高中数学教学在生活中的应用-江苏高中数学竞赛难不难
空间几何体结构及其三视图
【考纲要求】
(1)认识
柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简
单物体的结构. (2)能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上
述
三视图表示的立体模型，会用材料(如纸板)制作模型，并会用斜二测法画出它们的直观图.
(3)通
过观察用平行投影与中心投影这两种方法画出的视图与直观图，了解空间图形的不同
表示形式.
(4)了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.
【知识网络】
【考点梳理】
考点一、空间几何体的结构及其三视图和直观图
1、多面体的结构特征
（1）棱柱（以三棱柱为例）
如图：平面ABC与平面A<
br>1
B
1
C
1
间的关系是平行，ΔABC与
ΔA
1
B
1
C
1
的关系是全等。
各侧棱之间的关系是：A<
br>1
A∥B
1
B∥C
1
C，且A
1
A=B1
B=C
1
C。
（2）棱锥（以四棱锥为例）
如图：一个面是四边形，四个侧面是有一个公共顶点的三
角形。
1
（3）棱台
棱台可以由棱锥截得，其方法是用平行于棱
锥底面的平面截棱锥，截面和底面之间的部
分为棱台。
2、旋转体的结构特征
旋转体都可以由平面图形旋转得到，画出旋转出下列几何体的平面图形及旋转轴。
3、空间几何体的三视图
空间几何体的三视图是用正投影得到，在这种投影下，与投影面平行
的平面图形留下的
影子与平面图形的开关和大小是完全相同的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图。
4、空间几何体的直观图
2
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：
（1）原图形中x轴、y轴、z轴两两
垂直，直观图中，x’轴、y’轴的夹角为45
o
（或135
o
），
z’轴与x’轴和y’轴所在平面垂直；
（2）原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行。平行
于x轴和z轴的线段长度
在直观图不变，平行于y轴的线段长度在直观图中减半。
5、平行投影与中心投影
平行投影的投影线互相平行，而中心投影的投影线相交于一点。 <
br>要点诠释：空间几何体的三视图和直观图在观察角度和投影效果上的区别是：（1）观察角度：
三
视图是从三个不同位置观察几何体而画出的图形；直观图是从某一点观察几何体而画出的
图形；（2）投
影效果：三视图是正投影下的平面图形，直观图是在平行投影下画出的空间图
形。
考点二、空间几何体的表面积和体积
1、旋转体的表面积
名称 图形 表面积
圆柱
S=2πr(r+
l
)
圆锥
S=πr(r+
l
)
3
圆台
球
2、几何体的体积公式
（1）设棱（圆）柱的底面积为S，高为h，则体积V=Sh;
（2）设棱（圆）锥的底面积为S，高为h，则体积V=
1
Sh;
3
1
3
'
（3）设棱（圆）台的上、下底面积分别为S’，S，高为h，则体积V=（
S
'
+
SS
+S）
h;
（4）设球半径为R，则球的体积V=
要点诠释：
1、对于求一些不规则几何体的体积常用割补的方法，转化成已知体积公式的几何体进行解
决。
2、重点掌握以三视图为命题背景，研究空间几何体的结构特征的题型．
3、要熟悉一些典型的几何体模型，如三棱柱、长(正)方体、三棱锥等几何体的三视图．
4
4
π
R
3
。
3
【典型例题】
类型一、空间几何体的结构特征
例1如果四棱锥的四条侧棱
都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称
为它的腰，以下4个命题中，假命题是( )．
A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等
B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补
C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆
D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上
【思路点拨】可借助构造几何图形进行判断。
【解析】如图，等腰四棱锥的侧棱均相等，其侧
棱在底面的射影也相等，则其腰与底面所成
角相等，即A正确；底面四边形必有一个外接圆，即C正确；
在高线上可以找到一个点O，
使得该点到四棱锥各个顶点的距离相等，这个点即为外接球的球心，即D正
确；但四棱锥
的侧面与底面所成角不一定相等或互补(若为正四棱锥则成立)．故仅命题B为假命题．
【总结升华】三棱柱、四棱柱、正方体、长方体、三棱锥、四棱锥是常见的空间几何体，也
是重
要的几何模型，有些问题可用上述几何体举特例解决．
举一反三：
【变式】
【高清课堂：空间几何体结构及其三视图例1】
例1、下面是关于四棱锥的四个命题：
① 若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；
②
若两个过相对侧棱的截面都垂直与底面，则该四棱柱为直四棱柱；
③
若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；
④
若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱。
其中，真命题的编号是
（写出所有真命题的编号）。
【答案】②④
例2平面内的一个四边形为平行四边形的充要条
件有多个，如两组对边分别平行，类似地，
写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：
充要条件①
充要条件②
【思路点拨】利用类比推理中“线面”再验证一下所给出的条件是否正确即可
【解析】两组相
对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点且互相平行；
底面是平行四边形（任选两个
即可）。
5
【总结升华】平行六面体实质是把一个平
行四边形按某一方向平移所形成的几何体，因此“平
行四边形”与“平行六四体”有着性质上的“相似性
”。
平行四边形
两组对边分别平行
一组对边平行且相等
对角线互相平分
举一反三：
【变式】一正方体表面沿着几条棱裁开放平得到如图的展开图，则在原正方体中（
）
平行六面体
两组相对侧面分别平行
一组相对侧面平行且全等
对角线交于一点且互相平分
A AB∥CD B AB∥EF C
CD∥GH D AB∥GH
【答案】选C。
【解析】折回原正方体如图，则C与E重合，D与B重合。显见CD∥GH
类型二、空间几何体的三视图
例3在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为( )．
【思路点拨】由正视图和俯视图想到三棱锥和圆锥．
【解析】由几何体的正视图和
俯视图可知，该几何体应为一个半圆锥和一个有一侧面(与半
圆锥的轴截面为同一三角形)垂直于底面的
三棱锥的组合体，故其侧视图应为D.
【总结升华】(1)空间几何体的三视图是该几何体在三个两两
垂直的平面上的正投影，并不
是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形．
(2)在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成
6
虚线．
举一反三：
【变式】若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )．
【答案】D
【解析】A中正视图，俯视图不对，故A错．B中正视图，侧视图不对，故B错．
C中侧
视图，俯视图不对，故C错，故选D.
例4如下的三个图中，上面的是一个长方体截去
一个角后所得多面体的直观图，它的正视图
和侧视图在下面画出（单位：cm）.在正视图下面，按照画
三视图的要求画出该多面体的俯
视图。
【思路点拨】根据正视图和侧视图可确定出点G、F的位置，从而可以画出俯视图。
【解析】如图：
7
【总结升华】
1、几何体的三视图的排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样，侧视图放
在正
视图右面，高度与正视图一样，宽度与俯视图一样，即“长对正，高平齐，宽相等”注
意虚、实线的区别
。
2、应用：在解题的过程中，可以根据三视图的的及图中所涉及到的线段的长度，推断出原
几何图形中的点、线、面之间的关系及图中一些线段的长度，这样我们就可以解出有关的问
题。
举一反三：
【变式1】【高清课堂：空间几何体结构及其三视图例4】
若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积等于 。
【答案】
6?23
8
<
br>【解析】由正视图可知该三棱柱是底面边长为2，侧棱长为1的正三棱柱。其表面积为
2?
3
?4?3?2?1?6?23
4
【变式2】已知某个几何体的三视图如
下，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何
体的体积是（ ）
A．
【答案】B
B． C． D．
【解析】依题意，此几何体为如图所示的四棱锥P-ABCD，
底面ABCD是边长为20的正方形，侧面PCD垂直于底面ABCD，△PCD的高为20，
故这个几何体的体积为。
类型三、几何体的直观图
例5如图所示，正方形OABC的边长为
1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图
形的周长是
( )
A．6
B．8
D．2＋23 C．2＋32
【思路点拨】由斜二测画法的规则知在已知图形平行于x轴
的线段，在直观图中画成平行于x'
轴，长度保持不变，已
知图形平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于y'轴，且长度为原来一半．
9
【解析】根据水平放置平面图形的直观图的画法，可
得原图形是一个平行四边形，如图，对
角线OB＝22，OA＝1，
∴AB＝3，所以周长为8.
【总结升华】本题考查的知识点是平面图
形的直观图，其中斜二测画法的规则，能够帮助我
们快速的在直观图面积和原图面积之间进行转化． <
br>【变式】
为
是正△ABC的斜二测画法的水平放置图形的直观图，若的面积
，那
么△ABC的面积为_________。
【答案】设正
△
ABC的边长是2，则
，解得，
类型四、空间几何体的表面积与体积
例6有一根长为3πcm,
底面半径为1cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并
使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母
线的两端，则铁丝的最短长度为多少？
【思路点拨】把圆柱沿这条母线展开，将问题转化为平面上两点间的最短距离。
【答案】把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形ABCD（如图），
由题意知BC=3πcm，AB=4πcm，点A与点C分别是铁丝的起、止位置，故线段AC的长
度
即为铁丝的最短长度。AC=
故铁丝的最短长度为5πcm。
10
AB
2
?BC
2
5πcm，
【
总结升华】把一个平面图形折叠成一个几何体，再研究其性质，是考查空间想象能力
的常用方法，所以几
何体的展开与折叠是高考的一个热点。
举一反三：
【变式】如图是某个圆锥的三视图，请根
据正视图中所标尺寸，则俯视图中圆的面积为
__________，圆锥母线长为______.
【答案】圆半径，面积，圆锥母线
。
例7(2017 河南高考)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几
何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若几何体的表面积为
16+20
?
则r=( )
A.1 B.2 C.4
D.8
【思路点拨】三视图
?
直观图（圆柱与球的组合体）
?<
br>圆柱的底面半径、高及球半径
?
代
入公式求解。
【答案】B
【解析】有几何体三视图中的正视图和俯视图可知，截圆柱的平面过圆柱的轴线，该几何
体时一个半球
拼接半个圆柱
1111
?
其表面积为：
?4
?
r
2
??
?
r
2
??2r?2
?
r?2r?2r?<
br>?
r
2
?5
?
r
2
?4r
2
2222
?5
?
r
2
?4r
2
?16
?20
?
解得r=2,故选B.
【总结升华】高考中对几何体的表面积的考查一般在
客观题中，借以考查空间想象能力和运
算能力，只要正确把握几何体的结构，准确应用面积公式，就可以
顺利解决；多面体的表面
积是各个面的面积之和。圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将
这个曲面展
11
为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和。
举一反三：
【变式】(2017 福建高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于( )
A.
8?22
B.
11?22
C.
14?22
D.
15
【答案】B
【
解析】根据三视图可判断该几何体是底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，底面是梯形上
底1，下底2，
高为1
所以侧面为
4?2?2?8?22
底面为
故几何体的表面积为
8?22?2?
【巩固练习】
1、若正方体的棱长为
2
，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为（
）
??
13
?
2?1
?
?1?
22
3
?11?22
.故选B.
2
(A)
22
3
2
(B)
(C) (D)
3
63
3
2、圆柱的侧面展开图是一个边
长为6π和4π的矩形，则该圆柱的底面积是( )
(A)24π
2
(B)36π
2
(D)9π或4π
(C)36π
2
或16π
2
3、如图，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为
俯视图可以是(
)
1
，则该几何体的
2
12
4、如图是一几何体的三视图，其左视图是等腰直角三角形，则其表面积为 （ ）
A．
2?62
B．
4?42
C．
6?42
D．12
5、已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺
寸(单位：cm)，可得这个几何体
的体积是( )
(A)
4000
3
8000
3
cm
(B)cm
(C)2000cm
3
(D)4000cm
3
33
6、一个棱长为2的正方体的顶点都在球面上，则该球的表面积为 (
)
A．
4
?
B．
8
?
C．
12
?
D．
16
?
7、若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这个正三棱柱的体积为 （ ）
13
A．6
B．2
83
8
C．
3
D．
3
8、如果一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm），则此几何体的体积是（ ）
224
3
cm
80?162cm
96cm80cm
A．
B． C． D．
3
33
??
3
9.（2017
重庆高考）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．
B．
C． D．
10、如图为
一个几何体的三视图，左视图和主视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，
则该几何体的侧面积为
( )
(A)6 (B)12 (C)24 (D)32 11、如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直
14
角三角形的斜边长为
22
，那么这个几何体的体积为（ ）.
18
24
A.
3
B.
3
C.
3
D.
3
12. （2017
肇庆二模）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 3π ．
13、直三棱
柱
ABC?A
1
B
1
C
1
的各顶点都在同一球面上
，若
AB?AC?AA
1
?2
,
?BAC?120?
，则此
球的表面积等于 。
14、正三棱柱
ABC?A
1
B<
br>1
C
1
内接于半径为
2
的球，若
A,B
两点
的球面距离为
?
，则正三棱
柱的体积为 ．
15. (2017春
湖北校级期末)某几何体的三视图如图所示，作出该几何体直观图的简图，并
求该几何体的体积．
【参考答案与解析】
1、【答案】B.
【解析】由题意知 以正方
体各个面的中心为顶点的凸多面体为正八面体（即两个同底同
高同棱长的正四棱锥），所有棱长均为1，
其中每个正四棱锥的高均为
15
2
，故正八面体的
2
体积为
V?2V正四棱锥
=2??1?
1
3
2
22
=
,
故选B.
23
2、【答案】D.
【解析】由题意知圆柱的底面圆的周长为6π或4
π，故底面圆的半径为3或2，所以底面
圆的面积是9π或4π.
3、【答案】C.
【解析】由该几何体的主视图和左视图可知该几何体是柱体，且其高为1，由其体积是
知该几何体的底
面积是
是
1
可
2
1
?
1
，由图知A的面积
是1，B的面积是，C的面积是，D的面积
242
?
，故选C.
4
4、【答案】C
5、【答案】B.
【解析】由三视图知该几何体是如图所示的四棱锥P-ABCD，其中侧面PBC⊥底面ABCD，且<
br>顶点P在底面的射影是BC边的中点，四棱锥的高为20，底面ABCD是边长为20的正方形.
∴V
P-ABCD
=
1
8
000
×20
2
×20= (cm
3
).
3
3
6、【答案】C
7、【答案】D.
8、【答案】D.
9.【答案】B
【解析】由题意可知几何体的形状是放倒的圆柱，底面半径为1，高
为2，左侧与一个底面
半径为1，高为1的半圆锥组成的组合体，
几何体的体积为：
10、【答案】C.
【解析】由几何体的三视图可知，该几何体为
正三棱柱，其底面边长为2，高为4，∴该几
何体的侧面积S
侧
=3×2×4=24.
11、【答案】C.
二、填空题
12.【答案】3π
16
=．故选B．
【解析】由三视图可知，该几何体由底面直径为2，即半径为1，
高为2+4=6的圆柱，
故该几何体的体积V=π×1×6=3π，故答案为3π．
2
4
?
R
】
?20
?
13、【答案【解析】在
?ABC
中
AB?AC?2
,
?BAC?120?<
br>,可得
BC?23
,由正弦定理,可得
?ABC
外接圆半径r=2,设
此圆圆心为
O
?
，球心为
O
，在
RT?OBO
?<
br>中，易得球半径
R?5
，
2
故此球的表面积为
4
?<
br>R?20
?
。
14、【答案】
8
【解析】由条件可得
?AOB?
以所求体积等于
8
．
15.【解析】根据几何体的三视图，得该几何体是底面为正方形，高为1的四棱锥，
且底面正方形的边长为1；画出该四棱锥的直观图如图所示：
?
2
，所以<
br>AB?22
，
O
到平面
ABC
的距离为
23
，所
3
∴该四棱锥的体积为V=×1×1=，
2
17