2013高中数学奥数培训资料之指数函数 对数函数 密函数

兰州成功私立中学高中奥数辅导资料
（内部资料）
§7指、对数函数,幂函数
指数、对数以及指数函数与对数函数，是高中代数非常重要的 内容。无论在高考及数学
竞赛中，都具有重要地位。熟练掌握指数对数概念及其运算性质，熟练掌握指数 函数与对数
函数这一对反函数的性质、图象及其相互关系，对学习好高中函数知识，意义重大。
一、 指数概念与对数概念：
指数的概念是由乘方概念推广而来的。相同因数相乘a ·a……a(n个)=a导出乘方，这里
的n为正整数。从初中开始，首先将n推广为全体整数；然后把 乘方、开方统一起来，推广
为有理指数；最后，在实数范围内建立起指数概念。
欧拉指 出：“对数源出于指数”。一般地，如果a(a>0,a≠1)的b次幂等于N，就是a=N，
那么数b 叫做以a为底N的对数，记作：log
a
N=b
其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
a
b
=N与b=logaN是一对等价的 式子，这里a是给定的不等于1的正常数。当给出b求
N时，是指数运算，当给出N求b时，是对数运算 。指数运算与对数运算互逆的运算。
二、指数运算与对数运算的性质
1．指数运算性质主要有3条：
a
x
·a
y
=a
x+y
,(a
x
)
y
=a
xy
,(ab)
x
=a
x
·b
x
（a>0,a≠1,b>0,b≠1）
2．对数运算法则（性质）也有3条：
（1）loga(MN)=logaM+logaN
（2）logaMN=logaM-logaN
（3）logaM
n
=nlogaM(n∈R)
(a>0,a≠1,M>0,N>0)
3．指数运算与对数运算的关系：
X=a
logax
；m
logan
=n
logam

4．负数和零没有对数；1的对数是零，即log
a
1=0；底的对数是1，即l og
a
a=1
5．对数换底公式及其推论：
b
n

换底公式：logaN=logbNlogba
推论1：logaN=(nm)logaN
mn
推论2：
三、指数函数与对数函数

函数y=a
x
(a>0,且a≠1)叫做指数函数。它的基本情况是：
（1）定义域为全体实数（-∞，+∞）
（2）值域为正实数（0，+∞），从而函数没有最大值与最小值，有下界，y>0
（3）对应关系为一一映射，从而存在反函数--对数函数。
（4）单调性是：当a>1时为增函数；当0 （5）无奇偶性，是非奇非偶函数，但y=a
x
与y=a
- x
的图象关于y轴对称
，
y=a
x
与y=
-
a< br>x
x
的图象关于x轴对称；y=a与y=logax的图象关于直线y=x对称。
（6）有两个特殊点：零点（0，1），不变点（1，a）
（7）抽象性质：f(x)=a(a>0,a≠1),
f(x+y)=f(x)·f(y),f(x-y)=f(x)f(y)
函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数，它的基本情况是：








（1）定义域为正实数（0，+∞）
（2）值域为全体实数（-∞，+∞）
（3）对应关系为一一映射，因而有反函数——指数函数。
（4）单调性是：当a>1时是增函数，当0x
（5）无 奇偶性。但y=log
a
x与y=log
(1a)
x关于x轴对称，y=lo gax与y=loga(-x)图象关于
y轴对称，y=logax与y=a
x
图象关 于直线y=x对称。
（6）有特殊点（1，0）,(a，1)
（7）抽象运算性质f(x)=logax(a>0,a≠1)，
f(x·y)=f(x)+f(y),
f(xy)=f(x)-f(y)
例题讲解
1．若f(x)=(a
x
(a
x
+√a))，求f(11001)+ f(21001)+f(31001)+…+f(10001001)




2．5
log25
等于：（ ）

（A）12 （B）(15)10
log25
（C）10
log45
（D）10
log52



3．计算



4．试比较(12
2002
+1)(12
2003
+1) 与(12
2003
+1)(12
2004
+1)的大小。



5．已知(a,b为实数)且f(lglog310)=5，则f(lglg3)的值是（ ）
（A）-5 （B）-3 （C）3 （D）随a,b的取值而定


6．已知函数y=((10
x
-10
-x
)2)(X∈R)
（1）求反函数y=f
-1
(x)
（2）判断函数y=f
-1
(x)是奇函数还是偶函数



7．已知函数f(x)=loga((1+x)(1-x))(a＞0,a≠1)
（1）求f(x)的定义域
（2）判断f(x)的奇偶性并给以证明；
（3）当a＞1时，求使f(x)＞0的x取值范围；
（4）求它的反函数f
-1
(x)



8．2
2003
的十进制表示是个P位数，5
2003
的十进位表示是个q位数，则p+q= 。

22
9．已知x-2x+loga(a-a)=0有一正根和一负根，求实数a的范围。



10．设y=log(12)[a+2(ab)-b+1](a＞0, b＞0)，求使y为负值的x的取值范围





2xx2x
课后练习
1．设a,b,c都是正数，且3
a
=4
b
=6
c
，那么（ ）
（A）(1c)=(1a)+(1b), (B)(2c)=(2a)+(1b), (C)(1c)=(2a)+(2b), (D)(2c)=(1a)+(2b)
2.F(x)= (1+((2(2-1)))·f(x)(x≠0)是偶函数，且f(x)不恒等于零，则f(x)( )
（A）是奇函数 （B）是偶函数
（C）可能是奇函数也可能是偶函数 （D）不是奇函数也不是偶函数
3．若f(x)=3
x
+5，则f
-1
(x)的定义域是（ ）
（A）(0,+∞) (B) (5,+∞) (C) (8,+∞) (D) (-∞,+∞)
4．求值：6
lg40
×5
lg36

5．已知m,n为正整数 ，a＞0,a≠1,且
logam+loga(1+(1m))+loga(1+(1(m+1))+… +loga(1+(1(m+n-1)))=lgam+logan。求m,n
6．X=((1(log(12)(13))+(1(log(15)(13))的值属于区间（ ）
（A）（-2，-1） （B）（1，2） （C）（-3，-2） （D）（2，3）
7．计算：（1）lg20+log10025 (2)lg5·lg20+(lg2)
8．若集 合{x，xy，lg(xy)}={0，∣x∣,y}，则log8(x
2
+y
2)= 。
9．若x∈(1,10)，则lg
2
x,lgx
2< br>,lglgx的大小顺序是：
（A）lg
2
x＜lgx
2
＜lglgx (B)lg2
x
＜lglgx＜lgx
2

（C）lgx＜lgx＜lglgx (D)lglgx＜lgx＜lgx
2222
2
x
10．计算：

11．集合{x∣-1≤log(1x)10＜-(12),x∈N}的真子集的个数是 。


12．求函数y=(14)
x2-2x-3
的单调区间。



13．已知指数函数f(x)=a
x
(a＞0,且a≠1)，求 满足f(3x
2
-4x-5)>f(2x
2
-3x+1)的x的取值。



14．解方程8
log6(x2-7x+15)
=5
log68



15．设有关于x的不等式lg (∣x+3∣+∣x-7∣)＞a
（1）当a=1时，解这个不等式；
（2）当a为何值时，这个不等式的解集为R？



课后练习答案

1.（B）；2.（A）；3.（B）；4.216；5.m=2，n=2；








6.（D）；7.（1）2，（2）1；8.13；9.（D）；
10.12；11.290
-1；12.单调增区间（-∞，1]，单调减区间[1，+∞）
13.当a＞1时，x＜-2或x＞3，当0＜a＜1时，-2＜x＜3；
14.x1=2,x2=5；
15.(1)x＜-3或x＞7，（2）a＜1












例题答案：
1． 分析：和式中共有1000项，显然逐项相加是不 可取的。需找出f(x)的结构特征，发
现规律，注意到11001+10001001=21001+ 9991001=31001+9981001=…=1，
而
f(x)+f(1-x)= (a
x
(a
x
+√a))+(a
1-x
(a
1-x
+√a))=(a
x
(a
x
+√a))+(a(a+a
x< br>·√a))=(a
x
(a
x
+√a))+((√a)(a
x< br>+√a))=(
(a
x
+√a)(a
x
+√a))=1规律找 到了，这启示我们将和式配对结合后再相加：
原式
=[f(11001)+f(1000 1001)]+[f(21001)+f(9991001)]+…+[f(5001001)+f(50110 01)]=(1+1+…+1)
5000个=500
说明：观察比较，发现规律f(x)+f(1-x)=1是本例突破口。
（1）取a=4就是19 86年的高中数学联赛填空题：设f(x)=(4
x
(4
x
+2))，那么和 式
f(11001)+f(21001)+f(31001)+…+f(10001001)的值= 。
（2）上题中取a=9，则f(x)=(9
x
(9
x
+3) )，和式值不变也可改变和式为求
f(1n)+f(2n)+f(3n)+…+f((n-1)n).
x
（3）设f(x)=(1(2
+√2))，利用课本中推导等差数列前n项和的 方法，可求得
f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)的值为 。这就是2003年春季上海高考数学第12题。
2．解：∵5
log25
=(10 2)
log25
=(10
log25
)(2
log25
)= (15)×10
log25

∴选（B）

说明：这里用到了对数恒等式：a
logaN
=N(a＞0,a≠1,N＞0)
这是北京市1997年高中一年级数学竞赛试题。

3．解法1：先运用复合二次根式化简的配方法对真数作变形。

解法2：利用算术根基本性质对真数作变形，有


说明：乘法公式的恰当运用化难为易，化繁为简。

4．解：对于两个正数的大小，作商与1 比较是常用的方法，记12
2003
=a＞0，则有

((12+1)( 12+1))÷((12+1)(12+1))=((a12)+1)(a+1)·((12a+1)(a+1) )=((a+12)(12a+1))
(12(a+1)
2
)=((12a
2
+145a+12)(12a
2
+24a+12))＞1
故得：((1 2
2002
+1)(12
2003
+1))＞((12
2003+1)(12
2004
+1))

5． 解：设lglog310=t，则lglg3=lg(1log310)=-lglog310=-t
而f(t)+f(-t)=
2004

∴f(-t)=8-f(t)=8-5=3

说明：由对数换底公式可推 出logab·logba=(lgblga)·(lgalgb)=1，即logab=(1logba)，因
而lglog310与lglg3是一对相反数。设中的部分
，则g(x)为奇函数，g(t) +g(-t)=0。这种整体处理的思想巧用了奇函数
性质使问题得解，关键在于细致观察函数式结构特 征及对数的恒等变形。

6．分析：（1）求y=(10
x
-10
-x)
2的反函数首先用y把x表示出来，然后再对调x,y即得到
y=f
-1
(x)；
（2）判断函数y=f
-1
(x)的奇偶性要依据奇函数或偶函数的定义，看当X∈R时是否有
f(-x)=-f(x)或(f(-x)+f(x)=0)
或f(-x)=f(x)
恒成立。
解：（1）由y=((10-102)(X∈R)可 得2y=10-10，设10=t，上式化为：2y=t-t两边
乘t，得2yt=t
2
-1整理得：t
2
-2yt-1=0，解得：
x-x)x-xx-1
由于t=10
x
＞0，故将舍去，得到：将t=10
x
代入上式，
即 得:


所以函数y=((10
x
-10
-x
)2)的反函数是
(2)由得:

∴f-1(-x)=-f(x)

所以，函数 是奇函数。

说明：①从本题求解及判断过程可以得到更一般的结论： 函数y=((a
x
-a
-x)
2)(X∈R,a＞0,a≠1)
的反 函数是，它们都是奇函数。当a=2,3,10或e时就构造了新的特殊的题
x-x
目。进一步 还可以研究它们的单调性，如1992年高考数学试题：函数y=((e-e)2)的反函数
（A）是奇函数，它在(0,+∞)上是减函数；
（B）是偶函数，它在(0,+∞)上是减函数；
（C）是奇函数，它在(0,+∞)上是增函数；
（D）是偶函数，它在(0,+∞)上是增函数。
②函数y=((a
x
-a-x)
2)是由y=f(x)=a
x
构造而得，全日制普通高级中学教科书（试验 修订本。
必修）《数学》第一册（上）（人民教育出版社中学数学室编著）P107复习参考题二B组< br>第6题：设y=f(x)是定义在R上的任一函数，
求证：（1）F1(x)=f(x)+f(-x)是偶函数；
（2）F2(x)=f(x)-f(-x)是奇函数。
而f(x)=F1(X)+F2(x)，它 说明，定义在R上的任一函数都可以表示成一个奇函数(F2(x))
与一个偶函数(F1(x))的代 数和。从这个命题出发，由f(x)=a就可以构造出诸多奇函数，比
如，y=((a
x
-a
-x)
2)；y=((a
x
-a
-x)
(a
x
+a
-x
))=((a
2x
-1)(a
2x
+1 ))等等用自然对数的底e≈2.71828…（无
理数）作底，作函数sh(x)=((e
x
-e
-x
)2),ch(x)=((e
x
+e
-x)
2),th(x)=((e
x
-e
-x)
(e
x
+e-x))
它们分别叫做双
曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数，它们具有如下性质：








(1)ch(x)-sh(x)=1;
(2)sh(x+y)=sh(x)·ch(y)+ch(x)·sh(y);
(3)ch(x+y)=ch(x)·ch(y)+sh(x)·sh(y);
(4)th(x+y)=((th(x)+th(y))(1+th(x)·th(y)));
22
x
(5)ch(-x)=ch(x);
(6)sh(-x)=-sh(x);
(7)th(-x)=-th(x).
令x=y，则有
(8)sh(2x)=2sh(x)·ch(x);
(9)ch(2x)=ch(x)+sh(x)
其中①⑧⑨合起来，就是课本P107的第8题。
7． 解：（1）由对数的定义域知((1+x)(1-x))＞0
解这个分式不定式，得：(x+1)(x-1)＜0,-1＜x＜1
故函数f(x)的定义域为（-1，1）
（2）f(-x)=loga((1-x)(1+x)) =log((1+x)(1-x))
-1
=-loga((1+x)(1-x))=-f(x)
由奇函数的定义知，函数f(x)是奇函数。
（3）由loga((1+x)(1-x))＞0＜＝＞loga((1+x)(1-x))＞loga1，
22

因为a＞1，所以由对数函数的单调性知((1+x)(1-x))＞ 1，考虑由（1）知x＜1,1-x＞0，
去分母，得：1+x＞1-x,x＞0故：0＜x＜1
所以对于a＞1，当x∈(0,1)时函数f(x)＞0
（4）由y=loga(( 1+x)(1-x))得：((1+x)(1-x))=a应用会比分比定理得：
((1+x)+(1- x))((1+x)-(1-x))=((a+1)(a-1))即:(22x)=((a+1)(a-1))
∴x=((a
y
-1)(a
y
+1))交换x,y得：
y=((a
x
-1)(a
x
+1))，它就是函数f(x)=l oga((1+x)(1-x))的反函数f
-1
(x)即f
-1
(x)=( (a
x
-1)(a
x
+1))
说明：（1）函数y=loga ((1+x)(1-x))与y=((a-1)(a+1))是一对反函数。取a=e，函数
y=((e
x
-1)(e
x
+1))的反函数的定义域是 。这就是89年的高考题目。
（2）已知f(x)=lg((1-x)(1+x)),a,b∈( -1,1)求证：f(a)+f(b)=f((a+b)(1+ab))（P89习题2.8
第4题）可 以看作该类函数的性质。
xx
yyyy
y
（3）y=a与y=loga x；y=((a-a)2)与
xx-x
；y=((a-1)(a+1))与
xx
y=loga((1+x)(1-x))这三对互反函数及其性质需要理解记忆。

8．解：∵2
2003
是个P位数,
∴10
p-1
＜2
2003
＜10
p
①
∵5
2003
是个q位数，
∴10
q-1
＜5
2003
＜10
q
②
①×②得:10＜(2×5)＜10
即10
p+q-2
＜10
2003
＜10
p+q
③
∴2003=p+q-1
∴p+q=2004
9．解：方程有一正根一负根的充分必要条件是：
loga(a
2
-a)＜0（由韦达定理而来）①
由a＞0,a≠1,a
2
-a=a(a-1)＞0,可得a＞1 ②，从而由loga(a2
-a)＜0=loga1得:a
2
-a＜1,a
2
-a-1＜ 0，
p+q-22003p+q
解得: ③，由②③得：
10．解：∵(12)＜1,要使y＜0,只要
a
2x
+2(ab)
x
-b
2x
+1＞1，
即a
2x
+2(ab)
x
-b
2x
＞0
→b
2x
[(ab)
2x
+2(ab)
x
-1]＞0

→[(ab)
x
]
2
+2(ab)
x
-1＞0
→
→∵
→.


1°当a＞b＞0时,ab＞1,
2°当b＞a＞0时,0＜ab＜1,
3°当a=b＞0时，x∈R。

；