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高中数学 同步辅导讲义 1.1.1集合

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-14 20:00
tags:高中数学补习

高中数学教材a版和b版区别-高中数学比较难的资料


集合基本概念及题型分类学生用讲义
一、基本知识
1.1.1 集合的相关概念
(1) 集合、元素的含义:一般地把一些能够确定的不同的对象看成一个整体,就是 这个整体是由这些对象的全体
构成的集合(或集)。构成集合的每个对象叫做集合的元素。
(2) 元素用小写字母
a,b,c,?
表示;集合用大写字母
A,B,C,?
表示。
(3) 不含任何元素的集合叫做空集,记作
?
。空集是一个特殊又很重要的集合,很 多问题的考虑,要注意空集
的情况,这是容易忽略的问题,在学习中还要记住常用集合的记法,在今后的 学习中使用频率较高,如实数集和
整数集的记号,正整数集和自然数集的记号。
(4) 集合的分类:
①按照集合中元素个数的多少,可分为
集合
?
?
有限集

?
无限集
②按照集合中元素形式的不同,可分为
集合
?
?
数集

点集
?
③集合还可以分为
集合
?
?
可列集

?
不可列集
(5) 元素的性质:
①确定性:集合中的元素是确定的,不能 模棱两可。也就是说给定一个集合,那么任何一个元素在不在集合
中就确定了。例如,“山东的地级市” 构成一个集合,济南、青岛、烟台、临沂在这个集合中,北京、南京……
不在这个集合中;“比较大的数 ”不能构成一个集合,因为组成它的元素是不确定的。
②互异性:集合中的元素是互不相同的,相同的 元素在集合中只能算作一个,也就是说集合中的元素是不重
复出现的。例如:good中的字母构成的集 合为
{g,o,d}
,而不是
{g,o,o,d}
。集合的三个特性中,互异 性往往
是我们考虑不周的地方,如含字母的集合中,求出字母的值,要代回原来的集合中检验。
③无序性:集合中的元素是无次序的,也就是说只要两个集合中的元素相同,这两个集合就相等。例如:
{a,b,c}?{b,a,c}?{c,b,a}

(6) 常见集合的表示
自然数集正整数集整数集有理数集实数集复数集
N
1.1.2 集合与元素的关系
N
*

N
?
Z

Q
R
C

元素与集合的关系有“属于
?
”及“不属 于
?
”两种,如果
a
是集合
A
中的元素,就说
a< br>属于
A
,记作
a?A

a
不是集合
A
中的元素,就说
a
不属于
A
,记作
a?A


1.1.3 集合的表示法
a) 例举法:把集合的所有元素都列举出来或列出几个元素作为 代表,其它元素用省略号表示,并写在大括
号“{ }”内的表示集合的方法
例如:方程x?x?6?0
的解的集合,可表示为
{?2,3}
,也可以表示为
{3 ,?2}
;又如方程组
?
的解的集合表示为
{(1,1)}
注意:(1)元素间用“,”分隔;(2)元素不重复,无顺序;(3)元素个数较少时,宜采用例举法;如
2
?
x?y?2
?
x?y?0


果元素个数较 多或无限个,且当构成集合的元素具有明显的规律时,也可采用例举法,但必须把元素的规律
显示清楚后 才能用省略号。
思考:(1)
a

{a}
的不同;(2)
?

{?}

{0}
的不同。
b) 描述法:用集合所含 元素的共同特征表示集合的方法称为描述法,形如
{x?A|p(x)}

p(x)< br>称为集合
的特征性质,
x
称为集合的代表元素,
A

x
的范围,有时也写为
{x|p(x),x?A}

2
例如:大于 3的所有整数表示为:
{x?Z|x?3}
;方程
x?5x?6
的解集可表示 为
{x|x?5x?6}

2
注意:(1)弄清集合是点集还是数集,点集 用一个有序实数对来表示;(2)竖线后要准确说明集合中元
素的共同特性;(3)若描述部分,出现元 素记号以外的其它字母时,要对新字母说明其含义,并指出其取值
范围。
说明:(1)错误表 示
{实数集}
;(2)可以省去竖线及左边部分,如
{直角三角形}

c) 图示法:用平面内的一个封闭曲线的内部表示一个集合,这个区域通常叫做维恩图(Veen图)。
例如:集合
{1,2,3,4,5}
用图示法表示为:





1.2.1 集合间的基本关系:
① 子集:若对任意 的
x?A

x?B
,则称集合
A
为集合
B
的子集,记作
A?B
(或
B?A
),读作“
A
含于
(或“
B
包含
A
”).
B

②集合相等的概 念:如果集合
A
是集合
B
的子集(
A?B
),且集合
B
是集合
A
的子集(
B?A
),此时,集

A< br>与集合
B
中的元素是一样的,因此,集合
A
与集合
B
相等,记作
A?B

1.2.2 真子集:
如果集合
A?B
,但存在元素
x?B
,且
x?A
,我们称集合
A
是集合< br>B
的真子集,即如果
A?B

A?B

那么集合A
是集合
B
的真子集,记作
A
的区别在于“
A?B”允许
A?B

A

A?B
成立;但如果有
A ?B
成立,
A
1 2 3 4 5
1,2,3
?
B(或BA).例如
?
N

?
a,b
?
?
a,b,c
?
等等. 子集与真子集
B
成立,则一定
B,而
AB
是不允许“
A?B
”的,所以如果
A
B
不一定成立.
备注:①注意强调:任何集合是它本身的子集;
②强调元素与集合间的关系,和集合与集合间关系的区别,以及符号表示上的不同。
1.3.1 并集 :一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,称为集合
A

B的并集。
记作:
A?B
读作:“
A

B
”即:
A?B?
?
x?A,或x?B
?

说明:两个集合求并集, 结果还是一个集合,是由集合
A

B
的所有元素组成的集合(重复元素只看成 一
个元素)。
1.3.2 交集:一般地,由属于集合
A
且属于集合
B
的元素所组成的集合,叫做集合
A

B
的交集。
记作:
A?B
读作:“
A

B
” 即:
A?B?
?
x?A,且x?B
?

说明:两个集合 求交集,结果还是一个集合,是由集合
A

B
的公共元素组成的集合。

2


用维恩图表示为:


1.3.3 全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常
记作
U

1.3.4 补集:对于全集
U
的一个子集
A< br>,由全集
U
中所有不属于集合
A
的所有元素组成的集合称为集合
A
相对
于全集
U
的补集,简称为集合
A
的补集。
1.3.5 集合运算注意点: 求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集合,区 分交集与并集
的关键是“且”与“或”,在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字眼出发去揭示 、挖掘题设条件,结

Venn
图或数轴进而用集合语言表达,增强数形结合的思想方 法。
1.3.6 集合基本运算的一些结论:
A?B?A

A?B?B< br>,
A?A?A

A????
,
A?B?B?A
(C
U
A)?A??

A?A?B

B?A?B

A?A?A

A???A
,
A?B?B?A

(C
U
A)?A??


A?B?A
,则一定有
A?B
,反之也成立

A?B?B
,则
A?B
,反之也成立

x?(A?B)
,则
x?A

x?B


x?(A?B)
,则
x?A

x?B


二、题型分类
考点一:集合的基本概念
例1、 若
a,b?R
集 合
{1,a?b,a}?{0,
b
a
,b}
,求
b?a的值.



例2、 已知集合
A?{a,a?d,a?2d },B?{a,aq,aq
2
}
,其中
a?0
,若
A?B< br>,求
q
的值








练1. 设集合
U?{2,3,a
2
?2a?3}
A?{|2a?1|,2}

C
U
A?{5}
,求实 数
a
的值.





3






考点二:集合与元素、集合与集合之间的关系
题型一:关系判断
例1、已知下列集 合:(1)
A
1
?{n|n?2k?1,k?N,k?5}

A2
?{x|x?2k,k?N,k?3}
;(3)
A
3
?{x| x?4k?1或x?4k?1,k?N,k?3}

问:1)用列举法表示上述各集合;
2)如果
k?Z
,那么
A
1< br>,
A
2

A
3
所表示的集合分别是什么?并说明A
3

A
1
的关系。












练 1、集合
A?{x|x?3k?2,k?Z},B?{y|y?3u?1,u?Z},S?{y|y?6 m?1,m?Z}
之间的关系是
A、S
?
?
B
?
?
A B、S=B
?
?
A C、S
?
?
B=A D、S
?
?
B=A < br>练2、设集合
M?{x|x?
k
2
?
1
4
, k?Z},N?{x|x?
k
4
?
1
2
,k?Z}
,则( )
A.
M?N
B.
M
?
?
N
C.
M
?
?
N
D.
M?N??

例2、已知集合
M?{x|x?a
2
?3a?2,a?R},N?{x|x?b2
?b,b?R}
,则
M,N
的关系是
A、 M
?
?
N

B、M
?
?
N C、M=N D、不确定

题型二:已知关系求参数范围
例1、 已知:集合
A?{a?2,2a< br>2
?5a,12},?3?A
,求
a
.







练1、已知
A?{a?2,12},且 ?3?A
,则
a
的取值范围是___________;
练2、(1)已知
A?{a?2,(a?1)
2
,a
2
?3a?3}

1?A
,求实数
a
的值;
(2)已知
M?{2,a,b},N? {2a,2,b
2
}且M?N
,求
a,b
的值.

4







练3、设全集
U?{1,2,k?k?16}
,集合
A?{1,k?2}
,AU,
C
U
A?{4}
,则
k
等于_______. < br>练4、已知
A?{2,4,a?2a?a?7},B?{?4,a?3,a?2a?2,a?a? 3a?7}
,若
A?B?{2,5}
,求实数
a
的值,并求
A?B
.



练5、设集合
A?{x?R|x?ax? a?19?0},B?{x|x?5x?6?0}

C?{x?R|x?2x?8?0}
,且
2222
32232
2
A?B??,A?C??
,求
a
的值.






练6、设集合< br>M?{x|x?3m?1,m?Z},N?{y|y?3n?2,n?Z}
,若
x
0
?M,y
0
?N
,则
x
0
y
0
与集合
N

关系是___________;
例2、若集合
A?{x|x?x?6?0},B?{x|mx?1}
, 且
B?A
,则
m
的取值的集合是________。
练1、已知集 合
P?{x|x?5x?4?0},Q?{x|x?(b?2)x?2b?0}
且有
P ?Q
,求实数
b
的取值范围。






练2、设集合
M?{x|?1?x?7},S?{x|k?1?x?2k?1},若
M?S??
,求
k
的取值范围.









5
22
2


练3、已知集合
A?{x|log
2
(x?2x?3)?log2
5}

B?{x|x?ax?2a?0}
, 若
A?B??
,求实数
a

取值范围。








练4、设全集
U?R
,集合
M?{y|y?2,x?0},P?{x|x?1}
,则下列关系中正确的是( )
x2
222
?
A.
M?P
B.
P
?
?
M
C.
M
?
P
D.
C
U
M?P??

练5、设
A?{x|?2?x?a },B?{y|y?2x?3,x?A}

C?{z|z?x,x?A}

C ?B
,求实数
a
的取值范
围。



练 6、已知
A?{x|x?2x?a?0},B?{x|x?3x?2?0},且A?B
, 求实数
a
的取值范围。







练7、已知集合
A?{x|x?4mx?2m?6?0},B?{x|x?0},若
A?B??
求实数
m
的取值范围.






练8、设
A?{x|x?px?q?0}??,M?{1,3 ,5,7,9},N?{1,4,7,10}
,若
A?M??,A?N?A
,求
p,q

值。






6
2
2
22
2




练9 、集合
A?{1,3,a},B?{1,a}
,问是否存在这样的实数
a
,使 得
B?A,且A?B?{1,a}
若存在,求出实


a
的 值;若不存在,说明理由.








练10、已知全集
U?R,A?{x||x?a|?2},B?{x||x?1|? 3},且A?B??
,则
a
的取值范围是
A、[0,2]

B、(-2,2) C、(0,2] D、(0,2)
例3、设集合A=
x|x
2
?3x?2?0,
B
?x|x
2
?2(a?1)x?(a
2
?5)?0.

(1)若
A?B?{2}
,求实数
a
的值;
(2)若
A?B?A
,求实数
a
的取值范围;
(3)若< br>U?R,A?(C
U
B)?A
,求实数
a
的取值范围.









题型三:集合子集个数
例1、已知
{a,b}?A
?
?
{ a,b,c,d,e}
,则满足条件的集合
A
的个数是__________。 练1、集合
A?{(x,y)|2x?y?5,x?N,y?N}
,则
A
的非空真子集的个数为( )
A 4 B 5 C 6 D 7
练2、设集合
A?{x|x?Z且?10?x??1},B?{x|x?Z且|x|? 5}
,则A∪B中的元素个数是
A、11

B、10 C、16 D、15
练3、集合
M?{1,2,3,4,5}
的子集的个数为
A、15

B、16 C、31 D、32
例2、对于两个非空数集
A、B
,定义点集如下:
A?B?{(x,y)|x?A,y ?B}
,若
A?{1,3},B?{2,4}
,则点

A?B
的非空真子集的个数是____个

7
2
??
??

< p>
练1、已知集合
M?{(x,y)|y?x}
,集合
N?{(x,y)| x?y?2y?0}
,那么
M?N
的子集的个数为
___________;
练2、已知集合
M?{(x,y)|y?1?k(x?1)}
,集合
N?{( x,y)|x?y?2y?0}
,那么
M?N
的子集的个数
为_______ ____。

考点三:集合的基本运算
题型一:集合元素属性
例1、方程
x?2x?1?0
的解集中,有 个元素
练1 、设由2,4,6构成的集合为
A
,若实数
a
满足
a?A
时 ,
6?a?A
,则
a?_______
.
练2、集合
A? {x|y?x?1},B?{y|y?x?1},C?{(x,y)|y?x?1},D?{y?x?1}
是否表示同一集
合?
例2、 设集合
M?{(x,y)|y?3x?4},N?{ (x,y)|y??3x?2}
,则
M?N
=( )
A.
(?1,1)
B.
(x??1,y?1)
C.
{?1,1}
D.
{(?1,1)}

练2、 设集合< br>M?{x|y?2x?1,x?Z},N?{y|y?2x?1,x?Z}
,则与的关系是( )
2222
22
22
2
A.
N
?
?
M
B.
M
?
?
N
C.
M?N
D.
M?N??

题型二:数轴在集合运算中的应用
例1、 已知
A? {x|a?x?a?3}
,
B?{x|x??1

x?5}
.
(1)若
AIB??
,求
a
的取值范围;(2) 若
AUB?B
,求
a
的取值范围.









练1、已知
A?{?2?x ?5},B?{x|m?1?x?2m?1},B?A,求m.










8


例2、 ①已知集合
A?{y|y?2x
2
?3x?1},B?{y|y?x
2
?2x?3,x?R}
,则
A?B
=____
②已 知集合
A?{x|y?2x
2
?3x?1},B?{y|y?x
2
? 2x?3,x?R}
,则
A?B
=____
练2、集合
M ?{x||x?3|?4},N?{y|y?x?2?2?x},则M?N
=____

题型三:韦恩图在集合运算中的应用
例1、在100个学生中,有乒乓球爱好者60人,排球 爱好者65人,则两者都爱好的人数最少是____人。
例2、(1)设全集
U?{不超过5 的自然数},A?{x|x?5x?6?0},B?{x|x?7x?12?0}
, 则
22
A?B
=_______,
A?B
=__________,
(C
U
A)?B
=___________,
(C
U
A)?(C
U
B)
=___________;
(2)设全集
U?R
,已知
M?{x|f(x )?
1
},N?{x|g(x)?ln(1?x)}
,则
M?N
= _________,
1?x
(C
U
M)?N
=___________。
练1、设全集
U?{1,2,3,4,5,6,7,8}
,集合
S?{1,3,5},T?{3,6}
,则
C
U
(S?T)
=( )
A.
?
B.
{2,4,7,8}
C.
{1,3,5,6}
D.
{2,4,6,8}

2
练2、已知全集
U?R,且A?{x| |x?1|?2},B?{x|x?6x?8?0}
,则
(C
U
A)?B=( )
A.
[?1,4]
B.
(2,3)
C.
(2,3]
D.
(?1,4)

练3、设全集
U?{x|1?x?8,x?Z},(C
U
A)?(C
U
B)?(4,8) ,A?(C
U
B)?(3,5),A?B?{1,2}
,则
A?B
=____________.

题型四:以集合为载体的创新题


















9











直击高考
1(2011)设集合
A?
?
1,2,3,4 ,5,6
?
,B?
?
4,5,6,7
?
,
则满足< br>S?A

SIB?
?
的集合
S

(A)57 (B)56 (C)49 (D)8
2(2011安徽文 )集合
U??,?,?,?,?,?
?

S??,?,?
?
,
T??,?,?
?
,则
S
???
I
(C
U
T)
等于
(A)
?,?,?,?
?
(B)
?,?
?
(C)
?
?
(D)
?,?,?,?,?
?

3(2011北京理)已知集合
P?{x|x?1}

M?{a}
,若
PUM?P
,则
a< br>的取值范围是
A.
(??,?1]
B.
[1,??)
C.
[?1,1]
D.
(??,?1]
U
[1,??)

2
?
?
?
?
2
4(2011北京文)已知全集U=R,集合
P?xx?1
, 那么
C
U
P?

??
A.
?
??,?1
?
B.
?
1,??
?
C.
?
?1,1
?
D.
?
??,?1
?
U
?
1,??
?

5(2011福建文)已知集合M={-1,0,1},N={0,1,2},则M∩N=
A. {0,1} B. {-1,0,1} C. {0,1,2} D. {-1,0,1,2}
6(2011福建理)已知
U?yy?log
2
x,x?1

P?
?
yy?
??
?
?
?
1
,x?2
?
,则
C
U
P?

x
?
?
1
?
2
?
?
A.
?
,??
?
B.
?
0,
?
C.
?
0,??
?
D.
?
??,0
?
?
?
,??
?

7(2011江西理) 若集合
A?{x|?1?2x?1?3}

B?{x |
?
1
?
2
?
?
?
?
1
?
2
?
x?2
?0}
,则
A?B?

x
A.
{x|?1?x?0}
B.
{x|0?x?1}
C.
{x|0?x?2}
D.
{x|0?x?1}

8(2011全国Ⅰ文)已知集合
A?xx?2,x? R,B?x|x?4,x?Z|
,则
AIB?

(A)(0,2) (B)[0,2] (C)|0,2| (D)|0,1,2|
9(2011天 津理)设集合
A?xx?a?1,x?R

B?xx?b?2,x?R
.若< br>A?B
,则实数
a,b
必满足
( ).
A.
a?b?3
B.
a?b?3
C.
a?b?3
D.
a?b?3

10(2010浙江理 数)(1)设P={
x

x
<4},Q={
x

x
<4},则

10
2
????


(A)
p?Q
(B)
Q?P
(C)
p?
C
Q
(D)
Q?
C
RR
P

11(2010辽宁理数)1.已知 A,B均为集合U={1,3,5,7,9}的子集,且A∩B={3},
?u
B∩A={9} ,则A=
(A){1,3} (B){3,7,9} (C){3,5,9} (D){3,9}

12(2010江西理数)2.若集合
A=x|x?1,x?R

B=y|y?x
2
,x?R
,则
A?B
=( )
A.
?
x|?1?x?1
?
B.
?
x|x?0
?

C.
?
x|0?x?1
?
D.
?
13(2010天津文数)设集合
A?
?
x||x-a|<1,x?R
?
,B?
?
x|1?x?5,x?R
?
.若A?B??,
则实 数a的取值范
围是
(A)
?
a|0?a?6
?
(B)
?
a|a?2,或a?4
?
(C)
?
a|a?0,或a?6
?
(D)
?
a|2?a?4
?

14(2010江苏卷)1、设集合A ={-1,1,3},B={a+2,a+4},A∩B={3},则实数
a
=_______ ____.
15(2009年广东卷文)已知全集
U?R
,则正确表示集合
M?{?1,0,1}

N?x|x
2
?x?0
关系的韦恩(Ven n)
图是 ( )
2
??
??
??

16(2009四川卷文)设集合
S
={
x

x?5
},
T
={
x
(x?7)(x?3)?0
}.则
S?T
= ( )
A.{
x
|-7<
x
<-5 } B.{
x
| 3<
x
<5 }
C.{
x
| -5 <
x
<3} D.{
x
| -7<
x
<5 }
17(2009辽宁卷文)已知集合M=﹛x|-3<x
?
5﹜,N=﹛x|x<-5或x>5﹜,则M
U
N=( )
A.﹛x|x<-5或x>-3﹜ B.﹛x|-5<x<5﹜
C.﹛x|-3<x<5﹜ D.﹛x|x<-3或x>5﹜
18( 2009重庆卷文)若
U?{nn
是小于9的正整数
}

A?{n? Un
是奇数
}

B?{n?Un

是3的倍数
}
,则
?
U
(AUB)?

19(2008年江西卷2)定义集合运算:
A?B?zz?xy,x?A,y?B.
A?
?
1,2
?
,
??
B?
?< br>0,2
?
,则集合
A?B
的所有元素之和为
A.0 B.2
( )
C.3 D.6 20(2005上海)已知集合
M?
?
x||x?1|?2,x?R
?< br>,
P?
?
x|
?
?
5
?
?1,x? Z
?
,则
M?P
等于( )
x?1
?
A.
?
x|0?x?3,x?Z
?
B.
?
x|0?x?3,x?Z
?

C.
?
x|?1?x?0,x?Z
?
D.
?
x|?1?x?0,x?Z
?


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