=2pa2=2a2，∴a1=a2，与已知矛盾，
故p≠1.则a1=0.
1
当n=2时，a1+a2=2pa2，∴（2p－1）a2=0.
∵a1≠a2，故p=
2
.
1
（2）由已知Sn=
2
nan，a1=0.
11
n≥2时，an=Sn－Sn－1=
2
nan－
2
（n－1）an－
1.
a
n
a
n?1
n?2
a
3
2
n?1
aaa
∴
n?1
=
n?2
.则
n?2=
n?3
，…，
2
=
1
.(n≥3)
a
n
a
∴
2
=n－1.∴an=（n－1）a2，
an－an－1=a2. (n≥3)
又a2-a1=a2,所以从第二项起每项减去前项的差是同一常数.
故{an}是以a2为公差，以a1为首项的等差数列.
提炼拓展:
证明等差数列的方法:1.由定义an-an-1=d,
2.等差中项,3.通项公式an=pn+q,=Pn2=qn
例3．已知两个等差数列5
，8，11，…和3，7，11…都有100项，问它们有多少相同的项？并求出所
相同项的和。 分析一：两个等差数列的相同的项按原来的先后次序组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最
小公倍数。
解：设两个数列相同项按原来的前后次序组成的新数列为
∵数列5，8，11，…和3，7，11…的公差分别为3与4
?
a
n
?
，则
a
1
?11
?
?
a
n
?
的公差d?3?4?12,?a
n
?12n?1
又因为
数列5，8，11，…和3，7，11…的第100项分别是302和399，
?a
n
?12n?1?302即n?25.5,又n?N
?
,
所以两个数列有25个相同的项
。
其和
S
25
?11?25?
25?24
?12?387
5
2
分析二：由条件可知两个等差数列的通项公式，可用不定方程的求解法来求解。
解：设数列5，8，11，…和3，7，11…分别为
设
?
a
n?
,
?
b
n
?
,则a
n
?3n?2,
b
n
?4n?1
?
a
n
?
中的第n项与
?
b
n
?
中的第m项相同，即
4
m?1,又m,
n?N
?
,?设m?3r,(r?N
?
)得n?4r?1
3
3n?2?4m?1?n?
?
1?3r?100
解得:1?r?25(r?N
?
)
?
1?4r?1?100
根据题意得：
?
<
/p>
从而有25个相同的项，且公差为12，其和
S
25
?11?2
5?
25?24
?12?3875
2
(另法:由m=3r知第r个相同的项为b3r=12r-1…)
方法提炼：法1:设两数列中an=bm,求出n(或m)应满足的关系,再代回an(或bm)
法2:两等差数列中相同的项成等差数列,且公差是两等差数列公差的最小公倍数.
例4、等
差数列{an}中，前m项的和为77（m为奇数），其中偶数项的和为33，且a1-am=18，求这个数列的通项公式。
?
m?1
?
2
(a
2
?a
m?1
)
?33
?
2
?
?
m(a
1
?a
m
)
?77
?
?2
解法1:由已知
①
②
m?133
?,m?7
a
2
?a
m?1
?a
1
?a
m
2m77
又,两式相除得,
从而由②得：a1+a7=22, 又已知 a1-a7=18,可解得 a1=20,a7=2.
公差d=-3, an=-3n+23.
解法2:利用前奇数项和与中项的关系
?
S
2n?1
?(2n?1)a
n
?77
?
?
S
偶
?(n?1)a
n
?33
令m=2n-1，n∈N+
则
2n?177
?
n?133
, n=4, m=7,
an=11 ∴
∴ a1+am=2an=22, 又a1-am=18 ∴
a1=20，am=2
∴ d=-3 ∴ an=-3n+23
提炼拓展；利用求和公式和性质；转化为两个基本量行吗？行．
【研讨.欣赏】 已知数列
a
1
,a
2
,?,a
3
0
，其中
a
1
,a
2
,?,a
10
是首项
为1，公差为1的等差数列；
a
10
,a
11
,?,a
20
是公差为
d
的等差数列；
a
20
,a
21
,?,a
30
是公差为
d
2
的等差数列（
d?0
）
.
（1）若
a
20
?40
，求
d
；
（2）试写出
a
30
关于
d
的关系式，并求
a
30
的取值范围；
[解]（1）
a
10
?10.a
20
?10?10d?40,?d?3
.
（2）
a
30
?a
20
?10d?101?d?d
2
?
2
?
(d
?0)
，
a
30
2
?
?
1
?
3
?
?10
?
?
d?
?
?
?
2<
br>?
4
??
?
?
?
，
a?
?
7.5,??
?
当
d?(??,0)?(0,??)
时，
30
.
s
3
1
s
6
??
a
S
n
s3，则
s
12
( )
??
三、双基题目：1.设是等差
数列
n
的前
n
项和，若
6
3111
（A）
10
（B）
3
（C）
8
（D）
9
2.
已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是（ ）
A 5 B 4 C 3 D 2
3.等差数列{an}中，a10＜0，a11＞0且a11＞|a10|，Sn为其前n项和，则
( )
A. S10
?
0，S11
?
0 B.
S19
?
0，S20
?
0 C.
S5
?
0，S6
?
0 D.
S20
?
0，S21
?
0
4.(2020天津)已知数列
{a
n
}
、
{b
n
}
都是公差为1的等差数列，其
首项分别为
a
1
、
b
1
，且
a
1
?b
1
?5
，
*
a
1
、
b
1?N
*
．设
c
n
?a
b
n
（
n?N
），则数列
{c
n
}
的前10项和等于
A．55
B．70 C．85 D．100 （ ）
5.等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a2+a4+a15=p是一常数，则S13=
6.在等差数列
?
a
n
?
中,已知
a
4<
br>?9,a
9
??6,S
n
?63
,则n= .
简答:; 3. a11＞|a10|=－a10，∴a10+a11=a1+a20＞0.
∴S20=10（a1+a20）＞0.选 B
4.
a
b
n
?a
1
?(b
n
?1)?a
1
?b
1
?
(n?1)?1?n?3,S
10
?5(4?13)?85
1
5.
a2+a4+a15=p（常数），∴3a1+18d=p，即a7=
3
p.
13?
(a
1
?a
13
)
13
2
∴S13==13a7=
3
p.
6.设首项为
a
1
,公差为
d
,
则
?
9?a
1
?3d
?
a
1
?18
得
??
?
?6?a
1
?8d
?
d??3
3
?63?S
n
?18n?n(n?1)得:n?6或n?7
2