高中数学教师资格证考试几门呢-高中数学和英语哪个更好补
高中数学基本不等式专题辅导
一、知识点总结
1、基本不等式原始形式
（1）若
a,b?R
，则
a?b?2ab
22
(a
1
2
?a
2
2
?????a
n
2<
br>)
(b
1
2
?b
2
2
?????b
n
2
)
?(a
1
b
1
?a
2
b<
br>2
?????a
n
b
n
)
2
二、题型分析
题型一：利用基本不等式证明不等式
1、设
a,b
均为正数，证明不等式:
ab
≥
a
2
?b
2
（2）
若
a,b?R
，则
ab?
2
2、基本不等式一般形式（均值不等式）
*
若
a,b?R
，则
a?b?2ab
2
11
?
ab
3、基本不等式的两个重要变形
（1）若
a,b?R
，则
*
*
a?b
?ab
2
2
a?b
?
（2）若
a,b?R
，则
ab?
?
??
2
??
总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最
小值；
当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；
2、已知
a,b,c
为两两不相等的实数，求证：
a<
br>2
?b
2
?c
2
?ab?bc?ca
3、已知
a?b?c?1
，求证：
a?b?c?
4、已知
a,b,c?R
，且
a?b?c?
1
，求证：
?
特别说明：以上不等式中，当且仅当
a?b
时取“=”
4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”
5、常用结论
（1）若
x?0
，则
x?
1
?2
(当且仅当
x?1
时取“=”）
x
222
（2）若
x?0
，则
x???2
(当且仅当
x??1
时取“=”）
（3）若
ab?0
，则
a
?
b
?2
(当且仅当
a?b
时取“=”）
ba
1
x
1
<
br>3
a?b
2
a
2
?b
2
（4）若
a
,b?R
，则
ab?(
)?
22
（5）若
a,b
?R
，则
*
a?ba
2
?b
2
?ab?
?
11
22
?
ab
1
特别说明：以上不等式中，当且仅当<
br>a?b
时取“=”
6、柯西不等式
(1?a)(1?b)(1?c)?8abc
5、已知
a,b,c?R
，且
a?b?c?1
，求证：
?
,,,dR?
（1）若
abc
(c?d)?(acb?d
)
，则
(a?b)
22222
（2）若
a
1,a
2
,a
3
,b
1
,b
2
,b3
?R
，则有：
(a
1
2
?a
2
2
?a
3
2
)(
1
b
1
2
?b2
2
?b
3
2
)?(a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3
)
2<
br>
（3）设
a
1
,a
2
,???,a
n与b
1
,b
2
,???,b
n
是两组实数，则有
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?
1
??
1<
br>??
1
?
?
?1
??
?1
??
?1
?
?8
?
a
??
b
??
c
?
6、选修4—5：不等式选讲
设
a,b,c
均为正数,且
a?b?c?1
,证明:
题型二：利用不等式求函数值域
1、求下列函数的值域
（1）
y?3x?
（3）
y?x?
2
1
（2）
y?x(4?x)
2
2x
1
a
2
b
2
c
2
(Ⅰ)
ab?bc?ca?
;
(Ⅱ)
???1
.
3
bca
7、已知
a?b?0
，求证:
2a?b?2ab?ab
3322
11
(x?0)
（4）
y?x?(x?0)
xx
题型三：利用不等式求最值
（一）（凑项）
4
1、已知
x?2
，求函数
y?2x?4?
的最小值；
2x?4
变式1：已知
x?2
，求函数
y?2x?
变式2：已知
x?2
，求函数
y?2x?
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4
的最小值；
2x?4
4
的最大值；
2x?4
练习：1、已知
x?
2、已知
x?
5
，求函数
y?4x?2?
1
的最小值；
4
4x?5
2、若
0?x?2
，求
y?
x(6?3x)
的最大值；
5
，求函数
y?4x?2?
1
的最大值；
4
4x?5
变式：若
0?x?4
，求
y?
x(8?2x)
的最大值；
题型四：利用不等式求最值
（二）（凑系数）
1、当
变式1：当
变式2：设
0?x?
时，求
y?x(8?2x)
的最大值；
15
3、求函数
y?2x?1?5?2x(?x?)
的最大值；
22
（提示：平方，利用基本不等式）
时，求
y?4x(8?2x)
的最大值；
变式：求函数
y?4x?3?11?4x(
3
?x?
11
)
的最大值；
44
3
，求函数
y?4x(3?2x)
的最大值。
2
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