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975_高二数学竞赛辅导:曲线系

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-14 20:02
tags:高中数学补习

高中数学必修一到四知识点总结-高中数学符号 任意



曲线系
曲线系是具有某种性质的曲线集合,利用曲线系解题体现了参数 变换的数学思想,整体处理的钥匙策略,
以及“基本量”和“待定系数”等重要的解题方法。
结论1: 如果两条曲线方程是 f
1
(x,y)=0 和 f
2
(x,y)=0, 它们的交点是P(x
0
,y
0
),则
方程 f
1
(x,y)+λf
2
(x,y)=0的曲线也经过P(x
0
,y
0< br>) (是任意常数).
?
f
1
(x,y)?0
此结论即由联 立方程
?
?
f
2
(x,y)?0
(1)
(2)
得到
f
1
(x,y)?
?
f
2
(x,y)?0(3)

只须将(x
0
,y
0
)代入(3),可立即证明。
有了这 个结论,有些题目可快速求解。过两圆交点的公共弦所在直线方程就是将两圆方程联立消去二次
项所得方 程。
曲线系方程(3)不能包含过两曲线(1)(2)公共点的所有曲线,那么使用时怎么知道所求方 程在不在方程(3)
中呢?
mf
1
(x,y)+nf
2
(x,y)=0
一般,我们对 所求方程结果的形式应该认识,所构造的方程中有所求结果的形式就可用,否则不可用。有三点
是可以肯 定的:
I. 如果(1)(2)是直线,则(3)是直线;
II.如果(1)(2)是圆,则(3)是圆或公共弦所在直线方程。
将此推广,可得
III. 如果(1)是圆,(2)是直线,则(3)是圆。
①设圆C
1
∶ x+y+D
1
x+E
1
y+F
1
=0和圆C
2∶x+y+D
2
x+E
2
y+F
2
=0.若两圆相交,
则过交点的圆系方程为x+y+D
1
x+E
1
y+F
1+λ(x+y+D
2
x+E
2
y+F
2
)=0
(λ为参数,圆系中不包括圆C
2
,λ=-1为两圆的公共弦所在直线方程).
< br>②设圆C∶x+y+Dx+Ey+F=0与直线
l
:Ax+By+C=0,若直线与圆相 交,
则过交点的圆系方程为x+y+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ为参数).

22
22
2222
2222

例如:求经过两圆x
2
+y
2
+6x?4=0和x
2
+y
2
+6y?2 8=0的交点,并且圆心在直线x?y?4=0上的圆的方程.
2222
解: 构造方程 x+y+6x?4+λ(x+y+6y?28)=0
即 (1+λ)x
2
+(1+λ)y
2
+6x+6λy?(4+28λ)=0
33
?
,?)
此方程的曲线是过已知两圆交点的圆,且圆心为
(?
1?
?
1?
?
?33
?
??4?0,得
?
??7.
当该圆心在直线x?y?4=0上时,即
1?
?
1?
?
22
∴ 所求圆方程为 x+y?x+7y?32=0

例如:求证:两椭圆b
2
x
2+a
2
y
2
=a
2
b
2
, a
2
x
2
+b
2
y
2
=a
2
b< br>2
的交点在以原点为中心的圆周上,并求这个圆方程。
解:设(b
2
x
2
+a
2
y
2
-a
2
b
2)+?(a
2
x
2
+b
2
y
2
-a< br>2
b
2
)=0
令?=1
第 1 页 共 4 页



将已知的两椭圆方程相加,得
x?y?
22
2ab
2
22
2
a?b

此方程为以原点为圆心的圆的方程,由曲线系知识知该圆过已知两椭圆的交点。
即原题得证。
注意:由以上分析可以看出,利用曲线系解题,可以快速求解,但有时却是失效的.

222
例如:求以圆x+y=5与抛物线y=4x的公共弦为直径的圆的方程.
22
?
?
x?y?5
常规解法:联立方程
?
< br>2
?
?
y?4x
解得
?
x
1
?1< br>;
?
y?2
?
1
?
x
2
?1
.
?
y??2
?
2
以这两点为直径的圆的方程是
(x?1)?y
22
?4

如果用曲线系分析,构造方程
(x
2
?y
2
?5)?
?
(y
2
?4x) ?0


x
2
?(1?
?
)y
2
?4
?
x?5?0
(*)
显然,λ=0不是所求圆方程,而在λ≠0时,方程(*)已不是圆方程了。
∴ 由(*)得不出所求结果。

例如:求与圆x
2
+y
2
- 4x-2y-20=0切于A(―1,―3),且过B(2,0)的圆的方程。
解法一:视A(―1, ―3)为圆(x+1)
2
+(y+1)
2
=r
2
,当r→0 时,极限圆(x+1)
2
+(y+3)
2
=0
构造圆系:( x
2
+y
2
―4x―2y―20)+?[(x+1)
2
+( y+3)
2
]=0
∵曲线过B(2,0)
∴?=
4
3

∴所求的方程为:7x
2
+7y
2
-4x+18y-20=0
解法二:过A(―1,―3)的圆的切线为:3x+4y+15=0与已知圆构造圆系:
x
2
+y
2
-4x-2y-20+?(3x+4y+15)=0
∵曲线过B(2,0)
∴?=
8
7

l
l
2
y
P(-1,1)
O
M
Q(2,2)
l
1
∴所求的方程为:7x
2
+7y
2
-4x+18y-20=0

一般地。取曲线方程中的特征量(如直线方程中的斜率k,截距b等)
为变数时,便 可得出曲线系。
例1已知有向线段PQ的起点P的终点Q的坐标分别为(-1,1)和(2,2),< br>若直线l:x+my+m=0与PQ的延长线相交,求m的取值范围。
分析:直线l变形为x= 0(m=0)或y=-

1
m
1
m
x-1(m≠0)是过( 0,-1)斜率为
x
的直线,只须找到与Q点相交、与PQ平行的直线的夹角范围即
可。
解: ∵x+my+m=0
第 2 页 共 4 页



∴直线l经过M(0,-1)

1
3
<-
1
m< br><
3
2
?-32
3

学生思考:用定比分点的思想可以吗?
例2平面上有两个圆,它们的方程分别是x
2
+y
2
=16和x
2
+y
2
-6x+8y+24= 0,求这两个圆的内公切线方程。
分析:由x
2
+y
2
-6x+8 y+24=0?(x-3)
2
+(y+4)
2
=1,显然这两圆的关系是外切 。
解: ∵x
2
+y
2
-6x+8y+24=0?(x-3)2
+(y+4)
2
=1
∴这两圆是外切
∴(x
2< br>+y
2
-6x+8y+24)-(x
2
+y
2
-16 )=0?3x-4y-20=0
∴所求的两圆内公切线的方程为:3x-4y-20=0
2 222
学生注意:对于不同心的两个圆C
1
:x+y+D
1
x+E< br>1
y+F
1
=0, C
2
:x+y+D
2
x +E
2
y+F
2
=0,圆系方程C
1
+?C
2=0
例3求证:如果两条抛物线有四个交点且对称轴垂直,则此四点共圆。
分析:证明四点共圆,可以利用曲线系,得出一个四点满足的圆的方程即可。
证明:取一条抛物线的顶点为原点,对称轴为x轴,则它的方程为:y=2px ①
∴另一条抛物线的方程为:(x-a)
2
=2k(y-b) ②
∴①+②得:y
2
+(x-a)
2
-2px-2k(y-b)=0 ③
∵若①和②有四个解,即两条抛物线有四个交点时,这四个交点坐标一定满足方程③
∴命题成立
例4A、B为定二次曲线ax
2
+bxy+cy
2+ex+fy+g=0 (a≠0)上的两点,过A、B任作一圆,设该圆与定二次曲线交
于另外两点C、D,求证CD有定向。
分析:可以把过A、B的曲线系表示出来,得到C、D满足的方程。
解:取A点为坐标原点,AB为x轴,设B点的坐标为(l,0),不妨假定a=1,
∴ax
2
+bxy+cy
2
+ex+fy+g=0? x
2
+bxy+cy
2
-lx+fy=0 ①
过A、B的圆的方程为:x
2
+y
2
-lx+ky=0 ②
∴过A、B的曲线系方程为:(x
2
+bxy+cy
2
-lx+ fy)+?(x
2
+y
2
-lx+ky)=0
∵曲线也过C、D
∴取?=-1可得y[bx+(c-1)y+(f-k)]=0 ③
∵A、B、C、D的坐标必须满足③
∵C、D不在AB(即x轴)上
∴y≠0
∴CD的方程为:bx+(c-1)y+(f-k)=0
∵b, c-1都是定值
∴直线CD有定向
例5设02
=x有四个不同的交点,当这四个点
共圆时,求这种直线l和m的 交点P的轨迹。
分析:本题的关键是如何利用四点共圆的条件。思路一:设定点的两条直线方程,引进 参数k和k?,代入y
2
=x,
求出四个交点,由三个交点确定一个圆,代入第四点, 化简,或求出定点的两条直线的交点,用相交弦定理求
解,但计算量太大、太烦。思路二:利用直线系和 圆系知识求解。
解:设l的的方程为:y-kx+ka=0, m的的方程为:y-k?x+k?b=0
∴过l,m与y
2
=x的四个不同交点为的 二次曲线的方程为:(y
2
-x)+?(y-kx+ka)( y-k?x+k?b)=0 < br>?(1+?)y
2
-?(k+k?)xy+?kk?x
2
+?(ka+ k?b)y-[?kk?(a+b)+1]x+?kk?ab=0 ①
∵①成为圆的条件是:
?
k?k
?
?0

??
?
1?
?
?
?
kk
2
∴两条直线的 交点坐标为P(
a?bk
2
,
2
(b-a))
∴P点在AB线段的中垂线上
第 3 页 共 4 页



∴点P的轨迹是直线x=
a?b
2
除去与y=0或y=x的三个交点
2
2
例6给定曲线族2(2sin?-cos?+3)x-(8sin?+cos?+1)y =0,?为参数,求该曲线族在直线y=2x上截得的弦长的最
大值。
分析:显然此曲线族是过原点的抛物线系
解:∵曲线族是过原点
∴直线y=2x也过原点
∴曲线族在y=2x上所截得的弦长公取决于曲线族与y=2x的另一个交点的坐标
∴将y=2x代入曲线系得
(2sin?-cos?+3)x-(8sin?+cos?+1)x=0
∵2sin?-c os?+3=
5
sin(?-arctan
∴当x≠0时,x=
2u
u
2
2
1
2
)+3>0

?
2
8sin
?
?cos
?
?1
2sin
?
?cos< br>?
?3
令sin?=
?1
, cos?=
1?u
1?u
2
2
u=tan
∴x=
8u?1
2u
2
?2u?1
?2xu
2
+2(x- 4)u+(x-1)=0
∵u∈R x≠0
∴⊿≥0?[2(x-4)]
2-8x(x-1)≥0?x
2
+6x-16≤0?-8≤x≤2
∴|x|
max
=8
∵y=2x
∴|y|
max
=16
22
∴所求弦长的最大值为
8?16
=8
5

练习:
1、 对于边长a、b、c(对角依次是A、B、C)不定且⊿C是钝角的⊿ABC和 直线l:ax+by+c=0,给出以下四个
命题:①l的倾斜角是钝角;②l不穿过第一象限;③l和 单位圆相切;④l过定点;其中,正确命题的个数
是()。
A.1 B.2 C.3 D.4
2、 在平面直角坐标系中,若方程m(x
2
+y2
+2y+1)=(x-2y+3)
2
表示的曲线为椭圆,则m的取值范围为()
A.(0,1) B.(1,+∞) C.(0,5) D.(5,+∞)
3、 设P
1
、P
2
是抛物线x
2< br>=y的一条弦,如果P
1
P
2
的垂直平分方程是y=-x+3,则弦P
1
P
2
所在直线的方程是
A.y=x+3 B.y=x-3 C.y=x+2 D.无法确定
4、 过圆x
2< br>+y
2
-4x+2y=0的圆心,并且和点A(―1,―2)、B(5,3)距离相等的 直线l的方程是 。
5、 从点A(4,3)向圆(x-2)
2
+( y-1)
2
=1作切线,设两切点分别为M和N,则过点M,怕直线方程是 。
6、 从点A(-1,
1
2
)向圆4x
2
+4y
2
-8x+4y-21=0引两条切线,则过切点弦的方程是 。
7、 对于 任意的a∈R,曲线ax
2
-2xy―ax―y―2a+1=0的所有曲线都经过两个定点,这 两个定点的坐标
是 。
8、 已知k∈R,关于x,y的方程y+4y+(2x+2k x-kx)y+8xy+(4kx-2kx)=0表示一组曲线,其中有一条是固
定的抛物线,试讨论k 值与曲线形状的关系。
答案:
1、B 2、D 3、C 4、x=2或5x―6y―16=0 5、2x+2y-7=0 6、不存在 7、(―1,―1)和(2,
1
5
432223
) 8、
①当k =-1时,表示圆和抛物线;②当k>0且k≠4时,表示双曲线和抛物线;③当k<0且k≠-1时,表示椭< br>圆和双曲线。
第 4 页 共 4 页

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