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高二数学辅导教案:一元二次不等式及其解法

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-14 19:53
tags:高中数学补习

人教版高中数学必修五知识整理-高中数学应聘教师答辩



一元二次不等式及其解法辅导教案

学生姓名
授课教师
科组长签名
教学课题


性别
上课时间
教学主任签名
一元二次不等式及其解法
1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.
2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.
年级 高二 学科 数学
课时:3课时

第( )次课
共( )次课
教学目标
教学重点
与难点
会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图.
一、知识讲解
1.“三个二次”的关系
判别式Δ=b
2
-4ac
二次函数y=
ax
2
+bx+c
(a>0)的图象

一元二次方程
ax+bx+c=0
(a>0)的根
ax
2
+bx+c>0
(a>0)的解集
ax
2
+bx+c<0
(a>0)的解集




1
2
Δ>0
Δ=0
Δ<0

有两相等实

有两相异实根
x
1
,x
2
( x
1
2
)
根x
1
=x
2

b

2a

{x|x≠x
1
}
没有实数根
{x|x1
或x>x
2
} {x|x∈R}
{x|x
1
< x2
}
? ?



2.(x-a)(x-b)>0或(x-a)(x-b)<0型不等式的解法
解集
不等式
a(x-a)·(x-
b)>0
(x-a)·(x-
b)<0
{x|xx>b}
{x|aa=b
{x|x≠a}
a>b
{x|xa}
?
{x|b口诀:大于取两边,小于取中间.
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
b
(1)若ax+b>0,则x>-
a
.( )
(2)不等式-x
2
-5x+6<0的解集为{x|x<-6或x>1}.( )
(3)不等式
x-2
≤0的解集是[-1,2].( )
x+1
(4)若不等式ax
2
+bx+c>0的解集是(-∞,x
1
)∪(x
2
,+∞),则方程ax
2
+bx+c=0的两个根
是x
1
和x
2
.( )
(5)若方程ax
2
+bx+c=0(a≠0 )没有实数根,则不等式ax
2
+bx+c>0的解集为R.( )
(6)不等式 ax
2
+bx+c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ=b
2
-4ac≤0 .( )
二、课前预习
1.函数f(x)=3x-x
2
的定义域为( )
A.[0,3] B.(0,3)
C.(-∞,0]∪[3,+∞) D.(-∞,0)∪(3,+∞)
1
??
1
2.已知不等式ax
2
-bx-1≥0的解集是
?

2
,-
3
?
,则不等式x
2
-bx-a<0的解集是( )
??
A.(2,3)
?
11
?
C.
?
3

2
?

??
B.(-∞,2)∪(3,+∞)
1
??
1
??
D.
?
-∞,
3
?

?
2
, +∞
?

????
x-3
3.不等式≤0的解集为( )
x-1
A.{x|x<1或x≥3}
C.{x|1B.{x|1≤x≤3}
D.{x|14.已知不等式x
2< br>-2x+k
2
-1>0对一切实数x恒成立,则实数k的取值范围为
2



______________.
三、重点讲解
题型一 一元二次不等式的解法
例1 求下列不等式的解集:
(1)-x
2
+8x-3>0;
(2)ax
2
-(a+1)x+1<0.













思维升华 含有参数的不等式的求解,往往需要对参数进行分类讨论.
(1)若二次项系数为 常数,首先确定二次项系数是否为正数,再考虑分解因式,对参数进行
分类讨论,若不易分解因式,则可 依据判别式符号进行分类讨论;
(2)若二次项系数为参数,则应先考虑二次项系数是否为零,确定不 等式是不是二次不等式,
然后再讨论二次项系数不为零的情形,以便确定解集的形式;
(3)对方程的根进行讨论,比较大小,以便写出解集.
3



11
(1)若不 等式ax
2
+bx+2>0的解为-23
等式2x
2< br>+bx+a<0的解集是________.
(2)不等式
x-1
≤0的解集是________.
2x+1
题型二 一元二次不等式的恒成立问题
例2 设函数f(x)=mx
2
-mx-1.
(1)若对于一切实数x,f(x)<0恒成立,求m的取值范围;
(2)若对于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求m的取值范围.
















4



思维升华 (1)对于一元 二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图象在给
定的区间上全部在x轴上方,恒小于0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x
轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参 数法求最值.
(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数.一般地,知道谁的范围,谁就是 主元,
求谁的范围,谁就是参数.
(1)若不等式x
2
-2x+5≥a< br>2
-3a对任意实数x恒
成立,则实数a的取值范围为( )
A.[-1,4] B.(-∞,-2]∪[5,+∞)
C.(-∞,-1]∪[4,+∞) D.[-2,5]
(2)已知a∈[-1,1]时 不等式x
2
+(a-4)x+4-2a>0恒成立,则x的取值范围为( )
A.(-∞,2)∪(3,+∞) B.(-∞,1)∪(2,+∞)
C.(-∞,1)∪(3,+∞) D.(1,3)
题型三 一元二次不等式的应用
例3 某商品每件成本价为80元,售价为100元,每天售出100件.若售价降低x成(1成
8
=10%),售出商品数量就增加
5
x成.要求售价不能低于成本价.
(1)设该商店一天的营业额为y,试求y与x之间的函数关系式y=f(x),并写出定义域;
(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元,求x的取值范围.





5















思维升华 求解不等式应用题的四个步骤
(1)阅读理解,认真审题,把握问题中的关键量,找准不等关系.
(2)引进数学符号,将 文字信息转化为符号语言,用不等式表示不等关系,建立相应的数学
模型.
(3)解不等式,得出数学结论,要注意数学模型中自变量的实际意义.
(4)回归实际问题,将数学结论还原为实际问题的结果.
某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万
元,预测六月份销售额为500万元,七月份销售额比 六月份递增x%,八月份销售额比七月
份递增x%,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等,若 一月份至十月份销售总额
至少达7 000万元,则x的最小值是________.

四、经典例题
6



转化与化归思想在不等式中的应用
典例:(1)已知函数f(x)=x
2
+ ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),若关于x的不等式f(x)的解集为(m,m+6 ),则实数c的值为________.
x
2
+2x+a
(2)已知函数f (x)=,若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,则实数a的取值范围
x
是___ _____.
温馨提醒 (1)本题的解法充分体现了转化与化归思想:函数的值域和不等式的解集转 化为
a,b满足的条件;不等式恒成立可以分离常数,转化为函数值域问题.
(2)注意函数f(x)的值域为[0,+∞)与f(x)≥0的区别.
五、课堂小测
A组 专项基础训练
1.函数f(x)=
A.[-2,1]
C.[-2,1)
1-x
的定义域为( )
x+2
B.(-2,1]
D.(-∞,-2]∪[1,+∞)
?
x
2
-4x+6,x≥0,
2.设函数f(x)=
?
则不等式f(x )>f(1)的解集是( )
?
x+6,x<0,
A.(-3,1)∪(3,+∞)
C.(-1,1)∪(3,+∞)
B.(-3,1)∪(2,+∞)
D.(-∞,-3)∪(1,3)

3.设a>0,不等式-cA.1∶2∶3
C.3∶1∶2
B.2∶1∶3
D.3∶2∶1
4.若不等式mx
2
+2mx-4<2x
2
+4x对任意x都成立,则实数m的取值范围是( )
A.(-2,2] B.(-2,2)
C.(-∞,-2)∪[2,+∞) D.(-∞,2]
5.若集合A={x|ax
2
-ax+1<0}=?,则实数a的值的集合是( )
A.{a|0C.{a|0B.{a|0≤a<4}
D.{a|0≤a≤4}
?
1
?
?
的解集为
x|x<-1或x>
2
?
,则
??
6 .已知一元二次不等式f(x)<0f(10
x
)>0的解集为________.
1
7.若0a
)>0的解集是________ ________.
7



8.已知f(x)是定义在R上的奇函数.当x>0时,f(x)=x
2
-4x,则不 等式f(x)>x的解集用区
间表示为________________.
9.已知f(x)=-3x
2
+a(6-a)x+6.
(1)解关于a的不等式f(1)>0;
(2)若不等式f(x)>b的解集为(-1,3),求实数a、b的值.











1 0.某农贸公司按每担200元收购某农产品,并每100元纳税10元(又称征锐率为10个百
分点) ,计划可收购a万担,政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品,决定将征税率降低
x(x≠0)个百分 点,预测收购量可增加2x个百分点.
(1)写出降税后税收y(万元)与x的函数关系式;
(2)要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的83.2%,试确定x的取值范围.








B组 专项能力提升 < br>11.已知函数f(x)=(ax-1)(x+b),如果不等式f(x)>0的解集是(-1,3),则 不等式f(-2x)<0
的解集是( )
31
A.(-∞,-
2
)∪(
2
,+∞)
8



31
B.(-
2

2
)
13
C.(-∞,-
2
)∪(
2
,+∞)
13
D.(-
2

2
)
12.关于x的不等式x
2
-2ax-8a
2
<0(a>0)的解集为(x
1
,x< br>2
),且x
2
-x
1
=15,则a等于( )
571515
A.
2
B.
2
C.
4
D.
2

13.设0≤α≤π,不等式8x
2
-(8sin α)x+cos 2α≥0对x∈R恒成立,则α的取值范围为
________.
14.已知a∈Z,关于x 的一元二次不等式x
2
-6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数,则所
有符合条件的 a的值之和是________.
15.求使不等式x
2
+(a-6)x+9-3a >0,|a|≤1恒成立的x的取值范围.















9

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