2014年自主招生培训讲义

2014年自主招生培训讲义
第一讲.方程与多项式
知识要求
1.因式分解方法
2.待定系数方法
3．对称参引方法
4.构造方法
例题分析
1. 解不等式
(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)?24.
（2009年南京大学）
2.在实数范围内解方程
4
10+x?
4
7?x?3.
（2005年复旦大学保送生试题）
相关习题
2n2n1?2n
（1）.已知x?y?1
，
n
为正整数，求证：
x?y?2.
（2009年清华大学）
（2）已知
a
、
b
为非负实数，
M?a?b
，且
a?b?1
，求
M
的最值.
（2006年清华大学）
322
3.设实数
k?9
，解方程
x?2kx?kx?9k?27?0.
（2006年复旦大学保送生）
44
相关习题
32
（1）.已知方程
x?px?qx?1?0有3个实根，
p?0
且
q?0
.求证：
pq?9.

（2008年南开大学）
（2）.设
a,b,c?R
，使得方程
x ?ax?bx?c?0
有3个实根.
证明：如果
?2?a?b?c?0
，则 至少存在一个根在区间
[0,2]
中.
（2013年清华大学夏令营）
4 .已知方程
x?ax?bx?c?0
的三个根分别为
a
，
b
，
c
，并且
a,
，
b
，
c
是不全为零的< br>有理数，求
a
，
b
，
c
的值. （2005年上海交通大学）
相关习题
（1）.是否存在实数
x
，使得
tanx?3
和
cotx?3
均为有理数？ （2009年北京大学）
（2）请证明
2
是一个无理数. （2008年复旦大学面试）

1
32
32

5. 设实数
a
1
、
a
2
、
a
3
、b
1
、
b
2
、
b
3
满足
?
a
1
?a
2
?a
3
?b
1
?b< br>2
?b
3
,
?
?
a
1
a
2
?a
2
a
3
?a
3
a
1
?b1
b
2
?b
2
b
3
?b
3
b
1
,

?
min{a,a,a}?min{b,b,b}.
123123
?
求证：
max{a
1
,a
2
,a< br>3
}?max{b
1
,b
2
,b
3
}. （2008年北京大学）
6.（1）证 明：多项式
p(x)?x
3
?3x?1
有三个实根
a?b?c
；
（2）证明：若
x?t
为
p(x)
的一个根，则
x? t?2
也是
p(x)
的一个根；
（3）定义映射
f:{a,b,c }?{a,b,c}
，
t
2
t
2
?2
，求
f(a)
，
f(b)
，
f(c)
的值.
（2013年清华大学金秋营）

7.给出一个整系数多项式
f(x)?a< br>n
x
n
?a
n?1
x
n?1
?
3< br>?a
1
x?a
0
，使
f(x)?0
有一个根为
3?2
． （2009年清华大学）
相关习题
（1）.已知
x?19?99
是函数
f(x)?x
4
?bx
2
?c
的一个零点，
b,c
为整数，则
b?c
的
值是多少？ （2013年清华大学夏令营）
（2）.以
2
和
1?
3
2
为两根的有理系数一元
n
次方程的最高次数
n
的最小值为（ ）
A.2 B.3 C.5 D.6 （2013年北约）







2

第二讲．数学逻辑
知识要求
1.反证法
2.数形结合方法
3.不动点问题
例题分析
1. 是否存在四个正实数，它们两两乘积分别为2，3，5，6，10，16.
（2011年北约十三校联考）
相关习题
（1）.是否存在
0?x?π
，使得
sinx
，
cosx
，
tanxcotx的某种排列为等差数列？
2
（2010年北约）
（2）是否存在两两不同的 实数
a,b,c
使平面直角坐标系中的三条直线
y?ax?b
，
y? bx?c
，
y?cx?a
共点. （2013年北京大学保送生）
2.已知由正整数组成的无穷等差数列中有3项：13，25，41，求证：2009为其中一项.
（2009年北京大学）
相关习题
（1）. 已知
a
1
,a
2
,a
3
,,a
1
为
0
大于零的正实 数，且
a
1
?a
2
?a
3
??a
10?30
，
a
1
a
2
a
3
a
1 0
?21
.求证：
a
1
,a
2
,a
3,,a
10
这10个数是必有一个数在
(0,1)
之间.
（2012年北京大学保送生）
（2）已知正数数列
a
1
,a2
,,a
n
.对于大于的整数
n
，有
a
1?a
2
??a
n
?
3
n
，
2
a
1
a
2
a
n
?
n?1
，试证：
a
1
,a
2
,
2
,a
n
中至少有一个小于 1. （2000年上海交通大学）
（3）已知
a
i
（
i? 1,2,,2013
）为2013个实数，满足：
a
1
?a
2?
求证：
a
1
?a
2
?
?a
2013
?0
，且
|a
1
?2a
2
|?|a
2?2a
3
|??|a
2013
?2a
1
|
，
?a
2013
?0.
（2013年北约）
3.至多能取多少个两两不同的正整数，使得其中任意三个数的和为质数？证明你的结论.
（2013年北约）

3

相关习题
（1）在1、2、3、?、2012中任取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，则所取的
这组数中最多有多少个数？ （2012年北约）
（2）写出由3个质数组成的公差为8的等差数列. （2009年清华大学）
4. 有限多条抛物线（线和线的内部）能够覆盖整个平面吗？证明你的结论.
（2009年清华大学特色测试）

5. 设
p
，
q为实数，函数
f(x)?x
2
?px?q
，如果
f(f(x)) ?0
只有一个实数根，
求证：
p
，
q?0.
（2011年北京大学保送生试题）
相关习题
（1）. 已知函数
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
，且
f(x)?x
没有实数根.那么
f(f(x))?x
是
否有实数根？并证明你的结论. （2008年上海交通大学冬令营）
（2）.证明：若
f(f(x))
有唯一的不动 点，则
f(x)
也有唯一的不动点.
（2009年上海交通大学）
6.已 知方程
f(x)?x
的根是函数
f(x)
的不动点，令
f(x)?< br>（1）若
bx?c
.

x?a
1
，
3
为函数
f(x)
的不动点，求
a
，
b
，
c
的值；
2
1
（2）在（1）的条件下，若
f(1)?
，求
f(x)
的解析式. （2003年同济大学）
3
相关习题
b
、（1） .已知
a
、
c
、
d
为非负实 数，
f(x)?
若
x??
ax?b
(9)19?
(x?R)
，且
f1
cx?d
，
f(97)?97
，
d
，对任意的
x
均有
f(f(x))?x
，试求出
f(x)
值域以外的唯一数.
c
（2013年清华大学夏令营）
7.求证：一个数列
a
1
,a
2
,a
3
,,a
2n?1
中各 数相等的充分必要条件是
p
：其中任意
2n
个元素
中
n个元素之和等于另外
n
个元素之和. （2009年清华大学）




4

第三讲．集合与函数
知识要求
1.注重理解集合的基础知识
2.掌握柯西方法及柯西方程的转化
3.注意函数性质拓展与深化，注意导数工具的作用
4.了解极限的概念
典型例题
1.已知集合
A?{(x,y)(x?1) ?(y?2)?}
，集合
B?{(x,y)|x?1|?2|y?2|?a}
，
且
A?B
，求实数
a
的取值范围. （2008年浙江大学）
相关习题
（1）已知集合
M?{(x,y)|x(x?1 )?y(1?y)}
，
N?{(x,y)|x
2
?y
2
?k }
.若
M?N
，
则实数
k
的最小值为 （2009年上海交通大学）

2. 设
M?{x|f(x)?x}
，
N?{x|f(f(x))?x}.

（1）求证：
M?N.

（2）当
f(x)
是一个
R
上增函数时，是否有
M?N?
如果有，请证明.
（2010年浙江大学）
3. 求有限集合
A?{a
1
,a
2
,
22
5
4
,a
n
}
，其中
a
1
,a
2
,,a
n
为互不相等的正整数，使得
a
1
a
2
a
n
?a
1
?a
2
?

a
n
.
（2009年上海交通大学、2006年清华大学）
相关习题
（1）求所有满足
ta nA?tanB?tanC?[tanA]?[tanB]?[tanC]
的非直角
?ABC< br>.
这里
[x]
表示不大于
x
的最大整数（例如
[? 1.6??2]
，
[1.6]?1
）.
（2009年南京大学保送生） < br>（2）方程
111
???1
的所有正整数解
(x,y,z)?

xyz
（2012年清华大学保送生）（2003年上海交通大学冬令营）

5

2
?r?0
，使得4. 对于集合
M?R
，称
M
为开集，当且仅当
?P
0
?M
，
{P?R
2
|PP
0
|?r}?M}.
判断集合
{(x,y)4x? 2y?5?0}
与
{(x,y)x?0,y?0}
是否为
开集，并证明你的结 论.

（2007年清华大学）
相关习题
9}
的某些非空子集为奇子集，如果其中所有数的和为奇数；则共有多（1）. 称
{1,2,3，，
少个奇子集？ （2013年北京大学保送生）
5. 已知当
?
?1
时，函数
y? x
?
（
?
?0
）的图象如图所示.
?
（1）设< br>?
?1
，试用
y?x
（
?
?0
）说明，当< br>x
1
?0
，
x
2
?0
时，不
??< br>x
1
?x
2
?
x
1
?x
2
)?
等式
(

○
1 成立.
22< br>y
（2）利用（1）中不等式证明：若
0?s?t
，则对任意的正数
x
1
、
x
2
，
s
1
tt
1
x
1
s
?x
2
x?x
12
)
s
? ()
t

○
不等式
(
2 成立.
22O
x
(第5题图)
22
（3）当
x?0
、
y? 0
且
x?y?16
时，求
x?y
的最小值.
3
2
3
2
（2010年华中师范大学）
6. （柯西方程 ）设
f(x)
在
R
上单调，对
x
1
,x
2
?R
有
f(x
1
?x
2
)?f(x
1)?f(x
2
)

○
1
则
f(x)?f(1)?x.

相关习题
（1）. 若函数
f(x)
满足
f(x?y)?f(x)?f(y)?xy(x?y)
且
f< br>?
(0)?1
，求函数
f(x)
的
解析式. （2000年上海交通大学）
?1
（2） 若对每一个实数
x
，
y
，函数
f(x)
满足
f(x?y)?f(x)?f(y)?xy
，若
f(?2)??2
，试求满足
f(a)?a
的所有整数
a.
（2013年清华大学夏令营）
7.已知函数
f(x)
满足：对实数
a，
b
有
f(ab)?af(b)?bf(a)
，且
|f(x)| ?1
，
求证：
f(x)?0
.
（可用以下结论：若
li mg(x)?0
，
|f(x)|?M
，
M
为一常数，那么
l imf(x)g(x)?0
）
x???x???

6

（2006年清华大学）
相关习题
（1）. 设
f(x)
对一切实数
x
，
y
满足：
f(xy)?
2
xf(y)?
2
，
y(f ?)x(
2
x)y
且
2
求函数
f(x).
（2007年南京大学）
|f(x)?x?|1.
（2）求所有的
f:N
*
?N
*
，满足
xf(y)?yf(x)?(x?y)f(x
2
?y
2
)
对所有的正整数
x
，
y
都成立. （2013年中国科技大学夏令营）
8.方程
e?4?x
，
lnx?4?x
的解分别为
x
1
，
x
2
，则
x
1
?x
2
?
（ ）
A.2 B.4 C.6 D.8 （2013年复旦大学）
相关习题
（1）实数
a
，
b
满足
a?lga?1 0
，
b?10?10
，则
a?b?
_________
（2009年上海交通大学）
9.（1）已知函数
f(x)
不恒为0，且对
?x,y?R
，有
f(x?y)?f(x?y)?2f(x)f(y)
，若存在常数
T
，使得
f(T)?0.
求证：
4T
是f(x)
的一个周期，且
?1?f(x)?1.

（2013年华东师范大学）
相关习题
（1）已知函数
f(x)
满足
f(1)?
b
x
1
，
4f(x)f(y)?f(x?y )?f(x?y)(x,y?R)
，则
4
f(2010)
＝ （2010年高考重庆卷）
（2）定义在
R
上的函数
f(x)
满足
f(x?y)?f(x)?f(y)?2xy
（
x,y?R
），且
f (1)?2
，
则
f(?3)?
（ ）
A.2 B.3 C.6 D.9 （2008年陕西卷）
10. 已知函数
f(x)
在
[0,??)
上可导，且满足
f(0)?0
，
|f
?
(x)?f(x)|?1.< br>
证明：当
x?[0,??)
时，
|f(x)|?e?1.
(2012山东大学)
11. （1）设函数
f(x)?|lgx|,a,b
为实数 ，且
0?a?b
，若
a,b
满足：
x
f(a)?f(b) ?2f(
a?b
)
，试写出
a
与
b
的关系，并证明 在这一类关系中存在
b
满足
2
3?b?4.
（2002上海交通大学）

7

相关习题
?
| lgx|,0?x?10,
?
（1）已知函数
f(x)?
?
1
若
a
、
b
、
c
互不相等，且
f(a)?f(b) ?f(c)
，
?x?6,x?10.
?
?2
则
abc
的取值范围是（ ）
A.
(1,10)
B.
(5,6)
C.
(10,12)
D.
(20,24)
（2010年全国课标卷）
（2）已知函数
f(x)? |lgx|.
若
0?a?b
，且
f(a)?f(b)
，则
a ?2b
的取值范围是（ ）
A.
(22,??)
B.
[22,??)
C.
(3,??)
D.
[3,??)
（2010年全国I卷）
12.是否存在这样的实数
a
，使得
f(x)?ax?sinx
存在两切线相互垂直.
（2011年北京大学保送生）
13.求证：方程
2?x?7?0
只有
x?5
一个根. （2008年南开大学）
x
14. 设
x?0
，（1）求证：
e? 1?x?
x2
1
2
x
；
2
（2）若
e? 1?x?
15.已知
f(x)?(1?x)e
x
?1.

x
1
2y
xe
，求证：
0?y?x.
（2013年卓越）
2
（1）求证：当
x?0
时，
f(x)?0
；
（ 2）若数列
{x
n
}
满足
x
n
?e
xn?1
?1
，
x
1
?1
，
1
.
（2013年华约）
2
求证：数列
{x
n
}
单调递减，且
x
n
?
相关习题
e
x
?1
（1）.已知
f(x)?l n
，
a
1
?1
，
a
n?1
?f(a
n
)
.
x
（i）求证：
ex?e?1?0
恒成立；
（ii）试求
f(x)
的单调区间；
（iii）求证：
{a
n
}
为递减数列，且
a
n
?0
恒成立. （2012年清华大学保送生）
xx



8

第四讲．三角函数
知识要求
1.三角公式的灵活运用
2.了解布洛卡点
3.合理运用平面几何知识解决三角形问题
典型例题
1. 已知
sin(x?20)?cos(x?10)?cos(x?10)
，求tanx
的值. （2010年浙江大学）
相关习题
（1）. 求值：
sin10?sin50?sin70.
（2010年清华大学）
444
（2）. 比较
21

cos(x?y)?sinxcosy
与1的大小. （2013年清华大学夏令营）
22
22
2.. 在单位圆
x?y?1
上有三点
A(x
1
,y
1
)
，
B(x
2
,y
2
)
，
C(x
3
,y
3
)< br>满足：
x
1
?x
2
?x
3
?0
，
y
1
?y
2
?y
3
?0.

求证 ：
x
1
?x
2
?x
3
?y
1
?y
2
?y
3
?
222222
3
.
（2011年北京大学保送生）
2
3. 已知方程
sin4xsin2x?sinx sin3x?a
在
[0,
?
)
有唯一解，求实数
a
的值.
（2012年北约）
相关习题
（1）方程
2(sinx?cos x)?3?0
是否有解？若有解，求出所有的解；若无解，说明理由.
（2009年清华大学）
4.在
?ABC
内存在一点
O
， 满足
?BAO??CAO??CBO??ACO
，
求证：
?ABC
的三边构成等比数列. （2011年北京大学保送生）

5.设函数
f(x)?|sinx|?|cosx |
，讨论函数
f(x)
的性质（有界性、奇偶性、单调性、周期
性等），并求 出极值. （2007年上海交通大学）
相关习题

9

（1）. .函数
f(x)?2(sin2x?
3
)cosx?sin3x
，且
x?[0,2
?
].

2
（i）求函数
f(x)
的最大值与最小值；
（ii）求方程
f(x)?3
的解. （2012年清华大学保送生试题）
6. 求证：边长为1的正五边形的对角线长为
5?1
.

2
（2008年北约）
相关习题
（1）. 设
A,B,C
为边长为1的三角形三边长上各一点，求
AB?BC?CA
的最小值.
（2013年北约联考）
（2）一个圆内接四边形的四个边长依次为1，2，3，4，求这个圆的半径.
（2009年北京大学）
7.已知
?ABC
不是直角三角形.
(1)证明:
tanA?tanB?tanC?tanA?tanB?tanC.
< br>(2)若
3tanC?1?
222
tanB?tanC
，且
s in2A
、
sin2B
、
sin2C
的倒数成等差数列，求
tanA
cos
A?C
的值. (2011年华约七校联考)
2
相关习题
63 .在
?ABC
中 ，三个内角
A
、
B
、
C
的对边分别为
a
、
b
、
c
，
已知
(a?c)(sinA?sinC)?(a?b)sinB.

（1）求角
C
的大小；
（2）求
sinAsinB
的最大值. （2013年卓越）
8. 设
a,b,A,B
均为已知实数，对任意
x?R
，
Acos2x?Bsin2x?acosx?bsinx?1
恒成立，
求证：
a?b?2
且
A?B?1.
（第19届IMO）（2009年哈尔滨工业大学）
相关习题
（1）.已知对任意
x
均有
acosx?bcos2x??1
恒成立，求
?
2222?a?b
的最大值.
（2009年北京大学）

10

第五讲．等式与不等式
知识要求
1.研究等式成立的条件，并进行求值；
2.掌握不等式的解法
3.掌握几个重要的不等式，如平均值不等式、柯西不等式、排序不等式、琴生不等式等
典型例题
a
2
b
?
2
?1
，
a
2
b?b
2
c?c
2
a?t
，求
ab5
?bc
5
?ca
5
的值. 1..已知
abc??1
，
cc
（2013年清华大学保送生试题）
相关习题
（1）已知
x
2
?2y?5
，
y2
?2x?5
，求
x
3
?2x
2
y
2
?y
3
的值. （2013年北约）

222
2. 若
?
、
?
、
?
?(0,)< br>，且
cos
?
?cos
?
?cos
?
?1.

π
2
求证：
tan
?
?tan
?
?tan
?
?22.
（2013年中国科技大学夏令营）
相关习题
（1）有小于1的正数：
x
1
,x
2
,
求证：
,x
n
满足
x
1
?x
2
??x
n
?1.

11
??3
x
1
?x
1
3
x
2
?x
2
?
1

?4.
（2010年浙江大学）
3
x
n
?x
n
22
3. 求证：对任意的
x,y?R
，不等式
x?xy?y?3(x?y?1)
总成立 .
（2009年中国科技大学）
4.. 设
x
1
?x
2
?x
3
?x
4
?2
，且
x
2
?x
3
?x
4
?x
1
.

求证：
(x
1
?x
2
?x
3
?x
4
)?4x
1
x
2
x
3
x
4
.
（2013年清华大学夏令营）
相关习题
*
（1）. 已知
n?N
，
n?2.
求证：
(1?)?3.
（2013年中国科技大学夏令营）
2
1
n
n
5. （1）求证： 对于任何实数
a
，
b
，三个数
|a?b|
、
|a? b|
、
|1?a|
中至少有一个不小

11

于
.
（2004年同济大学）
（2）若对一切实数
x
都有
|x?5|?|x?7 |?a
，则实数
a
的取值范围是（ ）
A.
a?12
B.
a?7
C.
a?5
D.
a?2
（2008年复旦大学）
相关习题
（1）. 如图，一条公路的两侧有六个村庄，要建一个 车站，要求到六个村庄的路程之和最
小，应该选在哪里最合适？如果在
P
的地方增加了 一个村庄，并且沿着地图的虚线修了一条
小路，那么这时车站设在什么地方好？
A
1
1
2
A
2
A
3
B
C
D
E
F
P
A
4
A
6
A
5

（2010年浙江大学）
（2）. 求
f(x)?|x?1|?|2x?1|??|2011x?1|
的最小值. （2011年北约）

3.. 若正数
a,b,c
a?b?c?1
.求证：
(a?)(b?)?(c?)?
相关习题
1
a
1
b
1
c
1000
.
（2008年南京大学）
27
1
n?1
).
（2008年山东大学）
n?1
1
2
1
2
1
2< br>?
（2）设
a,b,c?R
，且
a?b?c?1
，求证：(a?)?(b?)?(c?)
的最小值.
abc
（1）. 设
n为正整数，求证：
(1?)?(1?
n
1
n
（2008年南开大 学）
4. 设
P
为
?ABC
内一点，它到三边
BC,CA ,AB
的距离分别为
d
1
,d
2
,d
3
, S
为
?ABC
的面
abc(a?b?c)
2
积，求证：???.
（2009年南京大学） d
1
d
2
d
3
2S
?
222
9
?
x?y?z?,
（1）.在实数范围内求满足方程组
?
的实数< br>x,y,z
的值（.2008年同济大学）
4
?
?
?8x?6y?24z?39.

12