云南省云大附中2020届高三数学 考前60天辅导 第1篇 知识、方法10 概率与统计 理

云南省云大附中2020届高三考前60天理科数学辅导：
第1篇 知识、方法 10 概率与统计
十、概率与统计
1．什么是抽样方法？常用的抽样方法有哪些？你能根据实际情况合理选择。
练习 ①某校高 三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男
生中任意抽取25人，从女 生中任意抽取20人进行调查.这种抽样方法是
A.简单随机抽样法 B.抽签法 C.随机数表法 D.分层抽样法
②某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校 学生中随机抽取1
名， 抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三
年级抽取的学 生人数为（ ）
A．24 B．18 C．16 D．12
③某初级 中学有学生
270
人，其中一年级
108
人，二、三年级各
81人，现要利用抽样方法
抽取
10
人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽 样和系统抽样三种方案，使用简
单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1
，
2
，…，
270
；使
用系统抽样时，将学生统一随 机编号
1
，
2
，…，
270
，并将整个编号依次分为
10
段.如果抽
得号码有下列四种情况：






①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；
②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；
③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；
④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；
关于上述样本的下列结论中，正确的是 （ ）
A．②、③都不能为系统抽样

B．②、④都不能为分层抽样

C．①、④都可能为系统抽样 D．①、③都可能为分层抽样
2.众数,中位数,平均数,方差,标准差的概念,公式和性质你还清楚 吗?能正确进行计算吗?
你能利用统计学的观点对这些特征数作出合理解释吗?
练习某企业职工的月工资数统计如下：
月工资数（元） 10000 8000
得此工资人数 1 3
5500
3
2500
8
1600
20
1200
35
900
45
600
3
500
2
经计算，该企业职工工资的平均值为 元，中位数是_____元，众数是_______元；
方差是 .
如何选 取该企业的月工资代表数呢？企业法人主张用平均值，职工代表主张用众数，监
管部门主张用中位数；
请你站在其中一立场说明理由：________________________________ ______________。
3.频率与频数之间有什么关系?你会根据频率分布表画频率分布直 方图吗?你能根据样本
频率分布直方图对总体做出估计吗?
练习.为了调研高三教学状况，某 市教研机构组织全市高三5000名考生进行联考，为了
了解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干 名学生在这次测试中的数学成绩，制成如
下频率分布表：

（Ⅰ）根据上面频率分布表，推出①，②，③，④处的数值分别为 ，
， ， ；

（Ⅱ）在所给的坐标系中画出区间[80，150]上的频率分布直方图；
（Ⅲ）根据题中信息估计总体：
（ⅰ）120分及以上的学生数；（ⅱ）平均分；中位数;众数;
（ⅲ）成绩落在［126，150］中的概率.
4.你能区分随机事件,互斥事件,对立事件 吗?你会灵活地运用对立事件的概率公式求解
一些复杂概率问题吗?
练习:现有8名奥运会志 愿者，其中志愿者
A
1
，A
2
，A
3
通晓日语，< br>B
1
，B
2
，B
3
通晓俄语，
C
1
，C
2
通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．
（Ⅰ）求
A
1
被选中的概率；（Ⅱ）求
B
1
和C
1
不全被选中的概率．
5.什么是几何概型?几何概型和古典概型之间有什么 联系和区别?求几何概型问题的基本
步骤是什么?
练习66. 如图所示，墙上挂有一边长为
a
的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以
正方形的顶点为圆心，半径为
a
的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击
2
中木板上每个点的可能性 都一样，则他击中阴影部分的概率是
A．
1?
C．
1?
?
4


B．
?

4
?
8
D．与
a
的取值有关
6.(理科)样本的 期望,方差和标准差分别反映了样本数据的什么特征?你能根据样本的期
望,方差和标准差对总体的情况 进行估计吗?
练习. 甲、乙两位学生参加数学竞赛培训.现分别从他们在培训期间参加的若干次预 赛成
绩中随机抽取8次，用茎叶图记录如下：
甲
98
8421
53
7
8
9

5
0035

025
乙

（Ⅰ）现要从甲、乙两位学生中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由；
（Ⅱ）若将频率视为概率，对甲同学在今后的
3< br>次数学竞赛成绩进行预测，记这
3
次成绩
中高于
80
分的次数 为
?
，求
?
的分布列及数学期望
E?
.
练习:现 有
A,B
两个项目，投资
A
项目
100
万元，一年后获得的 利润为随机变量
?
1
（万
元），根据市场分析，
?
1
的分布列为：

?
1

P

12

11.8

1

2
11.7

1

3
1

6

投资
B
项目
100
万元，一年后获得的利润与
B
项目产品价格的调整有关,已知
B
项目产
品价格在一年内进行2
次独立的调整，且在每次调整中价格下降的概率都是
p(0?p?1)
.
经测算评估
B
项目产品价格的下调与一年后获得相应利润的关系如下表：
B
项目产品价格一年内下调次数
?
（次）
0

13

1

2

2

一年后获得的利润（万元）

12.5

设随机变量
?< br>2
表示投资
B
项目
100
万元一年后的利润.
(I) 求
?
2
的概率分布和数学期望
E
?
2
;
(II) 若
0?p?0.3
，根据投资获得利润的差异，你愿意选择投资哪个项目？
练习.受国际金融危机的影响，某外向型企业产品出口量严重下滑，为此有关专家提出两种
解决 方案，每种方案都需分两年实施；

方案一：预计当年可以使企业产品出口量恢复到金融 危机前的
X
1
倍，第二年可以使企业
产品出口量为上一年产量的
X< br>2
倍，
X
1
和
X
2
的分布列分别是：
X
1

P


1.0

0.3

0.9

0.3

0.8

0.4

X
2


P


1.25

1.0

0.5

0.5


方案二：预计当年可以使企业产品出口量恢复到金融危机前的Y
1
倍，第二年可以使企业
产品出口量为上一年产量的
Y
2倍，
Y
1
和
Y
2
的分布列分别是：
Y
1


1.2

1.0

0.8

0.3

0.5

Y
2


1.2

1.0

P

0.2

P

0.4

0.6

实施每种方案，第二年与第一年相互独立。令
?
i
(i?1,2)
表示方案< br>i
实施两年后企业产
品出口量达到金融危机前企业产品出口量的倍数．
（1）写出
?
1
、
?
2
的分布列；
（2）实施哪种方案，两年后企业产品出口量超过金融危机前企业产品出口量的概率更大？
（ 3）不管哪种方案，如果实施两年后企业产品出口量达不到金融危机前企业产品出口量，
预计可带来效益 10万元；两年后企业产品出口量恰好达到金融危机前企业产品出口量，预
计可带来效益15万元；企业 产品出口量超过金融危机前企业产品出口量，预计可带来效益
20万元；问实施哪种方案所带来的平均效 益更大？
7. (理科)你对n次独立重复试验的模型及二项分布熟练吗?会应用吗? 二项分布的期望
和方差计算公式记住了吗?了解超几何分布模型的特点吗?
练习.如图，面积 为
S
的正方形
ABCD
中有一个不规则的图形
M
，可按下面 方法估计
M
的面积：在正方形
ABCD
中随机投掷
n
个点， 若
n
个点中有
m
个点落入
M
中，则
M
的面
积的估计值为
m
并向正方形
ABCD
中
S
. 假设 正方形
ABCD
的边长为2，
M
的面积为1，
n
随机投掷< br>10000
个点，以
X
表示落入
M
中的点的数目．
（I）求
X
的均值
EX
；

（II）求用以 上方法估计
M
的面积时，
M
的面积的估计值与实际值之差在区间
(? 0.03，????)
内的概率．
附表：
P(k)?
?
C
t?0
k
t
10000
?0.25
t
?0.75
1 0000?t

k

P(k)

2424

0.0403

2425

0.0423

2574

0.9570

2575

0.9590

8．什么叫相关关系？什么叫线性相关关系？你会判断两个变量之间是 否存在线性相
关关系吗？你能根据给出的数据求线性回归方程吗？你了解独立检验（2×2列联表）的基本思想，方法及其简单应用吗？相关系数⑴
r
>0时，变量
x,y
正 相关；
r
<0时，
变量
x,y
负相关；⑵
|r|
越接近于1，两个变量的线性相关性越强；
|r|
接近于0时，
两个变量之间几乎不 存在线性相关关系。随机变量
K
越大，说明两个分类变量，关系
越强，反之，越弱。
练习. 一般来说，学生的数学成绩和物理成绩之间存在着一定的相关性.现对某次考试8
名学 生的数学成绩与物理成绩统计如下:
学生编号
数学分数
x

物理分数
y


①根据上表数据说明物理成绩
y
与 数学成绩
x
之间是否具有线性相关性？如果具有线性
?
?
相关性，求
y
与
x
的线性回归方程
y
=
bx?a
（系 数精确到0.01）;如果没有,说明理由.
2
1
60
72
2
65
77
3
70
80
4
75
84
5
80
88
6
85
90
7
90
93
8
95
95
参考数据：
x?77.5
，
y?85
，
?
(x
i
?x)?1050
，
?
(y
i
?y)
2
? 456
，
2
i?1
i?1
8
8
?
(x< br>i?1
8
i
?x)(y
i
?y)?688
，
1050?32.4,456?21.4,550?23.5
。
②若规定85分以上(包括85分)为优秀.根据上表完成下面的2×2列联表：

物理成绩优秀
物理成绩不优秀
合计
数学成绩优秀



数学成绩不优秀



合计



根据题①中表格的数据计算，有多少的把握，认为学生的数学成绩与物理成绩之间有关
系？
参考:
独立性检验临界值表
P(K
2
?x
o
)

0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
x
o

0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
9.你了解正态分布曲线的特点及其曲线所表示的意义吗? 正态总体的概率密度函
1
2
??
?
(x?
?
)
2
2
?
2< br>数：
f(x)?e,x?R,
式中
?
,
?
是参数，分 别表示总体的平均数（期望值）与
标准差； ①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，关于直线x＝
?
对
称；③曲 线在x＝
?
处达到峰值
1
?
2
?
；④曲线与x轴之 间的面积为1；
① 当
?
一定时，曲线随
?
质的变化沿x轴平移；
② 当
?
一定时，曲线形状由
?
确定：
?
越大，曲 线越“矮胖”，表示总体分布越集中；
?
越小，曲线越“高瘦”，表示总体分布越分散。 < br>注：P
(
?
?
?
?x?
?
?
?)
=0.6826；P
(
?
?2
?
?x?
?< br>?2
?
)
=0.9544
P
(
?
?3?
?x?
?
?3
?
)
=0.9974
2< br>2
练习①设两个正态分布
N(
?
1
，
?
1< br>)(
?
1
?0)
和
N(
?
2
，?
2
)(
?
2
?0)
的密度函数图像如
图所示．则有
A．
?
1
?
?
2
,
?
1
?
?
2
B．
?
1?
?
2
,
?
1
?
?
2
D．
?
1
?
?
2
,
?
1
?< br>?
2
C．
?
1
?
?
2
,
?
1
?
?
2

②已知
?
~N(0,
?
2
)
,且
P(?2?
?
?0)?0.4
,则
P(
?
?2)?

A.
0.1
B.
0.2
C.
0.3
D.
0.4

10.程序框图是新增内 容,你熟练掌握程序框图的三个基本结构吗?了解几种基本算
法语句的含义吗?
条件语句：① ②
IF 条件 THEN IF 条件 THEN
语句体 语句体1
END IF ELSE
语句体2
END IF

⑶循环语句：①当型： ②直到型:
WHILE 条件 DO
循环体 循环体
WEND LOOP UNTIL 条件

注：循环结构分为：Ⅰ．当型（while型） ——先判断条件，再执行循环体；
Ⅱ．直到型（until型）——先执行一次循环体，再判断条件。


练习 ①右面的程序框图，
输入a,b,c
如果输入三个实 数
a?5
0.6
,b?0.6
5
,c?log
0.5
5
，
则输出的数是
A.
a
B.
b
C.
c
D.
a,b,c

x=a
是
x=b
是
x=c
开始
b>x
否
c > x
否
②为了在运行下面的程序之后得到输出
y?25
，

键盘输入
x
应该是 .
INPUT
x

IF
x?0
THEN
y?(x?1)?(x?1)

ELSE
y?(x?1)?(x?1)

END IF
PRINT
y

END
11.复数为实数,虚数,纯虚数的充要条件分别是什么?
复数相等的充要条件是什么?能熟练进行复数的代数形
式的四则运算吗?能理解复数的代数形式的加,减法运算
的几何意义吗?
?
1?i
?
2
?2i,
?
1?i
?
2
?? 2i,
1?i
??i,
1?i
?i

1?i1?i
z
2
?2z
练习：已知复数
z?1?i
，则=（ ）
z?1
A．
2i


B．
?2i
C．
2
D．
?2