高中数学奥数培训资料之托勒密定理试题

《托勒密定理及其应用》
托勒密定理：圆内接四边形中，两条对 角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和
(一组对边所包矩形的面积与另一组对边 所包矩形的面积之和)．
即：
设四边形ABCD内接于圆，则有：
AB?CD?AD ?BC?AC?BD；

定理：在四边形ABCD中，有：AB?CD?AD?BC?AC?B D
并且当且仅当四边形ABCD内接于圆时，等式成立；


证：在四边形ABCD内取点E，使?BAE??CAD，?ABE??ACD

则：?ABE和?ACD相似
A









?AB?CD?AD?BC?AC?BD

一、直接应用托勒密定理
ABBE
??AB?CD?AC?BE
ACCD< br>ABAE
又??且?BAC??EAD
ACAD
??ABC和?AED相似BCED
???AD?BC?AC?ED
ACAD
?AB?CD?AD?BC?A C?(BE?ED)
?
D
E
B C
且等号当且仅当E在BD上时成立，即当且仅当A、B、C、D四点共圆时成立；
例1 如图2，P是正△ABC外接圆的劣弧






上任一点(不与B、C重合)， 求证：PA=PB＋PC．

二、完善图形 借助托勒密定理
例2 证明“勾股定理”：在Rt△ABC中，∠B=90°，求证：AC=AB＋BC






例3 如图，在△ABC中，∠A的平分 线交外接∠圆于D，连结BD，求证：AD·BC=BD(AB＋AC)．





三、构造图形 借助托勒密定理
例4 若a、b、x、y是实数，且a＋b=1，x＋y=1．求证：ax＋by≤1．






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222

四、巧变原式 妙构图形，借助托勒密定理
例5 已知a、b、c是△ABC的三边，且a=b(b＋c)，求证：∠A=2∠B．








五、巧变形 妙引线 借肋托勒密定理
2
例6 在△ABC中，已知∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4，

练习：
1.已知△ABC中，∠B=2∠C。求证：AC=AB+AB·BC。







2． 已知正七边形A
1
A< br>2
A
3
A
4
A
5
A
6
A< br>7
。求证： 。（第21届全苏数学竞赛）












22
3.由?ABC外接圆的弧BC上一点P分别向边BC、AC与AB 作垂线PK、PL和PN，
BCACAB
求证：??
PKPLPM