高三数学辅导专题教学内容

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高三数学辅导专题
实力是获取高分的基础，策略方法技巧 是获取高分的关键。对于两个实力相当的同学，在考试
中某些解题策略技巧使用的好坏，往往会导致两人 最后的成绩有很大的差距。
一、选择题解题策略
数学选择题具有概栝性强，知识覆 盖面广，小巧灵活，有一定的综合性和深度等特点，考生能
否迅速、准确、全面、简捷地解好选择题，成 为高考成功的关键。
解选择题的基本要求是熟练准确,灵活快速,方法得当,出奇制胜。解题一 般有三种思路:一是从题
干出发考虑,探求结果;二是题干和选择支联合考虑;三是从选择支出发探求满 足题干的条件。 选
择题属易题(个别为中档题),解题基本原则是:“小题
1、特殊法
从题干或选择支出发,通过选取特殊值代入、将问题特殊化,达到肯定一支或否 定三支的目的,是“小
题小作”的策略。
①特殊值:例.一等差数列前n项和为48，前2n项和为60，则它的前3n项和为（ ）
A．－24 B．84 C．72 D．36
解:本题结论中不含n,正确性与n无 关,可对n取特殊值,如n=1，此时a
1
=48,a
2
=S
2-S
1
=12,a
3
=a
1
+2d=-24,
所以前3n项和为36,选D。
②特殊函数:例.定义在R上的奇函数f(x)为减函数,设a+b≤ 0，给出下列不等式:①f(a)·f(－a)≤0 ②
f(b)·f(－b)≥0③f(a)+f(b)≤f(－a)+f(－b) ④f(a)+f(b)≥f(－a)+f(－b)
其中正确的不等式序号是（ ）
A．①②④ B．①④ C．②④ D．①③
解:取f(x)=-x，逐项检查可知①④正确。因此选B。
③特殊数列:例.如果等比数列{an}的首项是正数，
公比大于1，那么数列{
log
1
n
}（ ）
3
a
A．是递增的等比数列 B．是递减的等比数列
C．是递增的等差数列 D．是递减的等差数列
解:取a
n
=3
n
，易知选D。
④特殊位置:例.过抛物 线y=ax
2
(a>0)焦点F作一条直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ的长分别是p、q，则
11
?
等于（ ）
pq
14
C
．
4a D
2aa
1
解:考察PQ与y轴垂直时有p=q=,代入即可得C.
2a
A．2a B
－
⑤特殊点:例.函数f(x)=
x
+2（x≥0）的反函数f
1
(x)图像是（ ）

解: 在f( x)=
x
+2（x≥0）
中可令x=0，得y=2；令x=4，
得y=4，则 特殊点(2,0)及(4,4)
－
都在反函数f
1
(x)图像上,观
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察得A、C。又由反函数f
1
(x)的定义域知选C。
－
⑥特殊方 程:例.双曲线b
2
x
2
－a
2
y
2
=a
2
b
2
(a>b>0)的渐近线夹角为α，离心率为e,则cos
?
等于（ ）
2< br>x
2
y
2
??1
易得离心解:本题考查双曲线渐近线夹角与离 心率的关系,可用特殊方程来解.取方程为
41
率e=
5
2
?
，cos=，故选C。
2
2
5
⑦特殊模型:例.若实数x,y满足 (x－2)
2
+y
2
=3，则
y
最大值是（ ）
x
A．
33
1
B． C． D．
3

32
2
y?y
1
yy?0
.联想 数学模型:两点直线的斜率公式k=
2
，将问题看成圆(x－2)
2
+y2
=3上
?
x
2
?x
1
xx?0
解： 题中
点与原点O连线斜率最大值,得D.
2、估算法
通过估算或列表,把复杂问题化为简单问题,求出答案的近解后再进行判断的方法。
例:已知 双曲线中心在原点且一焦点为
F(7,0)
直线
y?x?1
与其交于M、N两 点,MN中点横坐标
为
?
2
，则此双曲线的方程是（ ）
3
x
2
y
2
x
2
y
2
x
2
y
2
x
2
y
2
??1
B．
??1
C．
??1
D．
??1
A．< br>34435225
x
2
y
2
n5
??1
,由 点差法得
?
选D.注:不必解m、n 解:设方程为
mn
m2
，则此双曲线的方程是
3、推理分析法:
①特征分析法:根据题目所提供信息,如数值特征、结构特征、位置特征等，进行快速推理,作出判断
的 方法.
例:已知
sin
?
?
A．
m?34?2m
?
?
cos
?
?(?
?
?
?
)
则
tan?
（ ）
m?5m?522
m?3
m?31
B． C． D．5
|9?m|
9?m3
2
解: 由于受
sin
?
?c os
2
?
?1
的制约,故m为确定值又
?
2
??
?
?
，于是
tan
?
2
?1
，故选 D。
②逻辑分析法:若A真
?
B真,则A排除，否则与有且仅有一正确结论矛盾;若 A
?
B,则A、B均假;
若A与B成矛盾关系,则必有一真,可否定C与D.
例:设a,b是满足ab<0的实数，那么（ ）
A.|a+b|>|a-b| B.|a+b|<|a-b| C.|a-b|<|a|-|b| D.|a-b|<|a|+|b|
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解: 因A,B是一对矛盾命题，故必有一真，从而排除错误支C，D。又由ab<0，可令a=1,b= －1，
代入知B为真。
4.验证法:
将各选择支逐个代入题干中进行验 证,或适当选取特殊值进行检验,或采取其他验证手段,以判断
选择支正误的方法.
例.若不等式0≤x
2
－ax+a≤1的解集是单元素集，则a的值为（ ）
(A)0 (B)2 (C)4 (D)6
解: 选择支逐个代入题干中验证得a=2选B.
二、填空题解题策略
同选择题一 样,填空题也属小题,其解题的基本原则是“小题不能大做”。解题基本策略是:巧做.
解题基本方法一 般有：直接求解法、图像法、构造法和特殊化法(特殊值、特殊函数、特殊角、特殊
数列、图形特殊位置 、特殊点、特殊方程、特殊模型)
1、直接求解法
直接从题设条件出发,用定义 、性质、定理、公式等,经变形、推理、计算、判断等得到正确结论.
这是解填空题常用的基本方法,使 用时要善于“透过现象抓本质”。力求灵活、简捷。
例.数列{a
n
}、{b
n
}都是等差数列,a
1
=0、b
1
= -4,用S
k< br>、S
k
′分别表示{a
n
}、{b
n
}的前k项和( k是正整数),
若Sk+ Sk′=0,则a
k
+b
k
=____。
解:用等差数列求和公式S
k
=
k(a
1
?a
k< br>)

2
2.特殊化求解法
当填空题结论唯一或其值为定值时,我们 只须把题中的参变量用特殊值(或特殊函数、特殊角、特殊
数列、图形特殊位置、特殊点、特殊方程、特 殊模型等)代替之,即可得到结论。如:上例中取k=2(k
≠1?),于是a
1
+a
2
+b
1
+b
2
=0,故a
2
+b
2
=4, 即a
k
+b
k
=4。例.已知SA,SB,SC两两所 成角均为60°,则平面
SAB
与平面SAC所成的二面角为 。
解:取S A=SB=SC,将问题置于正四面体中研究，不难得平面SAB与平面SAC所成二面角为arccos
1

3
3.数形结合法:
根据题设条件的几何意义,画出辅助图形,借 助图形的直观性,迅速作出判断的方法.文氏图、三角函数
线、函数图像及方程的曲线,空间图形等,都 是常用的图形.
例.关于x的方程
1?x
2
=k(x-2)有两个不等实根 ,则实数k的取值范围是 。
解:令y
1
=
1?x
2
,y 2=k(x-2),画图计算得
?
3
3
4、构造法:
在解题中有时需根据题目的具体情况,设计新的模式解题,这种设计工作，通常称之为构造模式解法，< br>简称构造法。
例:点P在正方形ABCD所在的平面外，PD⊥ABCD，PD=AD，则PA与BD所成角的度数为
。
解:根据题意可将上图补形成一正方体,在正方体中易求得为60°
注：解选择填空题时可优先作图,优先估算,优先考虑特例
三、解答题解题策略
1、从条件入手——分析条件，化繁为简，注重隐含条件的挖掘.
2、从结论入手--- 执果索因,搭好联系条件的桥梁.
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3、回到定义和图形中来.
4、构造辅助问题(函数、方程、图形……),换一个角度去思考.
5、通过横向沟通和转化,将各数学分支中不同的知识点串联起来.
6、培养整体意识，把握整体结构。
7、注意承上启下,层层递进,充分利用已得出的结论
8、优先挖掘隐含, 优先作图观察分析
9、立足特殊,发散一般:“以退求进”是一个重要 的解题策略,对于一个较一般的问题，若一时不能取得
一般思路，可以采取化一般为特殊,化抽象为具体 ，化整体为局部，化参量为常量，化较弱条件为较
强条件，等等。退到一个你能够解决的程度上，通过对 “特殊”的思考与解决，启发思维，达到对“一
般”的解决
10、正难则反,执果索因，逆向 思考:对一个问题正面思考发生思维受阻时，用逆向思维的方法去探
求新的解题途径，往往能得到突破性 的进展。顺向推有困难就逆推，直接证有困难就反证。
11、解决探索性(开放性)问题的策略:探索 性问题可以粗略地分为四种类型：条件追溯型、结论探索
型、存在判断型和方法探究型。解探索性问题， 不必追求结论的“是”与“否”、“有”与“无”，可以一
开始，就综合所有条件，进行严格的推理与讨 论，则步骤所至，结论自明。
12、解应用性问题的思路:审题尤为重要。审题需将那些与数学无关内 容抛开，以数学的眼光捕捉信
息，构建模型,同时要注意将图形、文字、表格等语言转变为数学语言。具 体做法是:①先全面理
解题意和概念背景②透过冗长叙述,抓重点词句,提出重点数据③综合联系，提 炼数量关系,依靠数学
方法,建立数学模型(模型一般很简单).如此将应用问题化为纯数学问题.此外 ,求解过程和结果不能
离开实际背景。
四、常用数学思想与方法
高考数学命题以 能力立意为主。若能自觉、灵活地综合运用各种数学思想与方法于所要解决的问题
中，则常能使问题迎刃 而解。
(一）常用数学思想与方法
1、函数与方程的思想: 函数思想,是指用函数的概念 和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方
程思想，是从问题的数量关系入手，用数学语言将问题中的 条件转化为数学模型(方程、不等式、或
方程与不等式组),然后通过解方程或不等式(组)使问题获解
2、数形结合的思想:实质是抽象的数学语言与直观图形的结合，使抽象思维和形象思维在解题中交互运用。通过对图形的认识，使初看很难或很繁的问题变得容易和直观，它可以使代数问题几何化，
几何问题代数化。
3、分类与整合的思想: 在研究问题时，若我们不能用同一种方法去处理，就往往 将这个问题恰当地
划分成若干个部分的问题，在解决了这些若干个部分问题后，整个问题就得到了解决。 确定分类的
标准是分类法的关键。划分时，要注意既不重复，又不遗漏。
4、化归与转化的思 想:就是把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、常规、简单的问题。转化
有等价与非等价转化。等 价转化要求转化过程中前因后果是充要的。非等价转化其过程是充分或必
要的，要对结论进行必要的修正 .（如无理方程化有理方程要求验根）转化能给人带来思维的闪光点，
找到解题的突破口。
5、有限与无限的思想:将题目条件扩展到极限情况，采用极限思维，常给人一种豁然开朗的感觉。
6、特殊与一般的思想:参看选择、填空题的解法思想.
(二)常用数学方法技巧
1.解析法 （数形结合） 2.待定系数法 3.反证法4.消元降幂法 5.数学归纳法 6.配方法 7.
换元法 8.图象法与观察法 9.差(商)比法（比较法） 10.特值法
11.判别式法与韦达定理12.基本不等式 13.参数与分离参数法
14.拆项法 15.错位相减法 16.迭加与连乘 17.等积(面积、体积)法
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