2020年山东省临沂市兰山高考补习学校高三数学一轮教学质量检查考试试题

山东省临沂市兰山高考补习学校
2020年高三一轮教学质量检查考试数学试题

班级 姓名 2020-03-09
第Ⅰ卷
（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只 有
一项是符合题目要求的。
1、已知
p:A?xx?a?4;q:x
?< br>x?2
??
3?x
?
?0
，且非
p
是非q
的充分条件，则
??
??
a
的取值范围为（ ）
A.
?1?a?6
B.
?1?a?6
C.
a??1或a>6
D.
a??1或a?6

2、已知向 量
a?(cos75
?
,sin75
?
),b?(cos15
?
,sin15
?
),则a?b与b
夹角是（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°。
3、在一次实验中，测得（x，y）的四组 值为（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），则y与x
之间的回归直线方程为 （ ）
?
?2x?1

?
?x?1

?
?x?1

?
?x?2
A．
y
B．
y
C．
y
D．
y
4、已知直线l和平面α、β满足
l?
?
,l?
?
.在l
?
,l?
?
,?
?
?
这三个关系中，以其中
两个作为条件，余下一个作为结论所构成的 命题中，真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5、已知等差数 列{a
n
}是单调数列，且a
1
,a
3
,a
4,成等比数列，S
n
为数列{a
n
}的前n项和，则
S
3
?S
2
的值为
S
5
?S
3
A．3
（ ）
B．2 C．1 D．不能确定
6、 电流强度
I
（安）随时间
t
（秒）变化的函数
I?Asin(
?
t?
?
)
(A?0,
?
?0,0?
?
?
?
2< br>)
1
秒时，电流强度是（ ）
100
A．
?5
安 B．
5
安
C．
53
安 D．
10
安
的图象如右图所示，则当
t?


x
2
y
2
7、
已知F
1
、F
2
是双曲线
2
?< br>2
?1(a?0,b?0)
的两个焦点，以线段F
1
F
2为斜边作等
ab
腰直角三角形F
1
MF
2
，如果线段M F
1
的中点在双曲线上，则该双曲线的离心率是（ ）
A．
6?2
B．
6?2
C．
10?2

2
D．
10?2

2
8、给出50个数，1，2，4，7，11，…，其规律是： 第1个数是1，第2个数比第 1个数
大1，第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，以此类推，要计算这50个数的和.现已给出了该 问题算法的程度框图如图，请在图中判断框中的 ①处和执行框中的②处
填上合适的语句，使之能完成该题算法功能（ ）
A．i≤50；p=p+
i
B．i<50；p=p+
i
C．i≤50；p=p+1 D．i<50；p=p+1

9、地面上有
A,B,C,D
四个科研机构在接收嫦娥卫星发回 的某类信息,它们两两之间可以互
相接发信息,由于功率限制,卫星只能随机地向其中一个科研机构发送 信息,每个科研机构都
不能同时向两个或两个以上的科研机构发送信息,某日四个机构之间发送了三次信 息后,都
获得了卫星发回的同一条信息,那么是
A
接收到该信息后互相联系的方式共有 （ ）
（A） 16种 （B）17种 （C） 34种 （D） 48种
10、已知函数
f(x)?()?log
2
x
，正 实数
a
、
b
、
c
成公差为正数的等差数列，且满足
1
x
3
f(a)?f(b)?f(c)?0
，若实数
x
0< br>是方程
f(x)?0
的一个解，那么下列不等式中不可

能成立的是( )
A．
x
0
?a
B．
x
0
?b
C．
x
0
?c
D．
x
0
?c

11、中心在原点，焦点在坐标为(0，±5
2
)的椭圆被直线
3x?y?2?0
截得的弦的中点
的横坐标为
1
，则椭圆方程为( )
2
2x
2
2y
2
2x
2
2y
2
x
2
y
2
x
2
y
2
A.??1 B.??1C.??1 D.??1

2575752525757525
l og
2
x?1
12、函数
f
?
x
?
?，若
f
?
x
1
?
?f
?
2x
2
?
?1
（其中
x
1
、
x
2
均大 于２），则
f
?
x
1
x
2
?
log
2
x?1
的最小值为（ ）
A．
5?5
324
B． C． D．
4
535


第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.请把答案填在题中横线上.
13、 设
a
＝
?
?
0
(sinx?cosx)dx
，则二 项式
(ax?
1
)
6
展开式中含
x
2
项的 系数是
x
32
14、已知函数
f(x)?x?bx?cx?d
在区间
[?1,2]
上是减函数,则
b?c
的最大值是
uuuruuuruuurr
15、设
O
是
VABC
内一点，且满足
OA?2OB?3OC?0
，则
VABC
与
VAOC
的面积之比
为＿＿＿＿＿．

16、已知命题：
①P：能被3整除的正整数是奇数；
?
P：能被3整除的正整数不是奇数。
②已知电灯泡的使用寿命
X
-
N1500,100
2
（单 位：
h
），购买一个灯泡，它的使用
寿命不小于1400
h
的概率是 0.8413。
③连续投掷一颗骰子两次，在第一次是奇数的前提下，两次点数之和是6的概率是< br>??
1
。
12
其中，正确命题的序号是 。
三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17、已知M、N两点的坐标分别是
M
?
1?cos2x,1
?
,N 1,3sin2x?a(x,a?R,a
是常
uuuuruuur
数
)
，令
f(x)?OM?ON(O
是坐标原点
)
．
??
（ Ⅰ）求函数
f(x)
的解析式，并求函数
f(x)
在
?
0,
?
?
上的单调递增区间；
（Ⅱ）当
x?[0,
?
2
]
时，
f(x)
的最大值为
4
，求a的值，并说明此时< br>f(x)
的图象可由函数
y?2sin(x?)
的图象经过怎样的平移和伸缩变 换而得到？
6




18、已知某车站每天8：00~ 9：00，9：00~10：00都恰有一辆从
A
地到
B
地的客车到站，8：
?
111
,,
；9：
623
111
00~10：0 0到站的客车可能在9：10，9：30和9：50到站，其概率依次为
,,
. 今
6 23
00~9：00到站的客车可能在8：10，8：30和8：50到站，其概率依次为
有甲 、乙两位旅客要从
A
地到
B
地，他们到达车站的时间分别是8：00和8：2 0，假设
只要有车到站就一定能坐上车，设甲与乙的候车时间分别为ξ分钟和η分钟.
（1）分别求ξ和η的分布列；
（2）判断甲、乙两人候车时间平均值哪个长，并说明理由.




19、正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E、 F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC
沿CD翻折成直二面角A—DC—B
（Ⅰ）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
（Ⅱ）求二面角E—DF—C的余弦值；
（Ⅲ）在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？证明你的结论.

A
A


E

E


DC

D
C

F
F

B
B

20、< br>?
a
n
?
满足a
1
?1,a
2
?2 ,a
n?2
?(1?cos
2
n
?
n
?
) a
n
?sin
2
,n?1,2,3,L.

22
(Ⅰ)求
a
3
,a
4
,
并求数列
?
an
?
的通项公式；
(Ⅱ)设
b
n
?


21、在平面直角坐标系
xOy
中，过定点
C(0,p)
作直线与抛物线
x
2
?2py(p?0)
相交于A、
B两点．
（I）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB 面积的最小值；
（II）是否存在垂直于y轴的直线
l
，使得
l
被以AC
为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出
l
的方程;若不存在，说明理由．













22、 已知函数
f(x)?ln
（I）求 函数
f(x)?ln
a
2n?1
1
,S
n
?b1
?b
2
?L?b
n
.
证明：当
n?6时，S
n
?2?.

a
2n
n
2x?1?mx(m?R).

2x?1?mx(m?R)
的单调区间；
（II）若函数
2f(x)?m?1恒成立,求m
的取值范围；
4f(a)?f(b)
（III）当
m??1,且0?b?a?1时,证明:??2.

3a?b

山东省临沂市兰山高考补习学校
2020年高三一轮教学质量检查考试数学试题


班级 姓名 2020-03-09
一、选择题：BCACB, ACAAD, CB
1、用等价命题 构建不等式组求解， 非p是非q的充分条件等价命题为q是p的充分条件，< br>集合观念认识充分条件化归子集关系构建不等式组求解，解不等式切入，
A?(a?4,a?4) ,B?(2,3)
，由q是p的充分条件知
9、本题分类求解.
3
第一类:
A
直接发送给
B,C,D
三处,有
C
3
?1
种.
21
第二类:
A
直接发送给
B,C,D
中的两处, 再由其中一处通知第四处,有
C
3
?C
2
?6
种.
11
第三类:
A
直接发送给
B,C,D
中的一处,再由该处通知另 两处,有
C
3
?(C
2
?1)?9
种.
∴共有
1?6?9?16
种不同的方式.故选（A）
12、由
f< br>?
x
1
?
?f
?
2x
2
?
?1
，得
即
log
2
x
2
?
log
2
x
1
?1
log
2
?
2x
2
?
?1
??1
，
log
2
x
1
?1lo g
2
?
2x
2
?
?1
4
．
lo g
2
x
1
?1
于是
log
2
?
x
1
x
2
?
?log
2
x
1
?lo g
2
x
2
?log
2
x
1
?
所以
f
?
x
1
x
2
?
?
4
? 5
，
log
2
x
1
?1
log
2
?
x
1
x
2
?
?1
22
?1??
．
log
2
?
x
1
x
2
?
? 1log
2
?
x
1
x
2
?
?13
二、填空题
13、解析：－192．本题考查了简单定积分的计算以及求二项式展开式的指定项的基本方法．
a
＝
?
(sinx?cosx)dx
=2 , T
r?1
=(-1)
r
C
6
r
(
2x< br>)
6?r
(
0
?
1
x
r
6?r3? rr
)=(-1)
C
6
2x
令３－r=2,得r=1 , 因此，展开式中含
x
项的系数是－192．
2
2

14、由 题意
f
?
(x)?3x?2bx?c
在区间
[?1,2]
上 满足
f
?
(x)?0
恒成立,
?
f
?
( ?1)?0
?
2b?c?3?0
?
2b?c?3?0
,即
?
,此问题相当于在约束条件
?
下求目标
?
?
f(2)?0< br>?
4b?c?12?0
?
4b?c?12?0
函数
z?b?c
的最大值.作出可行域（图略）,由图可知,当直线
l
:
b?c?z
过点
M
时,
z
最
则
?
大,
由
?
?
2b?c?3?0
3315
得
M(?,?6)
,∴
z
max
???6??
.
222
?
4b?c?12?0
15、3∶1
16：②
三、解答题
uuuuruuur
17、解：（Ⅰ）
y?OM?ON?1?c os2x?3sin2x?a.



?f(x)?1?cos2x?3sin2x?a?2sin(2x?)?a?1.

6
由
2k
?
?
?
?
2
?2x?
?
6
?2k
?
?
?
2
,得k
?
?< br>?
3
?x?k
?
?
?
6
,k?Z.

?
?
??
2
?
?
,
?
?
．
?f(x)
在
?
0,
?
?
上的单调递增区间为
?
0,
?
和
?
?
6
??
3
?
Ⅱ） （
????
7
?
f(x)?2sin(2x?)?a ?1,x?[0,],2x??[,]
62666
?
6
，
2sin( 2x?)?[?1,2]
，
6


∴当
x?
?< br>?
6
时，
f(x)
取最大值
a?3?4
，解得
a?1
，∴
f(x)?2sin(2x?)?2
．
将
y?2si n(x?
?
6
)
的图象的每一点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标保持不变 ，再
向上平移2个单位长度，得
f(x)?2sin(2x?
?
6
) ?2
的图象．
18、解：（1）由于甲在8：00到达，所以必能坐上8：00~9：00的车，


故ξ的取值为10，30，50，其概率依次为
ξ的分布列为：
ξ 10 30
111
,,
，
623
50
P










1

6
1

2
1

3
………3分
由于乙8：20到达，而8：00~9：00的车可能在8：10分到站，
所以乙若错过8：00~9：00的车，只能坐9：00~10：00的车，
故η的取值为10，30，50，70，90.…………………………………………4分
所以 乙坐上8：30的车的概率为
p(
?
?10)?
乙坐上8：50的车的概率为
p(
?
?30)?
1
,

2
1
.

3
乙坐上9：00~10：00的车是与8：00~9：00的车8：10分到站同时发生的，
111

??
6636
111
乙坐上9：30的车的概率为
P(
?
?70)???

6212
111
乙坐上9 ：50的车的概率为
P(
?
?90)???
.
6318
乙 坐上9：10的车的概率为
P(
?
?50)?
故η的分布列为：
η 10 30 50 70 90
………9分
1111
1

231218
36
111100
（2）
E
?
?10??30??50??
，
6233
11 111245
E
?
?10??30??50??70??90??
，…………11分
233612189
P
∴旅客甲候车时间的平均值比乙长.…………………………………………12分
19、解：法一：（I）如图：在△ABC中，由E、F分别是AC、BC中点，得EFAB，
又AB
?
平面DEF，EF
?
平面DEF. ∴AB∥平面DEF.
（II）∵AD⊥CD，BD⊥CD ∴∠ADB是二面角A—CD—B的平面角
A
∴AD⊥BD ∴AD⊥平面BCD
E
QM
D
C

取CD的中点M，这时EM∥AD ∴EM⊥平面BCD
过M作MN⊥DF于点N，连结EN，则EN⊥DF
∴∠MNE是二面角E—DF—C的平面角…………6分
3

2
321
∴tan∠MNE=，cos∠MNE= ………………………8分 < br>27
在Rt△EMN中，EM=1，MN=
（Ⅲ）在线段BC上存在点P，使AP⊥DE ……………………10分
1
BC
，过P作PQ⊥CD与点Q，
3
123
∴PQ⊥平面ACD ∵
DQ?DC?
在等边△ADE中，∠DAQ=30°
33
证明如下：在线 段BC上取点P。使
BP?
∴AQ⊥DE∴AP⊥DE………………………………14分 法二：（Ⅱ）以点D为坐标原点，直线DB、DC为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，
则A（0， 0，2）B（2，0，0）C（0，
23,0,),E(0,3,1),F(1,3,0)
…… 4分
平面CDF的法向量为
DA?(0,0,2)
设平面EDF的法向量为
n?(x,y,z)


?
?
?
x?3y?0
?< br>DF?n?0
取n?(3,?3,3)
则
?
即
?
?
?
DE?n?0
?
?
3y?z?0
cos?DA,n??
z
A
DA?n
|DA||n|
?
21
21
所以二面角E—DF—C的余弦值为 …8分
7
7
E
C
F

D
P
B
x
y

（Ⅲ）在平面坐标系xDy中，直线BC的方程为
y??3x?23

设
P(x,23?3x,0),则AP?(x,23?3x,?2)

?AP ?DE?AP?DE?0?x?
41
?BP?BC
…………………12分
33
23

3
所以在线段BC上存在点P，使AP⊥DE …………………………14分
另解：设
P(x,y,0),则AP?DE?3y?2?0?y ?
又
BP?(x?2,y,0),PC?(?x,23?y,0)
…………………………12分
?BPPC?(x?2)(23?y)??xy?3x?y?23

把
y?
2341
代入上式得x?,?BP?BC
所以在线段BC上存在点P使A P⊥DE
333
2
20、解: (Ⅰ)因为
a
1
?1,a
2
?2,
所以
a
3
?(1?cos< br>?
2
)a
1
?sin
2
?
2
?a< br>1
?1?2,

22

a
4
?(1?cos
?
)a
2
?sin
?
?2a
2
?4.

2
一般地，当
n?2k?1(k?N)
时，< br>a
2k?1
?[1?cos
*
(2k?1)
?
2k? 1
]a
2k?1
?sin
2
?

22
＝< br>a
2k?1
?1
，即
a
2k?1
?a
2k? 1
?1.

所以数列
?
a
2k?1
?
是首 项为1、公差为1的等差数列，因此
a
2k?1
?k.

2k
?
2k
?
)a
2k
?sin
2
?2a
2 k
.

22
k
所以数列
?
a
2k
?
是首项为2、公比为2的等比数列，因此
a
2k
?2.

2
当
n?2k(k?N)
时，
a
2k?2
?(1?cos< br>*
?
n?1
*
?
2
,n?2k?1(k?N),故数列
?
a
n
?
的通项公式为
a
n
?
?

n
?
2
*
?
2,n?2k(k?N) .
a
n
123n
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，
b
n
?
2n?1
?
2
,
S
n
??
2
?
3
?L?
n
,
①
a
2n
2
2222
1123n
S
n
?
2
?
2
?4
?L?
n?1
②
22222
11111n
①-②得，
S
n
??
2
?
3
?L?
n
?
n?1
.

222222
11
[1?()
2
]
2
?
n
?1?
1
?
n
.

?
2
n?1nn?1
1
222
1?
2
1nn?2 所以
S
n
?2?
n?1
?
n
?2?n
.

222
1n(n?2)
要证明当
n?6< br>时，
S
n
?2?
成立，只需证明当
n?6
时，
?1
成立.
n2
n
证法一
6?(6?2)483
???1
成立.
6
2644
k(k?2)
(2)假设当
n?k(k?6)
时不等式成立，即
?1.

k
2
(k?1)(k?3)k(k?2)(k?1)(k?3)(k?1)(k?3)
???? 1.
则当
n
=
k
+1时，
2
k?1
2
k
2k(k?2)(k?2)g2k
n(n?1)1
?1S?2?. 由(1)、(2)所述，当
n
≥6时，.即当
n
≥6时，
n
2
2n
(1)当
n
= 6时，
证法二
(n?1)(n?3)n(n?2)3?n
2
n(n?2)
??
n? 1
?0.

(n?6)
，则
c
n?1
?c
n
?
令
c
n
?
2
n?1
2
2
2
22

所以当
n?6
时，
c
n?1
? c
n
.因此当
n?6
时，
c
n
?c
6?
于是当
n?6
时，
6?83
??1.

644
n(n?2)
?1.

2
2
1
.

n
21、（I）依题意，点
N
的坐标为
N(0，?p)
，可设
A(x
1
，y
1< br>)，B(x
2
，y
2
)
，
综上所述，当
n ?6
时，
S
n
?2?
?
x
2
?2py，< br>直线
AB
的方程为
y?kx?p
，与
x?2py
联立 得
?
?
y?kx?p．

22
消去
y
得
x?2pkx?2p?0
．
2由韦达定理得
x
1
?x
2
?2pk
，
x
1
x
2
??2p
．
y
1
于是
S△AMN
?S
△BCN
?S
△ACN
?·2px
1?x
2
．
2
2
?px
1
?x
2?p(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x< br>2

B
C
?p4p
2
k
2
?8 p
2
?2p
2
k
2
?2
，
A
O
x
∴

当
k?0
，
(S
△ ABN
)
min
?22p
2
．
N
（Ⅱ）假设满足条件的直线
l
存在，其方程为
y?a
，
设
AC
的中点为
O
?
，
l
与
AC
为直径的圆 相交于点
P
，
Q，PQ
的中点为
H
，
?
xy?p
?
y
则
O
?
H?PQ
，
Q
?
点的坐标为
?
1
，
1
．
?
2
??
2
11
2
1
2
∵O
?
P?AC?x
1
?(y
1
?p)
2
?y
1
?p
2
，
B
222
C
y
1
?p
1
O
?
O
?
H?a??2a?y
1
? p
，
A
l
22
O
1
2
1
222
x
22
??

?(y?p)?(2a?y?p)∴PH?OP?OH
11
44
N
p
??
?
?
a?
?
y
1
?a(p?a)< br>，
2
??
?
?
p
?
?
2
∴PQ?(2PH)
2
?4
?
?
a?
?
y
1
?a(p?a)
?
．
2
?
?
?
?p
p
令
a??0
，得
a?
，此时
PQ?p为定值，故满足条件的直线
l
存在，其方程为
2
2
p
y ?
，即抛物线的通径所在的直线．
2

(?
22、解：（I）函数
f(x)的定义域为

f(x)?
1
,??).

2
111
ln(2x? 1)?mx(x??),f
?
(x)??m.
…………1分
221?2x

?2x?1?0,?当m?0时,f
?
(x)?0.
…………2分

当
m?0时,令f
?
(x)?0,解得x?
列表如下：
x

1?m1
??.

2m2
11?m
(?,)

22m
+

1?m

2m
0
极大值
1?m
(,??)

2m
—

f
?
(x)

f(x)

综上所述，当
m?0时,f(x)的增区间是(?
当
m?0时,f(x)的增区间是(?
1
,??)
；
2
11?m1?m
,),减区间是(,??).
…………5分
22m2m
（II）若函数
2f(x)?m?1恒成立,只需2f(x)的最大值小于等于m?1.

当
m?0时,2f(x)?ln(2x?1)?2mx
，
当
x???时,2f(x)???
，故不成立。 …………7分
1?m
当
m?0时,
由（I）知
f(x)有唯一的极值

f()
，且是极大值，同时也是最大值。
2m
1?m11
从而
2f(x)?2f()?ln?(1?m)?m?1,解得m?
2
.

2mm
e
?
1
?
故函数
2f(x)?m? 1恒成立时,m的取值范围是
?
2
,??
?
.
…………10分
?
e
?
（III）由（II）知，当
m?1时,f(x)取得最大值f(0)?0,

1所以ln1?2x?x对x??恒成立,当且仅当x?0时取等号.
2
当m??1时,f( x)?ln1?2x?x,当1?a?b?0时,a?b?0,
1?2bb?a
?(b?a)? ln1?2??(b?a).
1?2a1?2a
b?a?a11
又0????,ln1 ?2x?x对x??恒成立,
1?2a2a22
当且仅当x?0时取等号.
f(b)? f(a)?ln
b?ab?a(a?b)(2?2a)
?(b?a)??(b?a)??,1?2a1?2a1?2a
f(a)?f(b)2?2af(a)?f(b)2?2b
?? .同理?.???12分
a?b1?2aa?b1?2b
2?2a142?2b1
又1 ?a?b?0,?1??,?1??2,
1?2a1?2a31?2b1?2b
4f(a)?f (b)
?2.????14分

??

3a?b
f(b)?f(a)?ln1?2?