高中数学竞赛系列讲座

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第四讲 指数函数与对数函数

指数、对 数以及指数函数与对数函数，是高中代数非常重要的内容。无论在高考及数学竞赛
中，都具有重要地位。 熟练掌握指数对数概念及其运算性质，熟练掌握指数函数与对数函数这一
对反函数的性质、图象及其相互 关系，对学习好高中函数知识，意义重大。

一、 指数概念与对数概念：

指数的概念是由乘方概念推广而来的。相同因数相乘a·a……a(n个)=a导出乘方，这里的< br>n为正整数。从初中开始，首先将n推广为全体整数；然后把乘方、开方统一起来，推广为有理
指 数；最后，在实数范围内建立起指数概念。

欧拉指出：“对数源出于指数”。一般地， 如果a(a>0,a≠1)的b次幂等于N，就是a=N，
那么数b叫做以a为底N的对数，记作：lo g
a
N=b

其中a叫做对数的底数，N叫做真数。

a=N与b=log
a
N是一对等价的式子，这里a是给定的不等于1的正常数。当给出b求N 时，
是指数运算，当给出N求b时，是对数运算。指数运算与对数运算互逆的运算。

二、指数运算与对数运算的性质

1．指数运算性质主要有3条：

a·a=a,(a)=a,(ab)=a·b（a>0,a≠1,b>0,b≠1）

xyx+yxyxyxxx
b
b
n
2．对数运算法则（性质）也有3条：

（1）log
a
(MN)=log
a
M+log
a
N
（2）log
a
MN=log
a
M-log
a
N
（3）log
a
M=nlog
a
M(n∈R)
n

(a>0,a≠1,M>0,N>0)

3．指数运算与对数运算的关系：

X=a
log
a
x；m
log
a
n
=n
log
a
m

4．负数和零没有对数；1的对数是零，即

log
a
1=0；底的对数是1，即log
a
a=1

5．对数换底公式及其推论：

1 9

换底公式：log
a
N=log
b
Nlog
b
a
推论1：log
a
N=(nm)log
a
N
m
n
推论2：
三、指数函数与对数函数


函数y=a(a>0,且a≠1)叫做指数函数。它的基本情况是：

x
（1）定义域为全体实数（-∞，+∞）
（2）值域为正实数（0，+∞），从而函数没有最大值与最小值，有下界，y>0
（3）对应关系为一一映射，从而存在反函数--对数函数。
（4）单调性是：当a>1时为增函数；当0 （5）无奇偶性，是非奇非 偶函数，但y=a与y=a的图象关于y轴对称，y=a与y=a的图
象关于x轴对称；y=a与y=l og
a
x的图象关于直线y=x对称。
（6）有两个特殊点：零点（0，1），不变点（1，a）
（7）抽象性质：f(x)=a(a>0,a≠1),
f(x+y)=f(x)·f(y),f(x-y)=f(x)f(y)

函数y=log
a
x(a>0,且a≠1)叫做对数函数，它的基本情况是：

（1）定义域为正实数（0，+∞）
（2）值域为全体实数（-∞，+∞）
（3）对应关系为一一映射，因而有反函数——指数函数。
（4）单调性是：当a>1时是增函数，当0 （5）无奇偶性。但y=lo g
a
x与y=log(
1a
)x关于x轴对称，y=log
a
x与y=log
a
(-x)图象关于
y轴对称，y=log
a
x与 y=a图象关于直线y=x对称。
（6）有特殊点（1，0）,(a，1)
（7）抽象运算性质f(x)=log
a
x(a>0,a≠1)，
f(x·y)=f(x)+f(y),
f(xy)=f(x)-f(y)

例1．若f(x)=(a(a+√a))，求f(11001)+f(21001)+f(31001)+…+f (10001001)

xx
x
x
x
x-xx-x
分析：和式中共有1000项 ，显然逐项相加是不可取的。需找出f(x)的结构特征，发现规律，
注意到11001+100010 01=21001+9991001=31001+9981001=…=1，

而
f(x)+f(1-x)=(a(a+√a))+(a(a+√a))=(a(a+√a))+(a(a+a· √a))=(a(a+√a))+(
(√a)(a+√a))=((a+√a)(a+√a))=1规律 找到了，这启示我们将和式配对结合后再相加：

xxx
xx1-x1-xxxxxx
原式
=[f(11001)+f(1 0001001)]+[f(21001)+f(9991001)]+…+[f(5001001)+f(50 11001)]=(1+1
+…+1)5000个=500

2 9

说明：观察比较，发现规律f(x)+f(1-x)=1是本例突破口。

（1）取a=4就是1986年的高中数学联赛填空题：设f(x)=(4(4+2))，那么和式
f(11001)+f(21001)+f(31001)+…+f(10001001)的值= 。
（2）上题中取a=9，则f(x)=(9(9+3))，和式值不变也可改变和式为求
f(1n)+f(2n)+f(3n)+…+f((n-1)n).
（3）设f(x)=(1( 2+√2))，利用课本中推导等差数列前n项和的方法，可求得
f(-5)+f(-4)+…+f(0 )+…+f(5)+f(6)的值为 。这就是2003年春季上海高考数学第12
题。

例2．5
log
2
5
x
xx
xx
等于：（ ）

log
2
5
（A）12 （B）(15)10
解：∵5
log
2
5
（C）10
)(2
log
4
5
（D）10
log
5
2

=(102)
log
2
5
=(10
log
2
5log
2
5
)=( 15)×10
log
2
5
∴选（B）

说明： 这里用到了对数恒等式：a
log
a
N
=N(a＞0,a≠1,N＞0)
这是北京市1997年高中一年级数学竞赛试题。

例3．计算

解法1：先运用复合二次根式化简的配方法对真数作变形。


解法2：利用算术根基本性质对真数作变形，有



说明：乘法公式的恰当运用化难为易，化繁为简。

例4．试比较(122002
+1)(12
2003
+1)与(12
2003
+1) (12
2004
+1)的大小。

2003
解：对于两个正数的大小，作商与1比较是常用的方法，记12=a＞0，则有

3 9

((12
2002
+1)(12
2003
+1))÷((12
22
2003
+1)(12
2004
+1)) =((a12)+1)(a+1)·((12a+1)(a+1))=((a+12)(
2
12 a+1))(12(a+1))=((12a+145a+12)(12a+24a+12))＞1

故得：((12
2002
+1)(12
2003
+1))＞(( 12
2003
+1)(12
2004
+1))

例5．已知(a,b为实数)且f(lglog
3
10)=5，则f(lglg3)的值是（ ）

（A）-5 （B）-3 （C）3 （D）随a,b的取值而定

解：设lglog
3
10=t，则lglg3=lg(1log
3
10)=-lglog
3
10=-t

而f(t)+f(-t)=

∴f(-t)=8-f(t)=8-5=3


说明：由对数换底公式可推出log
a
b·log
b
a=(lg blga)·(lgalgb)=1，即log
a
b=(1log
b
a)，< br>因而lglog
3
10与lglg3是一对相反数。设中的部分
，则g(x)为 奇函数，g(t)+g(-t)=0。这种整体处理的思想巧用了奇函数
性质使问题得解，关键在于细致 观察函数式结构特征及对数的恒等变形。

例6．已知函数y=((10-10)2)(X∈R)

x-x
（1）求反函数y=f(x)
（2）判断函数y=f(x)是奇函数还是偶函数

-1
-1
分析：（1）求y=(10-102的反函数首先用y把x表示出来，然 后再对调x,y即得到y=f(x)；

x-x)-1
（2）判断函数y=f(x)的奇偶性要依据奇函数或偶函数的定义，看当X∈R时是否有

-1
f(-x)=-f(x)或(f(-x)+f(x)=0)
或f(-x)=f(x)
恒成立。

解：（1）由y=((10-102)(X ∈R)可得2y=10-10，设10=t，上式化为：2y=t-t两边乘
t，得2yt=t-1整理 得：t-2yt-1=0，解得：
22
x-x)x-xx-1


4 9

由于t=10＞0，故将
x
舍去，得到：将t=10代入上式，即
x
得:



所以函数y=((10-10)2)的反函数是
x-x
(2)由得:


∴f-1(-x)=-f(x)


所以，函数 是奇函数。

x-x)
说明：①从本题求解及判断过程可以得到更一般的结论：函 数y=((a-a2)(X∈R,a＞
0,a≠1)的反函数是
函数

（A）是奇函数，它在(0,+∞)上是减函数；
（B）是偶函数，它在(0,+∞)上是减函数；
（C）是奇函数，它在(0,+∞)上是增函数；
（D）是偶函数，它在(0,+∞)上是增函数。

②函数y=((a-a2)是由y=f (x)=a构造而得，全日制普通高级中学教科书（试验修订本。
必修）《数学》第一册（上）（人民教 育出版社中学数学室编著）P107复习参考题二B组第6
题：设y=f(x)是定义在R上的任一函数 ，

求证：（1）F
1
(x)=f(x)+f(-x)是偶函数；
（2）F
2
(x)=f(x)-f(-x)是奇函数。

而f(x)=F
1
(X)+F
2
(x)，它说明，定义在R上的任一函数都可 以表示成一个奇函数(F
2
(x))与
一个偶函数(F
1
(x))的 代数和。从这个命题出发，由f(x)=a就可以构造出诸多奇函数，比如，
y=((a-a2)；y= ((a-a(a+a))=((a-1)(a+1))等等用自然对数的底e≈2.71828…（无理
x-x)x-x)x-x2x2x
x
x-x)x
，它们都是奇函数。当a=2,3,1 0或e时就构造了新的特
x-x
殊的题目。进一步还可以研究它们的单调性，如1992年高考 数学试题：函数y=((e-e)2)的反
5 9

数）作底，作函数sh( x)=((e-e)2),ch(x)=((e+e2),th(x)=((e-e(e+e
双曲正弦函 数，双曲余弦函数，双曲正切函数，它们具有如下性质：

(1)ch(x)-sh(x)=1;
(2)sh(x+y)=sh(x)·ch(y)+ch(x)·sh(y);
(3)ch(x+y)=ch(x)·ch(y)+sh(x)·sh(y);
(4)th(x+y)=((th(x)+th(y))(1+th(x)·th(y)));
(5)ch(-x)=ch(x);
(6)sh(-x)=-sh(x);
(7)th(-x)=-th(x).
令x=y，则有
(8)sh(2x)=2sh(x)·ch(x);
(9)ch(2x)=ch(x)+sh(x)
其中①⑧⑨合起来，就是课本P107的第8题。

例7．已知函数f(x)=log
a
((1+x)(1-x))(a＞0,a≠1)

（1）求f(x)的定义域
（2）判断f(x)的奇偶性并给以证明；
（3）当a＞1时，求使f(x)＞0的x取值范围；
（4）求它的反函数f(x)
< br>-1
22
22
x-xx-x)x-x)x-x))
它们分别叫做
解：（1）由对数的定义域知((1+x)(1-x))＞0
解这个分式不定式，得：(x+1)(x-1)＜0,-1＜x＜1
故函数f(x)的定义域为（-1，1）

（2）f(-x)=log
a
((1-x)(1+x))=log((1+x)(1-x))=-log
a
((1+x)(1 -x))=-f(x)
由奇函数的定义知，函数f(x)是奇函数。

（3）由 log
a
((1+x)(1-x))＞0＜＝＞log
a
((1+x)(1- x))＞log
a
1，

因为a＞1，所以由对数函数的单调性知((1 +x)(1-x))＞1，考虑由（1）知x＜1,1-x＞0，
去分母，得：1+x＞1-x,x＞0 故：0＜x＜1

所以对于a＞1，当x∈(0,1)时函数f(x)＞0

（4）由y=log
a
((1+x)(1-x))得：((1+x)(1-x)) =a应用会比分比定理得：
((1+x)+(1-x))((1+x)-(1-x))=((a+1)( a-1))即:(22x)=((a+1)(a-1))

yyyy
y
-1
∴x=((a-1)(a+1))交换x,y得：
y=((a-1)(a+1))，它就是函数f(x)=log
a
((1+x)( 1-x))的反函数f(x)即
f(x)=((a-1)(a+1))

-1xx
xx-1
yy
说明：（1）函数y=log
a
((1+x)(1-x))与y=((a-1)(a+1))是一对反函数。取a=e，函数
y=((e -1)(e+1))的反函数的定义域是 。这就是89年的高考题目。

xx
xx
6 9

（2）已知f(x)=lg((1- x)(1+x)),a,b∈(-1,1)求证：f(a)+f(b)=f((a+b)(1+ab))（P89
习题2.8第4题）可以看作该类函数的性质。

（3）y=a与y=loga
x；y=((a-a)2)与
xx-x
；y=((a-1)(a+1))与xx
y=log
a
((1+x)(1-x))这三对互反函数及其性质需要理解记 忆。

例8．2
2003
的十进制表示是个P位数，5
是个P位数,
2003
2003
的十进位表示是个q位数，则p+q= 。

解：∵2
∵5
①×②得:10
2003
∴10＜2
2003
p-1
＜10 ①
＜10 ②
2003
q
p
是个q位数，
2003
∴10＜5
p+q-2
q-1
＜(2×5)
p+q-2
＜10
p+q
即10＜10＜10 ③
2003p+q
∴2003=p+q-1
∴p+q=2004

例9．已知x-2x+log
a
(a-a)=0有一正根和一负根，求实数a的范围。

22
解：方程有一正根一负根的充分必要条件是：

log
a
(a-a)＜0（由韦达定理而来）①

2
由a＞0,a≠1,a-a=a(a-1)＞0,可得a＞1 ②，从而由log
a
(a-a) ＜0=log
a
1得:a-a＜1,a-a-1
2222
＜0，解得:
2x
③，由②③得：
x2x

例10．设y=log(
12
)[a+2(ab)-b+1](a＞0,b＞0)，求使y为负值的x的取值范围

解：∵(12)＜1,要使y＜0,只要

a+2(ab)-b+1＞1，
即a+2(ab)-b＞0
→b[(ab)+2(ab)-1]＞0
→[(ab)]+2(ab)-1＞0
→
→∵
→.



x2x
2x2xx
2xx2x
2xx2x
7 9

1°当a＞b＞0时,ab＞1,
2°当b＞a＞0时,0＜ab＜1,
3°当a=b＞0时，x∈R。

练习四

；

1．设a,b,c都是正数，且3=4=6，那么（ ）
（A）(1c)=(1a)+(1b), (B)(2c)=(2a)+(1b), (C)(1c)=(2a)+(2b),
(D)(2c)=(1a)+(2b)

2.F(x)=(1+((2(2-1)))·f(x)(x≠0)是偶函数，且f(x)不恒等于零，则f(x )( )
（A）是奇函数 （B）是偶函数
（C）可能是奇函数也可能是偶函数 （D）不是奇函数也不是偶函数

3．若f(x)=3+5，则f(x)的定义域是（ ）
（A）(0,+∞) (B) (5,+∞) (C) (8,+∞) (D) (-∞,+∞)

4．求值：6
lg40
x-1
x
abc
×5
lg36

5． 已知m,n为正整数，a＞0,a≠1,且
log
a
m+log
a
( 1+(1m))+log
a
(1+(1(m+1))+…+log
a
(1+( 1(m+n-1)))=lg
a
m+log
a
n。求m,n

6．X=((1(log(
12
)(13))+(1(log(
15)(13))的值属于区间（ ）
（A）（-2，-1） （B）（1，2） （C）（-3，-2） （D）（2，3）

7．计算：

（1）lg20+log
100
25 (2)lg5·lg20+(lg2)

2
8．若集合{x，xy，lg(xy)}={0，∣x∣,y}，则log
8
(x+y)= 。

22
9．若x∈(1,10)，则lgx,lgx,lglgx的大小顺序是：
（A）lgx＜lgx＜lglgx (B)lg
2
＜lglgx＜lgx
（C）lgx＜lgx＜lglgx (D)lglgx＜lgx＜lgx

2222
22x2
22
10．计算：

11．集合{x∣-1≤log(
1x
)10＜-(12),x∈N}的真子集的个数是 。

12．求函数y=(14)
x2-2x-3
的单调区间。

x22
13．已知指数函数f(x)=a(a＞0,且a≠1)，求满足f(3x-4x- 5)>f(2x-3x+1)的x的取值。

8 9

14．解 方程8
log
6
(x2-7x+15)
=5
log
6
8

15．设有关于x的不等式lg (∣x+3∣+∣x-7∣)＞a

（1）当a=1时，解这个不等式；
（2）当a为何值时，这个不等式的解集为R？

参考答案

1.（B）；2.（A）；3.（B）；4.216；5.m=2，n=2；
6.（D）；7.（1）2，（2）1；8.13；9.（D）；
10.12；11.2-1；12.单调增区间（-∞，1]，单调减区间[1，+∞）
13.当a＞1时，x＜-2或x＞3，当0＜a＜1时，-2＜x＜3；
14.x1=2,x2=5；
15.(1)x＜-3或x＞7，（2）a＜1


90


9 9