高中数学几种常见的数列递推关系式专题辅导

高中数学几种常见的数列递推关系式

数列的递推关系是指数列中的 前一项（前几项）与后一项的关系式。递推数列是数列
中的重要内容，通过递推关系，观察，探求数列的 规律，进而可求出整个数列的通项公
式。通过递推关系的学习，可以培养学生的观察能力，归纳与转化能 力，综合运用知识等
能力，因此，是近几年高考与竞赛的热点。
下面针对几种高中常见的递推形式及处理方法做一总结。
一. 定义法
常见形式：
已知：
a
1
?a，a
n?1
?a
n
?d
①
或
a
1
?a?0，a
n?1
?a
n
q

（其中，d常数，
q?0
为常数）
②
定义法即高中所学的两大基本数列——等差数列与等比数列的基本定义式。
已知首项，与递推 关系，数列的通项即知，在此不做赘述。但这两个基本数列的求通
项公式的方法在后续学习中，在方法上 起到了指导作用。即我们下面要介绍的方法。

二. 迭代法
常见形式：已知

a
1
?a?0，a
n?1
?a< br>n
?f(n)
③
④ 或
a
1
? a?0，a
n?1
?a
n
f(n)，f(n)
不恒为零
（这里的
f(n)
是关于n的关系式）。
这两个形式的递推关系式，虽然不 是等差与等比数列，但表达方式上非常接近。我们
可以利用迭代的方法来求出通项
a
n
也可以分别称为叠加法和叠乘法。
如：③
a
2
?a
1
?f(1)


a
3
?a
2
?f(2)

……

a
n
?a
n?1
?f(n?1)(n?2，n?N
*
)

将以上
n?1
个式子叠加，可得

a
n
?a
1
?f(1)?f(2)?…?f(n?1)(n?2，n?N*
)

这里，我们只须已知数列的首项
a
1
利 用求和求出上述等式右端的和，即可求出数列
?
a
n
?
的通项公式来 。
如：④的具体例子：
例1. （2020年东北三省三校一模试题21 ）已知数列
?
a
n
?
，
S
n
是数列的前n 项和，
n
a
n
。求
S
n
。
2
n
解：因为
S
n
?(S
n
?S
n?1
)(n?2，n?N
*
)

2
nn?2
所以
S
n?1
?S
n

22
S
n
(n?3，n?N
*
)

n
?
S
n?1
n?2
SSSS
3456n?1n
·(n?3，n?N
*
)

3
·
4
…n?1
·
n
?···…
S
2
S
3
S< br>n?2
S
n?1
1234n?3n?2
a
2
?1，S
n
?

即
S
n
n(n?1)

?
S
2
2
n(n?1)
(n?3，n?N
*
)

2
经验证，
n?1，2
也适合上式。
n(n?1)
所以，
S
n
?(n?N
*
)

2

三. 构造法
常见形式：已知
a
1
?a?0，a
n?1
?pa
n
?q，
（p，q为常数，
p?0，p?1，q?0< br>）

S
n
?

1. 利用递推式构造法
构造新数列，转化到常用形式①或②，即基本数列定义式。
a
n?1
?pa
n
?q

a
n< br>?pa
n?1
?q（n?2，n?N
*
）
两式相减，得

a
n?1
?a
n
?p(a
n
?a
n?1
)，(n?2，n?N
*
)

其实，
a
n?1
?a
n
与a
n
?a
n?1
不正是一个数列的前后两项吗？所以，构造一个新的等比
数列
?
a
n
?a
n?1
?
，这个数列的首项是
a
2
?a
1
，公比是p。因为各项是差的形式，利用等比
数列求和公式，即可求出通项公式。

a
2
?a
1
?a
3
?a
2
?a
4
?a
3
?……?a
n
?a
n?1
⑤
(a
2
?a
1
)(1?p
n?1
)
?(n?2，n?N
*
)

1?p
(a
2
?a
1
)(1?p
n?1
)
(n?N
*
)

a
n
?a
1
?
1?p
2. 利用不动点构造法
利用函数不动点的方法。
a
n?1
?pa
n
?q< br>（p，q为常数，
p?0，p?1，q?0
）其实是
一个函数关系
y? px?q
。利用函数不动点的特点，解方程
f(x)?x
，即
px?q?x< br>，解得
x?
q
，通过这个不动点，易构造新的等比数列：
1?pa
n?1
?
?
qq
?
?p
?
a
n
?
?
1?p1?p
??

a
n
?
?
qq
?
n?1
?
?
a
1
?< br>?
p
1?p
?
1?p
?

3. 利用待定系数构造法
若通过观察，对常数q适当的拆分，即可以构造新数列，那么也可以用先 猜想后待定
的办法确定出新数列来。
1
设递推关系式可化为：
a< br>n?1
?t?p(a
n
?t)
可解出
t?
。
1?p
以上三种构造法，可以用来解决很多问题。
如：常见形式：
a
n?1
?pa
n
?q
n
（p，q为常数，
p?0，p?1，q?0
）
可以用方法三（1），两边同时除以
q
n?1
，得
a
?1
p
a
n
1
?·?
即转化到常见形式⑤来处理。
n
q
n
q
q
n?1
q
⑥

或者利用待定系数法，但对
q
n
适当的拆分不能当成 常数进行拆分，须要考虑到与项数
的关系：
a
n?1
?tq
n?1< br>?p(a
n
?tq
n
)
，然后同样的方法，解出系数
t?
1
。
(1?p)q
n
⑦
（当然，递推关系的证明题是可以用数学归纳法来证明的）
又如：常见形式：
an?2
?pa
n?1
?qa
n
(p，q为常数，p?0，q?0 )

系数法。

a
n?1
?
?
a
n?1
?
?
(a
n?1
?
?
a
n
)

即
a
n?2
?(
?
?
?
)a
n?1
?
??
a
n

这时，我们只须令
?
?
?
?p，?
??
?q

不难解出α，β构成新数列
再如：例2. 已知：数列
?
a
n
?
，a
1
?2，a
n?1
?
这是连续三项的递推关系，利用
a
n?1
的前后关联性，进行构造新数列，不妨采用待 定
2a
n
?6
，这道题目，不方便观察与待
a
n
? 1
定系数，我们仍可以用函数不动点思想来解决。设函数
y?
解得
x??2< br>或
x?3
，所以原数列递推关系，可化为：
(a
n?1
?3 )(a
n
?2)?t(a
n
?3)(a
n?1
?2)

即(t?1)a
n?1
a
n
?(3t?2)a
n?1
?(2t?3)a
n
?6?6t?0
2x?62x?6
，解方 程
?x
，
x?1x?1
1

4
?
a?3
?
1
进而，可构造出等比数列
?
n
?
，公比为
?
。
4
?
a
n
?2
?
?
a?3
?
1 进而，可构造出等比数列
?
n
?
，公比为
?
。
4
?
a
n
?2
?
解：通过原式，解出
t??

四. 换元法
例3. 已知数列
?
a
n
?
，a
1
?2，a
n
?2?an?1
(n?2，n?N
*
)
，求数列
?
a
n
?
的通项公
式。
解：通过计算
a
2
，a
3
，a
4
等，观察出数列
?
a
n
?
的极限是2
所以用不动点方法解
2?x?x

解得
x?2或x??1
均不合题意。
用数学归纳法不难证出刚才的猜想：< br>0?a
n
?2(n?N
*
)

?
??
根据三角函数的有界性，不妨设
a
n
?2c os
?
n
，
?
0?
?
n
?
?代入原递推关系
?
2
?

2cos
?
n
?2?2cos
?
n?1
?2cos
得到，另一组递推关 系：
?
n
?
?
n?1
2
2


?
n?1
?
?
1
?
1
?
所以，
?
?
n
?
是一个以为首项，以为公比的等比数列，
?
n
?·
??
4
?
2
?
2
4
?
故
a
n
?2cos

n?1
?
?
2
n?1

2
n?1

五. 周期性
有些数列是具有周期性的，通过研究周期性，即可确定通项公式。
例4. 已知数列
?< br>a
n
?
，
a
1
?3，a
2
?6，a
n?2
?a
n?1
?a
n
，则
a
2006
?
（ ）
A. -3 B. 3 C. -6 D. 6
解：由递推关系，得
a
1
?3，a
2
? 6，a
3
?3，a
4
??3，a
5
??6，a
6< br>??3
，由于
a
7
?3
，这时应观察数列的周期性，以6为周 期，得a
2020
=6。