高中数学必修5视频余弦定理-高中数学北师大选修
初中高中数学教师
备课组
日期 上课时间
学生情况:
--------
--------
--------
班级 学生
主课题: 集合
教学目标:
1.
了解集合的概念,体会元素与集合之间的“属于”关系
2.
理解两个集合之间的包含关系,能识别给定集合的子集
3.
理解两个集合的并集与交集的含义,会求简单集合的并集与交集
4.
理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集
教学重点:
1. 灵活运用元素特征解题
2.
会用列举法和描述法表示集合
3. 理解集合之间的包含关系
4.
会求几个集合的交集、并集,会求已知集合的补集
教学难点:
1.
体会数学抽象的意义
2. 掌握集合的“交”、“并”、“补”等运算
3.
知道有关的基本运算性质
考点及考试要求:
1. 求已知集合的补集
2. 熟练掌握集合的“交”、“并”运算性质
3. 了解集合的思想方法
知识精要
1. 集合的概念:由确切指定的一些对象组成的整体叫做集合.
集合中的各个对象叫做集合
的元素. 集合的元素具有确定性、互异性和无序性
其一,集合中
的元素是确定的(元素的确定性).即对于给定的集合和任意给出一个对象,
能够明确判定该对象是否是
这个集合中的元素(只有“是”或“不是”,没有第三种选择)
其二,集合中没有两个(或以上)相同
的元素(元素的互异性).即集合中的元素互不相同,
都不重复出现
其三,集合中的元素地位是相同的(元素的无序性).即集合中元素的出现与顺序无关
2. 元素与集合的关系常用符号“
?
和
?
”来表示. 例如,a
是集合A的元素,记为
a?A
,
读作“
a
属于集合A
”;
a
不是集合A的元素,记为
a?A
,读作“
a
不属于
集合A”
3. 不含任何元素的集合叫空集,记作:
?
.
4. 集合的分类:按集合的元素个数可分为有限集、无限集和空集.
有限集中含有有限个元
素;无限集中含有无限多个元素. 由数构成的集合简称数集.
以下是几个常用的数集:
(1)
全体实数构成的集合叫实数集,简记为R,有时用
R(R)
表示正(负)实
数集;
(2)
全体有理数构成的集合叫有理数集,简记为Q,有时用
Q(Q)
表示正(负)
有理数集
(3) 全体整数构成的集合叫整数集,简记为Z,正整数构成的集合记为
N
(4) 全体自然数构成的集合叫自然数集,简记为N
5.
集合的表示方法:列举法和描述法
(1) 列举法:将集合中的元素一一列举出来,并写在大括号“{
}”内表示集
合的方法,叫列举法. 列举法常用来表示有限集和规律性比较强的无限集.
如
:15的所有约数构成的集合用列举法表示为
{-15,-5,-3,-1,1,3,5,15}
;
正偶数集可用列举法表示为{2,4,6,8,10,…}
(2)
描述法:将集合中的元素所具有的性质描述出来,并写在大括号“{
}”
内表示集合的方法,叫做描述法. 描述法常用来表示元素性质比较强的集
合,其基本格式
为
{xP}
,其中
x
是代表元素,分隔符“”后面的“P”
*
??
??
是代表元素所具有的特征性质.
例如:奇数集合可表示为
{xx?2k?1,k?Z}
6. 子集:对于两个集合A
和B,如果集合A中任何一个元素都属于集合B,那么集合A叫
做集合B的子集,记作
A?B<
br>;如果
A?B
且B中至少有一个元素不属于A,则称集
合A是集合B的真子集.
空集是任何非空集合的真子集
7.
集合相等:若集合A是集合B的子集,且集合B也是集合A的子集,则称集合A与集合
B相等
热身练习
1. 用适当的符号填空:0_
?
__
_{0,,1};{1,2}___
?
___{1,3,2,4};0
_
?
__
?
;
{ 0 }___
?
___{
{0},{1,2},{0,1} } (注意集合中的元素可以是集合)
2. 用列举法表示集合
{yy?x
2
?1,x?2,x?Z}?
_{-1,0,3}
__________ 集合
{(x,y)y?x
2
?1,x?2,x?Z}?
____
{(?2,3),(?1,0),(0,?1),(1,0),(2,3)}
__________
(注意集合中的元素可以是点坐标)
3. 集合M=
{x
x
2
?2x?a?0,x?R}??
,则实数
a
的取值范围是___
a??1
________
4. 已知:
f(x)?x
2
?ax?b,A?{xf(x)?2x}?{2}
,则
a?
__-2____;
b?
____4___
(
f(2)?4,??0
建立二元一次方程组计算a,b的值)
5. 设含
有5个元素的集合的全部子集为S,其中由3个元素组成的子集数为T,则
T
5
?____
S
16
(若非空集合含有n个元素,那么它的子集数为
2n
个,非空子集和真子集的个数都是
2
n
?1
个,非空真子集的
个数为
2
n
?2
)
6. 集合
A?{xx?2n?1,n
?Z},B?{yy?4k?1,k?Z}
,则A与B的关系为___=______
(用列举法一一列出集合中的元素即可)
7. 已知集合
M?{x2x
2<
br>?5x?3?0},N?{xmx?1}
,若
N?M
,则适合条件的实数m的集合P为___
{0,?2,}
_________;P的子集有___8__个;P的
非空真子集有___6__个
(注意空集是任何集合的子集,解题时千万不要漏掉)
8.
设集合
M?
?
xx?
1
3
?
?
k1??k
1?
?,k?Z
?
,N?
?
xx??,k?Z
?
,
则下列正确的是(B )
2442
???
B A M=N
M?N
2
C
M?N
D
MIN??
(用列举法把两集合中的元素一一列举出来)
9. 设集合
P?{m?1?m?0}
,
Q?{mmx?4mx?4?0对任意实数x恒成立}
,则下
列关系中成立
的是(A )
A
P?Q
B
Q?P
C
P?Q
D
P?Q??
(利用二次函数图像数形集合)
10. 设集合
P?{x?y,x?y,xy
}
,
Q?{x?y,x?y,0}
,若
P?Q
,求x,y的值和集合
P、Q
利用集合相等及集合中元素的互异性分类讨论
(1)若x-y=0,则x=y
?
x?y?0
,由集合的互异性推出矛盾
(2)若x+y=0,同理可推出矛盾
(3)若xy=0
?
x?0ory?
0
,若y=0集合P中有相同的元素,所以矛盾
若x=0,可推出
y??1
,所以
P?Q?{?1,0,1},x?0,y??1
22
2222
精解名题
1. 已知
M?{xx?a
2?b
2
,a,b?Z}
,若
p,q?M
,则
pq
是否属于M,为什么?
解:因为p,q∈M,所以存在a,b,m,n∈Z,使得
p?a?b,q?m?n
2222
所以
pq?(a?b)(m?n)
=
(am)?(bn)?
(an)?(bm)
2222
2222
=
(am?bn)?(an?bm)
由a,b,m,n∈Z得am+bn,an+bm∈Z,所以pq∈Z
2.
设S是实数组成的集合,且当
a?S
时,
22
1
?S
1?a
(1) 如果
3?S
,那么S中至少含有哪几个元素?
(2) S是否可能为单元素集合?
(3)
如果
a?S
,那么S中至少有哪几个元素?
112
???S
?
?S
?
3?S
(已循环) 1?323
1
?a
,得
a
2
?a?1?0
,方
程无实数解 (2)由集合中元素的互异性得
1?a
1111
?S
?<
br>1?
?S
?
a?S
(已循环)且
a,,1?
三者互不
相 (3)
a?S
?
1?aa1?aa
解:(1)
3?S
?
等,所以至少有3个元素
3. 设
A?{xx
2
?4x?0},B?{xx
2
?2(
a?1)x?a
2
?1?0,x?R}
,若
B?A
,求实数
a
的取值范围
解:由已知得A={0,-4},因为
B?A
,所以
B??or{0}or{?4}or{0,?4}
当
B??
,
??
4(a?1)?4(a?1)?0
,得
a??1
22
?
?
0?2(a?1)?0?a?1?0
当
B?{0}
时,
?
?
a??1
22
?
?
??4(a?1)?4(a?1)?0
22
?
?
(?4)?2(a?1)?(?4)?a?1?0
当
B?<
br>{?4}
时,
?
无解
22
?
?
??4(a
?1)?4(a?1)?0
22
?
?
(?4)?2(a?1)?(?4)?a
?1?0
当
B?{0,?4}
时,
?
2
?
a?1<
br>
2
?
?
0?2(a?1)?0?a?1?0
22
所
以实数a的取值范围是
B?{0,?4}(??,?1]?{1}
4. 设
M?{a,a?d,a?2d},P?{a,aq,aq}
,其中
a
?0
,M=P,求q的值
2
?
a?d?aq
?
a?d?a
q
2
解:由M=P,所以
?
①或
?
②
2
?
a?2d?aq
?
a?2d?aq
?
a(1?q)??d
由①得
?
两式相除的q=1 由集合元素的互异性,舍去
2
a(1?q)??2d
?
同理由②可得
q??
5.
设
f(x)?x?px?q,A?{xx?f(x)},B?{xf[f(x)]?x}
(1) 求证:
A?B
(2)
如果
A?{?1,3}
,求B
2
1
2
解:(1)由题意,对任意
x?A?x?f(x)?f(
f(x))?f(x)?x?x?B?A?B
(2)由集合A={-1,3}可得p=-1,
q=-3,因此
f(x)?x?x?3
,由
f(f(x))?x
可得
2
(x
2
?x?3)
2
?(x
2
?x?3)?3
?x
,所以
x
2
?x?3??x
?
x??1or3or?3
所以集合
B?{?1,3,3,?3}
巩固练习
1.
设P、Q为两个非空集合,定义集合
P?Q?{a?ba?P,b?Q}
. 若
P?{
0,2,5},Q?{1,2,6}
,则
P?Q
的元素个数为_____8___
2. 定义非空集合A的真子集的真子集为A的“孙集”,则集合{1,3,5,7,9}的孙集有__
26_
个 (分空集、含1、2、3个元素集合讨论即可)
3.
满足
{a,b}?A?{a,b,c,d}
的集合A共有__3_____个
4.
已知集合
M?{x,xy,lg(xy)},N?{0,x,y}
,且M=N,求:
111
(x?)?(x
2
?
2
)?...?(x
2008<
br>?
2008
)
的值
yyy
解:由集合元素的互异性可得lgxy?0
,
xy?1
.
在根据集合相等可得
x?1ory?1
当y=1,由集合M元素的互异性可推出矛盾
当
x?1
,x=1时由
xy?1
可推出y=1由互异性矛盾
X=-1,则y=-1,符合条件
带入答案为0
5. 已知集合
A?{xx?3a?5b,a,b?Z},B?{y
y?7m?10n,m,n?Z}
,求证:A=B
先证
A?B
:
x
?3a?5b?x?7(?a?5b)?10(a?4b)
由a,b
?Z
,
可得
?a?5b?Z
,
a?4b?Z
由x的任意性,只要x
?A
,则x
?B
?
A?B
再证
B?A
:
y?7m?10n
?
y??3m?5(2m?2n)<
br>
因为-m,2m+2n∈Z,所以
B?A
所以A=B
6. 若集合
A?{xx
2<
br>?ax?1?0,x?R}
,集合
B?{1,2}
,且
A?B
,求实数
a
的取值范围
分类讨论,注意空集不要漏掉
a?
[?2,2)
自我测试
1.
集合
P?{x,1},Q?{y,1,2}
,其中
x,y?{1,2,3,4,5,6
,7,8,9}
,且P是Q的真子集,把
满足上述条件的一对有序整数
(x,y)作为一个点,这样的点的个数为___14_____
2.
已知集合
P?{yy?x?1},Q?{yy?x?1},E?{xy?x?1}
,
222
F?{(x,y)y?x
2
?1},G?{xx?1}
,则下列正确的
是( D)
A P=F B Q=E C E=F D
Q=G
3. 已知集合
A?{xa?1?x?a?2},B?{xx?4?1}<
br>,若
A?B
,求实数
a
的取值范围
由B是A的子集且
B?{x3?x?5}
,所以a-1≤3且a+2≥5
得
3?a?4
4. 已知集合
A?{xax
2
?3x?2?0,a?R}
,(1)
若A是空集,求
a
的取值范围
(2)若A中只有一个元素,求
a
的值
(3)若A中至多只有一个元素,求
a
的取值范围
解:由
?<0,
?
=0,两者再取并集分别可得(1)、(2)、(3)中a的取值范围(不要漏掉
a=0
时方程为一元一次方程的情况)
5. 已知集合
A?{?3,4},B?{xx
2<
br>?2px?q?0},B??
,且
B?A
,求实数p,q的值
分类讨论B={-3}、{4}、{-3,4}的情况即可
1
?
?
p??3
?
p?4
?
p?
,
?
,
?
2
?
q?9q?16
??
?
?
q??12
参考答案
热身练习
1.
?,?,?,?
2. {-1,0,3}
,
{(?2,3),(?1,0),(0,?1),(1,0),(2,3)}
3.
a??1
4. -2,4
5.
1
5
6. =
7.
{0,?2,}
,8,6 8. B 9. A 10.
P?Q?{?1,0,1},x?0,y??1
3
16
1211
,
(2)不可能
(3)
a,,1?
3.
a?(??,?1]?{1}
231?aa
精解名题
1. 略 2. (1)
3,?
4.
q??
1
5. (1)略 (2)
B?{?3,?1,3,3}
2
巩固练习
1. 8 2. 26 3. 3 4. 0 5. 略 6.
[?2,2)
自我测试
1. 14 2. D 3.
3?a?4
4. (1)
a?
999
(2)
a?0or
(3)
a?0ora?
888
1?
?
p??3
?
p?4
?
p?
5.
?
,
?
,
?
2
?
q?9
?
q?16
?
q??12
?
初中高中数学教师
备课组
日期 上课时间
学生情况:
--------
--------
--------
班级 学生
主课题: 集合
教学目标:
1.
了解集合的概念,体会元素与集合之间的“属于”关系
2.
理解两个集合之间的包含关系,能识别给定集合的子集
3.
理解两个集合的并集与交集的含义,会求简单集合的并集与交集
4.
理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集
教学重点:
1. 灵活运用元素特征解题
2.
会用列举法和描述法表示集合
3. 理解集合之间的包含关系
4.
会求几个集合的交集、并集,会求已知集合的补集
教学难点:
1. 体会数学抽象的意义
2. 掌握集合的“交”、“并”、“补”等运算
3.
知道有关的基本运算性质
考点及考试要求:
1. 求已知集合的补集
2. 熟练掌握集合的“交”、“并”运算性质
3. 了解集合的思想方法
知识精要
一
交集运算
一般地,我们把属于集合A且属于集合B的所有元素构成的集合,叫集合A与B的交集,记作:
A?B
由定义可知,
A?B?{xx?A,且x?B}
.
任意两个非空集合A、B的交集有以下四种情况:
B
A
B
A
B
A
B
A
任意两个非空集合A、B的交集具有以下性质:
1.
A?B?B?A
2.
??A?B?A
,
??A?B?B
3.
??A??
,即空集与任何集合的交集都是空集
4.
A?B?A?B?A,B?A?A?B?B
二 并集运算
一般地,我们把
属于集合A或者属于集合B的所有元素构成的集合,叫集合A、B的并集,
记作:
A?B
由定义可知,
A?B?{xx?A,或x?B}
.任意
两个非空集合A、B的并集有以下四种情况:
B
A
B
A
B
A
B
A
任意两个非空集合A、B的并集具有以下性质:
1.
A?B?B?A
2.
A?A?B
,
B?A?B
3.
??A?A
,即空集与任何集合的并集都等于该集合
4.
A?B?A?B?B
,
B?A?A?B?A
三
补集运算
一般地,设U是全集,
A?U
,定义由属于U但不属于A的元素构成的集合
叫A的补集,
记作:
C
U
A
在维恩图中,我们以矩形表示
全集,集合A的补集
C
U
A
表示下图空白部分
U
A
C
U
A
补集的运算性质:
1.
A?C
U
A??
2.
A?C
U
A?U
3.
C
U
(C
U
A)?A
;
C
U
U??
;
CU
??U
四 集合的运算律
1.
交换律:
A?B?B?A
;
A?B?B?A
2. 结合律:
A?(B?C)?(A?B)?C
;
A?(B?C)?(A?B)?C
3. 分配律:
A?(B?C)?(A?B)?(A?C)
;
A?(B?C)
?(A?B)?(A?C)
4. 反演律:
C
U
A?C
U
B?C
U
(A?B)
;
C
U
A?C
UB?C
U
(A?B)
热身练习
1. 已知集合
P?{xx?1?1,x?R},Q?{xx?
N}
,则
P?Q?
__
{0,1,2}
______
2.
若集合
M?1,3,x
?
,N?x
2
,1
?
,且M
UN?1,3,x
?
,则x=___
0or?3
__________
(利用N是M的子集和集合元素的互异性)
3. 设集合
?
?
?<
br>I?{xx?3,x?Z},A?{1,2},B?{?2,?1,2}
,则
A?(C<
br>I
B)?
____
{0,1,2}
______
4. 已知
集合
A?{(x,y)x?2y?0},B?{(x,y)
y?1
?0}
,则
A?B?
__
?
______
x?2
)
A?B
?
__
{(x,y)y?1orx?2y}
______(注意集合B要去掉一点(2
,1)
5.已知集合U、P、Q满足
U?PUQ?
?
0,1,2,
3,4
?
,PIQ?
?
1,3
?
,则
(C
U
PUC
U
Q)I(PUQ)?
__
{0,2,4
}
_____(利用集合的运算律
C
U
A?C
U
B?CU
(A?B)
)
6. 如图,设I是全集,非空集合P、Q满足
P?Q
?I
.若集合P、Q的一个集合运算表达式,
使运算结果为空集.则这个运算表达式可以是__
__
P?C
I
Q
_______
I
Q
P
7. 设数集
M?{xm?x?m?},N?{xn?
3
4
1
?x?n}
,且M、N都是集合
{x0?x?1}
3
的子集,如
果把
b?a
称为集合
{xa?x?b}
的“长度”,那么集合
M?N
的长度的最小值
为_____
1
____
12
8.
设A、B、I均为非空集合,且满足
A?B?I
,则下列各式中错误的是(A )
A
(C
I
A)?B?I
B
(C
I
A)?(C
I
B)?I
C
A?(C
I
B)??
D
(C
I
A)?(C
I
B)?(C
I
A)
(利用文氏图判断)
9.设全集
U?
?
1,2,3,4,5
?
,SIP?
?
2
?
,C
U
SIP?
?
4
?
,C
U
SIC
U
P?
?
1,
5
?
,则(B )
A
3?S,3?P
B
3?S,3?C
U
P
C
3?C
U
S,3?P
D
3?C
U
S,3?C
U
P
(利用文氏图判断)
10. 设集合
A?{a,a?1,?3},B?{a?3,2a?1,a?1}<
br>,且
A?B?{?3}
,求实数
a
的值
解:因为
A
?B?{?3}
,所以a-3=-3或2a-1=-3,即a=0或a=-1;
当a=0时,
A={0,1,-3},B={-1,1,-3},
A?B?{1,?3}
与已知矛盾,舍去
所以a=-1
22
精解名题
1. 已知集合
A?
?
0,1,2
?
,B?xx?A,x?N,C?xx?A
,试
问
AUB
于C之间的关
*
??
??
系?
解:由题
意得B={1,2},
A?B?{0,1,2}
,
C?{?,{0},{1},{2}
,{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}}
因此
A?B?C
(注意集合中的元素可以是集合)
2.某班有28名同学参加校运动会,其中有15人参加了游泳比赛,8人参加了田径比赛,
14人参加了球类比赛,而同时参加游泳和田径两项比赛的有3人,同时参加游泳和球类两
项比
赛的有3人,还有若干人同时参加了三项比赛,但参加的人数不比同时参加田径和球类
两项比赛的人数少
,问只参加一项比赛的一共有多少人?
I
A
II
VII
III
B
IV
C
V
VI
设A={参加游泳比赛的同学},它包括四个区域I、II、VI、VII共15个元素
B={参加田径比赛的同学},它包括四个区域II、III、IV、VII共8个元素
C={参加球类比赛的同学},它包括四个区域IV、V、VI、VII共14个元素
根据题
意II有3个元素,区域VI有3个元素,设区域IV有x个元素,区域VII有y个元素,
则y≥x,
x和y都是正整数
参加总人数有15+8+14-3-3-x-2y=28
由x+2y=3及y≥x可得x=1,y=1
因此区域I有15-3-3-y=8(人),区
域III有8-3-x-y=3(人),区域V有14-3-x-y=9(人)
3. 已知A=
tt满足xx
2
?2tx?4t?3?0?R,B?tt满足
xx
2
?2tx?2t?0??
,其中x,t
均为实数
(1)
求
AIB
(2)
设m为实数,
g(m)?m?3,
求
M?mg(m)?AIB
(1
)集合A实际上是使得
x?2tx?4t?3?0
恒成立的所有实数t的集合,故令
2
2
?
??
??
??
?
??
?
1
?(2t)
2
?4(?4t?3)?0
解得-3
x?2tx?2t?0
有解的所有实数t的集合,故令 2
?
2
?(2t)
2
?4(?2t)?0
,解得
t?0
或
t??2
所以A=(-3,-1),B=
(??,?2
]?[0,??)
,那么
A?B?(?3,?2]
(2)
?3?m?3??2??1?m?0或0?m?1
所以
M?{m?1?m?0or0?m?1}
4.设集合
A?xx
?3x?18?0,B?xx?ax?b?0
.若
AIB=B
,求实数a,b所满足<
br>的条件
2
?
2
??
2
?
解:由题意得A={-3,6},由
A?B?B?B?A
,所以
B?{?3,
6}
从而
B??or{?3}or{6}or{?3,6}
当
B??
,
??a?4b?0
2
B?{?3}<
br>,由-3是方程
x
2
?ax?b?0
的根且
??0
,
a=6,b=9
B?{6}
,同理可得a=-12,b=36
B?{?3,6}
,a=-3,b=-18
5. 设
I?{xx
?8,x?N
*
},A?C
I
B?{1,3,4,5,6,7}
,<
br>C
I
A?B?{1,2,4,5,6,8}
,
C
I
A?C
I
B?{1,5,6}
,求集合A和集合B <
br>解:显然I={1,2,3,4,5,6,7,8},因为
A?C
I
B?{1,
3,4,5,6,7}
,由集合运算律的反演律
C
I
A?B?{2,8}<
br>,同理
A?C
I
B?{3,7}
,
A?B?{2,3,4,7
,8}
由文氏图可知,A={3,4,7},B={2,4,8}
I
A
3,7
1,5,6
B
2,8
4
巩固练习
1. 1.集合A有10个元素,集合B有8个元素,全集U有15个元
素,那么
AUB
最多有
_15___个元素,最少有__10___个元素
2. 已知集合
A?a
2
,a?1,?3,B?a?3,2a?1,a2
?1,若AIB=
?
-3
?
,则a=_-1___
3. 已知集合
A?{x?2?x?5},B?{xm?1?x?2m?1}
,若A?B?A
,则实数m的
取值范围是___
2?m?3
________
(2m-1≥m+1不要漏掉)
2
4. 已知集合
A
?xx?4mx?2m?6?0,x?R
,若
AIR??
,求实数m的取值范围 ????
??
?
AIR
?
??
?
方程必有负数
根:包括两负根、一负一正、一负一零根,讨论起来比较复
杂
因此
设全集
U?{m??(?4m)?4(2m?6)?0}?{mm??1orm?}
,若方程两
根非负
2
3
2
则
?
?
4m?0
3
?m?
2
?
f(0)?2m?6?0
取它在全集U下的补集得<
br>m??1
5.向50名学生调查对A、B两事件的态
度,有如下结果:赞成A的人数占全体的
3
,其余
5
的不赞成;赞成B的比赞
成A的多3人,其余的不赞成;另外,对A、B都不赞成的学
生数比对A、B都赞成的学生数的
各有多少?
解:赞成A的人数为
50?
1
多1人. 问对A、B都赞成的学
生和都不赞成的学生
3
3
?30
,赞成B的人数为30+3=33,如图设5
0名学生组成的集合
5
x
?1
,赞成
3
为U,赞成事件A的
学生全体为集合A;赞成事件B的学生全体为集合B
设对事件A、B都赞成的学生人数为x,则对事件
A、B都不赞成的学生人数为
A而不赞成B的人数为30-x,赞成B而不赞成A的人数为33-x,由
题意得
x
(30?x)?(33?x)?x?(?1)?50
,解得x=21
3
所以对A、B都赞成的同学有21人,都不赞成的有8人
U
A
30-x
B
x
33-x
x
3
+1
6.
设非空集合
A?x-2?x?a,B?yy?2x?3,x?A,C?zz?x,x?A
且
BIC?C
,求a的取值范围
由一次函数的单调性的
B?{y?1?y?2a?3}
????
?
2
?
?
a
2
??1
当
?2?a?0
时,
a?z?4
,因为C是B的子集
,所以
?
?
a??
?
4?2a?3
2
当
0?a?2
时,
0?z?4
,因为C是B的子集,所以
?
?
0??1
1
?a?[,2]
2
?
4?
2a?3
?
0??1
当
a?2
时,
0?z?a
,因
为C是B的子集,所以
?
2
?a?(2,3]
a?2a?3
?
2
综上所述,
?a?[,3]
1
2
自我测试 <
br>1.已知集合
P?{yy?x
2
?3x?1,x?R},Q?{yy??x2
?3x?1,x?R}
,则
513
P?Q
=__
[?
,]
_
44
2.设全集为U,用集合A、B的交、并、补符号表示下图阴影部分可以
是
____
C
U
(A?B)?(A?B)
______
U
A
B
3. 设I是全集,
S
1
,S<
br>2
,S
3
是I的三个非空子集,且
S
1
?S
2
?S
3
?I
,则下面正确的是(A )
A
C
I
S
1
?C
I
(S
2
?S
3
)?
?
B
S
1
?(C
I
S
2
?C
I
S
3
)
C
C
I
S
1
?C
I
S
2
?C
I
S
3
?I<
br> D
S
1
?(C
I
S
2
?CI
S
3
)
(由集合运算的反演律可得)
4> 设全
集
U?{xx为不大于20的质数}
,
A?C
U
B?{3,5},B
?C
U
A?{7,19}
,
C
U
A?C
U
B?{2,17}
,求集合A、B
由集合运算的反演律以及文氏图可得
A?{3,5,11,13}
,
B?{7,11,
13,19}
5. 定义
A?B
为集合
A?B
中元素的个数,若
A?{a
1?a?2000,a?4k?1,k?Z}
,
B?{b1?b?3000,b?3k?1,k?Z}
. 求
A?B
解:
1?4k
1
?1?2000?0?k
1
?499
;<
br>1?3k
2
?1?3000?1?k
2
?1000
a?b?4k
1
?1?3k
2
?1,k
1
?
k1
?
3k
2
?2
,由
0?k
1
?49
9
?0?k
2
?666
且
4
3k
2
?2
∈Z,则
k
2
可取2,6,10…666共167个数
4
所以
A?B
=167
参考答案
热身练习
1.
{0,1,2}
2.
0or?3
3.
{0,1,2}
4.
?,{(x,y)y?1orx?2y}
5.
{0,2,4}
6.
P?C
I
Q
等 7.
精解名题
1.
A?B?C
2. 20人 3. (1)
(?3,?2]
(2)
M?{m?1?m?0or0?m?1}
4.
a?4b?0;ora
?6,b?9;ora??12,b?36;ora??3,b??18
5.
A?{3,4,7}
,
B?{2,4,8}
巩固练习
2
1
8. A 9. B 10.
a??1
12
1. 15,10 2. -1
3.
[2,3]
4.
m??1
5. 21,8 6.
[,3]
自我测试
1.
[?
1
2
513
,]
2.
C
U
(A?B)?(A?B)
3. A 4.
A?{3,5,11,13}
,
B?{7,11,13,19}
44
班级 学生
5. 167
初中高中数学教师
备课组
日期 上课时间
学生情况:
--------
--------
--------
主课题: 命题 充分条件与必要条件
教学目标:
1. 熟练掌握原命题、逆命题、否命题、逆否命题之间的转化
2.
熟练运用互为逆否命题的真假值相同这一结论
3.
理解充分条件、必要条件、充要条件之间的关系,并会证明
教学重点:
1. 命题的证明,推出关系
2.
命题的四种形式、等价命题
3. 充分条件、必要条件、充要条件的判断
教学难点:
1. 反证法去证明
2.
证明原命题的逆否命题成立从而间接证明出原命题成立
考点及考试要求:
1. 会写出命题的四种形式
2. 会判断充分条件、必要条件和充要条件
3.
会对三种条件进行证明
一、知识精要
1.命题与推出的关系
在数学中常见的命题由条件与结论两部分组成。
从上面的例题中我们可以看出,要确定一个命题是假命
题,只要举出一个满足命题条
件,而不满足命题结论的例子就可以了。这在数学中称为举反例。
而确定一个命题是真命题,就必须作出证明,证明若满足命题条件就一定能推出命题
的结论。
一般地说,如果命题
?
成立也可以推出命题
?
也成立,那么就说由<
br>?
可以推出
?
,并
用记号
?
?
?
表
示,读作“
?
推出
?
”。换言之,
?
?
?
可以表示
?
为条件、
?
为结论
的命题是真命题。
例:?
:
?
ABC是等边三角形,
?
:
?
ABC是
轴对称图形,
?
?
?
当
?
的成立不能
推出
?
成立,可以记作
?
??
?
。换言之,
???
?
表示以
?
为条件,
?
为
结论的命题是个
假命题。、
例:
?
:x>y
?
:x+2y>x+y,
?
??
?
如果
?
?
?
,并且<
br>?
?
?
,那么记作
?
?
?
,叫做
?
与
?
等价
例:
?
:
?
ABC的三条边
相等,
?
:
?
ABC的三个角相等,
?
?
?
推出关系的传递性:如果
?
?
?
?
?
?
,那么
?
?
?
证明:个位数是5的自然数能被5整除。
?
:个位数是5的自然
数n
?
?
1
:n=10k+5
?
k?N
?
?
?
2
:n=5(2k+1)
?
k?N
?
?
?
:n能被5整除
?
?
?
1
?
?
2
?
?
2.命题的四种形式:
逆命题:一个数学命题用条件
?
,结论
?<
br>表示就是“如果
?
,那么
?
”。如果把结论与条
件互相交换,
就得到一个新命题:“如果
?
,那么
?
”,我们把这个命题叫做原命题的逆命
题,显然他们互为逆命题。
例:“若a是奇数,则2a是偶数”的逆命题
若2a是偶数,则a是奇数 否命题:一个命题的条件与结论分别是另一个命题的条件的否定与结论的否定,我们把这个
命题叫做
另一个命题的否命题。如果我们把
?
,
?
的否定分别记作
?
、
?
,那么命题“如
果
?
,那么
?
”的否命题就是
:“如果
?
,那么
?
”。
例:“若a是奇数,则2a是偶数”的否命题
若a不是奇数,则2a不是偶数
逆否命题:如果把原命题“如果
?
,那么
?
”结论的否定
作条件,把条件的否定作结论,
那么就可得到一个新命题,我们将它叫做原命题的逆否命题,即“如果<
br>?
,那么
?
”
例:“若a是奇数,则2a是偶数”的逆否命题
若2a不是偶数,则a不是奇数
3.等价命题
通过上面例子我们可以得到
原命题:若a是奇数,则2a是偶数
逆命题:若2a是偶数,则a是奇数
否命题:若a不是奇数,则2a不是偶数
逆否命题:若2a不是偶数,则a不是奇数
通过比较四个命题可以发现否命题与逆命题也是互为逆否
命题,并且互为逆否命题的两个命题是同真同假。
那么可以这么说如果能证明原命题的逆否命题是真假命题,那么原命题也是真假命题,反
之也可以。我
们就把可以相互推出的两个命题叫做等价命题。
等价命题:如果A、B是两个命题,
A?B,B?A
,那么A、B叫做等价命题
那么原命题与逆否命题是等价命题,逆命题与否命题是等价命题。
4.复合命题:
通常我们把由简单命题再加上一些逻辑联结词构成的命题叫做复合命题,而常用的逻辑联结
词有
:或,且,非。
我们常用小写拉丁字母p,q,r,s…表示简单命题,而复合命题的构成形式式通常
会这样表
示:p或q,p且q,非p
即:p或q 记作
p?q
p且q记作
p?q
非p记作
?p
或且非的定义
或:两者满足其一即可 且:两者需要同时满足 非:对命题结论的否定
复合命题的构成注意:
“p或q,p且q”的两种复合命题的p和q可以是毫无关系的两个简单命题。
“非p”这种复合命题又叫做命题的否定;是对原命题的关键词的否定.
下面给出一些关键词的否定:
二、精题名解
1.若命题p的否命题是q,命题q的逆命题是r,则r是p的逆命题的( D )
A原命题
B逆否命题 C逆命题 D否命题
2.命题:已知a,b为实数,若
x?ax
?b?0
有非空解集,则
a?4b?0
。写出该命题的
逆命题,否命题,逆否
命题,并判断这些命题的真假?
解:逆命题:已知a,b为实数,若
a?4b?0
,
则
x?ax?b?0
有非空解集
否命题:已知a,b为实数,若
x?ax?
b?0
没有非空解集,则
a?4b?0
逆否命题:已知a,b为实数,若<
br>a?4b?0
,则
x?ax?b?0
没有非空解集
通过原命题为真得出逆否命题为真,通过否命题为真的出你逆命题为真。
3.
判断命题真假:如果
a?2
,那么
a?2
(真)
解:小范围推出大范围
4.把下列写法改写成复合命题“p或q”“p且q”或“非p”的形式:
(1)(a-2)(a+2)=0 a-2=0或a+2=0
(2)
?22
22
22
22
?
x?1
x=1且y=2
?
y?2
(3)
a?b?0
a?b
且
b?0
5.已知:
D是?ABC的边BC上的一
点,求证命题“如果
ABBD
?,
那么D不在
ACDC
?ABC的内角平分线上”
解:原命题的逆否命题为已知
D是?ABC的边BC上的一点
,如果
D在?ABC的
内角平分线上
,那么
ABBD
?
ACDC
证明:过C作DA的平行线交BA的延长线于E
在
?BCE
中,
QDACE,
?
BABD
?,且?BAD??BEC
AEDC
?DAC??ACE
,又
Q
?BAD??ACE
.
??BEC??ACE
,
?AE?AC
从而
ABBD
?
ACDC
因为逆否命题为真命题,所以原命题为真命题。
(命题的等价关系)
三、巩固练习
1.判断下列命题的真假
(1)一组对边平行且两对角线相等的四边形是平行四边形(假)
(2)如果
A?B?A
,那么
A?B?B
(真)
(3
)命题“若
xy?1
,则
x
,
y
互为倒数”的逆命题(真,
零没有倒数)
(4)命题“面积相等的三角形全等”的否命题 (真)
(5)“若
m
≤1,则
x?2x?m?0
有实根”的逆否命题 (
真)
2.设原命题为“若A∩B=B,则A
?
B”,则原命题、逆命题、
否命题和逆否命题中是真命题
的个数是( A )
A.0个 B.1个
C.2个 D.4个
2
3.下列说法正确的是( D )
A一个命题的逆命题正确则它的否命题不正确
B一个命题的逆命题正确则它的逆否命题正确
C一个命题的逆否命题正确则它的逆命题正确
D一个命题的否命题不正确则它的逆命题一定不正确
4.“
a,b,c三个数中有且只有一个为0
”的否定是( D )
A.
a,b,c三个数全为0
B.
a,b,c三个数中有两个为0
C.
a,b,c三个数没有一个为0
D.
a,b,c三个数至少有两个为0,或没有一个为0
5.“如果两个实数之积是有理数,那么这两个数都是有理数”的等价命题是?
解:如果这两个数不都是有理数,那么两个实数之积不是有理数
6.根据下列要求写出命题
(1)命题“若x+y=0,则x、y全为0”的否命题是 .
解:若x+y≠0,则x、y不全为0
(2)命题“已知a,b,c,d∈R,若a=b,c=d,则a+c=b+d”的逆命题为
;否
命题为 .
解:逆命题为:已知a、b、c、d∈R,若a+c=b+d,则a=b,c=d.
否命题为:已知a、b、c、d∈R,若a≠b或c≠d,则a+c≠b+d.
(3)命题“正数的绝对值等于它本身”的逆命题是 .
解:
绝对值等于它本身的数是正数.
7.设
A,B是两个集合,下列四个命题:
①
A不包含于B?对任意x?A,有x?B
②
A不包含于B?A?B??
③
A不包含于B?A不包含B
④
A不包含于B?存在x?A,x?B
其中真命题的序号是③④
解:①反例:
A?
?
1,2,3
?
,B?
?
2,3
,4
?
8.写出命题“若 xy= 0 则 x = 0或 y =
0”的逆命题、否命题、逆否命题,并判断真假。
解:逆命题:若x = 0或 y =
0,则xy= 0
否命题:若 xy
?
0,则 x
?
0且 y
?
0
逆否命题:若x
?
0且y
?
0,则xy
?
0
全为真命题 <
br>9.已知命题
P
:方程
x
+
mx
+1=0有两个不相
等的负根;
Q
:方程4
x
+4(
m
-2)
x
+1=0无实
根.若
P
或
Q
为真,
P
且
Q
为假,求
m
的取值范围.
2
解:命题P中m满足的条件为:x
1
?x
2
??m?0
??m?4?0
<
br>22
22
22
得
?
?
m?0
,即
m
?2
?
m?2或m??2
2
命题Q中m
满足的条件为:
??
?
4
?
m?2
?
?
?
4?4?0
??
得
1?m?3
P或Q为
m?1
,P且Q为
2?m?3
“若
P<
br>或
Q
为真,
P
且
Q
为假”即
m
取值
范围满足P或Q中且不满足P且Q
即:
1?m?2或m?3
四、自我测试
1.已知全集U,A
?
U,
B?U,如果命题P:x?A?B,则命题非P是
( D )
A.
x?A
B.
x?饀
U
B
C.
x?饀
U
?
A?B
?
D.
x?饀
U
?
A
?
?饀
U
?
B
?
2.下列判断正确的个数为( C )
①
x?y?x?y或x??y是正确的
②
命题且7>3为真
③
x?y?x??y是不正确的
④原命题为假,它的否命题不一定为假
22
22
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
①④是正确的
3.命题P“如果
x?1,那么x?1
”的否命题是( C ),非P是( D )
A.
如果x?1,那么x?1
B.
如果x?1,那么x?1
C.
如果x?1,那么x?1
D.
如果x?1,那么x?1
4.下列各组的两个命题互为等价命题的是( A
)
A.
A?B与A?B?B
B.
a?A与a?A?B
C.
a?A?B与a?B
D.
a?A?B与a?A?B
5.命题“
A?B
”为真,那么下列命题中真命题是( D )
A.
A?B
B.
A?B
C.
B?A
D.
B?A
6.写出命题“
若A=?或B
??,则A?B??
”的逆命题,否命题,逆否命题。并判断真假。
逆命题:
若A?B??,则A=?或B??
否命题:
若A??且B??,则A?B??
逆否命题:
若A?B??,则A??且B??
原命题与逆否命题为真,否命题与逆命题为假。
7.如果
a,b,c
为实数,设
A:
a?b?c?0
;B:
a,b,c
至少有一个为0;C:
a?b?c?0
那么A
?
B;A
?
C;B
?
C.(用符号
?
,
?
,
?
填空)
8
.已知
n
是正整数且
n?15
,全集
U?kk?n,k?N
个不同的数的和为完全平方数
反证法
2
?
*
?
,证明A或者?A中必然有两
U
初中高中数学教师
备课组
日期 上课时间
学生情况:
班级 学生
--------
--------
--------
主课题: 命题
充分条件与必要条件
教学目标:
1.
熟练掌握原命题、逆命题、否命题、逆否命题之间的转化
2.
熟练运用互为逆否命题的真假值相同这一结论
3.
理解充分条件、必要条件、充要条件之间的关系,并会证明
教学重点:
1. 命题的证明,推出关系
2.
命题的四种形式、等价命题
3. 充分条件、必要条件、充要条件的判断
教学难点:
1. 反证法去证明
2.
证明原命题的逆否命题成立从而间接证明出原命题成立
考点及考试要求:
1. 会写出命题的四种形式
2. 会判断充分条件、必要条件和充要条件
3.
会对三种条件进行证明
一、新课讲解、
1.充分条件,必要条件
上节课我们学习了命题与推
出的关系,也就是如果命题
?
成立也可以推出命题
?
也成
立,那么就
说由
?
可以推出
?
,并用记号
?
?
?
。
现在我们说如果
?
?
?
那么
?
叫做
?
的充分条件,
?
叫做
?
的必要条件。
例:A:“x是2的倍数” B:“x是6的倍数”
B
?
A 所以B是A的充分条件 A是B的必要条件。
对于
?
、
?
两件事而言,
?
、
?
之间不一定有充分条件或者必要条
件。
例:A:“当a、b
?
R时,a+b>0” B“ab>0”
既不是充分条件又不是必要条件
如果既有
?
?
?
,又有
?
?
?
,既有
?
?
?
,那么
?<
br>既是
?
的充分条件,又是必要条件
这是我们就说
?
是
?
的充分必要条件,简称充要条件。
例:A:”三角形三条边相等” B:”三角形三个角相等”
A
?
B 所以A是B的充要条件 反之B也是A的充要条件
充分条件的意义:如
果
?
?
?
,则称
?
为
?
的充分条件,这里
指的是使
?
成立,具备了
?
条件就足够了,“充分”是“足够”的意思。
必要条件的意义:则称则称
?
为
?
的必要条件,这里值的是
?
?
?
,即不具备
?
,
?
?
?
,
则
?
必不成立,因此使
?
成立,必须具备
?
, “必要”是“必须”的意
思。
2.子集与推出的关系
思考:
A?B是否与
?
?
?
等价?为什么?
设A,B是非空集合,A=
aa具有性质
?
,B=bb具有性质
?
如已知
A?B
,如果
a
1
具有性质
?<
br>,那么
a
1
?
A,而
A?B
,所以
a
1
?
B,
因此
a
1
具有性质
?,即
?
?
?
。既:
A?B
是
?
??
的充分条件
如已知
?
?
?
:如果
a
1
?
A
a
1
具有性质
?
,由
?
?
?
可推得
a
1
具有性质
?
,所以
a
1
?
B,因此
A?B
。既:
?
?
?
是
A?
B
的充分条件
二、精题名解
1.指出下列各组命题中,
p
是q
的什么条件(在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、
“既不充分也不必要”中
选一种作答)
(1)在
?ABC
中,
p:A?B
,
q
:sinA?sinB
(2)对于实数
x,y,
p:x?y?8
,
q:x?2
或
y?6
(
3)在
?ABC
中,
p:sinA?sinB
,
q:tanA?ta
nB
(4)已知
x,y?R
,
p:(x?1)?(y?2)?0<
br>,
q:(x?1)(y?2)?0
22
????
解:(1)在
?ABC
中,有正弦定理知道:
ab
?
sinAsinB
∴
sinA?sinB?a?b
又由
a?b?A?B
所以,
sinA?sinB?A?B
即
p
是
q
的的充要条件.
(2)因为命题“若
x?2且
y?6
,则
x?y?8
”是真命题,故
p?q
, <
br>命题“若
x?y?8
,则
x?2
且
y?6
”是假命题
,故
q
不能推出
p
,
所以
p
是
q
的充分不必要条件.
oooo
(3)
取
A?120,B?30
,
p
不能推导出
q
;取
A
?30,B?120
,
q
不能推导出
p
所以,
p
是
q
的既不充分也不必要条件.
(4)因为P?{(1,2)}
,
Q?{(x,y)|x?1
或
y?2}
,
P?Q
,
?
所以,
p
是
q
的充分非必要条件.
2. 已知
p、q都是r的必要条件,s是r的充分条件,q是s的充分条件,那么s,r,p分别
是q的什么条件
?
分析 画出关系图1-21,观察求解.
解
s是q的充要条件;(srq,q
r是q的充要条件;(rq,qsr)
p是q的必要条件;(qsrp)
3. 已知真命题“a≥bc>d”和“a<b
e≤f”,则“c≤d”是“e≤f”的________
条件.
分析
∵a≥bc>d(原命题),
∴c≤da<b(逆否命题).
而a<be≤f,
∴c≤de≤f即c≤d是e≤f的充分条件.
答 填写“充分”.
4.
设A、B、C三个集合,AB是A(B∪C)的[ A ]
s)
A.充分条件
B.必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
分析
可以结合图形分析.请同学们自己画图.
∴A(B∪C).
但是,当B=N,C=R,A=Z时,
显然A(B∪C),但A
B”
B不成立,
“A(B∪C)”,而
综上所述:“A
“A
即“A
(B∪C)”“AB”.
B”是“A(B∪C)”的充分条件(不必要).
2
5.(1)是否存在实数
m
,使得
2x?m?0
是
x?2x?3?0
的充分条件?
(2)是否存在实数
m
,使得
2x?m?0
是
x?2x?3?0
的必要条件?
解:欲使得
2x?m?0
是
x?2x?3?0
的充分条件,则只要
{x|x??
2
2
m
}?{x|x??1
2
m
??1
即
m?2
,
2
2
故存在实数<
br>m?2
时,使
2x?m?0
是
x?2x?3?0
的充分条件.
或
x?3}
,则只要
?
(2)欲使
2x?m?0
是
x?2x?3?0
的必要条件,则只要
{x|x??
或
x?3},则这是不可能的,
2
m
}?{x|x??1
2
故不存在实
数
m
时,使
2x?m?0
是
x?2x?3?0
的必要条件.
三、巩固练习
1.已知命题p、q,则“命题p或q为真”是“命题p且q为真”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.
x?1
或
x?2
的一个充分非必要是
( B )
2
2
(B )
(A)
x??1
(B)
x?1
(C)
x?1
(D)
?
x?1
??
x?2
?
?0
3.
若条件
p:|x?1|?4,
条件
q:x?5x?6,则?p是?q
的
A.充分而不必要条件
C.充要条件
2
( A )
B.必要而不充分条件
D.既不充分又不必要条件 ??
4.设
p:x??1或x?1,q:x??2或x?1,则
p
是q
的 ( A )
A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.
若A是B成立的充分条件,D是C成立的必要条件,C是B成立的充要条件,则D
是A成立的( B
)
A.充分条件 B.必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
分析 通过B、C作为桥梁联系A、D.
解 ∵A是B的充分条件,∴AB①
∵D是C成立的必要条件,∴CD②
∵C是B成立的充要条件,∴C?B③
由①③得A
由②④得A
C④
D.
∴D是A成立的必要条件.选B.
说明:要注意利用推出符号的传递性.
6.已知集合,
,
,
( B )
,
则p是q的
A. 充分条件,但不是必要条件
B. 必要条件,但不是充要条件
C. 充分必要条件
D.
既不是充分条件,也不是必要条件
7.给出下列各组条件:
(1)p:ab=0,q:a
2
+b
2
=0;
(2)p:xy≥0,q:|x|+|y|=|x+y|;
(3)p:m>0,q:方程x
2
-x-m=0有实根;
(4)p:|x-1|>2,q:x<-1.
其中p是q的充要条件的有( A )
A.1组 B.2组
C.3组 D.4组
分析 使用方程理论和不等式性质.
解 (1)p是q的必要条件
(2)p是q充要条件
(3)p是q的充分条件
(4)p是q的必要条件.选A.
8.已知p:x
1
,x
2
是方程x
2
+5x-6=0的两根,q:x
1
+x
2<
br>=-5,则p是q的( A )
A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解
∵x
1
,x
2
是方程x
2
+5x-6=0的两根,
∴x
1
,x
2
的值分别为1,-6,
∴x
1
+x
2
=1-6=-5.
因此选A.
9、设A,B是两个命题,如果B是
A
的必要条件,但不是A
的充分条件,那么A是
B
的必要非充分条件。
10.已知关于x的实系数二次方程x
2
+ax+b=0有两个实数根α、β,
证明:|α|<2且|β|<2是2|a|<4+b且|b|<4的充要条件
证明:
(1)(充分性)由韦达定理,得|b|=|α·β|=|α|·|β|<2×2=4
设f(x)=x
2
+ax+b,则f(x)的图象是开口向上的抛物线
又|α|<2,|β|<2,∴f(±2)>0
?
4?2a?b?0
?
4+b>2a>-(4+b) 即有
?
4?2a?b?0
?
又|b|<4
?
4+b>0
?
2|a
|<4+b
(2)必要性
由2|a|<4+b
?
f(±2)>0且f(x)的图象是开口向上的抛物线
∴方程f(x)=0的两根α,β同在(-2,2)内或无实根
∵α,β是方程f(x)=0的实根,∴α,β同在(-2,2)内,即|α|<2且|β|<2
11.设
x,y?R
,求证:
|x?y|?|x|?|
y|
成立的充要条件是
xy?0
.
证明:充分性:如果
xy?0
,那么,①
x?0,y?0
②
x?0,y?0
③
x?0,y?0
于
是
|x?y|?|x|?|y|
如果
xy?0
即
x?0,y?0
或
x?0,y?0
,
当
x?0,y?0
时,
|x?y|?x?y?|x|?|y|
, <
br>当
x?0,y?0
时,
|x?y|??x?y?(?x)?(?y)?|x|?
|y|
,
总之,当
xy?0
时,
|x?y|?|x|?|y|
.
必要性:由
|x?y|?|x|?|y|
及
x,y?R
得
(x?y)?(|x|?|y|)
即
x?2xy?y?x?2|xy|?y
得
|xy|?xy
所以
xy?0
故必要性成立,
综上,原命题成立.
3322
222222
的充要条件是a?b?ab?a?b?0
12.已知
ab?0,
求证:
a?b?1
必要性:
Qa?b?1,即b?1?a
,
?a?b?ab?a?b
=
a?(1?a)?a(1?a)?a?(1?a)
?a?1?3a?3a?a?a?a?a?1?2a?a?0
充分性:
Qa
?b?ab?a?b?0
,即
(a?b)(a
2
?ab?b
2
)?a
2
?ab?b
2
?0
22
?(a?b?1)(a?ab?b)?0
得
a?b?1?0
或
a?a
b?b
=0
22
3322
3322
323222
3322
??
b
?
3b
2
?
Qab?0,即a?0,b?0
?a?ab?b?
?
a?
?
??0
2
?
4
?
22
2
只有
a?b?1?0
,既有
a?b?1
的充要条件是a?b?ab?a?b?0
综上所述
a?b?1
3322
三、课后练习
1.条件p:|x|?1
,条件
q:x??2
,则
?q
是
?p<
br>的
A.充分不必要条件
C.充要条件
( B )
B.必要不充分条件
D.既不充分又不必要条件
2.0
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.p是q的充要条件的是 ( D )
A.p:3x+2>5,q:-2x-3>-5
B.p:a>2,b<2,q:a>b
C.p:四边形的两条对角线互相垂直平分,q:四边形是正方形
D.p:a≠0,q:关于x的方程ax=1有惟一解
分析 逐个验证命题是否等价.
解 对A.p:x>1,q:x<1,所以,p是q的既不充分也不必要条件;
对B.pq但qp,p是q的充分非必要条件;
对C.pq且qp,p是q的必要非充分条件;
对D.p?q且q?p,即p?q,p是q的充要条件.选D.
说明:当a=0时,ax=0有无数个解.
4.是“实系数一元二次方程
x?ax?1?0
无实数根”的( A )
“?2?a?2”
(A)必要不充分条件
(B)充分不必要条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
2
5.
设甲、乙、丙是三个命题,如果甲是乙的必要条件,丙是乙的充分条件,但不是乙
的必要条件,那么(
A )
A.丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件
B.丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件
C.丙是甲的充要条件
D.丙不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件
分析1:由丙乙甲且乙丙,即丙是甲的充分不必要条件.
分析2:画图观察之.
答:选A.
6.设p、q是两个命题,则“复合命题p或q为真,p且q为假”的充要条件是( D
A.p、q中至少有一个为真 B.p、q中至少有一个为假
C.p为真,q为假
D.p、q中有且只有一个为真
7.已知集合A=
?
aa具有性质p
?<
br>,B?
?
bb具有性质q
?
(1)若A
?
B, 则p是q的充分条件
(2)若B
?
A,则p是q的必要条件
(3)若A=B,则p是q的充要条件
8.如果命题p:A
?
B,命题q: AB,那么p是q的什么条件?
qp而q
q,
所以p是q的必要条件
9.如果
?
是?
的充分非必要条件,那么
?
是
?
的什么条件?
解
必要非充分
10.命题“x
?
M或x
?
P”是命题“x
?
M
?
P”的什么条件?
解 命题“x
?
M或
x
?
P”是命题“x
?
M
?
P”的必要条件
)
11.写出命题“x>3”的一个充分条件
,一个必要条件
解 充分x>5 必要x>2
12.已知命题
?
:
2?x?4
命题
?
:
3m?1?x??m
,且
?
是
?
的充分条件,求实数
m的
取值范围。
解 3m-1
?
2 -m>4 3m-1<-m
m
?
1 m<-4 m<
综上所述:m<-4
1
2
初中高中数学教师
备课组
日期 上课时间
学生情况:
--------
--------
--------
班级 学生
主课题: 不等式的性质及证明
教学目标:
1.
掌握判断两个实数大小的基本方法
2. 类比等式性质,猜想和证明不等式的基本性质
3.
利用不等式性质比较两实数的大小或证明简单的不等式
.
教学重点:
1.
利用不等式性质比较两实数的大小或证明简单的不等式
2. 掌握判断两个实数大小的基本方法
教学难点:
1.
类比等式性质,猜想和证明不等式的基本性质
考点及考试要求:
1. 不等式基本性质的应用
教学内容
【知识精要】
1、证明:如果错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,那么错误!未找到引
用源。
2、证明:如果错误!未找到引用源。,那么错误!未找到引用源。
3、证明:如果错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,那么错误!未找到引
用源。
如果错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,那么
错误!未找到
引用源。
4、证明:如果错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,那么错误!未找到引
用源。
如果错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,那么错误!未找到引
用源。
5、证明:如果错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,那么错误!未找到引
用源。
6、证明:如果错误!未找到引用源。,那么错误!未找到引用源。
7、证明:如果错误!未找到引用源。,那么错误!未找到引用源。,
错误!未找到引
用源。(错误!未找到引用源。)
基本不等式1:对任意实数错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。,有错误!
未找到引用源。,_______________等号成立
基本不等式
2:对任意正数错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。,有错误!
未找到引用源。,_____
______________等号成立
基本不等式3:对任意错误!未找到引用源。、错误!未找到
引用源。、错误!未找到
引用源。,有错误!未找到引用源。,____________等号成立
【热身练习】
1、若错误!未找到引用源。,用“错误!未找到引用源。”从小到大依次排列错误!
未找到引用源。、
错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。、错误!未找到引
用源。:_错误!未找到引用源。 <
br>2、能使错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。同时成立的充要条件:_____
错误!
未找到引用源。______
3、命题“若错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,则错误!
未找到引用源。”
的逆否命题是若错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。或错误!未找到引<
br>用源。
4、若错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。___
错误!未找到引用源。___错误!未找到引用源。(选填“错误!未找到引用源。”、“错
误
!未找到引用源。”或“=”)
5、下列命题中不正确的一个是( D )
A、若错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。
B、若错误!
未找到引用源。,错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。
C、若错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。
D、
若错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。
6、若错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,下列命题中不恒成立的是
( C
)
A、错误!未找到引用源。 B、错误!未找到引用源。
C、错误!
未找到引用源。 D、错误!未找到引用源。
7、下列命题中,真命题是( C )
A、若错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。)
B、若错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。
C、若错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。
D、若错误!
未找到引用源。且错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。
【精解名题】
1、已知错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源
。且
错误!未找到引用源。.比较错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。的大
小
答:错误!未找到引用源。
2、已知错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。.比较错误!未找到引用源。
与错误!未找到引用源。的大小
答:错误!未找到引用源。
3、设错误!未找到引用源。,令错误!未找到引用源。
(1)证明:错误!未找到引用源。介于错误!未找到引用源。,错误!未找到引用
源。之间;
(2)错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。中哪个更接近于错误!未找到
引用源。?
答:(1)提示:只要证错误!未找到引用源。(2)错误!未找到引用源。更接近
4、错误!未找到引用源。中三边为
错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。、
错误!未找到引用源。,求证:
答:提示:联系基本不等式3,错误!未找到引用源。
5、设错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,试比较错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。
答:错误!未找到引用源。
6、已知实数错误!未找到引用源。和错误!未找到引用源。满足条件
错误!未找到
引用源。,求代数式错误!未找到引用源。的最小值
答:错误!未找到引用源。
7、已知错误!未找
到引用源。,错误!未找到引用源。且错误!未找到引用源。,求
证:错误!未找到引用源。
答:提示:求差法,因式分解
8、设错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。都是正
数,求证:错
误!未找到引用源。
答:提示:综合法,基本不等式1
9、设错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。、错误!未找到
引用源。,求证:
错误!未找到引用源。
答:提示:综合法,基本不等式变形错误!未找到引用源。
10、若错误!未找到引用源。,且错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。均为非负实数,求证:错误!未找到引用源。
答:分析法,只要证错误!未找
到引用源。,即错误!未找到引用源。,因为错误!
未找到引用源。,只需证错误!未找到引用源。,因
为错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,所以错误!未找到引用源。成立
【备选例题】 1、已知集合错误!未找到引用源。,在S中定义一种运算“*”,当错误!未找到引
用源。,错误
!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。.
(1)求证:错误!未找到引用源。
(2)问:错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源
。、错误!未找到引用源。,
能成立吗?证明你的结论.
【巩固练习】
1、已知错误!未找到引用源。,比较错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。
的大小
答:错误!未找到引用源。
2、设错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。为△
ABC的三边.试
比较错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。的大小关系
答:错误!未找到引用源。
3、已知错误!未找到引用源。、错误!未找到
引用源。、错误!未找到引用源。.比较
错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。的大小
答:错误!未找到引用源。
4、若错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。、错误!未
找到引用源。均大于
0,且错误!未找到引用源。,求错误!未找到引用源。的最小值
答:9
5、设错误!未找到引用源。,错误
!未找到引用源。,错误!未找到引用源。且错误!
未找到引用源。,求错误!未找到引用源。的最小值
答:错误!未找到引用源。
6、已知错误!未找到引用源。,求证:错误!未找到引用源。
答:提示:做差
7、若错误!未找到引用
源。、错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,求证:
错误!未找到引用源。
答:提示:综合法,
<
br>8、设错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。均为小
于1的正数
,且错误!未找到引用源。,求证:错误!未找到引用源。
答:提示:综合法
9、设错误!未找到
引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,求证:
2错误!未找到引用源。
答:提示:分析法,
【自我测试】
1、已知错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,则(
D )
A、错误!未找到引用源。 B、错误!未找到引用源。
C、错误!未找
到引用源。 D、错误!未找到引用源。
2、已知错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,则( D )
A、错误!未找到引用源。 B、错误!未找到引用源。
C、
错误!未找到引用源。 D、错误!未找到引用源。
3、设错误!未找到引用源。,
错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。且错误!
未找到引用源。、错误!未找到引用源。、错误
!未找到引用源。不全相等,则不等
式错误!未找到引用源。成立的一个充分必要条件是( B )
A、错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。
B、错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。
C、错误!未找到引用源。 D、错误!未找到引用源。 <
br>4、已知错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。都是
正实数且错
误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。、
错误!未找到引用源。的大小
关系是( A )
A、错误!未找到引用源。 B、错误!未找到引用源。
C、错误!未找
到引用源。 D、错误!未找到引用源。
5、设错误!未找到引用源
。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,且错误!
未找到引用源。,求证:
(1)错误!未找到引用源。
(2)错误!未找到引用源。
(3)错误!未找到引用源。
(4)错误!未找到引用源。
答:(1)提示:将1换成错误!未找到引用源。
(2)将分子的1换成错误!未找到引用源。
(3)将分子的1换成错误!未找到引用源。
(4)将错误!未找到引用源。看成错误!未找到引用源。
初中高中数学教师
备课组
日期 上课时间
学生情况:
--------
--------
--------
班级
学生
主课题: 一元二次不等式的解法
教学目标:
1.
了解一元二次不等式的的定义及其表达式
2.
掌握一元二次不等式的两种解法:因式分解法与判别式法
3. 会用区间表示不等式的解集
4. 能把简单的实际问题抽象为数学问题,并建立一元二次不等式的模型求解
教学重点:
1.
了解一元二次不等式的的定义及其表达式
2. 掌握一元二次不等式的两种解法:因式分解法与判别式
3
4.
教学难点:
1.
掌握一元二次不等式的两种解法:因式分解法与判别式法
2
.能把简单的实际问题抽象为数学问题,并建立一元二次不等式的模型求解
3.
进一步领悟“转化”的思想,掌握“转化”的方法,懂得“转化”的根据
考点及考试要求:
1. 一元二次不等式的多种解法的灵活运用
2.
数形结合思想的应用
3.
4.
教学内容
【知识精要】
一、一元二次不等式及解法
1、设不等式错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。)的
解集为一切实数,
则错误!未找到引用源。
设不等式错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。)的解集为一切实数,
则错误!未找到引用源。
2、设不等式错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。)的解集为错误!未找到
引用源。
,则错误!未找到引用源。
3、已知一元二次不等式的解集,确定原不等式中字母系数的大小
设不等式错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。)的解集为错误!未找到
引用源
。,错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。
为
对应方程错误!未找到引用源。的两个根,可用韦达定理求出不等式中所含系数
的值
4、已知不等式的解集,构造一元二次不等式
二、关于一元二次方程根的分布问题
一元二次方程错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。、错误!未找到引用
源。、错误!未找到引
用源。且错误!未找到引用源。)两实根为错误!未找到引用源。,
错误!未找到引用源。函数错误!未
找到引用源。与错误!未找到引用源。轴交点为
(错误!未找到引用源。,0),(错误!未找到引用源
。,0)
(1)错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。
其中错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。
(2)错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。
(3)错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。
(4)错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。
(5)错误!未找到引用源。
(6)错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。
【热身练习】
1、不等式错误!未找到引用源。的解集为___错误!未找到引用源。,错误!未找到
引用源
。,错误!未找到引用源。____
2、当错误!未找到引用源。__错误!未找到引用源。,错误!
未找到引用源。____
时,式子错误!未找到引用源。有意义
3、已知错误!未找到引用源
。,则以A为解集的一元二次不等式为_如错误!未找
到引用源。___
4、若不等式错误!
未找到引用源。的解集为(1,4),则错误!未找到引用源。-
______5_______ 5、已知不等式错误!未找到引用源。的解集为错误!未找到引用源。,则不等式错
误!未找到引用
源。
错误!未找到引用源。的解集为__错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,
错
误!未找到引用源。__________
【精解名题】
1、设错误!未找到引用源。,解不等式错误!未找到引用源。
答:①当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。
②当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。
③当错误!未找到引用源。时,解集为错误!未找到引用源。
2、关于错误!未找到引用源。的不等式组,错误!未找到引用源。的整数解为-2,
求实数错误!未找到引用源。的取值范围
答:错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。)
3、是否存在实数错误!
未找到引用源。、错误!未找到引用源。、错误!未找到引用
源。,使关于错误!未找到引用源。的不等
式错误!未找到引用源。的解为错误!未
找到引用源。?若存在,请解不等式错误!未找到引用源。;若
不存在,请说明理
由
答:存在,错误!未找到引用源。且错误!未找到引用源。,错误!未找
到引用源。
时满足条件。
不等式解集为(错误!未找到引用源。,
错误!未找到引用源。)错误!未找到引
用源。(错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。)
4、设关于错误!未找到引用源。的不等式错误!未找到引用源。且错误!未找到引
用源。.
(1)解此不等式;
(2)若此不等式的解集为(3,+∞),求错误!未找到引用源。的值;
答:(1)当错误
!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。;当错误!未找到
引用源。时,解集为一切实数;当错误!
未找到引用源。时,错误!未找到引
用源。
(2)错误!未找到引用源。
5、设错误!
未找到引用源。,又设B是关于x的不等式组错误!未找到引用源。的
解集.试确定使错误!未找到引用
源。的错误!未找到引用源。、错误!未找到引用
源。的取值范围
答:错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。
6、设二次方程错误!未找到引用源。的两根为
错误!未找到引用源。,错误!未找到
引用源。,当错误!未找到引用源。且错误!未找到引用源。时,
求实数错误!未找
到引用源。的取值范围
答:错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。
7、已知一元二次方程错误!未找到引用源。的两个实数根在-1与2之间,求实
数错误!未找到引用源。的取值范围
答:错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。
8、设错误!未找到引用源。,若方
程错误!未找到引用源。有两个小于2的不同实
根.问关于错误!未找到引用源。的不等式错误!未找到
引用源。是否对一切实数错
误!未找到引用源。都成立?
答:当错误!未找到引用源。,错误
!未找到引用源。时,该不等式对一切实数错
误!未找到引用源。都成立
【巩固练习】
1、集合错
误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!
未找到引用源。
(1)若错误!未找到引用源。,求实数错误!未找到引用源。的取值范围;
(2)若错误!未找到引用源。,求实数错误!未找到引用源。的取值范围.
答:(1)错误
!未找到引用源。,错误!未找到引用源。;(2)错误!未找到引用源。,
错误!未找到引用源。,错
误!未找到引用源。{0}
2、已知错误!未找到引用源。
(1)当错误!未找到引用源。时,求不等式组的解;
(2)当错误!未找到引用源。时,求实数错误!未找到引用源。的取值范围
答:(1)错误
!未找到引用源。,错误!未找到引用源。;(2)错误!未找到引用源。,
错误!未找到引用源。,错
误!未找到引用源。
3、已知不等
式组错误!未找到引用源。的整数解恰好有两个,求错误!未找到引
用源。的取值范围
答:错误!未找到引用源。
4、解关于错误!未找到引用源。的不等式:错误!未找到引用源。
答:当错误!
未找到引用源。时,错误!未找到引用源。;当错误!未找到引用源。
时,解集为错误!未找到引用源。
或错误!未找到引用源。
?
x
2
?1?0
5、求不等式组
?
2
的解集
?
x?3x?0
答:错误!未找到引用源。
【自我测试】
1、不等式错误!未找到引用源。的解集为_______R________
2、若一元二
次不等式错误!未找到引用源。的解集为R,则错误!未找到引用源。
的取值范围___无解____
3、已知一元二次方程错误!未找到引用源。解集为,则不等式错误!未找到引
用源。的解集为
______错误!未找到引用源。______,不等式错误!未找到引用源。
的解集为______
_R_______
4、已知不等式错误!未找到引用源。的解集为,则错误!未找到引用源。等于<
br>_______1_______
5、不等式错误!未找到引用源。的解集为(2,3),则不
等式错误!未找到引用源。
的解集为__错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。__
6、若错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。且AB,则实数错误!未找到
引用源。的取值范围
是_______错误!未找到引用源。_______
7、不等式错误!未找到引用源。恒成立,则
错误!未找到引用源。的取值范围是
_错误!未找到引用源。_
8、已知不等式组错误!未找
到引用源。的解集是不等式错误!未找到引用源。的
解集的子集,则实数错误!未找到引用源。的取值范
围是______错误!未找到引用
源。,错误!未找到引用源。________
初中高中数学教师
备课组
日期 上课时间
学生情况:
--------
班级 学生
--------
--------
主课题:
其他不等式的解法
教学目标:
1. 掌握绝对值不等式的解法及分式不等式的解法
2. 学会求解基本的绝对值不等式
3. 初步掌握均值不等式及三角不等式
教学重点:
1.
掌握绝对值不等式的解法
2. 学会求解基本的绝对值不等式
3.
4.
教学难点:
1. 初步掌握均值不等式及三角不等式
2.
3.
考点及考试要求:
1. 绝对值不等式的解法
2.
数形结合思想的灵活掌握
3.
4.
教学内容
【知识精要】
1、分式不等式的解法
分式不等式的等价变形:
f(x)f(x)
>0?
错误!未找到引用源。,≥
g(x)g(x)
?
f(x)?g(x)?
0
0
?
?
g(x)?0
?
2、含绝对值不等式的解法
解绝对值不等式常用以下等价变形:
错误!未找到引用源。,
错误!未找到引用源
。
?
错误!未找到引用源。
?
错误!未找到引用源。或错误!
未找到
引用源。
一般地有:
错误!未找到引用源。
?
错误!未找到引用源。,
错误!未找到引用源。
?
错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。
3、无理不等式的解法
错误!未找到引用源。
?
错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。
?
错误!未找到引用源。
【热身练习】
1、解下列不等式:
(1)错误!未找到引用源。; (2)错误!未找到引用源。
答:错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。
答:错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。
(3)错误!未找到引用源。 (4)错误!未找到引用源。
答:错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。
答:当错误!
未找到引用源。时,若错误!未找到引用源。,无解;若错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。,错误!未找到引用
源。;若错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错
误!未找到引用源。;当
错误!未找到引用源。时
若错误!未找到引用源。,错误!未找到引
用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,若
错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。,错误!未找到引
用源。,错误!未找到引用源。;若错误!未找到引用源。,
错误!未找到引用源。,错误!未
找到引用源。,错误!未找到引用源。
【精解名题】
1、解关于错误!未找到引用源。的不等式:错误!未找到引用源。
答:当错误!未找到引用
源。时,错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。;当错误!未
找到引用源。时,错误!未找到引
用源。或错误!未找到引用源。;当错误!未找到引用源。
时,错误!未找到引用源。为一切实数
2、若不等式错误!未找到引用源。的解集是错误!未找到引用源。.
试求错误!未
找到引用源。的值
答:错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。
3、实数错误!未找到引用源。为何值时,方程错误!未找到引用源。的解不
是负数?
答:错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,
错误!未找到引用源。
4、解不等式错误!未找到引用源。
答:错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。
5、设集合错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,若错误!
未找到引用源。,
求实数错误!未找到引用源。的取值范围
答:错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。
6、不等式错误!未找到引用源。的解集非空,求实数错误!未找到引用源。的范
围
答:错误!未找到引用源。
7、不等式错误!未找到引用源。的解集为一切实数,求实数错误!未找到引用源。
的范围
答:错误!未找到引用源。
8、不等式错误!未找到引用源。的解集为空集,求实数错误!未找到引用源。的
范围
答:错误!未找到引用源。
9、解不等式错误!未找到引用源。
答:错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。
10、满足错误!未找到引用源。的错误!未找
到引用源。的集合为A,满足错误!
未找到引用源。的错误!未找到引用源。的集合为B
(1)若AB,求错误!未找到引用源。的取值范围
(2)若AB,求错误!未找到引用源。的取值范围
(3)若错误!未找到引用源。为仅含一个元素的集合,求错误!未找到引用源。
的值
答:(1)错误!未找到引用源。;(2)错误!未找到引用源。;(3)错误!未找到引用
源。
【备选例题】
1、设错误!未找到引用源。,解不等式错误!未找到引用源。
答:错误!未找到引用源。
2、解不等式错误!未找到引用源。
答:错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。
【巩固练习】
1、解不等式:错误!未找到引用源。
答:错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!
未找到引
用源。
2、解不等式:错误!未找到引用源。
答:错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。
3、已知错误!未找到引用源。
(1)当错误!未找到引用源。时,求不等式组的解集;
(2)当不等式组的解为空集时,求实数错误!未找到引用源。的取值范围
答:(1)错误!
未找到引用源。,错误!未找到引用源。;(2)错误!未找到引用源。
或错误!未找到引用源。
4、解关于错误!未找到
引用源。的不等式:错误!未找到引用源。(错误!未找到
引用源。) 答:若错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错
误!未找到引用
源。
若错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。
若
错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错
误!未找到引用源。
5、解不等式:错误!未找到引用源。
答:错误!未找到引用源。
6、解不等式:错误!未找到引用源。
答:错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。
【自我测试】
?
x
2
?1?0
1.不等式组
?
2
的解集是( C )
?
x?3x?0
A.错误!未找到引用源。
C.错误!未找到引用源。
2.不等式
B.错误!未找到引用源。
D.错误!未找到引用源。
x?1
>0的解集为( C )
x?3
A.错误!未找到引用源。
B.错误!未找到引用源。 C.错误!未找到引用
源。或错误!未找到引用源。 D.错误!未找到引用源。
3.不等式错误!未找到引用源。的解集是( B )
A.错误!未找到引用源。
B.错误!未找到引用源。且错
误!未找到引用源。
C.错误!未找到引用源。
D.错误!未找到引用源。且错误!
未找到引用源。
?
x?0
?
4
.不等式组
?
3?x2?x
的解集是( C )
?||
?
?
3?x2?x
A.错误!未找到引用源。
B.错误!未找到引用源。 C.错误!未找到引用源。 D.
错误!未找到引用源。
初中高中数学教师
备课组
日期 上课时间
学生情况:
--------
班级 学生
--------
--------
主课题:
不等式的应用及证明
教学目标:
1. 理解比较法,分析法,综合法的基本思路。
2.会用比较法、分析法、综合法证明简单的不等式
3、掌握两个基本不等式:
a<
br>2
?b
2
?2ab
(
a
、
b?R
)
、
a?b
?ab
(
a
、
b
为任
2
意正数).
4、利用基本不等式解决一些简单问题,如求最值或求取值范围的简单问题以及
简
单不等式的证明.
5、进一步理解代换的数学方法.
教学重点:
1.
理解比较法,分析法,综合法的基本思路
2. 掌握3个基本不等式及其变形
3.
4.
教学难点:
1.
会用比较法、分析法、综合法证明简单的不等式
2. 基本不等式的简单应用.
3.
考点及考试要求:
1. 基本不等式及其变式的灵活应用
2.
灵活应用比较法、分析法、综合法证明不等式
3.
4
教学内容
【热身练习】
1、解下列不等式:
(1)错误!未找到引用源。
(2)错误!未找到
引用源。
(3)错误!未找到引用源。
(4)错误!未找
到引用源。
(5)错误!未找到引用源。
(6)错误!未找到引
用源。
(7)错误!未找到引用源。
(8)错误!未找到引
用源。
2、已知不等式错误!未找到引用源。的解集为(2,6),求错误!未找到引用源。、
错误!未找
到引用源。的值
【精解名题】
1、若错误!未找到引用源。,求错误!未找到引用源。的最大值
2、若错误!未找到引用源。,求错误!未找到引用源。的最小值
3、已知错误!未找到引用源。,求证:错误!未找到引用源。
4、已知实数错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源
。、错误!未找到引用源。
满足错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。
,求证:
错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。不可能都大
于
1
5、已知错误!未找
到引用源。、错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。且
错误!未找到引用源。,求证:错误!未
找到引用源。
6、已知实数错误!未找到引用源。,求证:错误!未找到引用源。
7、已知实数错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。
满足错误!未找
到引用源。,错误!未找到引用源。,求证:错误!未找到引用源。、
错误!未找到引用源。、错误!未
找到引用源。
【巩固练习】
1、实数m取何值时,三条抛物线错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源
。,
错误!未找到引用源。中至少有一条与错误!未找到引用源。轴相交?
2、已知错误!未找到引
用源。为实数,错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。
为方程错误!未找到引用源。的两根,①
求证:错误!未找到引用源。、 错误!未
找到引用源。必为实数;②错误!未找到引用源。为何值时
错误!未找到引用源。、
错误!未找到引用源。中一个大于3、一个小于3?
3、已知正实数错误!未
找到引用源。和错误!未找到引用源。满足错误!未找到引
用源。,求错误!未找到引用源。的最大值或最小值
4、二次函数错误!未找到引用源。的图像与错误!未找到
引用源。轴有两个不同
的交点,且交点在区间(0,4)内,求实数错误!未找到引用源。的取值范围
5
、已知错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,求证:
(1)错误!未
找到引用源。;
(2)错误!未找到引用源。
6、已知错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。
且
错误!未找到引用源。,求证:
(1)错误!未找到引用源。;
(2)错误!未找到引用源。
7、已知实数错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。
满足错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,求证:
错误!未找到引
用源。,
错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。不能同时大于错误!未找到引用源。
8、设二次函数错误!未
找到引用源。,方程错误!未找到引用源。的两个实根错误!
未找到引用源。、错误!未找到引用源。
满足错误!未找到引用源。,求证:当错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。
时,错误
!未找到引用源。
【自我测试】
1、已知错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,则错误!
未找到引用源。
的最大值为________________
2、已知正数错误!未找到引
用源。、错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用
源。,则错误!未找到引用源。的最小值为___
________________
3、设错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。且
错误!未找到引用源。,则错误!未
找到引用源。的最大值为_______________
4、在直径为d的圆内接矩形中,面积最大值为_________________
5、若错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。的最小值为____________
6、当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。的最小值为_____________ 7、已知
错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。且错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。的最大值为_________________
初中高中数学教师
备课组
日期 上课时间
学生情况:
班级 学生
--------
--------
--------
主课题:
函数的概念及函数关系的建立
教学目标:
1.
让学生理解函数的概念(与初中定义的区别)
2.
让学生掌握函数的三种表示方法并会求简单函数的定义域
3.
通过函数关系式的建立,培养学生把现实问题转化为数学问题的能力
教学重点:
1. 理解函数的概念
2. 理解和掌握用图示法、列表法和解析法表示函数
3.
会根据具体情况确定函数的定义域
4.
会对一些简单的实际问题建立两个变量间的函数关系并确定函数定义域
教学难点:
1. 对映射、函数定义的理解(对记号
y?f(x)
的理解
)
2. 对分段函数的理解
3.
通过函数关系式的建立,培养学生把现实问题转化为数学问题的能力
考点及考试要求:
1. 函数的概念及函数定义域的求法
2. 利用换元法求函数解析式
3.
函数关系式的建立
教学内容
【知识精要】
1、一般地,我们有:设A、
B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系
f,使对于集合A中的任意一个数x,在
集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,
那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数(f
unction).记作: y=f(x),x
∈A.
其中,x叫做自变量,x的取值范围A
叫做函数的定义域(domain);与x的
值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|
x∈A
}叫做函数的值域
(range).定义域、值域与对应关系
f
统称为函数的三要素.
2、一个函数构成的三个要素是:定义域、对应关系和值域.
3、如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同
一函数). <
br>★注:两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变
量和函数值的字母
无关.
4、区间
5、无穷大
【热身练习】
1、下列对应关系是集合
P
上的函数是有 2 .
(1)
P?Z,Q?N
*
,对应关系
f:
“对集
合
P
中的元素取绝对值与集合Q中的元
素相对应”; (2)
P?{?1,1,?2,2},Q?{1,4}
,对应关系:
f:x
→
y?x
2
,x?P,y?Q
;
(3)
P?{
三角形
},Q?{x|x?0}
,对应关系
f:
“对
P
中三
角形求面积与集合Q
中元素对应.”
2、求下列函数定义域
(1)
f(x
)?4?x?2x
;
(2)f(x)?
1
1?
1
x
;
(3)f(x)?
1?x
1?x
答案:(1)错误!未找到引用
源。;(2)错误!未找到引用源。;(3)错误!未找到引用源。
3、求下列函数的值域:
3x?1
;
x?2
答案:(1)错误!
未找到引用源。;(2)错误!未找到引用源。;(3)错误!未找到引用
源。
(1)
y?3x
2
?x?2
;(2)
y??x<
br>2
?6x?5
;(3)
y?
2x
2
?x?2
(4)
y?x?41?x
;(5)
y?|x?1|?|x?4|
;(6)y?
2
.
x?x?1
答案:(4)
错误!未找到引用源。;
(5)错误!未找到引用源。;(6)
错误!未找到引用源。
【精解名题】
1、求下列函数的定义域
11
(1)
f(x)?<
br>;(2)
f(x)?3x?2
;(3)
f(x)?x?1?
.
x?22?x
答案:(1)
错误!未找到引用源。;(2)错误!未找到引用源。;(3)<
br>错误!未找到引用源。
2、求函数
y?
答案:R
x?1
的定义域
|x?1|?|x?1|
3
3、已知函数f(x)=x
2
+mx – 4
在区间〔2,4〕上的两个端点取得最大的最小值。
(1)求m的取值范围;
(2)试写出最大值Y为m的函数关糸式;
(3)最大值Y是否存在最小值?若有,请求出来;若无,请说明理由。
答案:(1)错误!未找到引用源。;(2)4m+12或2m;(3)无最小值
4、试判断以下各组函数是否表示同一函数?
(1)f(x)=
x
2
,g(x)=
3
x
3
;不是
(2)f(x)=
x?0,
?
1
|x|
,g(x
)=
?
?1x?0;
x
?
不是
(3)f(x)=
2n?1
x
2n?1
,g(x)=(
2n?1
x
)
2n
-
1
(n∈N
*
);是
(4)f(x)=<
br>xx?1
,g(x)=
x
2
?x
;不是
(5)f(x)=x
2
-2x-1,g(t)=t
2
-2t-1是
5、已知函数
f(x)?ax
2
?bx?c
,若
f(0)?
0,f(x?1)?f(x)?x?1
,试求函数
f(x)
的值域.
答案:错误!未找到引用源。
6、某租赁公司拥
有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时,可全部租出.当
每辆车的月租金每增加50元时,
未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需
要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50
元.
(1)当每辆车的月租金定为3600元时,能租出多少辆车?
(2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是
多少?
答案:(1)88,(2)4050,307050
7、建造一个容积为
8立方米,深为2米的无盖长方体蓄水池,池壁的造价为每
平方米100元,池底的造价为每平方米30
0元,把总造价y(元)表示为底面一
边长x(米)的函数.
答案:错误!未找到引用源。
8、已知错误!未找到引用源。是一
次函数且错误!未找到引用源。,求错误!未找
到引用源。的解析式
答案:错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。
9、已知二次函数错误!未找到引用源。满足条件错误!未找到引用源。和错误!
未
找到引用源。,求错误!未找到引用源。的解析式
答案:错误!未找到引用源。
【巩固练习】
1、(1)已知函数
f(x)
的定义域为
(0,1)
,求函数
f(x
2
)
的定义域;
答案:错误!未找到引用源。
(2)已知函数
f(2x?1)
的定义域为
(0,1)
,求
f(
x)
的定义域;
答案:错误!未找到引用源。
(3)已知函数
f(x?1)
的定义域为
[?2,3]
,
求
f(2x
2
?2)
的定义域.
答案:错误!未找到引用源。
2、某地为促进淡水鱼养殖业的发展,将价格控制在适当范围内,决定
对淡水鱼养
值提供政府补贴.设淡水鱼的市场价格为x元千克,政府补贴为t元千克.根据
市场
调查,当错误!未找到引用源。时,淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需
求量Q千克近似地满足关系
:
P?1000(x?t?8)(x?8,t?0),
Q?50040?(x?8)
2
(8?x?14)
当P=Q时市场价格称为市场平衡价格.
(1)将市场平衡价格表示为政府补贴的函数,并求出函数的定义域;
(2)为使市场平衡价格不高于每千克10元,政府补贴至少为每千克多少元?
答案:(1)错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。;(2)1元
3、某商店销售某种商品,当销售量
x
不超过30件
时,单价为
a
元,其超出部分按
原价的90%计算,表示销售价
y
与
销售量
x
之间的函数关系.
答案:错误!未找到引用源。
11
4、(1)已知
f(x?)?x
3?
3
,求
f(x)
;
xx
答案:错误!未找到引用源。
(2)已知f(x)
是一次函数,且满足
3f(x?1)?2f(x?1)?2x?17
,求
f(x)
;
答案:错误!未找到引用源。
1
(3)已知
f(x)
满足
2f(x)?f()?3x
,求
f(x)
x
答案:错误!未找到引用源。
(4)若
f(x?1)?x?2x
,求
f(x).
答案:错误!未找到引用源。
1x
(5)若
f()?
,求
f(x).
x1?x
答案:错误!未找到引用源。
5、已知函数
y?f(x)(x?A)
,
y?g(x)(x?B)
,规定:
?
f(x)
g
g(x),
x?A
I
B,
?
h(x)?
?
f(x),
x?A
I?
R
B,
?
g(x), x?BI?
A,
R
?
1
,
g(x)?x
2
?
1
,求函数
h(x)
的解析式及值域.
x
答案:错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。
若函数
f(x)?
6、已知函数
f(x)?x
2
,g(x)
为一次函数,且一次项系数大于零,
若
f(g(x))?4x
2
?20x?25,求g(x)
的表达式.
答案:错误!未找到引用源。
【自我测试】
2.下列各组函数中,表示同一函数的是 (
C )
x
A.
y?1,y?
B.
y?x?1?x?1,y?x
2
?1
x
C
.
y?x,y?
3
x
3
D.
y?|x|,y?(x)
2
3.已知
f
满足
f<
br>(
ab
)=
f
(
a
)+
f
(b)
,且
f
(2)=
p
,
f(3)?q
那么<
br>f(72)
等于
( B )
A.
p?q
B.
3p?2q
C.
2p?3q
D.
p
3
?q
2
4.
已知函数
y?
1?x
的定义域为 ( D )
2
2x?3x?2
A.
(??,1]
11
C .
(??,?)?(?,1]
22
二、填空
B.
(??,2]
11
D.
(??,?)?(?,1]
22
5、设定义在
R
上的函数
f
?
x
?
满足
f
?
x
?
?f
?
x?2
?
?13
,若
f
?
1
?
?2
,则
f
?
99
?
?
6.已知
f(x)
的定义域为
[?1,2)
,则
f(|x|)的定义域为 (-2,2)
三、综合与探究
7.判断下列函数错误
!未找到引用源。与错误!未找到引用源。是否表示同一个
函数,说明理由?
(1)错误!未找到引用源。不是
(2)
错误!未找到引用源。不是
(3)错误!未找到引用源。是
(4)
错误!未找到引用源。是
8.如图,在单位正方形内作两个互相外切的圆,同时每一个圆又与正方形的两
相邻边相切,记其中一个
圆的半径为
x
,两圆的面积之和为S,将S表示为
x
的
函数,求函数
S?f(x)
的解析式、定义域和最大值.
答案:错误!未找到引用源。
9、已知
f
(x)?ax?b(a?0)
且
af(x)?b?9x?8
,求
f(x).<
br>
答案:错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。
10、某宾馆有相同标准的床位100张,根据经验,当该宾馆的床价(即每张床
价
每天的租金)不超过10元时,床位可以全部租出,当床位高于10元时,每提高
1元,将有
3张床位空闲.
为了获得较好的效益,该宾馆要给床位订一个合适的价格,条件是:①要方便结
账,床价应为1元的整数倍;②该宾馆每日的费用支出为575元,床位出租的收
入必须高于支出,而
且高出得越多越好.
若用
x
表示床价,用
y
表示该宾馆一天出租床
位的净收入(即除去每日的费用支
出后的收入)
(1)把
y
表示成
x
的函数,并求出其定义域;
(2)试确定该宾馆床位定为多少时既符合上面的两个条件,又能使净收入最多?
答案(1)错误!未找到引用源。;(2)22
初中高中数学教师
备课组
日期 上课时间
学生情况:
--------
班级
学生
--------
--------
主课题: 函数的概念及函数关系的建立
教学目标:
1.
理解两个函数的和函数与积函数的意义,会求两个函数的和函数、积函数
a
2. 通过正比例
函数与反比例函数来研究
y?x?(a?0)
的性质,概括出两个函数的
x
图
像与它们的和函数图像间的关系
3.
将对和函数的性质和图像的研究推广到积函数的情形
教学重点:
1. 理解函数的概念
2.
理解和掌握用图示法、列表法和解析法表示函数
3. 会根据具体情况确定函数的定义域
4. 会对一些简单的实际问题建立两个变量间的函数关系并确定函数定义域
教学难点:
1.
对映射、函数定义的理解(对记号
y?f(x)
的理解
)
2.
对分段函数的理解
3. 通过函数关系式的建立,培养学生把现实问题转化为数学问题的能力
考点及考试要求:
1. 函数的概念及函数定义域的求法
2.
利用换元法求函数解析式
3. 函数关系式的建立
教学内容
【知识精要】
1、建立函数关系的步骤
①分析; ②列式; ③化简; ④求定义域
2、函数的和
设函数错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。
称为函数错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。的和;其中错误!未找到引
用源。。
3、函数的积
设函数错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,则错误!未找到
引用源。
称为函数错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。的积,其中错误!未找到引
用
源。。
★注:1、函数建立好后,一定附带其定义域
2、函数的和与积的定义域,一定要两个或多个函数的定义域的交,且交
集不为空
【热身练习】
1、求下列函数的定义域
(1)
错误!未找到引用源。
(2)错误!未找到引用
源。
2、若函数错误!未找到引用源。定义域为一切实数,求实数k的取值范围
3、函数错误!未找到引用源。定义
域为错误!未找到引用源。,错误!未找到引用
源。,求实数a、b的值
4、设错误!未找到引用源。的定义域为[0,1].
(1)求函数错误!未找到引用源。的定义域;
(2)设错误!未找到引用源。,求函数错误!未找到引用源。的定义域
5、已知
错误!未找到引用源。,求
错误!未找到引用源。的解析式
6、已知
错误!未找到引用源。,求
错误!未找到引用源。的解析式;
7、设
错误!未找到引用源。,求
错误!未找到引用源。的解析式
8、已知函数错误!未找到引用源。满足错误!
未找到引用源。,错误!未找到引用
源。,错误!未找到引用源。,求错误!未找到引用源。的解析式及
定义域
【精解名题】
1、市场上某种商品定价在100~800之间,当这种
商品价格在100元时,每天可
销售400件,如果价格每提高5元,每天销售量就减少10件,若商品
的价格定
为每件错误!未找到引用源。元,销售额记为错误!未找到引用源。元,试建立错
误!
未找到引用源。与错误!未找到引用源。的函数关系式
答案:错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。
,
错误!未找到引用源。
2、某商人购货,进价已
按原价a扣去25%,他希望对货物定一新价,以便按价让
利20%销售后仍获得售价25%的纯利,问
商人经营这种货物的件数x与按新价让利
总额y之间的函数关系是什么?
答案:错误!未找到引用源。
3、若错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,求错误!未找到引用源。
答案:错误
!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!
未找到引用源。
4、若
错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,
求错误!未找到引用源。
答案:错误!未找到引用源。
5、已
知函数错误!未找到引用源。,求函数错误!未找到引用源。与错误!未找到引
用源。的积错误!未找到
引用源。的解析式
答案:错误!未找到引用源。
6、已知函数错误!未找到引用源。求函数错误!未找到引用源。与错
误!未找到引
用源。的和错误!未找到引用源。
答案:错误!未找到引用源。
【巩固练习】
1、已知错误!未找到引用源。求错误!未找到引用源。
答案:错误!未找到引用源。
2、已知错误!未找到引用源。,其中错误!未找到引用源。是x的正比例函数,
错
误!未找到引用源。是错误!未找到引用源。的反比例函数,且错误!未找到引用
源。,错误
!未找到引用源。,求错误!未找到引用源。
答案:错误!未找到引用源。
b
??
3、若
?1,a,
?
?
?
0,a
2
,a?b
?
,则求
a
2005
?b
2005
的值
a
??
答案:-1
?
x
2
+2(x
?
2),
4、设函数f(x)=
?
求(1)f(-4)的值,
2x(x<2),
?
(2)又知f(
x
0
)=8,求
x
0
的值
答案:(1)18
,(2)4或-
错误!未找到引用源。
?
x?2
(x≤?1)
?
5、设
f(x)?
?
x
2
(?1?x?2)
,若
f(x)?3
,则x=____________。
?
2x (x≥2)
?
答案:错误!未找到引用源。
111
6、已知
f(x?)?x
2
?
2
,则
f(x?)?
___________。
xx
x
1
答案:
x
2
?
2
?4
x
7、设错误!未找到引用源。是R上的函数,且满足错误!未找到引用源。,并且对
任意实数x、y,有错误!未找到引用源。,求错误!未找到引用源。的表达式。
答案:
f(x)?x
2
?x?1(x?R)
8、已知二次函数错误!未找到引用源。当错误!未找到引
用源。时有最大值16,它
的图像截x轴所得的线段长为8,求解析式错误!未找到引用源。。
答案:
f(x)??x
2
?4x?12
9、已知二次函数f(x)=ax
2
+bx(a,b为常数,且a≠0)满足条件:
f(x-1)=f(3-x)且方程f(x)=2x有等根.
(1)求f(x)的解析式;
(2)是否存在实数m,n(m
答案:(1)错误!未找到引用源。(2)m=-2,n=0.
【自我测试】
?
?
x?3,x?10,
其中x?N,则f
?
8
?
?
1、已知函数
f
?
x
?
?
?
?
?
f
?
x?5
?
?
?
,x?10,
?<
br>f
?
( C )
A.2 B.4 C.6
D.7
( D )
?
x
2
,x?0,
?
2
、已知,则
f
?
x
?
?
?
?
,x?0,那
么ff
?
?
f
?
?3
?
?
?
的值
等于
?
0,x?0.
?
??
A.0 B.
?
C.
x
2
D.9
3、已知函数
f
?
x
?
?
( C )
1?x
的定义域为A,函数
y?f
?
的定义域为B,则
f
?
x
?
?
??
1?x
A.
AUB?B
B.
A豣B
C.
A?B
D.
AIB?B
( D ) 4、已知函数
f
?
x
?
?x
5
?ax
3
?bx?8,且f
?
?2
?
?10,那么f?
2
?
等于
A.
-18
B.6
C.
-10
D.10
5、若
y?f
?
x
?
的定义域是
?
0,2
?
,则函数
f
?
x?
1
?
?f
?
2x?1
?
的定义域是
( B )
?
1
?
B.
?
,1
?
?
2
?
A.
?
?1,1
?
?
13
?
C.
?
,
?
?
22
?
?
1
?
D.
?
0,
?
?
2
?
6、函数
y?x?x?1
的值域为________________
_____.
答案:[1,+∞)
7、已知
f
?
x
?
是一次函数,且满足
3f
?
x?1
?
?2f
?
x?1
?
?2x?17,
求
f
?
x
?
.
答案:
8、设函数
f
?
x
?
的定义域为R,且对
x,y?R,
恒有
f<
br>?
xy
?
?f
?
x
?
?f
?
y
?
,
若
f
?
8
?
?3,则f
?
2
?
?
( B )
B.1 C.
1
2
1
A.
?
2
D.
1
4
9.对于定义在R上的函数
f
?
x
?
,如果存在
实数
x
0
,
使
f
?
x
0
?
?x
0
,
那么
x
0
叫做函数
f
?
x
?
的一个不动点.已知函数
f
?
x
?
?x2
?2ax?1
不存在不动点,那么a的取值
范围的
( A )
?
31
?
B.
?
?,
?
?22
?
?
13
?
A.
?
,
?
?
22
?
C.
?
?1,1
?
D.
?
??,?1
?
U
?
1,??
?
<
br>10.在国内投寄平信,每封信不超过20克重付邮资80分,超过20克重而不超
过40克重付
邮资160分,将每封信的应付邮资(分)表示为信重
x
?
0?x?40
?<
br>克的
函数,其表达式为
f
?
x
?
=________
11.函数
f
?
x
?
?3ax?1?2a
在
?
?1,1
?
存在
x
0
,使
f
?
x
0
?
?0
,则a的取值范围是
( C )
1
??
A.
?
?1,
?
5
??
?
1
?
B.
?
,??
?
?5
?
?
1
?
C.
?
??,?1
?U
?
,??
?
?
5
?
D.
?
??,?1
?
12.在交通拥挤及事故多发地段,为了确保
交通安全,规定在此地段内,车距d
是车速v(公里/小时)的平方与车身长s(米)的积的正比例函数
,且最小车距
不得小于车身长的一半.现假定车速为50公里/小时时,车距恰好等于车身上,
试写出d关于v的函数关系式(其中s为常数).
初中高中数学教师
备课组
日期 上课时间
学生情况:
--------
--------
班级 学生
--------
主课题: 函数的性质
教学目标:
1. 会判断函数的单调性,奇偶性
2. 会求函数单调区间
教学重点:
1.
理解偶函数与奇函数的概念和图像特征,会证明简单函数的奇偶性
2.理解单调函数、单调区间的概念和图像特征,会证明简单函数的单调性
教学难点:
1. 运用函数的性质解答综合题
考点及考试要求:
1. 灵活运用函数奇偶性、单调性解决实际问题
2.
会求函数单调区间
教学内容
【知识精要】
1、如果
对于函数错误!未找到引用源。的定义域D内的任意实数错误!未找到引
用源。,都有错误!未找到引用
源。,则称函数错误!未找到引用源。为偶函数
2、如果对于函数错误!未找到引用源。的定义域D内
的任意实数错误!未找到引
用源。,都有错误!未找到引用源。,则称函数错误!未找到引用源。为奇函
数
3、函数的奇偶性的分类
①奇函数; ②偶函数; ③既是奇函数又是偶函数;
④非奇非偶函数
★注意:(1)奇函数或偶函数的定义域必须关于原点对称,如果定义域不关于原点<
br>对称,那么此函数既不是奇函数又不是偶函数;
(2)判断函数的奇偶性,包括判断一个函数是
奇函数,或者是偶函数,或者
既是奇函数又是偶函数,或者既不是奇函数又不是偶函数,对于函数的奇偶
性一
定要判断清楚,不能似是而非.
4、函数奇偶性的性质
①奇函数在关于原点对
称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同;偶函数在
关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性
恰恰相反.
②奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于
y
轴对称.
③若
f(x)
为偶函数,则
f(?x)?f(x)?f(|x|)
.
④若奇函数
f(x)
定义域中含有0,则必有
f(0)?0
. ⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数,都可表示成“一个奇函数
F(x)
与
一个偶函数
G(x)
的和(或差)”.如设
f(x)
是定义域为R的任一函
数, 则
F(x)?
f(x)?f(?x)
,
G(x)?
f(x)?
f(?x)
.
2
2
⑥复合函数的奇偶性特点是:“内偶则偶,内奇同外”.
⑦既奇又偶函数有无穷多个(
f(x)?0
,定义域是关于原点对称的任意一个数集).
5、设函数错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,设任意错误!未找到引用源。,且错误!未找到引用源。,则当错误!未找到引用源。时,称错误!未找到引用
源。为D上单
调递增函数;当错误!未找到引用源。时,称错误!未找到引用源。
为D上单调递减函数
6、用定义法判断或证明函数错误!未找到引用源。
在给定的区间D上的单调性
的方法步骤:
(1)
任取错误!未找到引用源。,且错误!未找到引用源。;
(2) 作差错误!未找到引用源。;
(3)变形(通常是因式分解和配方);
(4)
定号(即判断差错误!未找到引用源。的正负);
(5)
下结论(即指出函数错误!未找到引用源。在给定的区间D上的单调性).
7、关于复合函数的单调性.
如果函数
y?f
?
u
?,u?g
?
x
?
在区间
D
上定义,
若
y?f
?
u
?
为增函数,
u?g
?<
br>x
?
为增函数,则
y?f
?
?
g
?
x
?
?
?
为增函数;
若
y?f
?
u
?
为增函数,
u?g
?<
br>x
?
为减函数,则
y?f
?
?
g
?
x
?
?
?
为减函数;
若
y?f
?
u
?
为减函数,
u?g
?<
br>x
?
为减函数,则
y?f
?
?
g
?
x
?
?
?
为增函数;
若
y?f
?
u
?
为减函数,
u?g
?<
br>x
?
为增函数,则
y?f
?
?
g
?
x
?
?
?
为减函数.
【热身练习】
1、判断下列函数的奇偶性.
1
(1)
f(x)?x
3
?
;
(2)
f(x)?|x?1|?|x?1|
;
(3)
f(x)?x
2
?x
3
x
答案:(1)奇函数;(2)偶函数;(3)既不是奇函数也不是偶函数
2、给出下列函数的图象,指出函数的单调区间,并指明其单调性.
答案:(1)在
?
?3,1
?
和
?
0,1
?
上是减函数,在 (-1,0)和
?
1,3
?
上是增函数
?
??
??
?
3
?
?
(2)在
?
?,
?
和
?
,
?
上都是减函数
?
22
??
22
?
【精解名题】
1、已知函数错误!未找到引用源。是奇函数,且错误!未找到引用源。,求错
误!
未找到引用源。的值。
答案:错误!未找到引用源。
2、设错误!未找到引用源。是实数,函数错误!未找到引用源。.讨
论函数错误!
未找到引用源。的奇偶性.
答案:当错误!未找到引用源。时,
错误!未找到引用源。是偶函数;当错误!
未找到引用源。时,
错误!未找到引用源。是非奇非偶函数
3、已知函数错误!未找到引用源。试判断函数
f(x)
的奇偶性.
答案:错误!未找到引用源。为奇函数
4、已知错误!未找到引用源。是定义域为R的奇函数,当错误!未找到引用源。
时,
.
错误!未找到引用源。,求错误!未找到引用源。的解析式
?
x
2
?x?2,x?0,
?
f(x)?x?0,
?
0,
答案:
?
?x
2
?x?2,x?0.
?
5、讨论函数错误!未找到引用源。的单调性
答案:在[?1,0]上错误!未找到引用源。为增函数,在[0,1]上为减函数.
6、已知错误!未找到引用源。,若错误!未找
到引用源。试确定错误!未找到引用源。
的单调区间和单调性
答案:函数的单调增区间为(??,?1),(0,1)
;单调减区间为
(1,??),(?1,0)
7、利用单调性的定义证明函数错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。
上是减函数
8、设函数错误!未找到引用源。,
求错误!未找到引用源。的单调区间,判断并证
明错误!未找到引用源。在其单调区间上的单调性. <
br>答案:错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。上是单调减函数,在错误!
未找到引用源。
上是单调减函数.
9、求函数错误!未找到引用源。的单调区间.
答案:
[?1,1]
是函数
y??x
2
?2x?3
的单调减区间.
10、已知错误!未找到引用源
。是定义在R上的增函数,对错误!未找到引用源。
有f错误!未找到引用源。,且错误!未找到引用源
。,设错误!未找到引用源。,讨
论错误!未找到引用源。的单调性,并证明你的结论
答案:
错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。为减函数,在错误!未找到引
用源。为增函数.
【备选例题】
1、已知函数
f(x)?
答案:
?f(x)?
2、设函数错误!未找到引用源。,求错误!未找到引用源。的取值范围,使函数错
误!未找到
引用源。在区间错误!未找到引用源。上是单调函数.
【巩固练习】
1、判断下列函数的奇偶性:
(1)错误!未找到引用源。; (2)错误!未找到引用源。
(3)错误!未找到引用源。;
(4)
错误!未找到引用源。
答案:(1)错误!未找到引用源。既不是奇函数也
不是偶函数;(2)错误!未找到
引用源。既是奇函数又是偶函数
x?a
(?1?x?1)
为奇函数,试求
a,b
的值.
2
x?bx?1
x
,此时
f(x)
为奇函数.
2
x?1
(3)偶函数;
(4)奇函数
2、已知定义在R上的函数错误!未找到引用源。满足错误!未找
到引用源。,且错
误!未找到引用源。是偶函数,当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。,
求错误!未找到引用源。时错误!未找到引用源。的表达式
?
2x?7
答案
:
f(x)?
?
?
?2x?1
(?4?x??2)
.
(?2?x?0)
3、讨论函数错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。上的单调性
答案:错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。上为减函数
4、讨论函数错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。上的单调性,并加以
证明. 答案:
当1-2a>0,即a<
当1-2a<0,即a>
1
时,f(x<
br>1
)>f(x
2
),该函数为减函数;
2
1
时,f
(x
1
)<f(x
2
),该函数为增函数.
2
5、求函数错误!未找到引用源。的单调区间
6、错误!未找到引用源。是定义在
错误!未找到引用源。上的增函数,且错误!未
找到引用源。.
(1)求错误!未找到引用源。的值;
(2)若错误!未找到引用源。,解不等式错误!未找到引用源。.
答案:(1)0;(2)
(0,
【自我测试】
a
2
1、函
数
y?f(x)(??x?2)
是奇函数,则实数
a
的值是( )
2
?3?317
).
2
A.
?2
B.
2
C.
2
或
?2
D.无法确定
2、若
f(x)
是定义在
[?5,5]
上的奇函数
,且
f(3)?f(1)
,则( )
A.
f(?1)?f(?3)
B.
f(0)?f(1)
C.
f(?1)?f(1)
D.
f(?3)?f(?5)
3、若函数
f(x)
的定义域为
R
,当
x?R
时,
|f(x)|?|f(?x)|
,则
f(x)
( )
A.必是奇函数 B.必是偶函数
C.或为奇函数或为偶函数
D.不一定是奇函数,也不一定是偶函数
4、在区间
(??,0)
上为增函数的是(
)
x
A.
y?1
B.
y??2
1?x
C.
y??x
2
?2x?1
D.
y?1?x
2
5、已知
y?x
2
?2(a?
2)x?5
在区间
(4,??)
上是增函数,则
a
的范围是(
)
A.
a??2
B.
a??2
C.
a??6
D.
a??6
6、函数
f(
x)
在
(a,b)
和
(c,d)
都是增函数,若
x
1
?(a,b),x
2
?(c,d)
,且
x
1
?x
2
那
么( )
A.
f(x
1
)?f(x
2
)
B.
f(x
1
)?f(x
2
)
C.
f(x
1
)?f(x
2
)
D.无法确定 <
br>7、已知
f(x)
在实数集上是减函数,若
a?b?0
,则下列正确的
是( )
A.
f(a)?f(b)??[f(a)?f(b)]
B.
f(a)?f(b)?f(?a)?f(?b)
C.
f(a)?f(b)??[f(a)?f(b)]
D.
f(a)?f(b)?f(?a)?f(?b)
(x?1)(x?a)
为奇函数,则
a?
.
x
9、已知定义在R上的奇函数错误!未找到引用源。,当错误!未找到引用源。时,8、设函数
f(x)?
f(x)?x
2
?|x|?1
,那么错误
!未找到引用源。时,错误!未找到引用
源。
.
10、
f(x),g(x)
均为奇函数,
H(x)?af(x)?bg(
x)?2
在
(0,??)
上的最大值为
5,
则
H(x)在
(??,0)
上的最小值为 .
11、函数y=
x
2
?2x?3
的递减区间是
12、
若函数
f(x)?ax?b?2
在
x?
?
0,??
?
上为增函数,则实数
a,b
的取值范围是
13、设函数错误!未找到引用源。对任意错误!未找到引用源。,都有f(x?y)?f(x)?f(y)
,且
x?0
时,错误!未找到引用源。,错误
!未找到引用源。.
求证:错误!未找到引用源。是奇函数;
14、函数
f(x),
g(x)
在区间
[a,b]
上都有意义,且在此区间上
①
f(x)
为增函数,
f(x)?0
;
②
g(x)
为减函数,
g(x)?0
.
判断
f(x)g(x)
在
[a,b]
的单调性,并给出证明.
初中高中数学教师
备课组
日期 上课时间
学生情况:
--------
--------
班级 学生
--------
主课题: 函数的性质及应用
教学目标:
1.
理解函数最大值、最小值的概念及其几何意义
2. 会求二次函数在某个指定区间上的最大值和最小值
3. 会求Nike函数在某个指定区间上的最大值和最小值
教学重点:
1. 理解函数最大值、最小值的概念
2. 二次函数在某个指定区间上的最大值和最小值的求法
.
教学难点:
1.
掌握二次函数在对称轴固定,区间变化和区间固定,对称轴变化两种情况下
最大、最小值的求法
b
2. 掌握
y?ax?
的图像并会通过图像讨论函数的值域
x
考点及考试要求:
1. 掌握函数最大值、最小值的概念
2.
掌握二次函数在对称轴固定,区间变化和区间固定,对称轴变化两种情况下
最大、最小值的求法
b
3. 掌握
y?ax?
的图像并会通过图像讨论函数的值域
x
4.会利用函数的性质解决简单的数学问题和应用问题
教学内容
【知识精要】
1、设函数错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。处的函数值是错误!未找
到引用源。,如果
对于定义域内任意错误!未找到引用源。,不等式错误!未找到引
用源。都成立,那么错误!未找到引用
源。叫做函数错误!未找到引用源。的最小
值,记作错误!未找到引用源。;如果对于定义域内任意错误
!未找到引用源。,不
等式错误!未找到引用源。都成立,那么错误!未找到引用源。叫做函数错误!未
找
到引用源。的最大值,记作错误!未找到引用源。。
【热身练习】
【精解名题】
1、设错误!未找到引用源。,其中错误!未找到引用源。,设错误
!未找到引用源。
为错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。上的最小值
(1)求错误!未找到引用源。的表达式;(2)求错误!未找到引用源。的最大值
答案:(1)错误!未找到引用源。,(2)1
2、求函数错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。上的最小值
答案:最小值为0
3、求函数错误!未找到引用源。的最值
答案:错误!未找到引用源。;错误!未找到引用源。
4、已知函数错误!未找到引用源。的最大值为错误!未找到引用源。
,最小值为错
误!未找到引用源。,求错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。的值
答
案:错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。,错
误!未找到引用源。
5、求下列函数的最值
(1)错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。
(2)错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。
答案:(1)错误!未找到引用源。;错误!未找到引用源。;
(2)错误!未找到引用源。;错误!未找到引用源。
6、
已知当错误!未找到引用源。时,函数错误!未找到引用源。有最小值3,求
实数错误!未找到引用源。
的值
答案:错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。
【巩固练习】
1、已知二次函数错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,求此函数的最值。
答案:
错误!未找到引用源。;错误!未找到引用源。;
2、设错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。是方程错误!未找到引用源
。
的两个实根,当错误!未找到引用源。为何值时,错误!未找到引用源。有最小值,
并求出这
个最小值
答案:当错误!未找到引用源。时有最小值,为错误!未找到引用源。
3、求下列函数的值域
(1)错误!未找到引用源。
(2)错误!未找到引用源。
(3)错误!未找到引用源。
(4)错误!未找到引用源。
(5)错误!未找到引用源。
(6)错误!未找到引用源。
答案:(1)错误!未找到引用源。;(2)错误!未找到引用源。;(
3)错误!未找到
引用源。;(4)错误!未找到引用源。;(5)错误!未找到引用源。;(6)错误!未找
到引用源。
【自我测试】
1、函数错误!未找到引用源。的最大值为___________________
2、已
知二次函数错误!未找到引用源。对错误!未找到引用源。都有错误!未找到
引用源。,且在错误!未找
到引用源。上有最大值5,最小值1,则错误!未找到引
用源。的取值范围_____________
______
3、若函数错误!未找到引用源。在区间错误!未找到引用源。上的值域为错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。___
错误!未找到引用源。___________
4、函数错误!未找到引用源。的最大值为___________________
5、函
数错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。的最大值为________,最小
值为______
6、设错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。是关于错误!未找到引用源。的
方程错误
!未找到引用源。的两个实根,求错误!未找到引用源。的最小值
7、设错误!未找到引用源。,求函数错误!未找到引用源。的最小值
初中高中数学教师
备课组
班级
学生
日期
学生情况:
--------
--------
--------
上课时间
主课题:函数的值域及函数的零点
教学目标:1.掌握求函数值域的几种常用方法
2.理解函数零点的概念,掌握用“二分法”求函数零点的算法
教学重点:1.
掌握求函数值域的几种常用方法
2.
利用二次函数研究一元二次方程根的分布问题
教学难点:1.
掌握求函数值域的几种常用方法
2.
利用二次函数研究一元二次方程根的分布问题
3.
数形结合求函数零点
考点及考试要求:1.掌握求各种函数值域的方法
2.一元二次方程根的分布问题
3.
数形结合求函数零点
教学内容
【知识精要】
一、求函数值域的基本方法
1.
配方法:当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数
值域。
2.
换元法:某些函数通过换元,可使其变为我们熟悉的函数,从而求得其值域,但在代换
时应注意等价性。
3. 基本不等法:利用公式:
a,b?0?a?b?2ab;a,b?0?a?b
??2ab.
及其推
论;注意等号成立的条件:a=b
4.
函数的单调性:利用函数的单调性由函数的定义域求出函数的值域
5. 分子分离法: <
br>ax?b
2
ax
2
?bx?c
22
对于形如
f(x)?(a?c?0)或f(x)?
2
(a?d
2
?0)
的有理
分式函
cx?d
dx?ex?f
数均可利用分子分离法求其值域。
6. 判别式法:
将函数表达式转化为关于
x
的一元二次方程,
把
y
看成相应的系数,因为方程有实根,
ax
2
?bx?c
22
由判别式
??0
,求得函数的值域,此法常用于
y?(a?d?0)的有理分
2
dx?ex?f
式函数的值域探求问题。
7.
函数图像法:
对于含有绝对值(或分段)函数,若函数图象比较易作出,则利用函数图象能较快的
求出其值域。
8. 构造法:根据函数的结构特征,赋予几何图形,数形结合
二、
函数零点的概念
一般地,对于函数
y?f(x)(x?D)
,如果存在实
数
c(c?D)
,当
x?c
时,
f(c)?0
,那
么就把
x?c
叫做函数
y?f(x)(x?D)
的零点
实际上,函
数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的解,也就是函数y=f(X)的图像与x轴的交点的横
坐
标
三、一元二次方程ax2+bx+c=0 (a>0)的
根的分布(*)
以下利用二次函数研究一元二次方程根的分布问题
1.
两个根都小于K
?
??0
?
b
?
?k
?
?
?
2a
?
?
f(k)?0
y
k
x
2.
两个根都大于K
?
??0
?
b
?
?k
?
?
?
2a
?
?
f(k)?0
3. 一个根小于K,一个根大于K
k
f(k)?0
k
4.
两个根都在
(k
1
,k
2
)
内
?
??0
?
b
?
?k
2
?
k1
??
2a
?
?
f(k
1
)?0
?<
br>?
?
f(k
2
)?0
y
k
1
k
2
x
5.
两个根有且仅有一个在
(k
1
,k
2
)
内
?f(k
1
)?0
?
f(k
2
)?0
f(k1
)f(k
2
)?0
或
?
或
?
f(k)?0f(k)?0
?
2
?
1
k
1
k
2
6.
x
1
?(m,n),x
2
?(p,q)
?
f(m)?0
?
f(n)?0
?
?
?
f(p)?0
?
?
f(q)?0
m
n p q
注意:此种情况包含了两个根都在(n,p)之外的情况
,只须把f(m)>0,f(q)<0条件去掉即
可
【热身练习】
1138
1.
函数
y?x?(x?[,3])
的值域为___
[?,]
_______
x223
2. 函数
y?x?
1
x
的值域为____
[?,??)
______
4
32
3.
函数
f(x)?x?4x?x?6
的零点是___ x=-3 or x=-2 or
x=1_____
4.
函数
y?x?3?x?1
有最__小__值____4____
1
(x?0
)
的值域是___
(??,?4]?[4,??)
_____
x
3x?1
6.
函数
y?
的值域是____
(??,3)?(3,??)
____
x?1
5. 函数
y?4x?
7. 已知方程
x?(m?3)x?m
?0
有两个正根,则m的取值范围是___
0?m?1
_____
8.
下列函数中,值域是
(0,??)
的是 ( D )
A
y?
2
x
2
?3x?1
B y=2x+1 C
y?x
2
?x?1
D
y?
1
x
2
9. 设函数
f(x)?xx?bx?c
给出下列四个命题:
(1)c=0时,y=f(x)是奇函数
(2)b=0,c>0时,方程f(x)=0只有一个实根
(3)y=f(x)的图像关于(0,c)对称
(4)方程f(x)=0至多只有2个实根
其中正确的命题是: ( C )
A (1)(4) B
(1)(3) C (1)(2)(3) D (1)(2)(4)
10.
利用计算器用二分法求函数
f(x)?2x?3x?5x?3
在区间(-2,-1)内的零点
(精确到0.1)
32
X≈-1.3
【精解名题】
1.
求函数
y?3x
2
?12x?184x?x
2
?23
的值域
解:令
4x?x
2
?t,t?[0,2]
则
y??3(t?3)?4
所以函数
y?3x
2
?12x
?184x?x
2
?23
的值域为
[?23,1]
2
x
2
?1
2. 求函数
y?
2
的值域
x?x?1
解:
由于函数的定义域为
R
,
所以去分母整理得:
(1?y)x
2
?yx?(1?y)?0
,
当
y?1
时,
??(1?y)
2
?4(1?y)?0
,
2
?y?2
且
y?1
3
2
又当
y?1
时,
x?0
,
?y?[,2]
.
3
即
3y
2
?8y?4?0
,解得:
3. 求函数
y?x(1?3x)(0?x?)
的值域
解:
当0?x?时,y?0
,当
x?0或x?
2
1
3
1
3
1
时,y?0
3
14
?
3x3x
?
当
0?x?时,y?x
2
(1?3x)?
?
??(1?3x
)
?
39
?
22
?
?
3x3x
?
??(1?3x)
?
4
?
4
2
?
?2
.
?
?
9
?
3243
?
????
3
2
当且仅当
x?时等号成立。
9
4
故 所求函数的值域为
y?[0,]
243
4.
求函数
y?x
2
?4x?5?x
2
?4x?8
的值域。
222
解:原函数变形为
f(x)?(x?2)?1?(x?2)?2
可看成直角坐标平面上的点(x,0)到点(-2,-1)和点(2,2)的距离之和的范围
由初中数学几何知识可知 点A是使得距离之和最小的点,利用一次函数可得
x
A??
此时距离之和的最小值是5
y
(2,2)
2
3
A
B
(-2,-1)
x