高二数学辅导教案：选修2-1复习

选修2-1复习辅导教案

学生姓名
授课教师
科组长签名
教学课题


性别
上课时间
教学主任签名
选修2-1复习
1.熟悉基本的定义和基本的公式
2.学会将定义和公式运用到基本的解题中去
3.逐渐学会运用转化的方法看待问题
直线与圆锥曲线的位置关系，运用空间向量求解空间角
年级
高
学科
二
第（ ）次课
共（ ）次课
数学
课时：3课时

教学目标
教学重点
与难点

命题及其关系


考查
方式
以四种命题、逻 辑联结词为主要内容，考查四种命题之间的关系
及含有逻辑联结词的命题的真假．主要以选择题、填空题 为主，
属容易题.
1.要掌握互为逆否命题的两个命题是等价的，对某些命题的判断
可以转化为判断其逆否命题.
2.命题p∨q中，p，q有真则真；命题p∧q中，p，q有假则假.
备考
指要

[考题印证]

[例1]设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是( )
A．若a≠－b，则|a|≠|b|
B．若a＝－b，则|a|
≠
|b|
C．若|a|≠|b|，则a≠－b
D．若|a|＝|b|，则a＝－b
1

[跟踪演练]

1．若p是真命题，q是假命题，则( )
A．p∧q是真命题
C．綈p是真命题


B．p∨q是假命题
D．綈q是真命题
2．已知命题“如果|a|≤1，那么关于 x的不等式(a
2
－4)x
2
＋(a＋2)x－1≥0的解集为?”，它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有( )
A．0个
C．2个










B．1个
D．4个
充分条件与必要条件


考查方式
充要条件可以与各章节内容相结合是历年高考考查的热点之一 ，题
型主要以选择题、填空题为主.
1.要分清条件和结论，以免混淆充分性与必要性.
(1)若“p?q”，且“p? q”，则p是q的“充分不必要条件”，
同时q是p的“必要不充分条件”；
(2)若“p?q”，则p是q的“充要条件”，同时q是p的“充要
备考指要 条件”；
(3)若“p? q”，则p是q的“既不充分也不必要条件”，同时q
是p的“既不充分也不必要条件”.
2.要注意转换命题的判定，可以利用互为逆否命题的两个命题的等
价性进行判断.
[考题印证]

[例2]设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b 在平面β内，且b⊥m，
则“α⊥β”是“a⊥b”的( )
A．充分不必要条件
C．充分必要条件
[跟踪演练]

2
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件

11
3．有下述说法：①a>b>0是a>b的充要条件；②a>b>0是
a
<
b
的充要条件；③a>b>0是a
3
>b
322
的充要条 件．其中正确的说法有( )
A．0个
C．2个

< br>4．已知关于x的一元二次方程mx
2
－4x＋4＝0，x
2
－4mx ＋4m
2
－4m－5＝0(m∈Z)，试求方
程的根都是整数的充要条件．



















B．1个
D．3个
全称量词与存在量词



考查方式
以考查全称命题与特称命题的真假的判定以及含有一个
量词的命题的否定为主．题型主要是选择题和填 空题.
3

1.全称命题的真假判定：要判定一个全称命题为真，必须
对限定集合M中每一个x验证p(x )成立，一般用代数推
理的方法加以证明；要判定一个全称命题为假，只需举出
一个反例即可.
2.特称命题的真假判定：要判定一个特称命题为真，只要
备考指要 在限定集合M中，能找到 一个x＝x
0
，使p(x
0
)成立即可；
否则，这一特称命题为假.
3.全称命题的否定一定是特称命题，特称命题的否定一定
是全称命题；首先改变量词，把全称 量词改为存在量词，
把存在量词改为全称量词，然后把判断词加以否定.
4.注意命题的否定与否命题的区别.

[考题印证]

[例3] 已知命题p：?x
1
，x
2
∈R，(f(x
2
)－f(x< br>1
))(x
2
－x
1
)≥0，则綈p是( )
A ．?x
1
，x
2
∈R，(f(x
2
)－f(x
1< br>))(x
2
－x
1
)≤0
B．?x
1
，x
2
∈R，(f(x
2
)－f(x
1
))(x
2－x
1
)≤0
C．?x
1
，x
2
∈R，(f (x
2
)－f(x
1
))(x
2
－x
1
) <0
D．?x
1
，x
2
∈R，(f(x
2
)－f (x
1
))(x
2
－x
1
)<0

[跟踪演练]

5．“?x
0
?M，p(x
0
)”的否定是( )
A．?x∈M，綈p(x)
B．?x?M，p(x)
C．?x?M，綈p(x)
D．?x∈M，p(x)
6．判断下列命题的真假：
(1)?x∈R，x
2
＋2x＋1>0；
(2)?x
0
∈R，|x
0
|≤0；
(3)?x∈N
*
，log
2
x>0；
π
(4)?x
0
∈R，cos x
0
＝
2
.


4

圆锥曲线的定义与性质


主要考查椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，待定系数法求圆锥
考查
方式
曲 线方程．圆锥曲线定义的应用，尤其是离心率是高考的热点，
双曲线的渐近线也是高考重要内容．题型上 选择、填空、解答题
都有可能出现.
备考
指要
[考题印证]
< br>[例4]已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y
0
) ．若点M到
该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝( )
A．22
C．4
[跟踪演练]

2
x
2
y
2
2
y
7．已知椭圆C
1
：
a
2
＋
b
2
＝1(a＞b＞0)与双曲线C
2
：x－
4
＝1有公共 的焦点，C
2
的一条渐近
对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识 ，
“回归定义”是一种重要的解题策略；应用圆锥曲线的性质时，
要注意数形结合思想、方程思 想的运用.






B．23
D．25
线与以C
1
的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C
1
恰好将线段AB三等分，则( )
13
A．a
2
＝
2

1
C．b
2
＝
2







B．a
2
＝13
D．b
2
＝2
8．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x
2< br>＋9y
2
＝36有相同的焦点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2 )若点M在双曲线上，F
1
，F
2
为左、右焦点，且|MF
1
|＋|MF
2
|＝63，试判别△MF
1
F
2
的形
状．

5

直线与圆锥曲线的位置关系


直线与圆锥曲线的位置关系是高考的热点，涉及求弦长、焦点弦
考查
方式
长及弦中点问题、取值范围、最值、定点、定值等问题．题型主
要以解答题为主．这类问题综合 性强，难度较大，注重与一元二
次方程中根的判别式、根与系数的关系、函数的单调性、不等式、
平面向量等知识综合.
处理直线与圆锥曲线的位置关系时，常联立消元得到一元二次方
备考
指要
程 ，讨论其解的个数．要注意直线斜率不存在的情况．分析这类
问题，往往利用数形结合的思想，以及“设 而不求”的方法．此
类问题运算量较大，要注意运算结果的准确性.
[考题印证]

x
2
y
2
[例5]在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：
a
2
＋
b
2
＝1(a>b>0)的离心率e＝
6
2
3
，且椭圆

C上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3.
(1)求椭圆C的方程；
(2) 在椭圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l：mx＋ny＝1与圆O：x
2
＋y
2
＝1相交于不
同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的 △OAB的面积；
若不存在，请说明理由．












[跟踪演练]

x
2
9．抛物线y＝－
2
与过点M(0，－1)的直线l相交于A， B两点，O为坐标原点．若直线OA
和OB的斜率之和为1，求直线l的方程．











1 0．已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上，右焦点到直线x－y＋22＝0的距离
为3 .
7

(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆与直线y＝kx＋m(k≠0)相交于不同的两点M，N .当|AM|＝|AN|时，求m的取值范围．















圆锥曲线的标准方程与轨迹问题


考查方式
求圆锥曲线的标准方程与轨迹方程也是高考重点内容之一，题型以
解答题为主.
1.根据圆锥曲线的焦点位置，来确定标准方程的形式，利用待定系
数法求解即可.
2.求轨迹方程的几种常用方法要掌握：
备考指要 (1)直接法
(2)代入法
(3)定义法
(4)消参法3.要注意轨迹方程与轨迹的区别.

8

[考题印证]

x
2
y
2
[例6] 如图，椭圆C
0
：
a
2
＋
b
2
＝1(a>b>0，a， b为常数)，动圆C
1
：x
2
＋y
2
＝t
2
1
，b1
A
1
，A
2
分别 为C
0
的左，右顶点，C
1
与C
0
相交于A，B，C，D四 点．
(1)求直线AA
1
与直线A
2
B交点M的轨迹方程； (2)设动圆C
2
：x
2
＋y
2
＝t
2
2
与C
0
相交于A′，B′，C′，D′四点，其中b2
1
≠t
2
.若矩
2
形ABCD与矩形A′B′C′D′ 的面积相等，证明：t
2
1
＋t
2
为定值．













[跟踪演练]

x
2
y
2
11．在平面 直角坐标系xOy中，点P(a，b)(a>b>0)为动点，F
1
，F
2
分 别为椭圆
a
2
＋
b
2
＝1的
左、右焦点．已知△F
1
PF
2
为等腰三角形．
(1)求椭圆的离心率e；
B M
＝－2，求点(2)设直线PF
2
与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF
2
上的点，满足
AM
·
M的轨迹方程．







9

利用空间向量解决平行、垂直问题


空间向量是高考的重点内容之一，尤其是在立体几何的解答题中，
考查
方式
主要考查建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算解决直
线、平面位置关系的判断问题，特别是平 行与垂直问题常作为一
道解答题的某一小问，属于中档题.
利用空间向量证明平行、垂直问题主要是运用直线的方向向量和
备考
指要
平 面的法向量，借助立体几何中关于平行和垂直的定理，再通过
向量运算来解决，建立适当的空间直角坐标 系，准确写出有关点
的坐标是解题关键.

[考题印证]

[例7] (2011·浙江高考)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO ⊥平面
ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.
(1)证明：AP⊥BC；
(2)在线段AP上是否存在点M，使得二面角A－MC－B为直 二面
角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．




10

[跟踪演练]

1 2．如图所示，已知PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，PA＝AD，M，N分别为AB，PC的
中 点．求证：
(1)MN∥平面PAD；
(2)平面PMC⊥平面PDC.








13．如图，正方体AB CD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，M，N分别 为AB，B
1
C的中点．
(1)用向量法证明平面A
1
BD∥平面 B
1
CD
1
；
(2)用向量法证明MN⊥平面A
1
BD.
11

14．如图所示，正方形ABCD所在平面与四 边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直
角三角形，AB＝AE，FA＝FE，∠AEF＝4 5°.
(1)求证：EF⊥平面BCE；
(2)设线段CD，AE的中点分别为P，M，求证：PM∥平面BCE.













12

利用空间向量求空间角


利用空间向量求两条异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面
考查方式 角的平面角是高考的重点和热点，主要以解答题的形式考查，属于中
档题，每年必考.
利用向量方法只要求出直线的方向向量和平面的法向量即可求解. 1.
若两条异面直线的方向向量分别为a，b，所成角为θ，则cos θ＝|cos
〈a，b〉|.
备考指要 2.直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，直线与平面所成角为
θ，则sin θ＝|cos〈u，n〉|.
3.二面角的平面角为θ，两个半平面的法向量分别为n
1，n
2
，则θ＝〈n
1
，
n
2
〉或θ＝π－〈 n
1
，n
2
〉根据情况确定.

[考题印证]

[例8] 如图，在三棱锥P－ABC中，∠APB＝90°，∠PAB＝60°，AB＝BC＝CA， 平面PAB
⊥平面ABC.
(1)求直线PC与平面ABC所成的角的正弦值；
(2)求二面角B－AP－C的余弦值．
13

[跟踪演练]

15.如图，已知点P在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1< br>D
1
的对角线BD
1
上，∠PDA＝60°.
(1)求DP与CC
1
所成角的大小；
(2)求DP与平面AA
1
D
1
D所成角的大小．











14

1 6.如图所示，在三棱锥S－ABC中，SO⊥平面ABC，侧面SAB与SAC均为等边三角形，∠
B AC＝90°，O为BC的中点，求二面角A－SC－B的余弦值．














15

16