高中数学包括的几大内容-高中数学直线截距式
2020年泉州七中复读段高三年上学期数学周考试卷
(理科)
(考试时间:120分钟 试卷分值:150分)
第Ⅰ卷 (选择题 共50分)
一、选择题:本小题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符
合题目要求的.请把答案填涂在答题纸的相应位置.
1.
特称命题“
?
实数
x
,使
x?1?0
”的否定可以写成(
)
A.若
x?R,则x?1?0
C.
?x?R,x?1?0
2
2
2
B.
?x?R,x?1?0
D.
?x?R,x?1?0
( )
2
2
12?x?x
2
2.函数
y?
的定义域为
lg(2x?2)
A.
[?3,4]
B.
(1,4]
C.
(1,)?(,4]
D.
[?3,)?(,4]
x
3
2
3
2
3
2
3
2
1
??
3.已知
p
:不等式x
2
?2x?m?0
的解集为R;
q
:指数函数
f?
x
?
?
?
m?
?
为增函数,
4??
则p是q成立的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分条件也不必要条件
4.设
f(x)
是R上的任意函数,则下列叙述正确的是
(A)
f(x)f(?x)
是奇函数
(B)
f(x)f(?x)
是奇函数
(C)
f(x)?f(?x)
是偶函数 (D)
f(x)?f(?x)
是偶函数
5.有限集合
S
中元素的个数记做
card(S)
,设
A,B
都为有限集合,给出下列命题:
①AIB??
的充要条件是
card(AUB)?card(A)?card(B)
;
②
A?B
的必要条件是
card(A)?card(B)
;
③
A?B
的充要条件是
card(A)?card(B)
;
④
A?B
的充要条件是
card(A)?card(B)
;
其中真命题的序号是
A.③④ B.①② C.①④
D.②③
22
6.已知命题
p
:“?
x
∈[1,2],<
br>x
-
a
≥0”,命题
q
:“?
x
∈R,x
+2
ax
+2-
a
=0”.若命
题“
p且
q
”是真命题,则实数
a
的取值范围为
( )
A.
a
≤-2或
a
=1
B.
a
≤-2或1≤
a
≤2 C.
a
≥1
D.-2≤
a
≤1
7.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据
.现准备用下列四个函数中
的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是( )
x
y
1.95
0.97
3.00
1.59
3.94
1.98
5.10
2.35
6.12
2.61
x
A.
y?2
B.
y?log
2
x
C.
y?
1
2
(x?1)
D.
y?2.61cosx
2
?
log
2
(1?
x),x?0
,则
f(2009)
的值为
f(x?1)?f(x?2),x?
0
?
C.-1 D.2
8.定义在R上的函数
f(x)
满足
f(x)
=
?
( )
A. 1
9.已知
f(x)?
?
B. 0
?
(3
a?1)x?4a,x?1
是
(??,??)
上的减函数,那么
a
的
取值范围是
?
log
a
x,x?1
1
3
111<
br>(D)
[,1)
737
10.如图,设点
A
是单位
圆上的一定点,动点
P
从点
A
出发在圆上按逆时针方向旋转一周,
(
A)
(0,1)
(B)
(0,)
(C)
[,)
点
P
所旋转过的弧
AP
的长为<
br>l
,弦
AP
的长为
d
,则函数
d?f(l)
的图象大致是( C )
11.已知函数
①
f(x)?3lnx
;②
f(x)?3e
cosx
;③
f
(x)?3e
;④
f(x)?3cosx
.其中对
x
于
f(
x)
定义域内的任意一个自变量
x
1
都存在唯一的自变量
x
2
,使f(x
1
)f(x
2
)
=3成立
的函数是
A.③
B.②③
C.①②④
D.④
( )
12. 已知
f
?
x
?<
br>是偶函数,且
f
?
x
?
在
(0,??)
上是
增函数,若
x?
?
f
?
ax?1
?
?f
?
x?2
?
恒成立,则实数
a
的取值范围是( )
A.
[?2,2]
B.
[?2,0]
C.
[0,2]
D.
(?2,2)
?
1
?
,1
?
时,
不等式
?
2,
?
第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)
13.函数
f
?<
br>x
?
对于任意实数
x
满足条件
f
?
x?2<
br>?
?
1
,若
f
?
1
?
??5,则
f
?
x
?
1
(
?
)
f<
br>?
f
?
5
?
?
?
____________
___。
5
14.若函数
f
(
x
)=log
2(
x
-
ax
+3
a
)在区间[2,+∞)上是增函数,
则实数
a
的取值范围是
________.(-4<
a
≤4) 15.已知定义在R上的奇函数
f
(
x
)满足
f
(x
-4)=-
f
(
x
),且在区间[0,2]上是增函数.若方
程
f
(
x
)=
m
(
m
>0)在区
间[-8,8]上有四个不同的根
x
1
,
x
2
,
x
3
,
x
4
,则
x
1
+
x
2
+
x
3
+
x
4
=
________.-
8
2
16给定集合
A
n
?{1,2,3,...,
n}
,映射
f:A
n
?A
n
满足:
①当
i,j?A
n
,i?j
时,
f(i)?f(j)
;
②任取
m?A
n
,
若
m?2
,则有
m
?{f(1
),f(2),..,f(m)}
.
.则称映射
f
:
A
n
?A
n
是一个“优映射”.例如:用表1表示的映射
f
:
A
3
?A
3
是一个“优
映射”.
表1 表2
i
1
2
2
3
3
1
i
1
2
3
3
4
f(i)
f(i)
(1)已知表2表示的映射
f
:
A
4
?A
4是一个优映射,请把表2补充完整(只需填出
一个满足条件的映射);
(2)若映射f
:
A
10
?A
10
是“优映射”,且方程
f
(i)?i
的解恰有6个,则这样的“优
映射”的个数是_____.
答案:(1)
(2)84.
三、解答题:本大题共6个小题,共74分,解答时应写出文字说明证明、过程或推演步骤.
222
17.设集合
A
={
x
|
x
-3
x
+2=0},
B
={
x
|
x
+2(
a+1)
x
+(
a
-5)=0}.
(1)若
A
∩
B
={2},求实数
a
的值; (2)若
A
∪
B
=
A
,求实数
a
的取
值范围.
2
解:由
x
-3
x
+2=0得
x
=1或
x
=2,故集合
A
={1,2}.
2
(1)∵<
br>A
∩
B
={2},∴2∈
B
,代入
B
中的方
程,得
a
+4
a
+3=0?
a
=-1或
a
=-3;当
a
=-1时,
B
={
x
|
x
2
-4=0}={-2,2},满足条件;当
a
=-3时,
B
={x
|
x
2
-4
x
+4=0}={2},
满足条
件;综上,
a
的值为-1或-3.
22
(2)对于集合
B
,Δ=4(
a
+1)-4(
a
-5)=8(
a
+3).∵<
br>A
∪
B
=
A
,∴
B
?
A
,
①当Δ<0,即
a
<-3时,
B
=?满足条件;②当Δ=0,即a
=-3时,
B
={2}满足条件;
③当Δ>0,即
a
>-3时,
B
=
A
={1,2}才能满足条件,则由根与系数的关系得 ?
1+2=-2(
a
+1)
?
?
2
?
?
1×2=
a
-5
2
5
?
?
a
=-,
2
?
?
?
?
a
2
=7,<
br>2
2
矛盾.综上,
a
的取值范围是
a
≤-3.
2<
br>18.命题
p
:实数
x
满足
x
-4
ax+3
a
<0,其中
a
<0,命题
q
:实数
x<
br>满足
x
-
x
-6≤0
或
x
+2
x<
br>-8>0,且
p
是
q
的必要不充分条件,求
a
的取值范围.
解:设
A
={
x
|
x
-4
ax
+3
a
<0(a
<0)}={
x
|3
a
<
x
<
a<
br>},
2
2
??
B
={
x
|
x2
-
x
-6≤0或
x
2
+2
x
-8<
0}
={
x
|
x
-
x
-6<0}∪{
x
|
x
+2
x
-8>0}
={
x
|-2≤
x
≤3}∪{
x
|
x
<-4或
x
>2}=
{
x
|
x
<-4或
x
≥-2}.
22
?
p
是
?
q
的必要不充分条件, 因为
?
p
推不出
??
q
而 所以
?
q
?
p
,且
?
R
B
={
x
|-4≤
x<-2},?
R
A
={
x
|
x
≤3
a
,或
x
≥
a
}
?
{
x
|x
≤3
a
或
x
≥
a
}, 所以{
x<
br>|-4≤
x
<-2}
?
3a≥?2
?
a≤?4
或
?
?
a<0
a<0
?
?
2
即-≤
a
<0或
a
≤-4.
3
19.设
f(x)
是定义在[-1,1]上的偶函数,当
x
∈[-1,0]时,
f(x)
??
2
a
x
+4
x
3
.
(Ⅰ)
若
f(x)
在
(0,1]
上为增函数,求
a
的取值范围;
(Ⅱ) 是否存在正整数
a
,使
f(x)
的图象的最高点落在直线<
br>y?12
上?若存在,求
出
a
的值;若不存在,请说明理由.
解: 因为当
x
∈[-1,0]时,
f(x)
??
2
a
x
+4
x
3
.
所以当
x
∈
(0,1]
时,
f(x)
=
f(?x)
=2
a
x<
br>-4
x
3
,
3
?
?
?2ax?4x,?1≤x≤0,
∴
f(x)?
?
3
?
?
2ax?4x,0?x
≤1.
(Ⅰ)由题设
f(x)
在
(0,1]
上为增函数,∴
f
?
(x)?0
在
x
∈
(0,1]
恒成立, 即
2a?12x
2
?0
对
x
∈
(0,1]恒成立,于是,
a?6x
2
,从而
a?
?
6x
2
?
即
a
的取值范围是
[6,??)
max
?6
.
(Ⅱ)因
f(x)
为偶函数,故只需研究函
数
f(x)
=2
ax
-4
x
3
在
x
∈
(0,1]
的最大值.
令
f
?
(x)
=2
a
-12
x
2
=0,得
x?
a
.…………
…8分
6
若
a
∈
(0,1]
,即0<
a
≤6,则
6
[f(x)]
max
?f(
a
)?2a?6
a
?4(
6
a
3
)?2a?
6
a<
br>≤12
, 故此时不存在符合题意
6
的
a
;
若
a
>1,即
a
>6,则
f(x)<
br>在
(0,1]
上为增函数,于是
[f(x)]
max
?f(1
)?2a?4
.
6
令2
a
-4=12,故
a
=8.
综上,存在
a?
8满足题设.………12分
4(x?a)
20.已知函数
f(x)?
2
.
(a?R)
x?4
(Ⅰ)判断
f
?
x
?
的奇偶性;
(Ⅱ)设方程
x?2ax?1?0
的两实根为
m,n(m?n)
,证明函数<
br>f(x)
是
[m,n]
上的增函数.
解:(Ⅰ)当
a?0
时,
f(x)?
2
4x
,
x
2
?4
4(?x)4x
????f(x)
,
?
f(x)
为奇函
(?x)
2
?4x
2
?4
对任意<
br>x?(??,??)
,
f(?x)?
数. …2分
4(x?a)
,
2
x?4
88
取
x??1
,得
f(?1)?f(1)??a?0
,
f(?1)?f(1)???0
,
55
当
a?0
时,
f(x)?
?f(?1)??f(1),f(?1)?f(1)
,
?
函数
f(x)
既不是奇函数,也不是偶函数. ………5分
4(x?a)
,任取
x
1
,x
2
?[m,n]
且<
br>x
1
?x
2
,………6分
2
x?4
4(x
1
?a)4(x
2
?a)4(x
1
?x
2
)[a(x
1
?x
2
)?x
1
x
2
?4]
??
则
f(x
1
)?f(x
2
)?
……7
分
2222
x
1
?4x
2
?4(x
1
?
4)(x
2
?4)
(Ⅱ)法一:证明:
f(x)?
设
g(x
)?x?2ax?1
,则
g(x
1
)?0,g(x
2
)?0
,
22
即
x
1
?2ax
1
?1?0,x
2
?2ax
2
?1?0
,………………………………………9分 <
br>2
?x
1
?x
2
?2a(x
1
?x
2
)?2?0
,又
?x
1
?x
2
?2x
1
x
2
………11分
?2x
1
x
2
?2
a(x
1
?x
2
)?2?0
,即
x
1
x<
br>2
?a(x
1
?x
2
)?1?0
………12分 <
br>又
a(x
1
?x
2
)?x
1
x
2<
br>?4?a(x
1
?x
2
)?x
1
x
2
?1?0,x
1
?x
2
?0
,
?f(x
1)?f(x
2
)?0
…………………………………………………13分
即
f(x
1
)?g(x
2
)
,故
f(x)
在区间
[m,n]
上是增函数. …………………14分
2222
4(x<
br>2
?4)?4(x?a)?2x?4x
2
?8ax?16
4(x?a)
?
法二:证明
f(x)?
2
,
f
?
(x)
?
……7分
(x
2
?4)
2
(x
2
?4
)
2
x?4
?4(x
2
?2ax?1)?12
?
…
……………………………………………………………………10分
22
(x?4)
2
设
g(x)?x?2ax?1
,当
x?[m,n]
时,
g(
x)?0,
即
x?2ax?1?0
…………………12分
2
?4(
x
2
?2ax?1)?12
?0
………………………………………13分 <
br>?4(x?2ax?1)?0,
?
(x
2
?4)
2
2
故
f(x)
在区间
[m,n]
上是增函数.
…………………………………………………………14分
21.某隧道长2150m,通过隧道的车速
不能超过
20
ms.一列有55辆车身长都为10m的同一车
型的车队(这种型号的车
能行驶的最高速为40ms),匀速通过该隧道,设车队的速度为
x
ms
,根据安全和车流的需要,当
0?x?10
时,相邻两车之间保持20 m的距离;当
10?x?20
(x?
时,相邻两车之间保持
道所用的时间为
y(s)
.
1
6
2
1
x)
m的距离.自第1辆车车头进入隧道至
第55辆车尾离开隧
3
(I)将
y
表示为
x
的函数;
(II)求车队通过隧道时间
y
的最小值及此时车队的速度.(Ⅰ)解:当
0?x?10
时,
y?
?
3?1.73
?
2150?10?55?20?(55?1)3780
………3分
?
xx
当时
10?x?20
11
2150?10?5
5?(x
2
?x)?(55?1)
2700
63
??9x?18……6分
y?
x
x
3780
?
(0?x?10)?
x
所以,
y?
?
………………………………7分
2
700
?
?9x?18(10?x?20)
?
x
(Ⅱ)当
x
?(0,10]
时,在
x?10
时,
y
min
?
当
,
3780
?378(s)
………………8分
10
时,
x?
(10,20]
y?
27002700
?9x?18?18?2?9x??18?18
03
?329.4(s)
…10分
xx
当且仅当
9x?
2
700
,即:
x?17.3(ms)
时取等号。…………………………………11分
x
因为
17.3?(10,20]
,所以
当
x?17.3(ms)
时,
y
min
?329.4(s)
……………12分
因为
378?329.4
,所以 当
x?17.3(m
s)
时,
y
min
?329.4(s)
……………13分
22.(本小题满分14分)
已知函数
f(x)?
3
2
x
?lnx?2
,
g(x)?x
.
8
(Ⅰ)求函数
F(x)?f(x)?2?g(x)
的极值点;
(
Ⅱ)若函数
F(x)?f(x)?2?g(x)
在
[e,??)(t?Z)
上
有零点,求
t
的最大值;
(Ⅲ)证明:当
x?0
时,有
[
1?g(x)]
1
g(x)
t
?e
成立;若
b
n<
br>?g(n)
1
g(n?1)
(
n?N
),试问数
*<
br>列
?
b
n
?
中是否存在
b
n
?b<
br>m
(n?m)
?若存在,求出所有相等的两项;若不存在,请说明理
由.(e
为自然对数的底数)
解:(Ⅰ)由题知:
F(x)?
∵
F<
br>?
(x)?
3
2
x?lnx?2?2x
的定义域为(0,+∞
)………1分
8
(3x?2)(x?2)
……………………………………2分 4x
2
?
2
?
∴函数
F(x)
的单调递增区间
为
?
0,
?
和[2,??)
,
F(x)
的单调递减区间为
[,2]
,
3
?
3
?
2
为
F(x)
的极大值点,…………………………
…3分
3
x?2
为
F(x)
的极小值点,
……………………………4分
2
(Ⅱ)∵
F(x)
在
x
∈
[,??)
上的最小值为
F(2)
3
3
2
1ln4?1
且
F(2)
=
?2?4?2?ln2?ln2???0
822
2
∴
F(x)
在
x
∈
[,??
)
上没有零点,……………5分
3
2
?
2
?
t<
br>∴函数
F(x)
在
[e,??)(t?Z)
上有零点,并考虑到
F(x)
在
?
0,
?
单调递增且在
[,2]
单调
3
?
3
?
2
t
t
递减,故只须
e
?
且
F(e)?0
即可,……………………6分
3
所以
x
?
易验证
3313
F(e
?1
)??e
?2
?1?
2e
?1
?0,F(e
?2
)??e
?4
?lne
?2
?2?2e
?2
?
2
(?e
?2
?2)?0<
br>,…
88
e
8
…7分
当
t
≤-2且
t
∈Z时均有
F(e)?0
,所以函数
F(x)
在
[e,
e)(t?Z)
上有零点,
即函数
F(x)
在
[e,??)(t?
Z)
上有零点,∴
t
的最大值为-2. ………………9分
(Ⅲ) 证明:
当
x?0
时,不等式
[1?g(x)]
即为:
(1?x)?e?1
x
t
tt?1
1
g(x)
?e
1
ln(1?x)?1?ln(1?x)?x
x
构造函数
h(x)?ln(1?x)?x
(
x?0
),则
h
?
(x)
?
1?x
?1??0
,
1?x1?x
所以函数
h(x)<
br>在
(0,??)
上是减函数,因而
x?0
时,
h(x)?h(
0)?0
,
即:
x?0
时,
ln(1?x)?x
成立,所
以当
x?0
时,
[1?g(x)]
因为
b
n
?n<
br>令
1
n?1
1
g(x)
?e
成立; ……11分 <
br>(b
n?1
)
(n?1)(n?2
(n?1)
n?1
n?11
n
e(n?1)3(n?1)
,所以
???(1?)??
(n?1)(n?2)n?2222
(b
n
)nnnnn
3(n?1)?1
,得:
n
2
?3n?3?0
,结合
n?N
*
得:
n?4
2
n
(b
n?1
)(n?1)(n?2)
因此,当
n?4
时,有
?1
,
(n?1)(n?2)
(b
n
)
所以当
n?4
时,
b
n
?b
n?1
,即:
b
4
?b
5
?b
6
?L
,…………………12分
又通过比较
b
1<
br>、
b
2
、
b
3
、
b
4
的大
小知:
b
1
?b
2
?b
3
?b
4
,
因为
b
1
?1
,且
n?1
时
b
n
?n
1
n?1
?1
,所以若数列
?
b
n
?
中存在相等的两项,只能是
b
2
、
b
3
与后面的项可能相等,
又
b
2
?2?8?b
8<
br>,
b
3
?3?b
5
?5
,所以数列
?
b
n
?
中存在唯一相等的两项,
即:
b
2
?b
8
.
………………………………………………14分
1
3
1
9
1
4
1
6