高中数学教材选修书名-高中数学常见求导
平面向量易错题解析
平面向量易错题解析
1、你熟悉平面向量的运算(和、差、实数与向量的积、数量积)、运算性质和运算的几何意义吗? <
br>2、你通常是如何处理有关向量的模(长度)的问题?(利用
|a|?a
;
|a
|?
3、你知道解决向量问题有哪两种途径?(①向量运算;②向量的坐标运算)
4、你弄清
“
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
”与“
ab?x
1
y
2
?x
2
y1
?0
”了吗?
[问题]:两个向量的数量积与两个实数的乘积有什么区别?
(1) 在实数中:若
a?0
,且ab=0,则b=0,但在向量的数量积中,若a?0
,且
a?b?0
,不能推
出
b?0
.
(2) 已知实数
a,b,c,(b?o)
,且
ab?bc
,则a=
c,但在向量的数量积中没有
a?b?b?c?a?c
.
(3) 在实数中有
(a?b)?c?a?(b?c)
,但是在向量的数量积中
(a?b)?c?a?(b?c)
,这是因为
左边是与
c
共线的向量,而右边是与
a
共线的向
量.
5、向量的平移公式、函数图象的平移公式你掌握了吗?
6、正弦定理、余弦定理及三
角形面积公式你掌握了吗?三角形内的求值、化简和证明恒等式有什么特点?
1、向量有关概念: <
br>(1)向量的概念:既有大小又有方向的量,注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示,注
意不能说向量就是有向线段,为什么?(向量可以平移)。如已知A(1,2),B(4,2),则把向量AB
按向
量
a
=(-1,3)平移后得到的向量是_____(答:(3
,0))
(2)零向量:长度为0的向量叫零向量,记作:
0
,注意零向量的方向是任意的;
(3)单位向量:长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与
AB
共线的单位向量是
?
AB
);
|AB|
??
??????
????
?
2
?
2
x
2
?y
2
)
??
??
??
??????
(4)相等向量:长度相等且方向相同的两个向
量叫相等向量,相等向量有传递性;
(5)平行向量(也叫共线向量):方向相同或相反的非零向量<
br>a
、
b
叫做平行向量,记作:
a
∥
b
,规定零向量和任何向量平行。提醒:①相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等;②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念:两个向量平行包含两个向量共线,
但两条直线平行不包含两条直
AC
共线; 线重合;③平行向量无传递性!(因为有
0
);④三点
A、B、C
共线
?
AB、
(6)相反向量:长
度相等方向相反的向量叫做相反向量。
a
的相反向量是-
a
。
如下
列命题:(1)若
a?b
,则
a?b
。(2)两个向量相等的充要条件是它们
的起点相同,终点相同。
B?DC
(3)若
A
,c?
,,则
ABCD
是平行四边形。(4)若
ABCD
是平行四边形,则
AB?DC。(5)若
a?bb
则
a?c
。(6)若
ab,bc
,
则
ac
。其中正确的是_______(答:(4)(5))
2、向量的表示方法:
(1)几何表示法:用带箭头的有向线段表示,如
AB
,注意起点在前,终点在
后;(
2)符号表示法:用一个小写的英文字母来表示,如
a
,
b
,
c等;(3)坐标表示法:在平面内建立
直角坐标系,以与
x
轴、
y
轴方向相同的两个单位向量
i
,
j
为基底,则平面内的任一向量
a
可表示为
a?xi?yj?
?
x,y
?
,称
?x,y
?
为向量
a
的坐标,
a
=
?
x
,y
?
叫做向量
a
的坐标表示。如果向量的起点在
原点,那么向量的
坐标与向量的终点坐标相同。
3.平面向量的基本定理:如果e
1
和e
2<
br>是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任一向量a,
有且只有一对实数
?<
br>1
、
?
2
,使a=
?
1
e
1
+
?
2
e
2
。如(1)若
a?(1,1),b?
1
平面向量易错题解析
13
(1,?1),c?(?1
,2)
,则
c?
______(答:
a?b
);(2)下列向量组中
,能作为平面内所有向量基底的是 A.
22
13
e
1
?(0,0
),e
2
?(1,?2)
B.
e
1
?(?1,2),e
2
?(5,7)
C.
e
1
?(3,5),e
2
?(6,10)
D. <
br>e
1
?(2,?3),e
2
?(,?)
24
(答:B
);(3)已知
AD,BE
分别是
?ABC
的边
BC,AC
上的中线,且
AD?a,BE?b
,则
BC
可用向量
a,b
表
???????????????
24
示为_____(答:
a?b
);(4)已知
?ABC
中,点
D
在
BC
边上,且
CD?2DB
,
CD?rAB?sAC
,
33
则
r?s<
br>的值是___(答:0)
4、实数与向量的积:实数
?
与向量
a的积是一个向量,记作
?
a
,它的长度和方向规定如下:
?
1<
br>?
?
a?
?
a,
?
2
?
当
?
>0时,
?
a
的方向与
a
的方向相同,当
?<0时,
?
a
的方向与
a
的方向相反,当
?
=
0时,
?
a?0
,注意:
?
a
≠0。
5、平面向量的数量积:
(1)两个向量的夹角:对于非零向量
a
,
b
,作
OA?a,OB?b
,
?AOB?
?
?
0?
?
?
?
?
称为向量
a
,
b<
br>的夹角,当
?
=0时,
a
,
b
同向,当
?<
br>=
?
时,
a
,
b
反向,当
?
=a
,
b
垂直。
?
时,
2
(2)平面向量的数
量积:如果两个非零向量
a
,
b
,它们的夹角为
?
,我们把
数量
|a||b|cos
?
叫做
a
与
b
的数量积(
或内积或点积),记作:
a
?
b
,即
a
?
b
=
abcos
?
。规定:零向量与任一向量的数
量积是0,注意数量积是一
个实数,不再是一个向量。如
(1)△ABC中,
|AB|?3
,
|AC|
?4
,
|BC|?5
,则
AB?BC?
_________(答:-
9);
?????????
11
?
,则
k
等于____(
答:1);
22
4
(3)已知
a?2,b?5,ab??3
,则<
br>a?b
等于____(答:
23
);(4)已知
a,b
是两个
非零向量,且
(2)已知
a?(1,),b?(0,?),c?a?kb,d?a?b
,
c
与
d
的夹角为
a?b?a?b
,则
a与a?b
的夹角为____(答:
30
)
(3)
b
在
a<
br>上的投影为
|b|cos
?
,它是一个实数,但不一定大于0。如已知
|a|?3
,
|b|?5
,且
??
??
a?b?12
,则向量
a
在向量
b
上的投影为______(答:
12
)
5
(4)
a
?
b
的几何意义:数量积
a
?
b
等于
a
的模
|a|
与
b
在
a
上的投影的积。
??
(5)向量数量积的性质:设两个非零向量
a
,
b
,其夹角为
?
,则:
①
a?b?a?b?0
;
②当
a
,
b
同
向时,
a
?
b
=
ab
,特别地,
a?a?a?a,
a?
2
2
2
a
;当
a
与
b
反向时
,
a
?
b
=
b
不同向,
a?b?0
是<
br>?
为锐角的必要非充分条件;当
?
为钝-
ab
;当
?
为锐角时,
a
?
b
>0,且
a、
b
不反向,
a?b?0
是
?
为钝角的必要非充分条件; 角时,a
?
b
<0,且
a、
③非零向量
a
,
b
夹角
?
的计算公式:
cos
?
?
?
a?
b
ab
;④
|a?b|?|a||b|
。如(1)已知
a?(
?
,2
?
)
,
?
41
b?(3
?
,2)
,如果
a
与
b
的夹角为锐角,则
?
的取值
范围是______(答:
?
??
或
?
?0
且
?<
br>?
);(2)
33
????????????
13
已知
?OFQ
的面积为
S
,且
OF?FQ?1
,若
?S?,则
OF,FQ
夹角
?
的取值范围是_________
22<
br>??
2
平面向量易错题解析
(答:
(
?
?
,
43
);(3)已知
a?(coxs
)
,xs?ibn
),y(c
a
y
与
b
之间有关系式
①用
k
表示
a?b
;②求
a?b
的最小值,并求此时
a
与
b
的夹角
?
的大小(答:
ka?b?3a?kb,其中k?0
,1
k
2
?1
①
a?b?(k?0)
;②最小值为,?
?60
)
4k
2
6、向量的运算:
(1)几何运算:
①向量加法:利用“平行四边形法则”进行,但“平行四边形法则”只适用
于不共线的向量,如此之
外,向量加法还可利用“三角形法则”:设
AB?a,BC?b
,那么向量
AC
叫做
a
与
b
的和,即
a?b?A
B?BC?AC
;
②向量的减法:用“三角形法则”:设
AB?a,AC?b,那么
a?b?AB?AC?CA
,由减向量的终
点指向被减向量的终点。注意:此处减向量与被减向
量的起点相同。如(1)化简:①
AB?BC?CD?
___;
②
AB?AD
?DC?
____;③
(AB?CD)?(AC?BD)?
_____(答:①
AD
;②
CB
;③
0
);(2)若正方
形
ABC
D
的边长为1,
AB?a,BC?b,AC?c
,则
|a?b?c|
=_____(答:
22
);(3)若O是
ABC
所在平面内一点,且满足<
br>OB?OC?OB?OC?2OA
,则
ABC
的形状为____(答:直角三角
形);(4)
若
D
为
?ABC
的边
BC
的中点,<
br>?ABC
所在平面内有一点
P
,满足
PA?BP?CP?0
,
设
|AP|
?
?
,
|PD|
则
?
的值为_
__(答:2);(5)若点
O
是
△ABC
的外心,且
OA?OB?
CO?0
,则
△ABC
的内角
C
为____
(答:
120
);
(2)坐标运算:设
a?(x
1
,y
1
),b?(x
2
,y
2
)
,则:
①向量的加减法运算:
a?b?(x
1
?x
2
,
y
1
?y
2
)
。如(1)已知点
A(2,3),B(5,4)
,
C(7,1
0)
,若
AP?AB?
?
AC(
?
?R)
,则当<
br>?
=____时,点P在第一、三象限的角平分线上(答:
1
);(2)已知<
br>2
?
1
??
?
;(3)已知作
A(2,3),B(1
,4),且AB?(sinx,cosy)
,
x,y?(?,)
,则
x?y?
(答:或
?
)
222
6
2
用在点<
br>A(1,1)
的三个力
F
1
?(3,4),F
2
?(
2,?5),F
3
?(3,1)
,则合力
F?F
1
?F2
?F
3
的终点坐标是
(答:(9,1))
②实数与向量的积:
?
a?
?
?
x
1
,y
1
?
?
?
?
x
1
,
?
y
1
?
。
③若
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
,则
AB?
?
x
2<
br>?x
1
,y
2
?y
1
?
,即一个向量的坐标
等于表示这个向量的有向线
段的终点坐标减去起点坐标。如设
A(2,3),B(?1,5)<
br>,且
AC?
__________(答:
(1,
1
AB
,
AD?3AB
,则C、D的坐标分别是
3
11
;
),
(?7,9)
)
3
④平面向量数量积:
a?b?x
1
x2
?y
1
y
2
。如已知向量
a
=(sinx,
cosx),
b
=(sinx,sinx),
c
=(-
3
??
1
?
,]
,函数
f(x)?
?
a?b
的最大值为,,求向量
a
、
c
的夹角;(2)若x∈
[?
842
3
1
求
?
的值(答:
(1)150;(2)
或
?2?1
);
2
2
22222
⑤向量的模:
|
a|?x?y,a?|a|?x?y
。如已知
a,b
均为单位向量,它们的夹角为60
,那
1,0)。(1)若x=
么
|a?3b|
=_____
(答:
13
);
⑥两点间的距离:若
A
?
x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
22
?
,则
|AB|?
?
x
2
?x
1
?
?
?
y
2
?y
1
?
。如如图,在平面斜坐
3
平面向量易错题解析
标系
xOy
中,
?xOy?60
,平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的:若
OP?xe
1
?ye
2
,
其中
e
1
,e
2
分别为与x轴、y轴同方向的单位向量,则P点斜坐标为
(x,y)
。(1
)若点P的斜坐标为(2,
-2),求P到O的距离|PO|;(2)求以O为圆心,1为半径的圆在斜
坐标系
xOy
中的方程。(答:(1)
2;(2)
x?y?xy?1?0);
22
??
a?b?c?
?
a?b
?
?c
,a?b?c?a?
?
b?c
?
,
?
?
a
?
?b?
?
?
a?b
?
?a?
?
?
b
?
;(3)分配律:
a?,
?
a
?
?
a?
?
?
?
?
?
a?
?
?
b?<
br>?
a?
,
?
b
?
a?b
?
?c?a
?c?b?c
。如下列命题中:①
7、向量的运算律:(1)交换律:
a?b?b?
a
,
??
a?
?
??
?
a
,
a?
b?b?a
;(2)结合律:
?
a?(b?c)?a?b?a?c
;②
a?(b?c)?(a?b)?c
;③
(a?b)
?|a|
2
???
2
????????????
??
2
?
④
若
a?b?0
,则
a?0
或
b?0
;⑤若
a?b?
c?b,
则
a?c
;⑥
a?a
;⑦
?2|a|?|b|?|
b|
;
2222
??
??
2
2
a?b
a<
br>2
?
b
a
;
⑧
(a?b)
2
?a?
b
;⑨
(a?b)
2
?a?2a?b?b
。其中正确的是_____
_(答:①⑥⑨)
提醒:(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别:对于一个向量等式,可以
移项,两边平方、
两边同乘以一个实数,两边同时取模,两边同乘以一个向量,但不能两边同除以一个向
量,即两边不能约
去一个向量,切记两向量不能相除(相约);(2)向量的“乘法”不满足结合律,即
a(b?c)?(a?b)c
,
为什么?
8、向量平行(共线)的充要条件
:
ab?a?
?
b
?(a?b)
2
?(|a||b|)2
?x
1
y
2
?y
1
x
2
=
0。如(1)若向
量
a?(x,1),b?(4,x)
,当
x
=__
___时
a
与
b
共线且方向相同(答:2);(2)已知
a?(1,
1),b?(4,x)
,
u?a?2b
,
v?2a?b
,且
uv
,则x
=
______(答:4);(3)设
PA?(k,12),PB
?(4,5),PC?(10,k)
,则
k
=
_____时,A,B,C共线
(答:-2或11)
9、向量垂直的充要条件:
a?b?a?b?0?|a?b|?|a?b|
?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
.特
别地
(
AB
AB
?
ACAB
)?(?
ACABAC
)
如(1)已知
OA?(?1,2),OB?(3,m)
,若
OA?OB
,则
m?
(答:。
AC
3
)(
;2)以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB,则点B的坐标是________ (答:
?B?90?
,
2
(1,3)或(3,-1));(3)已知
n?(
a,b),
向量
n?m
,且
n?m
,则
m
的坐标是
________ (答:
(b,?a)或(?b,a)
)
10.线段的定比分点:
(1)定比分点的概念:设点P是直线P
1
P
2
上异于P
1
、P
2
的任意一点,若存在一个实数
?
,使
PP?
?
PP
2
,则
?
叫做点P分有向线段
PP
1
12
所成的比,P点叫做有向线段
PP
12
的以定比为
?
的定比分点;
(2)
?
的符号与分点P的位置之间的关系:当P点在线段
P
1
P
2
上时
?
?
>0;当P点在线段 P
1
P
2
的延长线上时
?
?
<-1;当P点在线段P
2
P
1
的延长线上时
??1?
?
?0
;若点P分
有向线段
PP
12
所成
的比为
?
,则点P分有向线段
P
2
P
1
所成的比为
_______(答:
?
)
1
3
。如若点
P
分
AB
所成的比为,则
A
分
BP
所成的比为
4
?
7
3
(3)线段的
定比分点公式:设
P
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
,
P(x,
y)
分有向线段
PP
12
所成的比为
?
,则
?x?
?
?
?
?
y?
?
?
x
1
?x
2
?
x
1
?
?
x
2
x?
?
?
2
1?
?
?
,特别地,当
?=1时,就得到线段P
1
P
2
的中点公式
?
y?
y
1
?y
2
。在使用定比分点的坐
y
1
?
?
y
2
?
?2
1?
?
4
平面向量易错题解析
标公式时,应明确
(x,y)
,
(x
1
,y
1
)
、
(x
2
,y
2
)
的意义,即分别为分点,起点,终点的坐标。在具体计算时
应根据题设条件,灵活
地确定起点,分点和终点,并根据这些点确定对应的定比
?
。如(1)若M(-3,-2),<
br>1
???
7
N(6,-1),且
MP??MN
,则点P的坐标
为_______(答:
(?6,?)
);(2)已知
A(a,0),B(3,2?a
)
,
33
???
直线
y?
1
ax
与线段<
br>AB
交于
M
,且
AM?2MB
,则
a
等于_
______(答:2或-4)
2
x
?
?x?h
11.平移公式:
如果点
P(x,y)
按向量
a?
?
h,k
?
平移至
P(x
?
,y
?
)
,则
?
;曲线
f(x,y)?0
按
?
?
?
y?y?k
向量
a?<
br>?
h,k
?
平移得曲线
f(x?h,y?k)?0
.注意:(
1)函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系?
(2)向量平移具有坐标不变性,可别忘了啊!如(
1)按向量
a
把
(2,?3)
平移到
(1,?2)
,则按向
量
a
把点
(?7,2)
平移到点______(答:(-8,3));(2)
函数
y?sin2x
的图象按向量
a
平移后,所得函数的解析式是
?
y?cos2x?1
,则
a
=________(答:
(?
?
?
4
,1)
)
12、向量中一些常用的结论:
(1)一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量,要注意运用;
b
同向或有
0
?
|a?b|?|a|?|b|
(2)
||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|
,特别地,当
a、
b
反向或有
0
?
|a?b|?|a|?|b
?
b
不共线
|
||a|?|b?||a|?b
;
|
当
a、
?
||a|?|b||?|a?b|
;当
a、
(
|
这些和
实数比较类似).
||a|?b?|a|?|b
?
||a|?|b?
(3)
在
?ABC
中,①若
A
?
x
1
,y
1?
,B
?
x
2
,y
2
?
,C
?
x
3
,y
3
?
,则其重心的坐标为
?
x
?x?xy?y
2
?y
3
?
G
?
123
,
1
、(-3,4)、 (-1,-1),
?
。如若⊿ABC的三边的中点
分别为(2,1)
33
??
24
则⊿ABC的重心的坐标为_______(
答:
(?,)
);
33
②
PG?
1
(PA?PB
?PC)
?
G
为
?ABC
的重心,特别地
PA?PB?PC
?0?P
为
?ABC
的重
3
心;
③
PA?PB?PB?PC?PC?PA?P
为
?ABC
的垂心;
④向量
?
(
AB
?
AC
)(
?
?
0)
所在直线过
?ABC
的内心(是
?BAC
的角平分线所在直线)
;
|AB||AC|
⑤
|AB|PC?|BC|PA?|CA|PB?0?P
?ABC
的内心;
MP
1
?
?
MP
2
,特别地
P
(3)若P分有向线段
PP
12
所成的比为
?<
br>,点
M
为平面内的任一点,则
MP?
1?
?
MP1
?MP
2
; 为
P
1
P
2
的中点<
br>?MP?
2
(4)向量
PA
且
、B、C
共线
?
存在实数
?
、
?
使得
PA?
?
PB?<
br>?
PC
、 PB、 PC
中三终点
A
?
?
?
?1
.如平面直角坐标系中,
O
为坐标原点,已知两点
A(3,1)
,
B(?1,3)
,若点
C
满足
OC?
?
1
OA?
?
2
OB
,其中
?
1
,
?
2
?R
且
?
1
?
?
2
?1,则点
C
的轨迹是_______(答:直线AB)
例题2 在
?AB
C
中,已知
AB?
?
2,3
?
,AC?
?
1,k
?
,且
?ABC
的一个内角为直角,求实数
k
的值.
错误分析:是自以为是,凭直觉认为某个角度是直角,而忽视对诸情况的讨论.
答案:
(1)若
?BAC?90?,
即
AB?AC,
故
AB?AC?0
,从而
2?3k?0,
解得
k??
???
??????2
;
3
(2)若
?BCA?90?,
即BC?AC
,也就是
BC?AC?0
,而
BC?AC?AB?
?
?1,k?3
?
,
故
5
平面向量易错题解析
?1?k
?
k?3
?
?0
,解得
k?
3?13
;
2
(3)若
?ABC?90?,
即
BC?AB
,也就是
BC?AB?0,
而
BC?
?
?1,k?3
?
,故
?2?3
?k?3
?
?0
,解得
k?
3?13
11211
或
k?.
.
综合上面讨论可知,
k??
或
k?
2
333
??
例题4 已知向量m=(1,1),向量
n
与
向量
m
夹角为
?
,且
m
·
n
=-1,求向
量
n
;
??
3
x?y
?
2
解:设
n
=(x,y)
则由<
m
,
n
>=
?
得:cos<
m
,<
br>n
>=
mn
= ①
??
??
4
22<
br>2
2?x?y
m
?
n
???
??
3
4
???
??
???
?
x?0
?
x??1
由
m
·
n
=-1得x+y=-1
②联立①②两式得
?
或
?
∴
n
=(0,-1)或(-1,0)
?
?
y??1
?
?
y?0
例题7
已知向量
a?(mx,?1),b?(
为锐角,求实数x的取值范围.
2
1
(m为常数),且
a
,
b
不共线,若向量
a,
b
的夹角<
a
,
b
>
,x)
mx?1
解:要满足<
a,b
>为锐角
只须
a?b
>0且
a?
?
b
(
?
?R)
mx
2
mx
2
?mx
2
?x
x
a?b
= =即 x (mx-1) >0
?x
=
?0
mx?1mx?1
mx?1
11
1°当 m >
0时x<0 或
x?
2°m<0时,x ( -mx+1) <0
,
x?或x?0
3°m=0时 只要x<0
mm
11
综上所述:x > 0时,
x?(??,0)?(,??)
x =
0时,
x?(??,0)
x < 0时,
x?(??,)?(0,??)
mm
例题9 已知向量
a?(cos
?
,sin
?
)
,
b?(cos
?
,sin
?
)
,
a?
b?
(Ⅰ)求
cos(
?
?
?
)
的值;(
Ⅱ)若
0?
?
?
解(Ⅰ)
25
.
5
?<
br>2
,
?
?
2
?
?
?0
,且
sin
?
??
5
,求
sin
?
的值.
1
3
a?
?
cos
?
,sin
?
?
,b?<
br>?
cos
?
,sin
?
?
,
?a?b??
cos
?
?cos
?
,sin
?
?sin<
br>?
?
.
25
,
?
5
a?b??
cos
?
?cos
?
?
?
?
sin
?
?sin
?
?
43
.
?cos
?
?
?
?
?
?
.
55
22
?
25
,
5
s?
?
?
?
即
2?2co
?
?
(Ⅱ)
22
512
sin
?
??
,
?cos
?
?.
1313
0?
?
?
?
,?
?
?
?
?0,?0?
?
?
?
?
?
.
34
cos
?
?
?
?
?
?
,
?
sin
?
?
?
?
?
?.
55
?sin
?
?si
?
n
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
sin
?
?
?
?
6
co<
br>?
s?
?
co
?
s?
?
?
s
?
in
平面向量易错题解析
?
4123
?
5
?
33
???
?
?
?
?.
5135
?
13
?
65
基础练习题
1、
设平面向量
a
=(-2,1),
b
=(λ,-1),若
a
与
b
的夹角为钝角,则λ的取值范围是( )
A、
(?,2)?(2,??)
B、
(2,??)
C、
(?,??)
D、
(??,?)
答案:A
点评:易误选C,错因:忽视
a
与
b
反向的情况。
2、O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足
1
21
2
1
2
OP?OA?
?
(
AB
|A
B|
?
AC
|AC|
),
?
?[0,??)
,则P
的轨迹一定通过△ABC的( )
(A)外心 (B)内心 (C)重心
(D)垂心
正确答案:B。错误原因:对
OP?OA?
?
(
AB<
br>|AB|
?
AC
|AC|
),
?
?[0,??)理解不够。不清楚
AB
|AB|
?
AC
|AC|
与∠BAC的角平分线有关。
3、若向量
a
=(cos?,sin?) ,
b
=
?
cos
?
,sin
?
?
,
a
与
b
不共线,则
a
与
b
一定满足(
)
A.
a
与
b
的夹角等于?-?
B.
a
∥
b
C.(
a
+
b
)?(
a
-
b
) D.
a
⊥
b
正确答案:C 错因:不能把
a
、<
br>b
的终点看成是上单位圆上的点,用四边形法则来处理问题。
4、已知O、A、B三点的坐标分别为O(0,0),A(3,0),B(0,3),是P线段AB上且
AP
=t
AB
(0≤t≤
1)则
OA
·
OP
的最大值为( )
A.3 B.6 C.9 D.12
正确答案:C
错因:不能借助数形结合直观得到当?OP?cos?最大时,
OA
·
OP
即为最大。
5、在
?ABC
中,
a?5,b?8,C?60?
,则
BC?CA
的值为 ( )
A 20 B
?20
C
203
D
?203
错误分析:错误认为
BC,CA?C?60?
,从而出错. 答案: B略解:
由题意可知
BC,CA?120?
,
故
BC?CA
=
BC
?CA?cosBC,CA?5?8?
?
?
6、已知向量
a
=(2cos?,2sin?),??(
2
A.
?
-?
3
?
1
?
?
??20
.
?
2
?
?
,
?
),
b
=(0,-1),则
a
与
b
的夹角为( )
2
B.
?
+?
2
C.?-
7
?
2
D.?
平面向量易错题解析
正确答案:A
错因:忽略考虑
a
与
b
夹角的取值范围在[0,?]。
7、如果
a?b?a?c,且a?0
,那么
( )
A.
b?c
B.
b?
?
c
C.
b?c
D.
b,c
在
a
方向上的投影相等
正确答案:D。错误原因:对向量数量积的性质理解不够。
8、已知向量
OB?(2
,0),OC?(2,2),CA?(2cosa,2sina)
则向量
OA,OB
的
夹角范围是( )
A、[π12,5π12] B、[0,π4]
C、[π4,5π12] D、 [5π12,π2]
正确答案:A错因:不注意数形结合在解题中的应用。
9、设
a
=(x1
,y
1
),
b
=(x
2
,y
2),则下列
a
与
b
共线的充要条件的有( )
① 存在
一个实数λ,使
a
=λ
b
或
b
=λ
a
;
② |
a
·
b
|=|
a
| |
b
|;③
x
1
y
1
; ④
(
a
+
b
)(
a
-
b
)
?
x
2
y
2
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
答案:C点评:①②④正确,易错选D。
10
、以原点O及点A(5,2)为顶点作等腰直角三角形OAB,使
?A?90
,则
AB
的坐标为( )。
A、(2,-5) B、(-2,5)或(2,-5)
C、(-2,5) D、(7,-3)或(3,7)
正解:B设
AB?(x,y
)
,则由
|OA|?|AB|?5?2?
22
?
x
2
?y
2
①
而又由
OA?AB
得
5x?2y?0
②由①②联立得
x?2,y??5或x??2,y?5
。
?AB?(2,?5)或(-2,5)
误解:公式记忆不清,或未考虑到联立方程组解。 11、设向量
a?(x
1
,y
1
),b?(x
2
,y
2
)
,则
x
1
y
?
1
是<
br>ab
的( )条件。
x
2
y
2
A、充要
B、必要不充分 C、充分不必要 D、既不充分也不必要
正解:
C若
x
1
y
?
1
则
x
1
y
2
?x
2
y
1
?0,?ab
,若
ab
,
有可能
x
2
或
y
2
为0,故选C。
x
2
y
2
x
1
y
?
1
,此式是否成立,未考虑
,选A。
x
2
y
2
误解:
ab
?
x1
y
2
?x
2
y
1
?0
?
1
2、在
?
OAB中,
OA?(2cos
?
,2sin
?),OB?(5cos
?
,5sin
?
)
,若
OA?O
B??5
,
则
S
?OAB
=(
)A、
3
B、
353
C、
53
D、
22
正解:D。∵
OA?
OB??5
∴
|OA|?|OB|?cosV??5
(LV为
OA
与
OB
的夹角)
8
平面向量易错题解析
?2cos
?
?
2
?(2sin
?
)
2
?
∴
cosV?
(5cos
?
)
2
?
?<
br>5sin
?
?
?cosV??5
2
153
3
1
∴
sinV?
∴
S
?OAB
?|OA|?|O
B|?sinV?
22
2
2
误解:C。将面积公式记错,误记为<
br>S
?OAB
?|OA|?|OB|?sinV
13、设平面向量a
?(?2,1),b?(
?
,?1),(
?
?R)
,
若
a
与
b
的夹角为钝角,则
?
的取值范围是
1
2
( )A、 B、(2,+
?)
C、(—
,
D、(-
?,
(?,2)?(2,??)??)?)
错解:C
错因:忽视使用
a?b?0
时,其中包含了两向量反向的情况 正解:A
14、设
a,b,c
是任意的非零平面向量且互不共线,以下四个命题:
1
2
1
2
??
③
?
b?c
?
?a?
?
c?a
?
?b不与c垂直
④若
a?b,则a?b与c
不平行
①
(a?b)?c?c?a?b?0
②
a?b?a?b
其中正确命题的个数是
( )
A、1个 B、2个 C、3个
D、4个
正确答案:(B)错误原因:本题所述问题不能全部搞清。
15、若向量
a
=
?
x,2x
?
,
b
=
?
?3
x,2
?
,且
a
,
b
的夹角为钝角,则
x
的取值范围是______________.
?
?
?
?
?
?
?
?
错误分
析:只由
a,b
的夹角为钝角得到
a?b?0,
而忽视了
a?b?0
不是
a,b
夹角为钝角的充要条件,因
?
?
?
?<
br>?
为
a,b
的夹角为
180
时也有
a?b?0,从而扩大
x
的范围,导致错误.
?
?
2
正确解法:
?
a
,
b
的夹角为钝角,
?a?
b?x?
?
?3x
?
?2x?
2??3x?4x?0
?
?
41
解得
x?0
或
x?
(1) 又由
a,b
共线且反向可得
x??
(2)
33
由(1),(2)得
x
的范围是<
br>?
?
??,?
?
?
?
?
?
?
1
?
3
?
?
1
??
4
?
,0<
br>?
?
?
,??
?
?
3
??
3
?
答案:
?
?
??
,?
?
?
?
?
?
?
1
?
3
?
?
1
??
4
?
,0
?
?
?<
br>,??
?
.
?
3
??
3
?
16、
已知平面上三点A、B、C满足
|AB|?3,|BC|?4,|CA|?5,则AB?BC?BC?C
A?CA?AB
的值等于
C
( )A.25 B.24
C.-25 D.-24
9
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