972_高二数学竞赛辅导：反三角函数与三

反三角函数与三角方程
解反三角函数问题，要注意它是相应三角函数在某 个单调区间内的反函数，所以应结合其原来的
函数性质，还应注意抓好其相应的单调区间来解题。
反三角函数的基本概念：
函数 y=arcsinx y=arccosx y=arctanx y=arccotx
定义域 [－1,1] [－1,1] R R
值域
[－
y
?
2
,
?
2
]
[0,?]
y
(－
?
2
,
?
2
)
(0,?)
y
??
y
?2
图象
-1
O
1
x
O

单调性
奇偶性
最值
-1
x
????
O
1
x

??2

O
x

性质
增函数 减函数 增函数 减函数
奇函数 非奇非偶 奇函数 非奇非偶
当x=1时 当x=－1时
y
max
=?2 y
max
=?
无 无
当x=－1时 当x=1时
y
min
=－?2 y
min
=0
sin(arcsinx)=x， cos(arccosx)=x,
tan(arctanx)=x cot(arccotx)=x
x∈[-1,1] x∈[-1,1]
arctan(-x)=arctanx arccot(-x)=?-arccotx
arcsin(-x)=-arcsinx arccos(-x)=?-arccosx
arctan(tanx)=x arccot(cotx)=x
arcsin(sinx)=x, arccos(cosx)=x
x∈(-?2,?2) x∈(0,?)
x∈[-?2,??2] x∈[0,?]
arcsinx+arccosx=?2 arctanx+arccotx=?2

① 解不等式arccos(-x)>arccosx。 （0,1］
② 求tan[arcos(-
2
2
)] -1
6?1
23
③ 求sin(arccos
2
3
－arccos) 12
④ 当x∈[0,?2]时，求arcsin(cosx) ?2-x
⑤ 求arcsin(sinx), x∈[-3?2,-?2]的值。 -(?+x)
⑥ 求arcsin(sin5) 5-2?
⑦ 求y=sinx在[?,3?2]上的的反函数。 y=?-arcsinx x∈[-1,0]
最简单的三角方程：

方程 条件 方程的解集
|a|>1 ??
sinx=a |a|=1 {x|x=2k?+arcsina,k∈Z}
|a|<1 {x|x=k?+(-1)
k
arcsina,k∈Z}
|a|>1 ?
cosx=a
|a|=1 {x|x=2k?+arccosa,k∈Z}
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tanx=a
cotx=a
常见三角方程的类型：
（1） 可化为同角同名函数的方程；
（2） 一边为零而另一边可以分解因式的方程；
（3） 关于sinx和cosx的齐次方程；
（4） 形如asinx+bcosx=c的方程。
例题：
|a|<1
a∈R
a∈R
{x|x=2k?±arccosa,k∈Z}
{x|x=k?+arctana,k∈Z}
{x|x=k?+arccota,k∈Z}
① 解下列方程：1? sinx-
3
cosx=
2
x=k?+(-1)
k
?4+?3,k∈Z
2? sin2x=cosx x=2k?3+?6或x=-2k?+?2,k∈Z
3? 8sin
2
x=3sin2x-1 x=k?+arctan(13),k∈Z
② 解方程(1+sinx)(1-sinx)=12
注意：用万能公式得x=2k?+2a rctan(-12),k∈Z，要找回失根x=(2k+1)?，k∈Z。
③ 解方程cos
2
3xtanx+cos
2
xtan3x=0
注意：去分母得x=k?4或x=(2k+1)?4产生了增根x=k?4应舍去。
三角方程问题应注意转化为最简三角方程，再用三角方程的解来求解。
在解有关问题时，要注意检验。
例1设f(x)=x
2
－?x, ?=arcsin, ?=arctan
3
15
4
, ?=arcos(－
1
3
), ?=arccot(－
5
4
)，则
A．f(?)>f(?)>f(?)>f(?) B．f(?)>f(?)>f(?)>f(?)
C．f(?)>f(?)>f(?)>f(?) D．f(?)>f(?)>f(?)>f(?)
分析：∵f(x)=x
2
－?x是一 个二次函数，其对称性为x=
∴只要比较|
解：∵f(x)=(x－
?
21
?
2

?
2
－?|、|
?
2
?
2
－?|、|－?|、|
2
??
2
－?|的大小即可。
)－
4

1
2
4
∵0< arcsin< arcsin
3
=
?
6
,
?
3
?4
=arctan15
3
=1
3

1
2

?
2
=arccos 03
?
4
)< arcos(－
5
4
)=
2
?
3
,
3
3
=arccot(－1)?
2
)< arccot(－)=
5
?
6

∴|
?
2
－?|<|－?|<|－?|<|
2
??
2
－?|
∴f(?)>f(?)>f(?)>f(?)
∴选B
例2函数y=arcos(< br>A．[－
?
2
1
2
－x
2
)的值域是（ ）
?
2
,
?
6
] B．[－,
?
3
] C．[
?
6
,?] D. [
?
3
,???
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解：?－1≤
∴
?
3
1
2
－x
2
≤< br>1
2
1
2

1
2
= arcos≤arcos(－x
2
)≤aarccos(－1)=??
∴选D
例3设[x]表示不超过x的最大整数，{x}表示x的小数部分（即{x}=x－[x]），则方程cot[ x]?cot{x}=1
的解集为 。
解：∵cot[x]?cot{x}=1
?tan[x]?tan{x}=1
?tan[x]=cot{x}
?tanx=tan(
?[x]=k??+
?
2
－{x})
－{x}
?
?
2
?[x]+{x}=k??? +
2
?x= k??? +
?
2
(k∈Z)
?
2
∴所求的解集为：{x|x= k??? + k∈Z}
例4使方程
a?a?sinx
=sinx有实数解的实数a的取值范围是 。
解：∵sinx≥0且sinx≤1
∴
a?a?sinx
=sinx
?
a?sinx
=sin
2
x－a (a≤sin
2
x)
?a
2
―(2sin
2
x+ 1)a+sin
4
x―sinx=0
∵⊿=(2sin
2
x+1)
2
－4(sin
4
x－sinx)=(2sinx+1)
2
≥0
∴a=sin
2
x－sinx或a=sin
2
x+sinx+1 (舍去∵a≤sin
2
x)
∵sinx∈[0,1]
∴a∈[－
1
4
,0]
例5求10cot(arccot3+arccot7+arccot13+arccot21)的值。
解：设?=arccot3, ?=arccot7, ?=arccot13, ?=arccot21
∴0tan?=, tan?=
3
1
2
11
7
, tan?=
1
13
1
8
, tan?=
1
21

∴tan(???)=, tan(???)=
∴tan(???????)=
3
2
∴10cot(arccot3+ar ccot7+arccot13+arccot21)=15
例6求常数C使得f(x)=arcta n
2?2x
1?4x
+C在区间(－
1
4
,
14
)内是奇函数。
解：∵f(x)是奇函数且在x=0处有意义，
∴f(0)=0?arctan2+C=0?C=－arctan2
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∴f(x)=arctan
∵tan(arctan
2? 2x
1?4x
－arctan2
2?2x
1?4x
1
4
－arctan2)=－2x
1
4
∴f(x)=arctan(－2x)=－arctan2x
∴f(x)在区间(－,)内是奇函数
例7解方程：cos
n
x－sin< br>n
x=1，这里的n表示任意给定的正整数。
解：①当n为偶数时
令n=2m (m∈N且m≠0)，则
cos
2m
x=1+sin
2m
x
∵cos
2m
x≤1 而1+sin
2m
x≥1
∴sinx=0?x=k? (k∈Z)
②当n为奇数时
若2k?≤x≤2k??? (k∈Z)，则1+sin
n
x≥1,cos
n
x≤1
∴当x=2k? (k∈Z)时，方程成立。
若2k???≤x≤2k???? (k∈Z)，则1+sin
n
x≥0
∴2k???≤x<2k???? (k∈Z)时，才可能有解
2
3
∴当x=2k??
3
2
3
2
???k∈??时，方程成立。
而若2k???cos
n
x－sin
n
x=1? cos
n
x?－sin
n
x?=1
而x?为第一象限的角?cosx?+sinx?>1
∴当n=1,2时，方程无解，当n≥ 3时，有cos
n
x?+sin
n
x?－1=cos
n
x? －cos
2
x?+sin
n
x?－
sin
2
x?= cos
2
x?(cos
n-2
x?－1)+sin
2
x?( sin
n-2
x?－1)<0知方程无解。从而原方程的解为x=2k??
或x=2k ? ?k∈???
∴当n奇数时，方程的解为：x=2k??
3
2
3
2
??
??或x=2k? ?k∈???
当n偶数时，方程的解为：x=k? ?k∈ ???
小结：在解反三角函数题时，要注意抓好反三角函数的概念、定义域、值域，及时把反三角函数< br>问题转化为三角函数问题，利用熟知的三角函数公式来解，也要注意利用图象。对于三角方程，
则 应注意设法化为最简三角方程，利用三角方程求解。?
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