高中必修课数学辅导

第一章 集合与函数概念
第一节 集 合
一、重点
1、集合 的含义与表示方法，用集合语言表达数学对象或数学内
容；区别元素与集合等概念及其符号表示；用集合 语言（描述法）表
达数学对象或数学内容；集合表示法的恰当选择。
2、子集、真子集的概念 ；元素与子集，属于与包含间的区别；
空集是任何非空集合的真子集的理解；补集的概念及其有关运算。
3、并集、交集的概念及其符号之间的区别与联系。
二、难点
集合表示法的恰当选择。
三、重要概念
1、元素：数学上要研究的单个对象称为元素。
注意：⑴是单个对象。
⑵集合中元素的三个特性：①元素的确定性；②元素的互异性；③元素的无序性。

2、集合：由一些元素组成的总体叫做集合。
注意：元素与总体的区别。
⑴子集： 对于两个集合A，B，如果集合A中的任意一个元素都
是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集。记 作：A
?
B（或B
?
A）。
⑵真子集:如果集合A?B但存在元素 x
∈
B，且x?A，称集合A
集合B的真子集，记作:AB(BA)

⑶空集:不含任何元素的集合叫做空集。记作:

?
。
⑷全集：一个集合中含有研究问题上涉及的所有元素，称这个集
合为全集。记作：U。
四、知识点
1、数学中一些常用的数集及其记法
⑴全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记
作：N。
注意：①为 什么会叫非负整数？我们在初中就已经学过，0既不是正数也
不是负数，它是正数和负数的分界数。根据 1993年颁布的《中华人民共和国国
家标准》（GB 3100-3102-93）《量和单位》（1 1-2.9），规定自然数包括0。②
自然数就是我们常说的正整数和0，整数包括自然数。自然数是一 切等价有限集
合共同特征的标记。③自然数集有加法和乘法运算，两个自然数相加或相乘的结
果 仍为自然数，也可以作减法或除法，但相减和相除的结果未必都是自然数，所
以减法和除法运算在自然数 集中并不是总能成立的。
⑵所有正整数组成的集合称为正整数集，记作:N
*
或N
+
；
想一想：为什么会叫正整数？
⑶全体整数组成的集合称为整数集，记作：Z；
想一想：整数集的元素中有0吗？
⑷全体有理数组成的集合称为有理数集，记作：Q；
⑸全体实数组成的集合称为实数集，记作：R。
2、集合的表示方法及概念：
⑴列举法：把集合一一列举出来的方法。

⑵描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法。
⑶图示法: 用一条封闭曲线（内部区域）直观地表示集合及其关
系方法。
⑷数轴法:用数轴描述一个集合特征的方法。
3、元素与集合的关系：
元素与集合的关系有两种：属于（
∈
）和不属于（?）。
4、集合间的关系：
子集、相等、真子集。通俗的讲，集合间的关系就是包含、包含
于、不包含三种关系。
⑴“包含”关系—子集
注意：
A?B
有两种可能①A是B的一部分；②A与B是同一集合。
?
B或B
?
?
A 反之： 集合A不包含于集合B,或集合B不包含 集合A,记作A
?
⑵“相等”关系
(5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元
素相同”。
结论：对于两个 集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B
的任何一个元素都是集合A的 元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B
注意：⑴任何一个集合是它本身的子集；⑵空集是任何 集合的子集，空集是
任何非空集合的真子集；⑶如果 A?B, B?C ,那么 A?C；⑷如果A?B 同时 B?A 那么A=B。

5、集合的基本运算：
运算
类型
交 集 并 集 补 集

定



义
韦
恩
图
示
由所有属于A且属于B
的元素所组成的集合,
叫做A,B的交集．记作< br>A∩B（读作‘A交B’），
即A∩B=｛x|x
?
A，且
x
?
B｝．
由所有属于集合A或属于
集合B的元素所组成的集
合，叫做A,B 的并集．记
作：A∪B（读作‘A并B’），
即A∪B ={x|x
?
A，或
x
?
B})．
一个集合A，由全集U 中不
属于集合A的所有元素组
成的集合称为集合A相对
于全集U的补集(或余集)。< br>记作：C
U
A，
即C
U
A ={x|
?
U且x
?
A}
A
B
A
B
图1

图2

图3

(C
U
A)∩(C
U
B)= C
U
(A∪B)
(C
U
A)∪(C
U
B)=C
U
(A∩B)
A∪(C
U
A)=U
A∩(C
U
A)= Φ
性
A∩A=A



质
A∩Φ=Φ
A∩B=B∪A
A∩B
?
A
A∩B
?
B
A∪A=A
A∪Φ=A
A∪B=B∪A
A∪B
?
A
A∪B
?
B
6、集合的分类：
集合分为：有限集、无限集、空集三类。
五、小结：
集合是高中数学的基本知识， 为历年必考内容之一，主要考查对
集合基本概念的认识和理解，以及作为工具，考查集合语言和集合思< br>想的运用.本节主要是帮助考生运用集合的观点，不断加深对集合概
念、集合语言、集合思想的理 解与应用。
六、技巧
1、解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合
中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线
前面的代表元素x以及它 所具有的性质P；要重视发挥图示法的作用，
通过数形结合直观地解决问题。
2、注意空集< br>?
的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，

要考虑到空集的可能性 ，如A
?
B,则有A=
?
或A≠
?
两种可能，此时
应分类讨论。
3. 注意集合下列性质：
⑴集合{a1,a2,……an}的所有子集的个数是2n；
⑵若A
?
B<=> A∩B=A，那么A∪B=B；
⑶德摩根定律：
CU(A∪B)=(CUA)∩(CUB)，CU(A∩B)=(CUA)∪
(CUB)。
七、举例
［例1］设A={(x,y)|y
2
－x－1=0},B={(x ,y)|4x
2
+2x－2y+5=0},C={(x,y)|y=kx+b},是否存在k、
b∈N,使得(A∪B)∩C=
?
，证明此结论.
命题意图：本题主要考查 考生对集合及其符号的分析转化能力，即能从集合符号上分辨
出所考查的知识点，进而解决问题. 知识依托：解决此题的闪光点是将条件(A∪B)∩C=
?
转化为A∩C=
?且B∩C=
?
，这
样难度就降低了.
错解分析：此题难点在于考生对符 号的不理解，对题目所给出的条件不能认清其实质内
涵，因而可能感觉无从下手.
技巧与方法 ：由集合A与集合B中的方程联立构成方程组，用判别式对根的情况进行
限制，可得到b、k的范围，又 因b、k∈N,进而可得值.
解：∵(A∪B)∩C=
?
，∴A∩C=
?< br>且B∩C=
?

?
y
2
?x?1
∵
?
∴k
2
x
2
+(2bk－1)x+b
2
－1=0
?
y?kx?b
∵A∩C=
?

∴
Δ
1< br>=(2bk－1)
2
－4k
2
(b
2
－1)<0 < br>∴4k
2
－4bk+1<0,此不等式有解，其充要条件是16b
2
－ 16>0,即b
2
>1 ①
?
4x
2
?2x?2y?5?0
∵
?

?
y?kx?b
∴4x
2
+(2－2k)x+(5+2b)=0 < br>∵B∩C=
?
,∴
Δ
2
=(1－k)
2
－4 (5－2b)<0
∴k
2
－2k+8b－19<0,从而8b<20,即b<2.5 ②
由①②及b∈N,得b=2代入由
Δ
1
<0和
Δ
2<0组成的不等式组，得
2
?
?
4k?8k?1?0,
?
2
?
?
k?2k?3?0
∴k=1,故存在自然数k=1,b =2,使得(A∪B)∩C=
?
.

［例2］向50名学生调查对A、 B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体
的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多 3人，其余的不赞成；另外，对A、B
都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人. 问对A、B都赞成的学生和
都不赞成的学生各有多少人？
命题意图：在集合问题中，有一些常 用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考
生切实掌握.本题主要强化学生的这种能力.
知识依托：解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表示出来.
错解分析：本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头绪，不好找线索.

技巧与方法：画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系.
3
=30，赞成B的 人数为30+3=33，如上图，记50名学生组
5
成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集 合A；赞成事件B的学生全体为集合B.
x
设对事件A、B都赞成的学生人数为x,则对A、 B都不赞成的学生人数为+1,赞成A而
3
不赞成B的人数为30－x，赞成B而不赞成A的人 数为33－x.
x
依题意(30－x)+(33－x)+x+(+1)=50,解得x=21.
3
所以对A、B都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人.
解：赞成A的人数为50×

第二节 函数及其表示
一、重点
在 对应的基础上理解函数的概念并能理解符号“
y
=
f
（
x
） ”的
含义，掌握函数定义域与值域的求法； 函数的三种不同表示的相互
间转化，函数的解析式 的表示，理解和表示分段函数；函数的作图及
如何选点作图，映射的概念的理解；函数的模型化思想，用 集合与对
应的语言来刻画函数。
二、难点
1、函数定义域与值域的求法；

2、符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；
3、函数的模型化。
三、重要概念
1、函数：设A、B是非空数集，如果按照某种 确定的对应关系
f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数
f(x)和 它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，
记作：y=f(x),x
∈A< br>（简单的说：函数是“两个数集间的一种确定的对
应关系）。
其中x叫自变量，x的取 值范围A，叫做函数的定义域；与x相对应
的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x
∈
A}叫函数的值域.
注意：⑴如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函 数的定
义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合； 函数的定义域、值域要写成集
合或区间的形式．
⑵关于定义域:能使函数式有意义的实数x的 集合称为函数的定义域，
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：①分式的分母不等于零；②偶次方
根的被开方数不小于零；③对数式的真数必须大于零；④指数、对数式的底必须
大于零且不等于 1；⑤如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那
么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合；⑥指数为零底不可以
等于零；⑦实际问题中的函数的定义域还要保证其对实际问题有意 义。
⑶求出不等式组的解集即为函数的定义域。
⑷构成函数三个要素是定义域、对应关系和 值域．由于值域是由定义
域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称

这两个函数相等（或为同一函数）。
⑸两个函数相等当且仅当它们的定义域和 对应关系完全一致，而与表
示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义 域
一致 (两点必须同时具备)。
⑹关于值域：①函数的值域取决于定义域和对应法则，不论 采取什么
方法求函数的值域都应先考虑其定义域；②必须熟悉掌握一次函数、以及以后要
学到的 二次函数、指数、对数函数、各三角函数的值域，它是求解各种复杂函数
值域的基础。

2、映射：设A、B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的
对应关系f，使对于集合A中的任意一 个数x，在集合B中都有唯一
确定的数y与之对应，那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射.
3、分段函数：已知函数定义域被分成有限个区间，若在各个区
间上表示对应 规则的数学表达式一样，但单独定义各个区间公共端点
处的函数值；或者在各个区间上表示对应规则的数 学表达式不完全一
样，则称这样的函数为分段函数。其中定义域所分成的有限个区间称
为分段区 间，分段区间的公共端点称为分界点。
注意：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数 值几种不
同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况。
四、知识点
1、函数的三种表示法：
⑴解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。

⑵图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系。
注意：函数图象既可以是曲线、也可以是直线、折线、离散点等等。
⑶列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系。
2、区间：
⑴区间的分类：闭区间、开区间、半开半闭区间；
⑵无穷区间；
注意：对区间的三种（不等式法、集合法、数轴法）表示方法应熟练掌握、
并能正确应用。
五、小结
函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型，是高中数学的另
一个重要基 本知识，它是学习高中数学其他知识重要基础，同样是历
年高考必考重点内容之一。是我们解决学习和实 践中各种具体问题的
重要基础。
六、技巧
(本节仅仅是对函数的初步认识，解答函数题的技巧将在第三节
指导)
七、举例
（本节仅仅是对函数的初步认识，故举例略）

第三节 函数的基本性质
一、重点
函数的单调性及其几何意义。

二、难点
1、利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性；
2、函数值域的求解方法；
3、奇偶性与单调性的判定。
三、重要概念
1、函数的单调性：如果函数y=f( x)在某个区间上是增函数或是减
函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性， 区间
D叫做y=f(x)的单调区间。
注意：⑴函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性 质，是函数的局部性
质；⑵必须是对于区间D内的任意两个自变量x
1
，x
2
；当x
1
2
时，总有
f(x
1
)2
)。
2、增函数：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义
域I内的某个区间D内的任意两个自变量x
1
，x
2
，当x
1
2
时，都有
f(x
1
)2
)，那么就说f(x)在区间D上是增函数。
3、减函数：一般地，设函数y=f(x)的定义域为< br>I
，如果对于定义
域I内的某个区间D内的任意两个自变量x
1
，x< br>2
，当x
1
2
时，都有
f(x
1
)＞f(x
2
)，那么就说f(x)在区间D上是增函数。
4、最大值：一般地， 设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数
M满足：⑴对于任意的x
∈
I，都有 f(x)≤M；⑵存在x
0
∈
I
，使得f(x
0
)
= M，那么，称M是函数y=f(x)的最大值。
想一想：最小值应该如何定义？
注意：⑴函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得
f
(
x< br>0
)

= M；⑵函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即 对于任意的x∈
I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）。
5、偶函数：一般地，对于函数f (x)的定义域内的任意一个x，都
有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数。
6、奇函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都
有f(－x)=f(x)，那么f (x)就叫做奇函数。
注意：⑴函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；⑵由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，
对于定义域内的任意 一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域
关于原点对称）。
四、知识点
1、用函数单调性定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性
的一般步骤：


⑴任取x1，x2∈D，且x1 ⑵作差f(x1)－f(x2)；
⑶变形（通常是因式分解和配方）；
⑷定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
⑸下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）。
2、用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法



⑴用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；
⑵用图象求函数的最大（小）值；
⑶用函数单调性的判断函数的最大（小）值。

注意：如果函数y=f (x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减
则函数y=f(x)在x=b处有最 大值f(b)；
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则 函数y=f(x)
在x=b处有最小值f(b)。

3、具有奇偶性的函数的图象的特征
⑴偶函数的图象关于y轴对称；
⑵奇函数的图象关于原点对称。
4、用函数的奇偶性定义判断函数奇偶性的格式步骤：
⑴药确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
⑵药确定f(－x)与f(x)的关系；
⑶药作出相应结论：
若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，则f(x)是偶函数；
若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，则f(x)是奇函数。
注意：函数 具有奇偶性的一个必要条件是：定义域关于原点对称，所以
判断函数的奇偶性应应首先判断函数的定义域 是否关于原点对称，若不是即可断
定函数是非奇非偶函数。
5、利用函数的奇偶性补全函数的图象的规律：
偶函数的图象关于y轴对称；
奇函数的图象关于原点对称。
注意：这也可以作为判断函数奇偶性的依据。
6、函数的奇偶性与单调性的关系：
偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；

奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致。
五、小结
本节主要学 习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方
法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性 时，必须注意首
先判断函数的定义域是否关于原点对称。单调性与奇偶性的综合应用
是本节的一 个难点，需要结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性
这两个性质。
六、技巧
1 、函数的单调性：一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画
函数图象通常借助计算机，求函数的单调 区间时必须要注意函数的定
义域，单调性的证明一般分五步：取值→作差→变形→定号→下结论。
2、函数值域求解难点所涉及的问题及解决的主要方法：
(1)求函数的值域
此类 问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、
单调性法、图象法、换元法、不等式法等。 无论用什么方法求函数的
值域，都必须考虑函数的定义域。
(2)函数的综合性题目
此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基
本知识相结合的题目。此类问题要求我 们具备较高的数学思维能力和
综合分析能力以及较强的运算能力。在今后的高考命题趋势中综合性
题型仍会成为热点和重点，并可能逐渐加强。
(3)运用函数的值域解决实际问题

此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识
去解决.此类题要求考生具有较 强的分析能力和数学建模能力。
3、奇偶性与单调性判定类题目
函数的单调性、奇偶性是高 考的重点内容之一，考查内容灵活多
样，深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调
函数与奇偶函数的图象具有重要的学习意义和现实意义。
(1)判断函数的奇偶性与单调性
若为具体函数，严格按照定义判断，注意变换中的等价性。
若为抽象函数，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的
科学性、合理性。
同时，注意判断与证明、讨论三者的区别，根据后面的例题，认
真体会，做好数与形的统一。
复合函数的奇偶性、单调性。问题的解决关键在于：既把握复合
过程，又掌握基本函数。 (2)加强逆向思维、数形统一.正反结合解决基本应用题目，下一
节我们将展开研究奇偶性、单调 性的应用。
⑶在利用函数的奇偶性和单调性解决实际应用问题的过程中，往
往还要用到等价转 化和数形结合的思想方法，把问题中较复杂、抽象
的式子转化为基本的简单的式子去解决。特别是：往往 利用函数的单
调性求实际应用题中的最值问题。
七、举例
［例1］设计一幅宣传画，要求画面面积为4840 cm
2
,画面的宽与高的比为< br>λ
(
λ
<1),画面
的上、下各留8 cm的空白，左右各留5 cm 空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，才能使宣传

画所用纸张面积最小？如果要求
λ
∈［
,
23
］，那么
λ
为何值时，能使宣传画所用纸张面 积
34
最小？
命题意图：本题主要考查建立函数关系式和求函数最小值问题，同时考 查运用所学知识
解决实际问题的能力。
知识依托：主要依据函数概念、奇偶性和最小值等基础知识。
错解分析：证明S(
λ
)在区间［
,
23
］上的单调性容易出错，其次不易把应用问题转化
34
为函数的最值问题来解决。
技巧与方法：本题属于应用问题，关键是建立数学模型，并把 问题转化为函数的最值问
题来解决。
解：设画面高为x cm,宽为
λ
x cm,则
λ
x
2
=4840,设纸张面积为S cm
2
,则 S=(x+16)(
λ
x+10)=
λ
x
2
+(16
λ
+10)x+160,将x=
2210
?
代入上式得：S=5000+4 4
10
(8
?
+
5
?
),当8
?
=
5
?
,
即
λ
=
(
<1)时S取得最小 值.此时高：x=
如果
λ
∈［
,
55
88
4840
?
=88 cm,宽：
λ
x=
5
×88=55 cm. < br>8
2323
］可设≤
λ
1
<
λ
2
≤ ,则由S的表达式得：
34
34
5
S(
?
1
)? S(
?
2
)?4410(8
?
1
?
?4410(< br>?
1
?
?
2
)(8?
5
?
1
)
?8
?
2
?
5
?
2
)
?
1
?
2
又
?
1
?
2
≥5
25
>0,
?
,故8－
38
?
1
?
2
∴S(
λ
1
)－S(
λ
2
)<0,∴ S(
λ
)在区间［
,
从而对于
λ
∈［
,
2 3
］内单调递增.
34
232
］,当
λ
=时，S(
λ
)取得最小值.
3
34
232
］,当
λ
=
3
34
答：画面高为88 cm,宽为55 cm时，所用纸张面积最小.如果要求
λ
∈［
,
时，所用纸张面积最小。 < br>x
2
?2x?a
［例2］已知函数f(x)=,x∈［1,+∞
)
x
1
(1)当a=时，求函数f(x)的最小值.
2
(2) 若对任意x∈［1,+∞
)
,f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围.
命题意图：本题主要考查函数的最小值以及单调性问题，着重于综合分析能力以及运算
能力。
知识依托：本题主要通过求f(x)的最值问题来求a的取值范围，体现了转化的思想与分
类讨 论的思想.

错解分析：不易考虑把求a的取值范围的问题转化为函数的最值问题来解决.
技巧与方法：解法一运用转化思想把f(x)>0转化为关于x的二次不等式；解法二运用分
类讨论思想 解得。
11
时，f(x)=x++2
2
2x
∵f(x)在区间［1，+∞
)
上为增函数，
( 1)解：当a=
∴f(x)在区间［1，+∞
)
上的最小值为f(1)=
7< br>.
2
x
2
?2x?a
(2)解法一：在区间［1，+∞)
上，f(x)= >0恒成立
?
x
2
+2x+a>0恒成立.
x
设y=x
2
+2x+a,x∈［1,+∞
)

∵y=x
2
+2x+a=(x+1)
2
+a－1递增，
∴ 当x=1时，y
min
=3+a,当且仅当y
min
=3+a>0时，函数f (x)>0恒成立，故a>－3.
a
+2,x∈［1,+∞
)

x
当a≥0时，函数f(x)的值恒为正；
当a<0时，函数f(x)递增，故当x=1时，f(x)
min
=3+a,
当且仅当f(x)
min
=3+a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>－3。
1
［例3］已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f()=－1,当且仅当02
x?y
意x、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f (),试证明：
1?xy
(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1，1)上单调递减.
命题意图：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力。
知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想。
错解分析：本题对思维能力要求 较高，如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果
很难获得。
解法二：f(x)=x+< br>技巧与方法：对于(1)，获得f(0)的值进而取x=－y是解题关键；对于(2)，判定
的范 围是焦点。
x
2
?x
1
1?x
1
x
2< br>x?y
x?x
),令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－x )=f()=f(0)=0.
1?xy
1?x
2
∴f(x)=－f(－x). ∴f(x)为奇函数.
(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减.
证明：(1)由f( x)+f(y)=f(
令01
2
<1,则f(x
2
)－f(x
1
)=f(x
2
)－f(－x
1
)=f (
x
2
?x
1
)
1?x
1
x
2
∵01
2
<1,∴x
2
－x
1< br>>0,1－x
1
x
2
>0，∴
又(x
2
－x
1
)－(1－x
2
x
1
)=(x
2
－1) (x
1
+1)<0
∴x
2
－x
1
<1－x
2
x
1
,
x
2
?x
1
>0,
1?x
2
x
1

∴0<
x
2
?x
1
x?x
1<1,由题意知f(
2
)<0，
1?x
2
x
1
1?x
1
x
2
即f(x
2
)1
).
∴f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0.
∴f(x)在(－1，1)上为减函数.
［例4］设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并 在区间(－∞,0)内单调递增，
f(2a
2
+a+1)2
－2a+1).求a的取值范围，并在该范围内求函数y=(
间.
命题意图：本题主要考查函数奇偶性、单调性的基本应用以及对复合函数单调性的判定
方法。
知识依托：逆向认识奇偶性、单调性、指数函数的单调性及函数的值域问题。
错解分析：逆向思维受阻、条件认识不清晰、复合函数判定程序紊乱。
技巧与方法：本题属于 知识组合题类，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，通过
本题会解组合题类，掌握审题的一般技巧 与方法。
解：设01
2
,则－x
2
<－ x
1
<0，∵f(x)在区间(－∞,0)内单调递增，
∴f(－x
2)1
),∵f(x)为偶函数，∴f(－x
2
)=f(x2
),f(－x
1
)=f(x
1
),
∴f(x
2
)1
).∴f(x)在(0，+∞)内单调递减.
1
a
2
?3a?1
)的单调递减区
2
1712
又2a
2
?a?1?2(a?)
2
??0,3a
2
?2a?1?3(a?)
2
??0.

4833
由f(2a
2
+a+1)< f(3a
2
－2a+1)得：2a
2
+a+1>3a
2
－2 a+1.解之，得035
又a
2
－3a+1=(a－)
2
－.
24< br>1
2
3
∴函数y=()
a?3a?1
的单调减区间是［，+∞ ］
22
3
2
3
结合0a?3a ?1
的单调递减区间为［，3)。
22
［例5］已知奇函数f(x)是定义在(－3 ，3)上的减函数，且满足不等式f(x－3)+f(x
2
－3)<0,
设不等式解集 为A，B=A∪{x|1≤x≤
5
},求函数g(x)=－3x
2
+3x－4 (x∈B)的最大值.
命题意图：本题属于函数性质的综合性题目，考生必须具有综合运用知识分析和 解决问
题的能力。
知识依托：主要依据函数的性质去解决问题。
错解分析：题目不 等式中的“f”号如何去掉是难点，在求二次函数在给定区间上的最
值问题时，容易漏掉定义域。 技巧与方法：借助奇偶性脱去“f”号，转化为xcos不等式，利用数形结合进行集合运
算和求最 值。
?
?3?x?3?3
?
0?x?6
解：由
?
且x≠0,故06
,
得
?
2
?
?3?x? 3?3
?
?6?x?6
又∵f(x)是奇函数，∴f(x－3)<－f(x
2
－3)=f(3－x
2
),又f(x)在(－3，3)上是减函数，
∴x－ 3>3－x
2
,即x
2
+x－6>0,解得x>2或x<－3,综上得26
,即A={x|26
},

∴B=A∪{ x|1≤x≤
5
}={x|1≤x<
6
},又g(x)=－3x
2< br>+3x－4=－3(x－
1
2
13
)－知：g(x)
24在B上为减函数，∴g(x)
max
=g(1)=－4.
［例6］已知奇函数f (x)的定义域为R，且f(x)在［0，+∞)上是增函数，是否存在实数
m,使f(cos2
θ
－3)+f(4m－2mcos
θ
)>f(0)对所有
θ
∈［0 ,
?
］都成立？若存在，求出符合条件
2
的所有实数m的范围，若不存在，说 明理由.
命题意图：本题属于探索性问题，主要考查考生的综合分析能力和逻辑思维能力以及运
算能力。
知识依托：主要依据函数的单调性和奇偶性，利用等价转化的思想方法把问题转化为二
次函数在 给定区间上的最值问题。
错解分析：考生不易运用函数的综合性质去解决问题，特别不易考虑运用等价转化的思
想方法。
技巧与方法：主要运用等价转化的思想和分类讨论的思想来解决问题。
解：∵f(x)是R上 的奇函数，且在［0，+∞)上是增函数，∴f(x)是R上的增函数.于是不
等式可等价地转化为f( cos2
θ
－3)>f(2mcos
θ
－4m),
即cos2θ
－3>2mcos
θ
－4m,即cos
2
θ
－mco s
θ
+2m－2>0.
设t=cos
θ
,则问题等价地转化为函数 g(t)=t
2
－mt+2m－2=(t－
m
2
m
2
)－+2m－2在［0，
4
2
1］上的值恒为正，又转化为函数g(t)在［0，1 ］上的最小值为正.
m
<0,即m<0时，g(0)=2m－2>0
?
m>1与m<0不符； < br>2
m
2
m
当0≤≤1时，即0≤m≤2时，g(m)=－+2m－2> 0
4
2
∴当
?
4－2
2
2
,∴4－2
2
m
>1,即m>2时，g(1)=m－1>0
?
m>1.∴m>2
2
综上，符合题目要求的m的值存在，其取值范围是m>4－2。
当




本 章 总 结

?
（）元素 与集合的关系：属于（?）和不属于（?）
?
1
?
?
?
2） 集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性
?
集合与元素
（
?
?< br>（
?
3）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集
?
?
4）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法（
?
?
?
?
?
子集：若x?A ?x?B，则A?B，即A是 B的子集。
?
?
?
?
nn
?
1、若集合A中有n个 元素，则集合A的子集有2个，真子集有(2-1)个。
?
?
?
?
?
?
?
?
2、任何一个集合是它本身的子集，即 A?A
?
?
注
?
?
?
?
关系
?
?
?
3、对于集合A,B,C,如果A?B，且B?C,那么A?C.?
?
?
?
4、空集是任何集合的（真）子集。
?
??
?
?
?
真子集：若A?B且A?B
?
（即至少存在x
0
?B但x
0
?A），则A是B的真子集。
集合
?
?
?
?
?
?
?
集合相等：A?B且A?B ?A?B
?
?
?
?
?
集合与集合
?
?
定义：A? B?
?
xx?A且x?B
?
?
交集
?
?
?
?
?
?
?
性质：A?A?A，A????，A?B?B?A，A?B ?A,A?B?B，A?B?A?B?A
?
?
?
?
?
?定义：A?B?
?
xx?A或x?B
?
?
并集
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
性质：A ?A?A，A???A，A?B?B?A，A?B?A，A?B?B，A?B?A?B?B
?
运 算
?
?
?
?
Card(A?B)?Card(A)?Card( B)-Card(A?B)
?
?
?
?
?
定义：C
U
A?
?
xx?U且x?A
?
?A
?
?
?< br>?
?
?
补集
?
性质：
?
(C
UA)?A??，(C
U
A)?A?U，C
U
(C
U
A) ?A，C
U
(A?B)?(C
U
A)?(C
U
B)，
?
?
?
?
C(A?B)?(CA)?(CB)
?
?
UUU
?
?
?
?
?

?
映射定义：设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个元素x，?
在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：?B为从集 合A到集合B的一个映射
?
传统定义：如果在某变化中有两个变量x,y,并且对于x在某个范 围内的每一个确定的值，
?
?
定义 按照某个对应关系f,y都有 唯一确定的值和它对应。那么y就是x的函数。记作y?f(x).
?
近代定义：函数是从一个 数集到另一个数集的映射。
?
?
定义域
?
?
?
函数 及其表示函数的三要素值域
??
?
对应法则
?
?
?
解析法
?
?
?
函数的表示方法
?
列表法
?
?
?
图象法
?
?
?
?
传统定义：在区间
?
a,b
?
上，若a?x
1
?x
2
?b,如f(x< br>1
)?f(x
2
)，则f(x)在
?
a,b
?
上递增,
?
a,b
?
是
?
?
?
?
递增区间；如f(x
1)?f(x
2
)，则f(x)在
?
a,b
?
上递减,< br>?
a,b
?
是的递减区间。
?
单调性
?
?< br>导数定义：在区间a,b上，若f(x)?0，则f(x)在a,b上递增,a,b是递增区间；如f(x )?0
??????
?
?
?
a,b
?
是的递减区间 。
?
?
?
则f(x)在
?
a,b?
上递减,
?
?
?
?
?
最大值：设函数y?f (x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x?I，都有f(x)?M；
?
函数
?
（2）存在x
0
?I，使得f(x
0
)?M。则称M是函数y?f(x)的最大值
函数的基 本性质
?
最值
?
?
?
?
最小值：设函数y?f(x )的定义域为I，如果存在实数N满足：（1）对于任意的x?I，都有f(x)?N；
?
?< br>?
（2）存在x
0?I，使得f(x
0
)?N。则称N是函数y?f(x)的最小值
?
?< br>?
?
(1)f(?x)??f(x),x?定义域D，则f(x)叫做奇函数，其图象关 于原点对称。
?
奇偶性
?
(2)f(?x)?f(x),x?定义域D，则f (x)叫做偶函数，其图象关于y轴对称。
?
?
?
?
奇偶函数的定 义域关于原点对称
?
周期性：在函数f(x)的定义域上恒有f(x?T)?f(x)(T?0 的常数)则f(x)叫做周期函数，T为周期；
?
?
T的最小正值叫做 f(x)的最小正周期，简称周期
?
?
?
（
?
1）描点连线 法：列表、描点、连线
?
?
?
向左平移
?
个单位：y
1
?y,x
1
?a?x?y?f(x?a)
?
?
?
?
向右平移a个单位：y?y,x?a?x?y?f(x?a)
?
?
平移变 换
?
向上平移b个单位：x
1
?x,y
1
?b?y?y?b ?f(x)
11
?
?
?
?
向下平移b个单位：x?x,y< br>?
?
?
11
?b?y?y?b?f(x)
?
?
?
横坐标变换：把各点的横坐标x
1
缩短（当w?1时）或伸长（当0?w?1时）
?
?
?
?
到原来的1w倍（纵坐标不变）， 即x
1
?wx?y?f(wx)
?
?
伸缩变换
?
纵 坐标变换：把各点的纵坐标y伸长（A?1)或缩短（0?A?1)到原来的A倍
1
?
?
?
函数图象的画法
?
?
?
?
?
（横坐标不变）， 即y
1
?yA?y?f(x)
?
（
?
x ?x
1
?2x
0
x
1
?2x
0
?x
?
2）变换法
?
关于点(x,y)对称：??2y
0
?y?f(2 x
0
?x)
?
00
??
?
?
?
y ?y
1
?2y
0
y
1
?2y
0
?y
?
?
?
x?x
1
?2x
0
x
1
?2x
0
?x
?
关于直线x?x
0
对称：
?
?
?
?
?y?f(2x
0
?x)
?
?
y ?yy?y
?
11
?
对称变换
?
?
x?x
1
x
1
?x
?
?
?
关于直线y?y对称：??2y
0
?y?f(x)
0
?
??
?
?
y
1
?y?2y
0
y
1
?2y
0
?y
?< br>?
?
?
x?x
1
?
?
关于直线y?x对称： ?y?f
?1
(x)
?
?
?
y?y
1
?< br>?
?
?
?
?
?
?
?
?

附：
一、函数的定义域的常用求法：
1、分式的分母不等于零；
2、偶次方根的被开方数大于等于零；
3、对数的真数大于零；
4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；
5、三角函数正切函数
y?tanx
中
中；
6、如果函数是由实际意义确定的解析式，应依据自变量的实际
意义确定其取值范围。
二、函数的解析式的常用求法：
1、定义法；2、换元法；3、待定系数法；4、函数方程法；5、
参数法；6、配方法。
三、函数的值域的常用求法：
1、换元法；2、配方法；3、判别式法；4、几何法；5、不 等式
法；6、单调性法；7、直接法
四、函数的最值的常用求法：
1、配方法；2、换元法；3、不等式法；4、几何法；5、单调性
法。
五、函数单调性的常用结论：
1、若
f(x),g(x)
均为某区间上的增 （减）函数，则
f(x)?g(x)
在这
x?k
?
?
?2
(k?Z)
；余切函数
y?cotx

个区间上也为增（ 减）函数；
2、若
f(x)
为增（减）函数，则
?f(x)
为减（增）函数；
3、若
f(x)
与
g(x)
的单调性相同，则
y?f[g( x)]
是增函数；若
f(x)
与
g(x)
的单调性不同，则
y?f[g(x)]
是减函数；
4、奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的
单调性相反；
5、常用函数的单调性解答：比较大小、求值域、求最值、解不
等式、证不等式、作函数图象。
六、函数奇偶性的常用结论：
1、如果一个奇函数在
x?0
处有定义，则< br>f(0)?0
，如果一个函数
y?f(x)
既是奇函数又是偶函数，则
f(x)?0
（反之不成立）；
2、两个奇（偶）函数之和（差）为奇（偶）函数；之积（商）
为偶函数。
3、一个奇函数与一个偶函数的积（商）为奇函数。
4、两个函数
y?f(u)和
u?g(x)
复合而成的函数，只要其中有一个
是偶函数，那么该复合函数就是 偶函数；当两个函数都是奇函数时，
该复合函数是奇函数。
5、若函数
f(x)的定义域关于原点对称，则
f(x)
可以表示为
11
f(x)?[f(x )?f(?x)]?[f(x)?f(?x)]
22
，该式的特点是：右端为一个奇函
数与一个偶函数的和。