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高三数学培优补差辅导专题讲座-平面向量单元易错题分析与练习p

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-14 20:02
tags:高中数学补习

高中数学教材选修书名-高中数学常见求导


平面向量易错题解析
平面向量易错题解析
1、你熟悉平面向量的运算(和、差、实数与向量的积、数量积)、运算性质和运算的几何意义吗? < br>2、你通常是如何处理有关向量的模(长度)的问题?(利用
|a|?a

|a |?
3、你知道解决向量问题有哪两种途径?(①向量运算;②向量的坐标运算)
4、你弄清 “
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
”与“
ab?x
1
y
2
?x
2
y1
?0
”了吗?
[问题]:两个向量的数量积与两个实数的乘积有什么区别?
(1) 在实数中:若
a?0
,且ab=0,则b=0,但在向量的数量积中,若a?0
,且
a?b?0
,不能推

b?0
.
(2) 已知实数
a,b,c,(b?o)
,且
ab?bc
,则a= c,但在向量的数量积中没有
a?b?b?c?a?c
.
(3) 在实数中有
(a?b)?c?a?(b?c)
,但是在向量的数量积中
(a?b)?c?a?(b?c)
,这是因为
左边是与
c
共线的向量,而右边是与
a
共线的向 量.
5、向量的平移公式、函数图象的平移公式你掌握了吗?
6、正弦定理、余弦定理及三 角形面积公式你掌握了吗?三角形内的求值、化简和证明恒等式有什么特点?
1、向量有关概念: < br>(1)向量的概念:既有大小又有方向的量,注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示,注
意不能说向量就是有向线段,为什么?(向量可以平移)。如已知A(1,2),B(4,2),则把向量AB
按向

a
=(-1,3)平移后得到的向量是_____(答:(3 ,0))
(2)零向量:长度为0的向量叫零向量,记作:
0
,注意零向量的方向是任意的;
(3)单位向量:长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与
AB
共线的单位向量是
?
AB
);
|AB|
??
??????
????
?
2
?
2
x
2
?y
2

??
??
??
??????
(4)相等向量:长度相等且方向相同的两个向 量叫相等向量,相等向量有传递性;
(5)平行向量(也叫共线向量):方向相同或相反的非零向量< br>a

b
叫做平行向量,记作:
a

b
规定零向量和任何向量平行。提醒:①相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等;②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念:两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直
AC
共线; 线重合;③平行向量无传递性!(因为有
0
);④三点
A、B、C
共线
?
AB、
(6)相反向量:长 度相等方向相反的向量叫做相反向量。
a
的相反向量是-
a

如下 列命题:(1)若
a?b
,则
a?b
。(2)两个向量相等的充要条件是它们 的起点相同,终点相同。
B?DC
(3)若
A
,c?
,,则
ABCD
是平行四边形。(4)若
ABCD
是平行四边形,则
AB?DC。(5)若
a?bb

a?c
。(6)若
ab,bc
, 则
ac
。其中正确的是_______(答:(4)(5))
2、向量的表示方法: (1)几何表示法:用带箭头的有向线段表示,如
AB
,注意起点在前,终点在
后;( 2)符号表示法:用一个小写的英文字母来表示,如
a

b

c等;(3)坐标表示法:在平面内建立
直角坐标系,以与
x
轴、
y
轴方向相同的两个单位向量
i

j
为基底,则平面内的任一向量
a
可表示为
a?xi?yj?
?
x,y
?
,称
?x,y
?
为向量
a
的坐标,
a

?
x ,y
?
叫做向量
a
的坐标表示。如果向量的起点在
原点,那么向量的 坐标与向量的终点坐标相同。
3.平面向量的基本定理:如果e
1
和e
2< br>是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任一向量a,
有且只有一对实数
?< br>1

?
2
,使a=
?
1
e
1

?
2
e
2
。如(1)若
a?(1,1),b?

1


平面向量易错题解析
13
(1,?1),c?(?1 ,2)
,则
c?
______(答:
a?b
);(2)下列向量组中 ,能作为平面内所有向量基底的是 A.
22
13
e
1
?(0,0 ),e
2
?(1,?2)
B.
e
1
?(?1,2),e
2
?(5,7)
C.
e
1
?(3,5),e
2
?(6,10)
D. < br>e
1
?(2,?3),e
2
?(,?)
24
(答:B );(3)已知
AD,BE
分别是
?ABC
的边
BC,AC
上的中线,且
AD?a,BE?b
,则
BC
可用向量
a,b

???????????????
24
示为_____(答:
a?b
);(4)已知
?ABC
中,点
D

BC
边上,且
CD?2DB

CD?rAB?sAC

33

r?s< br>的值是___(答:0)
4、实数与向量的积:实数
?
与向量
a的积是一个向量,记作
?
a
,它的长度和方向规定如下:
?
1< br>?
?
a?
?
a,
?
2
?

?
>0时,
?
a
的方向与
a
的方向相同,当
?<0时,
?
a
的方向与
a
的方向相反,当
?
= 0时,
?
a?0
,注意:
?
a
≠0。
5、平面向量的数量积:
(1)两个向量的夹角:对于非零向量
a

b
,作
OA?a,OB?b

?AOB?
?

?
0?
?
?
?
?
称为向量
a

b< br>的夹角,当
?
=0时,
a

b
同向,当
?< br>=
?
时,
a

b
反向,当
?
a

b
垂直。
?
时,
2
(2)平面向量的数 量积:如果两个非零向量
a

b
,它们的夹角为
?
,我们把 数量
|a||b|cos
?
叫做
a

b
的数量积( 或内积或点积),记作:
a
?
b
,即
a
?
b

abcos
?
。规定:零向量与任一向量的数
量积是0,注意数量积是一 个实数,不再是一个向量。如
(1)△ABC中,
|AB|?3

|AC| ?4

|BC|?5
,则
AB?BC?
_________(答:- 9);
?????????
11
?
,则
k
等于____( 答:1);
22
4
(3)已知
a?2,b?5,ab??3
,则< br>a?b
等于____(答:
23
);(4)已知
a,b
是两个 非零向量,且
(2)已知
a?(1,),b?(0,?),c?a?kb,d?a?b

c

d
的夹角为
a?b?a?b
,则
a与a?b
的夹角为____(答:
30

(3)
b

a< br>上的投影为
|b|cos
?
,它是一个实数,但不一定大于0。如已知
|a|?3

|b|?5
,且
??
??
a?b?12
,则向量
a
在向量
b
上的投影为______(答:
12

5
(4)
a
?
b
的几何意义:数量积
a
?
b
等于
a
的模
|a|

b

a
上的投影的积。
??
(5)向量数量积的性质:设两个非零向量
a

b
,其夹角为
?
,则:

a?b?a?b?0

②当
a

b
同 向时,
a
?
b

ab
,特别地,
a?a?a?a, a?
2
2
2
a
;当
a

b
反向时 ,
a
?
b

b
不同向,
a?b?0
是< br>?
为锐角的必要非充分条件;当
?
为钝-
ab
;当
?
为锐角时,
a
?
b
>0,且
a、
b
不反向,
a?b?0

?
为钝角的必要非充分条件; 角时,a
?
b
<0,且
a、
③非零向量
a

b
夹角
?
的计算公式:
cos
?
?
?
a? b
ab
;④
|a?b|?|a||b|
。如(1)已知
a?(
?
,2
?
)

?
41
b?(3
?
,2)
,如果
a

b
的夹角为锐角,则
?
的取值 范围是______(答:
?
??

?
?0

?< br>?
);(2)
33
????????????
13
已知
?OFQ
的面积为
S
,且
OF?FQ?1
,若
?S?,则
OF,FQ
夹角
?
的取值范围是_________
22< br>??
2


平面向量易错题解析
(答:
(
? ?
,
43
);(3)已知
a?(coxs
)
,xs?ibn ),y(c
a
y

b
之间有关系式
①用
k
表示
a?b
;②求
a?b
的最小值,并求此时
a

b
的夹角
?
的大小(答:
ka?b?3a?kb,其中k?0
1
k
2
?1

a?b?(k?0)
;②最小值为,?
?60

4k
2
6、向量的运算:
(1)几何运算:
①向量加法:利用“平行四边形法则”进行,但“平行四边形法则”只适用 于不共线的向量,如此之
外,向量加法还可利用“三角形法则”:设
AB?a,BC?b
,那么向量
AC
叫做
a

b
的和,即
a?b?A B?BC?AC

②向量的减法:用“三角形法则”:设
AB?a,AC?b,那么 a?b?AB?AC?CA
,由减向量的终
点指向被减向量的终点。注意:此处减向量与被减向 量的起点相同。如(1)化简:①
AB?BC?CD?
___;

AB?AD ?DC?
____;③
(AB?CD)?(AC?BD)?
_____(答:①
AD
;②
CB
;③
0
);(2)若正方

ABC D
的边长为1,
AB?a,BC?b,AC?c
,则
|a?b?c|
=_____(答:
22
);(3)若O是
ABC
所在平面内一点,且满足< br>OB?OC?OB?OC?2OA
,则
ABC
的形状为____(答:直角三角 形);(4)

D

?ABC
的边
BC
的中点,< br>?ABC
所在平面内有一点
P
,满足
PA?BP?CP?0
, 设
|AP|
?
?

|PD|

?
的值为_ __(答:2);(5)若点
O

△ABC
的外心,且
OA?OB? CO?0
,则
△ABC
的内角
C
为____
(答:
120
);
(2)坐标运算:设
a?(x
1
,y
1
),b?(x
2
,y
2
)
,则:
①向量的加减法运算:
a?b?(x
1
?x
2

y
1
?y
2
)
。如(1)已知点
A(2,3),B(5,4)

C(7,1 0)
,若
AP?AB?
?
AC(
?
?R)
,则当< br>?
=____时,点P在第一、三象限的角平分线上(答:
1
);(2)已知< br>2
?
1
??
?
;(3)已知作
A(2,3),B(1 ,4),且AB?(sinx,cosy)

x,y?(?,)
,则
x?y?
(答:或
?

222
6
2
用在点< br>A(1,1)
的三个力
F
1
?(3,4),F
2
?( 2,?5),F
3
?(3,1)
,则合力
F?F
1
?F2
?F
3
的终点坐标是
(答:(9,1))
②实数与向量的积:
?
a?
?
?
x
1
,y
1
?
?
?
?
x
1
,
?
y
1
?

③若
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
,则
AB?
?
x
2< br>?x
1
,y
2
?y
1
?
,即一个向量的坐标 等于表示这个向量的有向线
段的终点坐标减去起点坐标。如设
A(2,3),B(?1,5)< br>,且
AC?
__________(答:
(1,
1
AB

AD?3AB
,则C、D的坐标分别是
3
11

), (?7,9)

3
④平面向量数量积:
a?b?x
1
x2
?y
1
y
2
。如已知向量
a
=(sinx, cosx),
b
=(sinx,sinx),
c
=(-
3
??
1
?
,]
,函数
f(x)?
?
a?b
的最大值为,,求向量
a

c
的夹角;(2)若x∈
[?
842
3
1

?
的值(答:
(1)150;(2)

?2?1
);
2
2
22222
⑤向量的模:
| a|?x?y,a?|a|?x?y
。如已知
a,b
均为单位向量,它们的夹角为60
,那
1,0)。(1)若x=

|a?3b|
=_____ (答:
13
);
⑥两点间的距离:若
A
?
x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
22
?
,则
|AB|?
?
x
2
?x
1
?
?
?
y
2
?y
1
?
。如如图,在平面斜坐
3


平面向量易错题解析
标系
xOy
中,
?xOy?60
,平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的:若
OP?xe
1
?ye
2

其中
e
1
,e
2
分别为与x轴、y轴同方向的单位向量,则P点斜坐标为
(x,y)
。(1 )若点P的斜坐标为(2,
-2),求P到O的距离|PO|;(2)求以O为圆心,1为半径的圆在斜 坐标系
xOy
中的方程。(答:(1)
2;(2)
x?y?xy?1?0);
22
??
a?b?c?
?
a?b
?
?c ,a?b?c?a?
?
b?c
?

?
?
a
?
?b?
?
?
a?b
?
?a?
?
?
b
?
;(3)分配律:
a?,
?
a
?
?
a?
?
?
?
?
?
a?
?
?
b?< br>?
a?

?
b
?
a?b
?
?c?a ?c?b?c
。如下列命题中:①
7、向量的运算律:(1)交换律:
a?b?b? a

??
a?
?
??
?
a

a? b?b?a
;(2)结合律:
?
a?(b?c)?a?b?a?c
;②
a?(b?c)?(a?b)?c
;③
(a?b)
?|a|
2

???
2
????????????
??
2
?
④ 若
a?b?0
,则
a?0

b?0
;⑤若
a?b? c?b,

a?c
;⑥
a?a
;⑦
?2|a|?|b|?| b|

2222
??
??
2
2
a?b
a< br>2
?
b
a


(a?b)
2
?a? b
;⑨
(a?b)
2
?a?2a?b?b
。其中正确的是_____ _(答:①⑥⑨)
提醒:(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别:对于一个向量等式,可以 移项,两边平方、
两边同乘以一个实数,两边同时取模,两边同乘以一个向量,但不能两边同除以一个向 量,即两边不能约
去一个向量,切记两向量不能相除(相约);(2)向量的“乘法”不满足结合律,即
a(b?c)?(a?b)c

为什么?
8、向量平行(共线)的充要条件 :
ab?a?
?
b
?(a?b)
2
?(|a||b|)2
?x
1
y
2
?y
1
x
2
= 0。如(1)若向

a?(x,1),b?(4,x)
,当
x
=__ ___时
a

b
共线且方向相同(答:2);(2)已知
a?(1, 1),b?(4,x)

u?a?2b

v?2a?b
,且
uv
,则x

______(答:4);(3)设
PA?(k,12),PB ?(4,5),PC?(10,k)
,则
k

_____时,A,B,C共线 (答:-2或11)
9、向量垂直的充要条件:
a?b?a?b?0?|a?b|?|a?b|

?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
.特 别地
(
AB
AB
?
ACAB
)?(?
ACABAC
)
如(1)已知
OA?(?1,2),OB?(3,m)
,若
OA?OB
,则
m?
(答:。
AC
3
)( ;2)以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB,则点B的坐标是________ (答:
?B?90?

2
(1,3)或(3,-1));(3)已知
n?( a,b),
向量
n?m
,且
n?m
,则
m
的坐标是 ________ (答:
(b,?a)或(?b,a)

10.线段的定比分点:
(1)定比分点的概念:设点P是直线P
1
P
2
上异于P
1
、P
2
的任意一点,若存在一个实数
?
,使
PP?
?
PP
2
,则
?
叫做点P分有向线段
PP
1
12
所成的比,P点叫做有向线段
PP
12
的以定比为
?
的定比分点;
(2)
?
的符号与分点P的位置之间的关系:当P点在线段 P
1
P
2
上时
?
?
>0;当P点在线段 P
1
P
2
的延长线上时
?
?
<-1;当P点在线段P
2
P
1
的延长线上时
??1?
?
?0
;若点P分 有向线段
PP
12
所成
的比为
?
,则点P分有向线段
P
2
P
1
所成的比为
_______(答:
?

1
3
。如若点
P

AB
所成的比为,则
A

BP
所成的比为
4
?
7
3
(3)线段的 定比分点公式:设
P
1
(x
1
,y
1
)

P
2
(x
2
,y
2
)

P(x, y)
分有向线段
PP
12
所成的比为
?
,则
?x?
?
?
?
?
y?
?
?
x
1
?x
2
?
x
1
?
?
x
2
x?
?
?
2
1?
?
?
,特别地,当
?=1时,就得到线段P
1
P
2
的中点公式
?
y?
y
1
?y
2
。在使用定比分点的坐
y
1
?
?
y
2
?
?2
1?
?
4


平面向量易错题解析
标公式时,应明确
(x,y)

(x
1
,y
1
)

(x
2
,y
2
)
的意义,即分别为分点,起点,终点的坐标。在具体计算时
应根据题设条件,灵活 地确定起点,分点和终点,并根据这些点确定对应的定比
?
。如(1)若M(-3,-2),< br>1
???
7
N(6,-1),且
MP??MN
,则点P的坐标 为_______(答:
(?6,?)
);(2)已知
A(a,0),B(3,2?a )

33
???
直线
y?
1
ax
与线段< br>AB
交于
M
,且
AM?2MB
,则
a
等于_ ______(答:2或-4)
2
x
?
?x?h
11.平移公式: 如果点
P(x,y)
按向量
a?
?
h,k
?
平移至
P(x
?
,y
?
)
,则
?
;曲线
f(x,y)?0

?
?
?
y?y?k
向量
a?< br>?
h,k
?
平移得曲线
f(x?h,y?k)?0
.注意:( 1)函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系?
(2)向量平移具有坐标不变性,可别忘了啊!如( 1)按向量
a

(2,?3)
平移到
(1,?2)
,则按向 量
a
把点
(?7,2)
平移到点______(答:(-8,3));(2) 函数
y?sin2x
的图象按向量
a
平移后,所得函数的解析式是
?
y?cos2x?1
,则
a
=________(答:
(?
?
?
4
,1)

12、向量中一些常用的结论:
(1)一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量,要注意运用;
b
同向或有
0
?
|a?b|?|a|?|b|
(2)
||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|
,特别地,当
a、
b
反向或有
0
?
|a?b|?|a|?|b
?
b
不共线
|
||a|?|b?||a|?b

|

a、
?
||a|?|b||?|a?b|
;当
a、
(
|
这些和 实数比较类似).
||a|?b?|a|?|b
?
||a|?|b?
(3) 在
?ABC
中,①若
A
?
x
1
,y
1?
,B
?
x
2
,y
2
?
,C
?
x
3
,y
3
?
,则其重心的坐标为
?
x ?x?xy?y
2
?y
3
?
G
?
123
,
1
、(-3,4)、 (-1,-1),
?
。如若⊿ABC的三边的中点 分别为(2,1)
33
??
24
则⊿ABC的重心的坐标为_______( 答:
(?,)
);
33

PG?
1
(PA?PB ?PC)
?
G

?ABC
的重心,特别地
PA?PB?PC ?0?P

?ABC
的重
3
心;

PA?PB?PB?PC?PC?PA?P

?ABC
的垂心;
④向量
?
(
AB
?
AC
)(
?
? 0)
所在直线过
?ABC
的内心(是
?BAC
的角平分线所在直线) ;
|AB||AC|

|AB|PC?|BC|PA?|CA|PB?0?P
?ABC
的内心;
MP
1
?
?
MP
2
,特别地
P
(3)若P分有向线段
PP
12
所成的比为
?< br>,点
M
为平面内的任一点,则
MP?
1?
?
MP1
?MP
2
; 为
P
1
P
2
的中点< br>?MP?
2
(4)向量
PA

、B、C
共线
?
存在实数
?

?
使得
PA?
?
PB?< br>?
PC
、 PB、 PC
中三终点
A
?
?
?
?1
.如平面直角坐标系中,
O
为坐标原点,已知两点
A(3,1)
,
B(?1,3)
,若点
C
满足
OC?
?
1
OA?
?
2
OB
,其中
?
1
,
?
2
?R

?
1
?
?
2
?1,则点
C
的轨迹是_______(答:直线AB)
例题2 在
?AB C
中,已知
AB?
?
2,3
?
,AC?
?
1,k
?
,且
?ABC
的一个内角为直角,求实数
k
的值.
错误分析:是自以为是,凭直觉认为某个角度是直角,而忽视对诸情况的讨论.
答案: (1)若
?BAC?90?,

AB?AC,

AB?AC?0
,从而
2?3k?0,
解得
k??
???
??????2
;
3
(2)若
?BCA?90?,
BC?AC
,也就是
BC?AC?0
,而
BC?AC?AB?
?
?1,k?3
?
,

5


平面向量易错题解析
?1?k
?
k?3
?
?0
,解得
k?
3?13
;
2
(3)若
?ABC?90?,

BC?AB
,也就是
BC?AB?0,

BC?
?
?1,k?3
?
,故
?2?3
?k?3
?
?0
,解得
k?
3?13
11211

k?.

.
综合上面讨论可知,
k??

k?
2
333
??
例题4 已知向量m=(1,1),向量
n
与 向量
m
夹角为
?
,且
m
·
n
=-1,求向 量
n

??
3
x?y
?
2
解:设
n
=(x,y) 则由<
m
,
n
>=
?
得:cos<
m
,< br>n
>=
mn
= ①
??
??
4
22< br>2
2?x?y
m
?
n
???
??
3
4
???
??
???
?
x?0
?
x??1

m
·
n
=-1得x+y=-1 ②联立①②两式得
?

?

n
=(0,-1)或(-1,0)
?
?
y??1
?
?
y?0
例题7 已知向量
a?(mx,?1),b?(
为锐角,求实数x的取值范围.

2
1
(m为常数),且
a
,
b
不共线,若向量
a,
b
的夹角<
a
,
b
>
,x)
mx?1
解:要满足<
a,b
>为锐角 只须
a?b
>0且
a?
?
b

?
?R
mx
2
mx
2
?mx
2
?x
x

a?b
= =即 x (mx-1) >0
?x
=
?0

mx?1mx?1
mx?1
11
1°当 m > 0时x<0 或
x?
2°m<0时,x ( -mx+1) <0 ,
x?或x?0
3°m=0时 只要x<0
mm
11
综上所述:x > 0时,
x?(??,0)?(,??)
x = 0时,
x?(??,0)
x < 0时,
x?(??,)?(0,??)

mm
例题9 已知向量
a?(cos
?
,sin
?
)

b?(cos
?
,sin
?
)

a? b?
(Ⅰ)求
cos(
?
?
?
)
的值;( Ⅱ)若
0?
?
?
解(Ⅰ)
25

5
?< br>2

?
?
2
?
?
?0
,且
sin
?
??
5
,求
sin
?
的值.
1 3
a?
?
cos
?
,sin
?
?
,b?< br>?
cos
?
,sin
?
?
,
?a?b??
cos
?
?cos
?
,sin
?
?sin< br>?
?
.
25
,
?
5
a?b??
cos
?
?cos
?
?
?
?
sin
?
?sin
?
?
43
.
?cos
?
?
?
?
?
?
.
55
22
?
25
,
5
s?
?
?
?

2?2co
?
?
(Ⅱ)

22
512
sin
?
??

?cos
?
?.

1313
0?
?
?
?
,?
?
?
?
?0,?0?
?
?
?
?
?
.

34
cos
?
?
?
?
?
?

? sin
?
?
?
?
?
?.

55
?sin
?
?si
?
n
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?

?
?
sin
?
?
?
?
6
co< br>?
s?
?
co
?
s?
?
?

s
?
in


平面向量易错题解析
?
4123
?
5
?
33
???
?
?
?
?.
5135
?
13
?
65
基础练习题
1、 设平面向量
a
=(-2,1),
b
=(λ,-1),若
a

b
的夹角为钝角,则λ的取值范围是( )
A、
(?,2)?(2,??)
B、
(2,??)
C、
(?,??)
D、
(??,?)

答案:A 点评:易误选C,错因:忽视
a

b
反向的情况。
2、O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足
1
21
2
1
2
OP?OA?
?
(
AB
|A B|
?
AC
|AC|
),
?
?[0,??)
,则P 的轨迹一定通过△ABC的( )
(A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心
正确答案:B。错误原因:对
OP?OA?
?
(
AB< br>|AB|
?
AC
|AC|
),
?
?[0,??)理解不够。不清楚
AB
|AB|

?
AC
|AC|
与∠BAC的角平分线有关。
3、若向量
a
=(cos?,sin?) ,
b
=
?
cos
?
,sin
?
?

a

b
不共线,则
a

b
一定满足( )
A.
a

b
的夹角等于?-? B.
a

b
C.(
a
+
b
)?(
a
-
b
) D.
a

b

正确答案:C 错因:不能把
a
、< br>b
的终点看成是上单位圆上的点,用四边形法则来处理问题。
4、已知O、A、B三点的坐标分别为O(0,0),A(3,0),B(0,3),是P线段AB上且
AP
=t
AB
(0≤t≤
1)则
OA
·
OP
的最大值为( ) A.3 B.6 C.9 D.12
正确答案:C 错因:不能借助数形结合直观得到当?OP?cos?最大时,
OA
·
OP
即为最大。
5、在
?ABC
中,
a?5,b?8,C?60?
,则
BC?CA
的值为 ( )
A 20 B
?20
C
203
D
?203

错误分析:错误认为
BC,CA?C?60?
,从而出错. 答案: B略解: 由题意可知
BC,CA?120?
,

BC?CA
=
BC ?CA?cosBC,CA?5?8?
?
?
6、已知向量
a
=(2cos?,2sin?),??(

2
A.
?
-?
3

?
1
?
?
??20
.
?
2
?
?
,
?
),
b
=(0,-1),则
a

b
的夹角为( )
2
B.
?
+?
2
C.?-
7
?

2
D.?


平面向量易错题解析
正确答案:A 错因:忽略考虑
a

b
夹角的取值范围在[0,?]。
7、如果
a?b?a?c,且a?0
,那么 ( )
A.
b?c
B.
b?
?
c
C.
b?c
D.
b,c

a
方向上的投影相等
正确答案:D。错误原因:对向量数量积的性质理解不够。
8、已知向量
OB?(2 ,0),OC?(2,2),CA?(2cosa,2sina)
则向量
OA,OB
的 夹角范围是( )
A、[π12,5π12] B、[0,π4] C、[π4,5π12] D、 [5π12,π2]
正确答案:A错因:不注意数形结合在解题中的应用。
9、设
a
=(x1
,y
1
),
b
=(x
2
,y
2),则下列
a

b
共线的充要条件的有( )
① 存在 一个实数λ,使
a

b

b

a
; ② |
a
·
b
|=|
a
| |
b
|;③
x
1
y
1
; ④ (
a
+
b
)(
a

b
)
?
x
2
y
2
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
答案:C点评:①②④正确,易错选D。
10 、以原点O及点A(5,2)为顶点作等腰直角三角形OAB,使
?A?90
,则
AB
的坐标为( )。
A、(2,-5) B、(-2,5)或(2,-5) C、(-2,5) D、(7,-3)或(3,7)
正解:B设
AB?(x,y )
,则由
|OA|?|AB|?5?2?
22
?
x
2
?y
2

而又由
OA?AB

5x?2y?0
②由①②联立得
x?2,y??5或x??2,y?5


?AB?(2,?5)或(-2,5)
误解:公式记忆不清,或未考虑到联立方程组解。 11、设向量
a?(x
1
,y
1
),b?(x
2
,y
2
)
,则
x
1
y
?
1
是< br>ab
的( )条件。
x
2
y
2
A、充要 B、必要不充分 C、充分不必要 D、既不充分也不必要
正解: C若
x
1
y
?
1

x
1
y
2
?x
2
y
1
?0,?ab
,若
ab
, 有可能
x
2

y
2
为0,故选C。
x
2
y
2
x
1
y
?
1
,此式是否成立,未考虑 ,选A。
x
2
y
2
误解:
ab
?
x1
y
2
?x
2
y
1
?0
?
1 2、在
?
OAB中,
OA?(2cos
?
,2sin
?),OB?(5cos
?
,5sin
?
)
,若
OA?O B??5


S
?OAB
=( )A、
3
B、
353
C、
53
D、
22
正解:D。∵
OA? OB??5

|OA|?|OB|?cosV??5
(LV为
OA

OB
的夹角)
8


平面向量易错题解析
?2cos
?
?
2
?(2sin
?
)
2
?

cosV?
(5cos
?
)
2
?
?< br>5sin
?
?
?cosV??5

2
153
3
1

sinV?

S
?OAB
?|OA|?|O B|?sinV?

22
2
2
误解:C。将面积公式记错,误记为< br>S
?OAB
?|OA|?|OB|?sinV

13、设平面向量a
?(?2,1),b?(
?
,?1),(
?
?R)
, 若
a

b
的夹角为钝角,则
?
的取值范围是
1
2
( )A、 B、(2,+
?)
C、(—

D、(-
?,

(?,2)?(2,??)??)?)
错解:C 错因:忽视使用
a?b?0
时,其中包含了两向量反向的情况 正解:A
14、设
a,b,c
是任意的非零平面向量且互不共线,以下四个命题:
1
2
1
2
??

?
b?c
?
?a?
?
c?a
?
?b不与c垂直
④若
a?b,则a?b与c
不平行

(a?b)?c?c?a?b?0

a?b?a?b

其中正确命题的个数是
( )
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
正确答案:(B)错误原因:本题所述问题不能全部搞清。
15、若向量
a
=
?
x,2x
?

b
=
?
?3 x,2
?
,且
a

b
的夹角为钝角,则
x
的取值范围是______________.
?
?
?
?
?
?
?
?
错误分 析:只由
a,b
的夹角为钝角得到
a?b?0,
而忽视了
a?b?0
不是
a,b
夹角为钝角的充要条件,因
?
?
?
?< br>?

a,b
的夹角为
180
时也有
a?b?0,从而扩大
x
的范围,导致错误.
?
?
2
正确解法:
?

a

b
的夹角为钝角,
?a? b?x?
?
?3x
?
?2x?
2??3x?4x?0

?
?
41
解得
x?0

x?
(1) 又由
a,b
共线且反向可得
x??
(2)
33
由(1),(2)得
x
的范围是< br>?
?
??,?
?
?
?
?
?
?
1
?
3
?
?
1
??
4
?
,0< br>?
?
?
,??
?

?
3
??
3
?
答案:
?
?
?? ,?
?
?
?
?
?
?
1
?
3
?
?
1
??
4
?
,0
?
?
?< br>,??
?
.
?
3
??
3
?
16、 已知平面上三点A、B、C满足
|AB|?3,|BC|?4,|CA|?5,则AB?BC?BC?C A?CA?AB
的值等于

C
( )A.25 B.24 C.-25 D.-24
9

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