高一数学辅导教案：空间中的垂直

空间中的垂直辅导教案

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教学课题


性别
上课时间
教学主任签名
空间中的垂直
以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关
教学目标
性质与判定定理.
年级 高一 学科 数学
课时：3课时

第（ ）次课
共（ ）次课
教学重点
与难点
能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．
一、知识点讲解
1．直线与平面垂直

图形 条件
a⊥b，b?α(b为α内的任意
直线)

a⊥m，a⊥n，m、n?α，m∩n
＝O

结论
a⊥α
判定 a⊥α
a∥b，a⊥α

b⊥α
性质

a⊥α，b?α a⊥b
1

a⊥α，b⊥α

[知识拓展]
几个常用的结论
(1)过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直；
(2)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直；
(3)垂直于同一直线的两个平面互相平行．
2．两个平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(2)平面与平面垂直的判定定理

判定
定理

(3)平面与平面垂直的性质定理

性
质
定
理

二、重点题型讲解
探究点一 线面垂直的判定与性质
文字语言
如果两个 平面垂直，那么
在一个平面内垂直于它
们交线的直线垂直于另
一个平面

图形语言
文字语言
如果一个平面经过另一个平面的
一条垂线那么这两个平面互相垂
直

图形语言
a∥b
符号语言

l?β
?
?
?α⊥β
l⊥α
?
符号语言

α⊥β
α∩β＝a
l?β
l⊥a
?
?
?l⊥α
?
2

例1
Rt△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC的中点．
(1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)若AB＝BC.求证：BD⊥平面SAC.












变式迁移1

在四棱锥V—ABCD中，底面ABCD是正 方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面
ABCD.证明：AB⊥VD.
3

探究点二 面面垂直的判定与性质
例2如图
所示，已知四棱柱ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
的底面为正方形，O
1< br>、O分别为上、下底面的中心，
且A
1
在底面ABCD内的射影是O.求证：平 面O
1
DC⊥平面ABCD.
4

变式迁移2 如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝
60°，E，F 分别是AP，AD的中点．
求证：(1)直线EF∥平面PCD；
(2)平面BEF⊥平面PAD.

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探究点三 直线与平面，平面与平面所成的角
例 3如
图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝2a，AD＝2a，点E是 SD
上的点，且DE＝λa(0<λ≤2)．
(1)求证：对任意的λ∈(0,2]，都有AC⊥BE；
(2)设二面角C—AE—D的大小为θ，直线BE与平面ABCD所成的角为φ，若tan θtan φ＝1，
求λ的值．


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三、易错题型
转化与化归思想综合应用
例 (12
分)已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD是∠A＝60°的菱形，又PD⊥底面 ABCD，点M、N
分别是棱AD、PC的中点.
(1)证明：DN∥平面PMB；
(2)证明：平面PMB⊥平面PAD.


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【突破思维障碍】
立体几何的证明问题充分体现线面关系的转化思想，其思路为：


四、课堂小测
一、选择题
8

1．已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线m、n，有下列四个命题：
①若m∥n， m⊥α，则n⊥α；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m⊥α，m∥n，n?β，则α⊥β；
④若m ∥α，α∩β＝n，则m∥n.
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
2．设α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线，给出下列四个命题：
①若α⊥β，l⊥β，则l∥α；②若l⊥α，l∥β，则α⊥β；
③若l上有两点到α的距离相等，则l∥α；④若α⊥β，α∥γ，则γ⊥β.
其中正确命题的序号是( )
A．①② B．①④ C．②④ D．③④
3．下列命题中错误的是( )
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
二、填空题
< br>4．如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PA＝a，PB＝PD＝2a，则它的5个面中，互相垂直的面有________对．
5．如图所示，正方体ABCD —A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长是1，过A点 作平面A
1
BD的垂线，
9

垂足为点H，有下列三个命题：
①点H是△A
1
BD的中心；
② AH垂直于平面CB
1
D
1
；③AC
1
与B
1C所成的角是90°.其中正确命题的序号是
____________．
三、解答题
6．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、< br>F分别为MB、PB、PC的中点，且AD＝PD＝2MA.
(1)求证：平面EFG⊥平面PDC；
(2)求三棱锥P－MAB与四棱锥P－ABCD的体积之比．





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7．如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，DB平分∠ADC ，E为PC
的中点，AD＝CD＝1，DB＝22.
(1)证明：PA∥平面BDE；
(2)证明：AC⊥平面PBD；
(3)求直线BC与平面PBD所成的角的正切值．








8．如图所示 ，已知正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，E为AB的中点．
(1)求直线B
1
C与DE所成角的余弦值；
(2)求证：平面EB
1
D⊥平面B
1
CD；
(3)求二面角E－B
1
C－D的余弦值．
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