高中数学奥赛辅导专题-数列

高中数学奥赛辅导专题——数列
一 准备知识
所谓数列，简单地说就是有规 律的（有限或无限多个）数构成的一列数，常记作{a
n
}，
a
n
的 公式叫做数列的通项公式．常用的数列有等差数列和等比数列．
等差数列
数列{a
n
}的后一项与前一项的差
a
n
－a
n
－
1为常数d
等比数列
数列{a
n
}的后一项与前一项的比
定义
a
n
为常数q（q≠0）
a
n?1
q为公比
a
n
=a
1
·q
n
1

－
专有名词 d为公差
通项公式 a
n
=a
1
+（n－1）d
前n项和
S
n=
na
1
?
n(n?1)d
?
a
1
? a
n
?
n
a
1
1?q
n

?
S
n
=
22
1?q
??
数列的前n项 和S
n
与通项公式a
n
的关系是：a
n
=S
n－S
n
－
1
（n≥2）．
有些数列不是用通项公式给出，而是 用a
n
与其前一项或前几项的关系来给出的，例如：
a
n
＋
1
=2a
n
+3，这样的公式称为数列的递推公式．由数列的递推公式我们可以求出其 通项公式．
数列问题中一个很重要的思想是把数列的通项公式或递推公式变形，然后将它看成新数列（通常是等差或等比数列）的通项公式或递推公式，最后用新数列的性质解决问题．
二 例题精讲
例1．（裂项求和）求S
n
=
8?18?28?n
．
????
1
2
?3
2
3
2
?5
2
(2n?1)
2
?(2n?1)
2
解：因为a
n
=
8?n11
=
?
22
22
(2n?1)?(2n?1)< br>(2n?1)(2n?1)
所以S
n
=
?
1
?
1
?
2
3
2
?
1
1
??
1?
?
?
2
?
2
5
??
3
??
1
11
?
=1－
????
?
??
222
(2n?1)
(2n?1)
?
?
?
(2n?1)< br>a
n
3
，a
n+1
=，求{a
n
}的通项公 式．
2a
n
?1
5
例2．（倒数法）已知数列{a
n}中，a
1
=
解：
1
a
n?1
?
2a
n
?1
1
??2

a
n
a
n?
1
?
15
5
6n?1
?
+2（n－1）=∴
??
是以为首项，公差为2的等差数列，即
a
a3
3
3< br>?
n
?
n
∴a
n
=

3

6n?1

练习1．已知数列{a
n
}中，a
1
=1，S
n
=
S
n?1
，求{a
n
}的通项公式 ．
2S
n?1
?1
解：
1
2S
n?1
? 1
1
???2

S
n
S
n?1
S
n?1
?
?
是以1为首项，公差为2的等差数列．
?
?
1
∴
?
?
S
n
∴
1
1
=1+2（n －1）=2n－1，即S
n
=．
S
n
2n?1
2
11
=
?

?< br>(2n?1)(2n?3)
2n?12n?3
∴a
n
=S
n< br>－S
n
－
1
=
?
(n?1)
?
1< br>1
1
∴a
n
=
?

?
(n?2)
?
?
2n?12n?3

例3．（求 和法，利用公式a
n
=S
n
－S
n
－
1
， n≥2）已知正数数列{a
n
}的前n项和
S
n
=
1
?
1
?
??
a?
n
?
，求{a
n
}的通项公式．
2
?
a
n
??
1
?
1
?
?
a?
解：S
1
=a
1
=
?< br>，所以a
1
=1．
1
?
2
?
a
1
?
?
∵a
n
=S
n
－S
n
－1
∴2S
n
=S
n
－S
n
－
1
+
1

S
n
?S
n?1
∴S
n< br>+S
n
－
1
=
1
，即S
n
2
－S
n
－
1
2
=1
S
n
?S
n?1
∴
S
n
??
是以1为首项，公差为1的等差数列．
2
∴S
n
2
=n，即S
n
=
n

∴a
n
=S
n
－S
n
－
1
=n
－
n?1
（n≥2）
∴a
n
=
n
－
n?1
．

例4 ．（叠加法）已知数列{a
n
}的前n项和S
n
满足S
n
－ S
n
－
2
=3×（－
1
n
－
1
） （n≥3），且
2

S
1
=1，S
2
=－3
，求{a
n
}的通项公式．
2
2n?1
解：先考虑偶数项有：
?
1
?
S2n
－S
2n
－
2
=－3·
??
?
2
?

2n?3
?
1
?
S
2n
－< br>2
－S
2n
－
4
=－3·
??
?
2
?
……

?
1
?
S
4
－S2
=－3·
??

?
2
?
3n?1
?
1
?
?
?
1
?
?
??
?
?
1?
??
?
?
2
?
?
?
4?
?
??
， 将以上各式叠加得S
2n
－S
2
=－3×
1
1?
4
3
?
1
?
所以S
2n
=－2+
??
?
2
?
2n?1
(n?1)< br>．
再考虑奇数项有：
?
1
?
S
2n
＋< br>1
－S
2n
－
1
=3·
??

?< br>2
?
?
1
?
S
2n
－
1
－ S
2n
－
3
=3·
??
?
2
?
… …
2n?2
2n

?
1
?
S
3
－S
1
=3·
??

?
2
?
?
1
?
将以上各式叠加得S
2n
＋
1
=2－
??
(n?1)
．
?
2
?
?
1
??
1?
所以a
2n+1
=S
2n+1
－S
2n
=4 －3×
??
，a
2n
=S
2n
－S
2n
－
1
=－4+3×
??
?
2
??
2
?
2n2n?1
2n
2
．
n?1
?
?
1
?
?
4?3?
??
,n为奇数
n?1
?
?
?
1
?
?
2
??
n
－
1
综上所述 a
n
=
?
，即a
n
=（－1）·
?
4?3 ?
??
?
．
n?1
?
2
?
?
1
?
?
?
?4?3?
?
??
，n为偶数
??
?
?
2
?
?
例5．（a
n+1
=pan
+r类型数列）在数列{a
n
}中，a
n+1
=2a
n
－3，a
1
=5，求{a
n
}的通项公式．

解：∵a
n+1
－3=2（a
n
－3）
∴{a
n
－3}是以2为首项，公比为2的等比数列．
∴a
n
－3=2
n

∴a
n
=2
n
+3．

a
n
? 1
练习2．在数列{a
n
}中，a
1
=2，且a
n+1=，求{a
n
}的通项公式．
2
2
1
2
1
a
n
+
22
1
∴a
n+1
2
－1=（a
n
2
－1）
2
解：a
n+1
2
=
∴{a
n+1
2
－ 1}是以3为首项，公比为
1
的等差数列．
2
3

?∴a
n+1
2
－1=3×
?
1
?
?
?
2
?
n?1
，即a
n
=
1?
2
n ?1

－
例6（a
n+1
=pa
n
+f（n）类型 ）已知数列{a
n
}中，a
1
=1，且a
n
=a
n
－
1
+3
n
1
，求{a
n
}的通项公式．
－
解：（待定系数法）设a
n
+p·3
n
=a< br>n
－
1
+p·3
n
1

则a
n=a
n
－
1
－2p·3
n
1
，与a
n
=a
n
－
1
+3
n
－－
1
比较可 知p=－
1
．
2
?
31
3
n
?
所以
?
a
n
?
?
是常数列，且a
1
－=－ ．
2
?
22
?
1
3
n
3
n?1
所以
a
n
?
=－，即a
n
=．
22
2

练习3．已知数列{a
n
}满足S
n+a
n
=2n+1，其中S
n
是{a
n
}的前n项和， 求{a
n
}的通项公式．
解：∵a
n
=S
n
－S
n
－
1
∴S
n
+S
n
－S
n
－
1
=2n+1
∴2S
n
=S
n
－
1
+2n+1
（待定 系数法）设2（S
n
+pn+q）=S
n
－
1
+p（n－1 ）+q
?
?p?2
?
p??2
化简得：－pn－p－q=2n+1 ，所以
?
，即
?

?p?q?1
q?1
?
?
∴2（S
n
－2n+1）=S
n
－2（n－1）+1，
31
，S
1
－2+1=
22
11
∴{S
n
－2n+1}是以为公比，以为首项的等比数列．
22
又∵S
1
+a
1
=2+1=3，∴S
1
=

?
1
??
1
??
1
?
∴S
n
－2n+1=
??
，即S
n
=
??
+2n－1，a
n
=2n+1－S
n
=2－
??
．
?
2
??
2
??
2
?

例7．（ a
n+1
=pa
n
r
型）（2005年江西高考题）已知数列{a< br>n
}各项为正数，且满足a
1
=1，
nnn
1
（1） 求证：a
n
n+1
<2；（2）求{a
n
}的通项公式 ．
a
n
(4?a
n
)
．
2
解：（1）略．
a
n+1
=
1
（a
n
－2）
2
+ 2
2
1
∴a
n+1
－2=－（a
n
－2）
2

2
1
∴2－a
n+1
=（2－a
n
）
2
2
（2）a
n+1
=－
∴由（1）知2－a
n
>0 ，所以log
2
（2－a
n+1
）=log
2
1
（ 2－a
n
）
2
=2·log
2
（2－a
n
）－1
2
∴log
2
（2－a
n+1
）－1=2［log
2
（2－a
n
）－1］
即{log
2
（2－a< br>n
）－1}是以―1为首项，公比为2的等比数列
－
∴log
2（2－a
n
）－1=－1×2
n
1

化简得a
n
=2－
2
1?2
n?1
．
( x?1)
4
?(x?1)
4
练习4．（2006年广州二模）已知函数
f(x)?
（
x?0
）．
(x?1)
4
?(x?1)< br>4
在数列
{a
n
}
中，
a
1
?2< br>，
a
n?1
?f(a
n
)
（
n?N
?
），求数列
{a
n
}
的通项公式．
(a
n?1)
4
?(a
n
?1)
4
a
n?1
?1(a
n
?1)
4
?
a
n
?1
?
解：
a
n?1
????
??
，
(a
n
?1)
4
?(a
n
?1)
4
a
n?1
?1 (a
n
?1)
4
?
a
n
?1
?
从 而有
ln
4
a
n?1
?1a?1
，
?4lnn
a
n?1
?1a
n
?1
a
1
?1< br>?ln3?0
知：
a
1
?1
由此及
ln
?
a?1
?
数列
?
ln
n
?
是首项为
ln3
，公比为
4
的等比数列，
a?1
n
??
a
n
?1a
n
?1
4
n?1
3
4
?1
n?1
?4ln3??3?a
n
?
4
n?1
故 有
ln
（
n?N
?
）。
a
n
?1a
n
?1
3?1

例8．（三角 代换类型）已知数列{a
n
}中，a
1
=2，a
n
=
n?1
1?a
n?1
，求{a
n
}的通项公式．
1?a
n?1

解：令a
n
－
1
=tan
?
，则a
n+1
=
?
?
?
=tan
?
?
?
?

?
?
4
?
1?tan?tan
?
4
4
tan
?
?tan
?
?
( n?1)
?
?
?atctan2
?
． ∴a
n
=tan
?
?
4
?