高二数学同步辅导教材(第8讲)

高二数学同步辅导教材
（第8讲）




一、本讲进度
7.3 两条直线的位置关系
课本第45页至第54页
二、本讲主要内容
1、 两条直线位置关系的判断
2、 两条相交直线和夹角及两条平行直线之间的距离的计算
三、学习指导
1、通过前面的学习， 同学们知道，平面几何中的直线?（形）与代数中的二元一次方程Ax+By+C=0
（A、B不全为0 ，下同）（数）之间建立了一一对应的关系，实际上，直线?就是由数组（A、B、C）确定。
因此，直 线与直线之间的位置关系可由它们对应的数组之间的关系来确定。
2、从定性的角度分析，两条直线的 位置关系有平行、相交、重合。三种位置关系的判断可由这两条
直线对应的方程构成的方程组的解的情况 来判断。
不妨设直线?
1
：A
1
x+B
1
y+C
1
=0(A
1
+B
1
≠0)，直线?
2
： A
2
x+B
2
y+C
2
=0（A
2
+B< br>2
≠0）
?
?
A
1
x?B
1
y? C
1
?0
联立两条直线方程
?
?
Ax?By?C2?0
2
?
2
2222
?

?
1
2不失一般性，设A
1
≠0，A
2
≠0
①×A
2
-②×A
1
得
(B
1
A
2
-B
2
A
1
)y=A
1
C
2
-A
2
C
1
③
下对此一元一次型方程的解进行讨论：
当B
1
A
2
-B< br>2
A
1
≠0时，方程③有唯一解，原方程组有唯一解。即
A
1
B
≠
1
时，直线?
1
与?
2
相交； A
2
B
2
?
B
1
A
2
?B< br>2
A
1
?0
当
?
时，方程③无解，原方程组无解。
AC?AC?0
21
?
12
实用文档
1

即
A
1
B
1
C
1
时，直线?
1
与?
2
平行。
??
A
2
B
2
C
2
?
BA?B
2
A
1
?0
ABC
当
?
12
时，方程③的解为一切实数，原方程组有无数个解， 即
1
?
1
?
1
时，直
A
2
B2
C
2
?
A
1
C
2
?A
2< br>C
1
?0
线?
1
与?
2
重合。
教 材是从斜截式的方程推导出两直线平行的条件，这是因为：（1）斜截式的几何特征比较明显，（2）
斜 截式就是初中所学的一次函数的解析式，同学们比较容易接受。上面的结论是从直线?方程的一般式推
导 出来的，偏重于方程的知识，体现了第一部分的指导思想。
3、 从定量的角度，本小节研究了两个方面的问题：
（1）在两条直线平行的位置关系下，度量它们之间的距离。
在点到直线距离公式的基础上， 进一步可导出两平行线之间的距离公式，设?
1
：Ax+By+C
1
=0,， ?
2
：
Ax+By+C
2
=0，则?
1
与?
2
之间距离
d?
|C
1
?C
2
|
A?B
22
。
（2）在两条直线相交的情况下，度量它们所成的角的大小。若两条直 线的位置确定，则选用倒角公
式；否则选用夹角公式。
4、 一般方程形式下的几种直线系：
（1）与Ax+By+C=0平行的直线系：Ax+By+m=0
（2）与Ax+By+C=0垂直的直线系：Bx-Ay+n=0
（3）过两条直线?
1
：A
1
x+B
1
y+C
1
=0与直线?
2
：A
2
x+B
2
y+C
2
=0的直线系：A1
x+B
1
y+C
1
+λ(A
2
x+B
2
y+C
2
)=0，
λ∈R。此直线系不包括直线?
2
， 若要包含?
2
，可将直线系方程写成
λ
1
(A
1
x+B
1
y+C
1
)+λ
2
(A
2
x+B
2
y+C
2
)=0（λ
1
、λ
2
∈R）。
四、典型例题
例1、当实数m为何值时，三条直线?
1
：3x+my-1= 0，?
2
：3x-2y-5=0，?
3
：6x+y-5=0不能围成三角形。
解题思路分析：
本题的关键是?
1
、?
2
、?
3
不能围成三角形时，它们之间有多少种位置关系。可借助于逻辑知识进行分
析。
?< br>1
、?
2
、?
3
能围成三角形的充要条件是三条直线两两相交 且不过同一点，其否定是三条直线不两两相
交或均过同一点，即包含两种情形：（1）三条直线中至少有 两条互相平行；（2）三条直线过同一点。
记?
1
、?
2
、?3
三条直线的斜率分别为k
1
、k
2
、k
3
， 则k
2
=
实用文档
3
，k
3
=-6。
2
2

在第一种情形中只可能?
1
∥?< br>2
，?
1
∥?
3
，k
1
=
3
，k
1
=-6
2
解之得m=-2或m=
1

2
?
3x?2y?5?0
?
x?1
由
?
得
?
，?
1
与?
3
交于点（1，-1），将（1，-1）代入3x+my -1=0，得第二种情形
?
6x?y?5?0
?
y??1
m的值：m =2
∴ 当m=±2，或
1
2
时，?
1
、?
2< br>、?
3
不能围成三角形
例2、求过点（2，3），与坐标轴围成的三角形面积 为2a，且满足下列条件的直线方程：
（1）平行于直线ax+4y+6=0
（2）垂直于直线ax+4y+6=0
解题思路分析：
（1）设所求直线方程ax+4y+C
1
=0
令x=0，y=-
C
1
4
；令y=0，x=-
C
1
a

∴ < br>1
|?
C
1
||?
C
1
24a
|? 2a

∴ C
22
1
=16a

∴ C
1
=±4a ①
又（2，3）在直线ax+4y+C
1
=0上
∴ 2a+12+C
1
=0 ②
(1)(2)联立
?
?
C
1
?4a
或
?
?
2a?12?C
?
a??4a
1
?0
?
2a?12?C

1
∴
?
?
a??2
（舍）或
?
a?6< br>?
a??8
?
?
c
1
??24

∴ 所求直线方程为3x+2y-12=0
（2）设所求直线方程为4x-ay+C
2
=0
实用文档
3
下