数学校本课程

课程名称
初高中数学衔接




年级：九年级
学科：初中物理
姓名：张勇全

目录
总论…………………………………………………………………2
第一讲：垂径定理…………………………………………………8.
第二讲：直径所对的圆周角………………………………………10
第三讲：因式分解（部分）与解方程（组）……………………12
第四讲：函数图像的平移…………………………………………14
第五讲：一元二次方程的根与系数的关系………………………18
第六讲：二次函数
y?ax
2
?bx?c
（
a,b,c
是常数，
a?0
…………20
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总论
经过紧张的中考，暑期之后初三的同学们就要迎接紧张充实的高中生活。 为了迎接
高中的数学学习应该做些什么？良好的开端是成功的一半。我们今天主要谈一下从初中到
高中的数学学科的衔接问题。很多同学还没有接触高中知识，我们既不谈那一个个知识点，
也不谈那一 个个大家耳熟能详的学习方法，主要讲讲为什么要做好衔接以及从精神上、认
识上如何去准备。
一、为何要做好初高中衔接？
从初中升入高中，大家普遍觉得上升了一个门槛。教学 实践证明，踏好这个门槛，实
现这个转折确实需要衔接。其原因是：
1.环境的改变对学 生有影响。初中学校与高中学校的教学理念不完全相同，学校之间
的差异或大或小，高一新生来自不同的 学校，差异性较大。大家熟悉以前的校园、以前的
人际关系、以前的各项规章制度及纪律要求。但进入新 校园后，校园环境不同了，同学不
同了，新学校有新学校的规章制度及具体纪律要求。对于这些变化，要 使学生尽快融入新
的集体、新的学校，这就必须做好衔接工作。对高一新生来讲，各方面可以说是全新的 ，
新的同学、新的老师、新的管理措施与教育理念……学生有一个由陌生到熟悉的适应过程。
另 外，经过紧张的中考复习，考取了自己理想的高中，必有些学生产生“松口气”想法，
如初三辛苦了，在 高一休息一下，待高二认真一些、高三冲刺，使得高中入学后无紧迫感。
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也有些学生有畏惧心理，他们在入学前，就比较头疼数学，高中数学课一开始也确是些难
理解的抽象 概念，如映射、函数、立体几何等，使他们从开始就处于怵头无趣的被动局面。
一些原来在初中是班级的 佼佼者、教师的宠儿的学生，或者是中上等的学生。进入高中后
发现自己没有优势可言。随着所处地位的 改变和课程负担的加重等原因，可能出现适应不
了新的学习环境，心理出现了极大的反差，所以不可避免 地出现困惑、失落、焦虑、胆怯
等不良心理现象。
2.初中与高中在思维方式上差异较大 。相对初中的学习，高中的知识内容与知识结构
与初中相比出现了两个飞跃：从具体到抽象、由特殊到一 般。在知识的广度和深度上都大
大提高。在能力方面，高中的学习对同学们提出了更高的要求，如抽象思 维能力、逻辑思
维能力、分析综合能力、自学能力等，而且高考命题强调能力立意，这就更加强化能力培
养。在高中数学语言更加抽象。初中数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达，而高
一数学 一下子就触及抽象的集合符号语言、函数语言等，一下子难以互相转化。
3.教材结构不同，知识 跨度大。初中数学教材内容通俗具体，变量也不多，题型少而
简单；而高中数学内容抽象，多研究变量、 字母，不仅注重计算，而且还注重理论分析，
这与初中相比增加了难度。初中课改教材很多内容作了改变 ，有的内容在对学生的要求上
大大降低要求，体现了“浅、少、易”的特点，但是高中还认为学生在初中 熟练掌握了。
随着近几年新教材内容的调整，虽然初高中教材都降低了难度，但相比之下，初中降低的< br>幅度大，而高中由于受高考的限制，教师还不敢降低难度，造成了高中数学实际难度没有
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< /p>

降低。因此，从一定意义上讲，调整后的新教材不仅没有缩小初高中教材内容的难度差距，
反而加大了。初中比较注重基础，常识性的介绍较多；高中知识则强调逻辑性、系统性、
研究性 ，越来越接近科学体系，难度相应地增大、加深。
4.课时和学法的变化。在初中，由于内容少， 题型简单，课时较充足。因此，课容量
小，进度慢，对重难点内容均有充足时间反复强调，对各类习题的 解法，教师有时间进行
举例示范，学生也有足够时间进行巩固。而到高中，由于知识点增多，灵活性加大 和新课
时要求的实行，使课时减少，课容量增大，进度加快，对重难点内容没有更多的时间强调，
对所有型题也不可能讲全讲细和巩固强化，主要讲通性通法。这也使高一新生开始不适应
高中学习而影 响成绩的提高。这一点对数学的冲击最大。新课改之后，有的学校数学课相
对而言就少了很多，我了解得 很多学校就是每周5节，也就是一天一节。当然也有多的，
达到了11节。而且学习上学时玩得多了，中 午、课外活动都去玩了，放在学习上的精力
明显会少很多。在初中，知识点相对而言比较少，教师讲得细 ，有足够的时间练习，考试
时，学生只要记准概念、公式、典型例题，一般都能熟练应答取得不错的成绩 。中考数学
考试时，两个小时的时间很多同学在一个小时的时候就只剩下最后一个大题，在高考时这几乎是不可能的，在一个小时内学生完成前两个大题就算好的了，也就是说至少还剩四个
大题。因此 ，初中时学生习惯于围着教师转，因为即使不独立思考、不归纳总结，老师也
会一再强调直到你做熟练为 止。到了高中，由于内容多时间少，教师不可能把知识应用形
式和题型讲全讲细，只能选讲一些具有典型 性的题目，以落实“三基”培养能力，有的地
方说“双基”，这里就不争论了。这就导致在以前好几天学 习一个知识点，一个题型翻来
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复去的作很多遍；在高中就变成了一天学习好几个知识点，有的题型做到两三遍就已经是
很重要的题 型了。因此，高中数学学习要求学生要勤于思考，善于归纳总结规律，掌握数
学思想方法，做到举一反三 ，触类旁通。但是刚入学的高一新生，往往继续沿用初中的学
法，还在“等”、“靠”老师总结、老师布 置相应的练习一一对应那些知识点去练，致使
学习困难较多，个别同学完成当天作业都比较困难，更没有 预习、复习及总结等自我消化
自我调整的时间。这显然不利于良好学法的形成和学习质量的提高。
那么，如何走好“学习”衔接这一步，显得最为重要了。
二、如何做好初高中衔接？
初高中衔接措施很多，但归纳起来，可从两个方面思考：
1.从思想上：增强紧迫感 ，消除松懈情绪。不要等到高三再努力，一开始就要蹦紧学
习这根弦。首先，培养自觉性。兴趣是最好的 老师，初高中衔接，提高学科兴趣是第一步。
不要被以前的成绩绊住了自己的脚步，不管是成绩好的还是 不理想的，把自己当成一张白
纸，从新规划。
2. 从学习上：
（1）重 视新旧知识的联系与区别。每年新高一开头的几节课，数学老师间的都比较
别扭，在讲授新知识时，一些 原本应该在初中掌握的知识点，发现学生大多只掌握了很浅
显的内容，稍微深一些的内容，学生就说没有 学过。有的高中必备知识、公式，以前初中
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应该教，高中默认你已经熟练掌握的知识，有的学生却没有一点概念。还有的知识一部分
学生学过， 一部分听说过，还有根本么听过的。有的老师就说“今年中考成绩600多分的
学生，教起来还不如过去 500多分的学生”。学生学得吃力，教师也教得吃力，这几乎是
老师们的共同感受。一些老师不得不对 这些新生补习与高中教材相对应的初中老教材，有
时补课就要占去很多的课堂时间。为了不落下高中新课 程，只得赶进度，学生学得吃力，
很多问题还没搞明白，又要上新课了。“不仅初中知识没能掌握，高中 知识的学习也因此
受到影响”。这就要求最好在开学前对这部分初高中衔接过程中必备的知识自己先有所 了
解并将它强化。初高中数学有很多衔接知识点，如函数概念、平面几何与立体几何相关知
识等 ，到高中，它们有的加深了，有的研究范围扩大了，有些在初中成立的结论到高中可
能会有所变化。因此 ，联系旧知识，复习和区别旧知识，特别注重对那些易错易混的知识
加以分析、比较和区别。这样可达到 温故知新、温故而探新的效果。
（2）重视展示知识的形成过程和方法探索过程，培养创造能力。 高中数学较初中抽
象性强，应用灵活，这就要求学生对知识理解要透，应用要活，不能只停留在对知识结 论
的死记硬套上，要有质疑和解疑的思想，促进创造性思维能力的提高。碰到比较难理解的
地方 ，一是反复多看，二是放一点时间在回过来看。以前学习遇到的难点，现在看起来可
能就很简单了，小学 的数学题你现在就不屑于做了。尽量缩短理解的过程，比如函数，两
三天理解了还行，两三个星期再理解 基本概念，那落下的就很多了。定义域、值域、求解
析式、单调性、奇偶性、图象的变换一堆东西都学过 去了。
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（3）重视培养自我反思自我总结的良好习惯，高中数学概括性强，题目灵活多变，
只靠课上听懂是不够的，需要课后进行认真消化，认真总结归纳。培养好的学习习惯：预
习、听 讲、作业、总结这些每天做好就是了。这就要求学生应具备善于自我反思和自我总
结的能力。在解题后， 积极反思：思解题思路和步骤，思解题方法和解题规律的总结。在
单元结束时，进行自我章节小结，形成 自己的知识网络。每天晚上回顾一遍即可，每星期，
每月都要对自己学过的知识作一个系统的梳理。
总的来说，要想使初中到高中有一个理想的衔接，就是要提高自己的能力。能做好开
学时对 自己心理和知识上的准备，学习时认真，学习后做到及时归纳整理就一定会取得理
想的成绩。




















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第一讲：垂径定理
【知识要点】
1、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧。
④直线平分弦所对的优弧 ⑤直线平分弦所对的劣弧 （“ 知二求三”）

【例题分析】
例1：①已知圆O的弦AB＝8，相应的弦心距OC＝3，那么圆O的半径等于 ； ②两个以点
O
为圆心的同心圆中，大圆的弦
AB
与小圆相切，如果
AB
的长为24，
大圆的半径
OA
为13，那么小圆的半径为 。
例2：①已知：在⊙O中，
AB,AC
为互相垂直的两条相等的弦，
OD ?AB,OE?AC,D,E
为垂足。则四边形
ADOE
必为 。
②已知在⊙O中，弦
AB?CD
于
P
，⊙O的半径为5，
AB?8,CD?6,OE?AB,

D
A
C
M
O
B
2、垂径定理的推论：①直线过圆心 ②直线垂直于弦 ③直线平分弦
OF?CD
，求四边形
OEPF
的周长。



例3：如图，⊙
O
的直径
AB
和弦
CD
相交于E
，若
AE?2cm,BE?6cm,

?CEA?30
，求：
?
1
?
CD
的长；
?
2
?
C
点到
AB
的距离与
D
点到AB
的距离之比。








A
D
F
G
E
O
?
H
B
C
例1图
练习：
如图，在⊙
O
中，直径
AB和弦
CD
相交于点
E
， 已知
AE?1cm,BE?5cm,
且
?DEB?60
，求
CD
的长。







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【巩固练习】
1、在圆
O
中，弦
AB
的长 为6，它所对应的弦心距为4，那么半径
OA?
．
2、已知AB,CD
为⊙
O
的两条平行弦，⊙
O
的半径为
5cm ,AB?8cm,CD?6cm.

则
AB,CD
的距离为 。
3、在
△ABC
中，
AB?AC?5
，
cosB?3
（如图）．如果圆
O
的半径
5
为
10
，且经 过点
B，C
，那么线段
AO
的长等于 ．
4、如图，等腰
?ABC
内接于半径为
5cm
的⊙
O< br>，
AB?AC,tanB?
求：
?
1
?
BC
的长；
?
2
?
AB
边上高的长。




【回家作业】
1
.

2
B
A
D
O
?
C
3图
1、若⊙
O
的直径为
10,
圆心
O
到弦
AB
的距离
OM
的长为
3
，则弦
AB
的长是 。
2、如图，AB、AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为
M、N，如果 MN＝3，那么BC＝ ．
3、本市新建的滴水湖是圆形人工湖．为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖
边选取
A
，
B
，
C
三根木柱，使得
A
，
B
之间的距离与
A
，
C
之间的距
离相等，并测得
BC
长为
240
米，
A
到
BC
的距离为
5
米， 如图所示．请你
帮他们求出滴水湖的半径为 。
4、如图， 点C、D分别在扇形AOB的半径OA、OB的延长线上，且OA＝3，AC＝2，
CD平行于AB，并 与弧AB相交于点M、N．
（1）求线段OD的长；
（2）若
tan?C?





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1
，求弦MN的长．
2
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第二讲：直径所对的圆周角
【知识要点】
1、圆周角的定义：顶点在圆上，两边与圆相交的角叫圆周角。
2、三角形的外接圆、外心的定义，直角三角形外心的位置是 。
3、在圆中，90°的圆周角所对的弦是直径；直径所对的圆周角是直角。

【例题分析】
1、证明：在圆中，90°的圆周角所对的弦是直径；直径所对的圆周角是直角。






2、如图，AB是⊙O的直径，若AB=AC，求证：BD=CD.




相交于点E，AC=10,求AE的长.





【巩固练习】
1、若AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，在∠BAC=10°，则∠ABC=________. < br>2、若AB是⊙O的直径，D是⊙O上的任意一点(不与点A、B重合)，延长BD到点C，
使D C=BD，判断△ABC的形状：____________________。
3、如图，点A、B、C、D在圆上，AB=8,BC=6,AC=10,CD=4.求AD的长.






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D
C
A
B
O
A
C
A
O
C
D
B
3、如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，以OA为直径的⊙D与AC
E
C
D
O
B
A
B
第3题
……………………………………………………………………
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【回家作业】
1、三角形的外心是 的交点。

锐角三角形的外心在 ，直角三角形的外心在 ,
钝角三角形的外心在 。
2、P为⊙O内一点，OP=3 cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为_________cm；
D
最长弦长为_ __________cm．
C
3、如图，A、B、C三点在⊙O上，且AB是⊙O的直径，半径OD⊥AC，
F
B
垂足为F，若∠A=30?，OF=3，则OA=_____ , AC=______ ,
A
O
BC= _________ .

4、如图，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，若
?ABC=
?
，
A
r
表示AB与AC。 ⊙O半径为
r
，试用
?
、






B
O
C
5、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， 点O在AB上，以O为圆心、OA长为半径的圆与
AC、AB分别交于点D、E，且∠CBD=∠A，
判断BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论。
C

D



O
B
A

E




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第三讲：因式分解（部分）与解方程（组）
【知识要点】
1、十字相乘法与分组分解法；
2、解二元二次方程组（以代入法为主）

【例题分析】
例1、分解下列因式：
2
（1）
x?5xy?6y
（2）
3x?8x?3
（3）
1?x?4xy?4y

2222

22
（4）
2m?mp?np?2n

（5）
x
1
?3x
1
?(x
2
?3x
2
)
（6）
x
1
?
x
2
x
?(x< br>2
?
1
)

x
1
x
2

?
2x?y?0
?
x?y?11
例2、解方程组①
?
2
②
?
2
xy?28
?
?
x?y?3?0


?
y
2
?4x?2y?1?0
例3、已知方程 组
?
有两个不相等的实数解，求
k
的取值范围。
?
y?kx?2




【巩固练习】
1、分解下列因式：
（1）
x?7xy?12y
（2）
6y?11y?10
（3）
x
2
?a
2
?2ab?b
2

22 2
x
2
2
x
1
2
（4）
mx?mx?n? nx

（5）

2x?x
1
?(2x
2
?x
2
)
（6）
x
1
??(x
2
?)

x
1
x
2
2
2
1
2

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12 24

?
x
2
?2y
2
?82、解下列方程组： (1)
?

?
x?y?2


?
11
??1
?
?
xy
(2)
?

?
xy??
1
?
6
?
?x
2
?y
2
?1?0
3、方程组
?
有唯一解， 则
m
的值是 。
?
y?x?m?0
【回家作业】
1、分解下列因式：
4222
（1）
x?7x?18
（2）
4m?8mn?3n
（3）
4x?65xy?16y

4224

（4）
a
2
?b
2
?c
2
?2bc

（5）
a
3
?a
2
b? ab
2
?b
3

（6）
3x
1
?


2、解下列方程组：






(1)
?
2
55
?(3x
2
2
?)

x
1
x
2
?
x?y?1
22
?
2x?3xy ?y?5
(2)
?
?
x?y??3

?< br>xy?2
?
y?x
2
3、已知方程组
?
有两个不同的 实数解，求实数
m
的取值范围。
?
y?x?m




4、当实数a为何值时，方程组
?

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?
y=ax+1

22
3x?y=1
?
①仅有一个解， ②没有实数解， ③有两个实数解。
……………………………………………………………………
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第四讲：函数图像的平移
【知识要点】
1、了解
f(x)
，
f(x?a)
，
f(x)?b
三类函数图像之间的关系 。
2、一次函数图像的平移：

?
3、二次函数图像的平移：

y?a(x?h)
2
?k
向左（右）平移
m(m?0)
个单 位长度可得
y?a(x?m?h)
2
?k

y?a(x?h)
2
?k
向上（下）平移
b(b?0)
个单位长度可得
y?a(x? h)
2
?k?b

4、函数图像的平移变换的一般规律:
y?f( x)
的图像向左（右）平移
a(a?0)
个单位长度可得
f(x?a)
的图像，
y?f(x)
的图像向上（下）平移
b(b?0)
个单位长度可 得
f(x)?b
的图像。
【例题分析】
1
(x?2)
向左平移3个单位，则平移后函数的解析式为__________；
2
1
已知直线< br>y?(x?2)
向上平移2个单位，则平移后函数的解析式为____________。
2
11
例2、由直线
y?(x?2)
经过怎样的平移得直线
y?x?5
？
22
例1、已知直线
y?


例3、已知直线
l< br>1
:y?3x?12
，将其向右平移5个单位长度得到直线
l
2
，求直线
l
2
的解析
式．


例4、（1）由 抛物线
y?
1
2
?
x?1
?
?2
先向左平 移2个单位，再向上平移3个单位得到新
2
抛物线，则新抛物线的解析式为_________ ____________；
（2）由抛物线
y?
1
2
x?x?1
先向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到新抛物线，
2
则新抛物线的解析式为_ ________________________
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< br>1
1
?
1
?
2
例5、（1）抛物线
y??
x?1
?
?2
要经过怎样的平移得到抛物线
y?
?< br>x?
?
?2
？
2
2
?
2
?

（2）函数
y?
?
2x?3
?
?2
的图像要经过怎样的平移得到函数
y?
?< br>2x?1
?
?2
的图像？

例6、已知二次函数的图像过点 （0，3），图像向左平移2个单位后的对称轴是
y
轴，向
下平移1个单位后与
x
轴只有一个交点，求此二次函数的解析式。


例7、把函数
y?
2
2
2
1
的图像向右平移3个单位，再向下平移2个单位所得到 的函数的解析
x
式为__________________


例8、（1）函数
y?
（2）
y?
1
?2
的图像的对称中心 为______________；
x?3
x?5
的图像的对称中心为______________；
x?3
7?2x
（3）
y?
的图像的对称中心为______________.
x?3




【巩固练习】
1
x?2
向下平移3个单位长度后得到的直线解析式是 ．
3
x?1
2．直线
y?
向右平移3个单位长度后得到的直线解析式是 ．
6
1．直线
y?
3．直线y=8x+13既可以看作直线y=8x-3向 ＿＿＿平移(填“上”或“下”)＿＿＿单位长度得
到；也可以看作直线y=8x-3向＿＿＿平移(填 “左”或“右”)＿＿＿单位长度得到．
4. 将抛物线y= -2(x-1)
2
+ 3向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线解析式
为________________ _______．
5. 抛物线
y?
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1
2
1
x?3
要经过怎样的平移可得到
y?(x－3)
2
的 图像？
22
……………………………………………………………………
15 24

2x?5
的图像的对称中心为______________.
x?3
7． 已知二次函数的图像与
x
轴只有一个交点，图像向右平移2个单位后的对称轴是
y轴，
6.
y?
向下平移1个单位后经过点（0，-1），求此二次函数的解析式。
【回家作业】
1．要从直线
y?
11
x?3
得到直线y?x
的图像，只须（ ）
22
A．向上平移3个单位； B．向下平移3个单位；
C．向左平移3个单位； D．向右平移3个单位．
2．要从抛物线y= -2x
2
的图像得到y= -2x
2
-1的图像，则抛物线y= -2x
2
只须（ ）
A．向上平移1个单位； B．向下平移1个单位；
C．向左平移1个单位； D．向右平移1个单位．
3．将抛物线y= -3x
2
的图像向右平移1个单位，再向下平移两个单位后，则所得抛物线解
析式为（ ）
A．y= -3(x-1)
2
-2； B．y= -3(x-1)
2
+2； C．y= -3(x+1)
2
-2； D．y= -3(x+1)
2
+2．
4．要从抛物线y=2x
2
得 到y=2(x-1)
2
+3的图像，则抛物线y=2x
2
必须 （ ）
A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位；
B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位；
C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位；
D．向右平移1个单位，再向上平移3个单位．
3
x
向左平移1个单位得到直线（ ）
2
333333
A．
y??x?1
； B．
y??x?1
； C．
y??x?
； D．
y??x?

222222
1
2
1
2
6．函数
y?x
与
y?x?2
的图像的不同之处是（ ）
33
5．直线
y??
A．对称轴 B．开口方向 C．顶点 D．形状
7．把函数
y??
2
的图像向左平移1个单 位，再向上平移2个单位所得到的函数的解析式
x
为__________________
8．函数
y?
?2x?1
的图像的对称中心为______________ .
x?2
2
9．把二次函数
y??x
的图像先向右平移2个单位， 再向上平移5个单位后得到一个新
图像，求新图像所表示的二次函数的解析式。
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……………………………………………………………………
16 24

10．把函数y= -2x
2
-4x+1的图像经过怎样的变换可得到函数y= -2x
2
＋4x的图像？









11．已知
a?b?c?0
，
a?0
，把抛物线
y?ax?bx?c
向下平移1个单位，再向左平
移5个单位所得到的新 抛物线的顶点是（－2，0），求原抛物线的解析式。










12．作出函数
y?
到的。













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2
2x?11
的 图象，并说出有关性质，指出它是由
y?
的图象如何变化得
x?1x
………… …………………………………………………………
17 24

第五讲：一元二次方程的根与系数的关系
【知识要点】
1、一元二次方 程
ax?bx?c?0
?
a?0
?
的求根公式
2
2、韦达定理：设
x
1
、x
2
是一元二次方程
ax?bx? c?0
?
a?0
?
的两个实根，
2
则
x
1
?x
2
??
b
,
a
【例题分析】
2
x
1
?x
2
?
c

a
1、已知关于
x
的方程
2x?5x?p?0
的一个根为
3
， 求方程另一根及
p
的值。


2、已知方程
2x?4x? 1?0
的两根为
x
1
、x
2
，求下列各式的值：
（1）
?
x
1
?2
??
x
2
?2
?
； （2）



3、已知关于
x
的方程
x?3x?2a?1?0
有两个正根，求实数
a
的取值范围。



【巩固练习】
1、已知关于
x
的方程
3x?19x?k ?0
的一个根为
1
，求方程另一根及
k
的值。


2、已知方程
?3x?x?1?0
的两根为
x
1
、x
2
，求下列各式的值：
（1）
1
?
1
；（2）
x
1
?x
2
；（3）。
?
2x
1
?1??
2x
2
?1
?
。
x
1
x
2



3、已知关于
x
的方程
x?
?
2m?1
?
x?m?1?0
的两个实 数根的平方和为
9
，求实数
m
的值。
22
2
x
2
x
?
1
； （3）
x
1
?x
2
。
x
1
x
2
2
2
2



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……………………………………………………………………
18 24

4、设m、n是一元二次方程x
2
＋3x－7＝0的 两个根，求m
2
＋4m＋n的值．


【回家作业】
1、已知关于
x
的方程



2、已知方程
4x?8x?1?0
的两根为
x
1
、x
2
，求下列各式的 值：
1
??
1
?
x?1x
1
?1
； （3）
3x?x
。 （1）
?
?
?
x
1
? 3
??
x
2
?3
?
； （2）
2
12x
1
x
2
?
2
??
2
?
2< br>1
2
2
x?ax?2?0
的一个根为，求方程另一根及
a的值。
2
3







3、已知关于
x
的方程
?
k?1
?
x?
?
2k?3
?
x?k?1?0
有两个不相等的实根
x
1
、x
2
。
2
（1）求实数
k
的取值范围；
（ 2）是否存在实数
k
，使得方程的两个实数根互为相反数？若存在，求出
k
的 值；若不
存在，请说明理由。









4、（选做题）已知关于
x
的方程
x?5x ?1?3a?0
的两根为
x
1
、x
2
。
（1） 若
x
1
?2，x
2
?2
，求实数
a
的取值 范围。
2
，x
2
?1
，求实数
a
的取值范围。 （2） 若
x
1
?1


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……………………………………………………………………
19 24

第六讲：二次函数
y?ax?bx?c
（
a,b,c
是常数，
a?0
）
【知识要点】
2
?
b4ac?b
2
1、 顶点为
?
?
?
2a
,
4a
?
b
?
，对称轴为
x??； 当定义域是一切实数时，
?
?
2a
?
4ac?b
2
4ac?b
2
如果
a?0
，则存在最大值；如果
a?0< br>，则存在最小值。
4a
4a
2、 当
a?0
时，在
x??
bb
时
y
随
x
的增大而减小（单调递减），在
x??
时
y
随
x
的
2a2a
bb
时y
随
x
的增大而增大（单调递增），在
x??
时
y随
x
的
2a2a
增大而增大（单调递增）；
当
a?0
时，在
x??
增大而减小（单调递减）。
【例题分析】
1、求下列函数图像的顶点坐标与对称轴：
（1）
y?x?8x?18
； （2）
y?4x?8x?1
； （3）
y??2x?3x?1
。






2、分别按下列要求计算函数
y?x?4x?3
的最大值和最小值：
（1）
x
取一切实数； （2）
0?x?4
； （3）
?3?x?5
。







3、 已知函数
y??x?ax?
2
2
222
a 1
?
，当
0?x?1
时，函数随着
x
的增大而增大（单调递
42
增），求实数
a
的取值范围。


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……………………………………………………………………
20 24

【巩固练习】
1、求下列函数的顶点坐标：（1）
y?


2、分别在下列各范围上求函数
y?x?2x?3
的最值：
（1）
x
取一切实数；（2）
?2?x?2
；（3）
1?x?3
；（4）< br>?3?x??2
。




3、已知函数
f
?
x
?
?x?2ax?2
，
?5?x?5
。
2
2
1
2
x?3x?2
； （2）
y??3x
2
?2x?1

2
（1）当
a? ?1
时，求函数
f
?
x
?
的最大值与最小值；
（ 2）求实数
a
的取值范围，使得当
?5?x?5
时，函数
y?f?
x
?
的值随着
x
的增大而减
小（单调递减）。



【回家作业】
1、 求函数
y?6x?x?2
的顶点坐标与对称轴。


2、 已知函 数
y?x?
?
a?2
?
x?3
的图像关于
x?1< br>对称，求实数
a
的值及函数的顶点坐
2
2
标。


3、 已知函数
y?4x?mx?5
在
x?2
时单调递增 ，求实数
m
的取值范围。


4、 求函数
y??2x?x?1
在
0?x?1
时的最值。


5、（选做题）函数
f(x)?x?2x?3
在
0?x?m
上的最大 值为
3
，最小值为
2
，求实数
2
2
2
m< br>的取值范围。
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