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高中数学导数的定义培训讲学

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2020-09-14 20:08
tags:高中数学补习

高中数学最值教学反思-重庆高中数学理化版本






高数学数定义中导的


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高中数学导数的定义,公式及应用总结
字体大小:大 中 小 晓 晓 发表于 2011-11-01 01:03 评论0条 阅读906次
导数的定义:
当自变量的增量Δx=x-x0,Δx→0时函数增量Δy=f(x)- f( x0)与自变
量增量之比的极限存在且有限,就说函数f在x0点可导,称之为f在x0点的导
数(或变化率).
函数y=f(x)在x0点的导数f'(x0)的几何意义:表示函数曲线在P0[ x0,
f(x0)] 点的切线斜率(导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜
率)。

一般地,我们得出用函数的导数来判断函数的增减性(单调性)的法则:设
y=f(x )在(a,b) 内可导。如果在(a,b)内,f'(x)>0,则f(x)在这个区
间是单调增加的(该点切线斜率增 大,函数曲线变得“陡峭”,呈上升状)。如
果在(a,b)内,f'(x)<0,则f(x)在这个区 间是单调减小的。所以,当f'
(x)=0时,y=f(x )有极大值或极小值,极大值中最大者是最大值,极小值中
最小者是最小值
求导数的步骤:
求函数y=f(x)在x0处导数的步骤:
① 求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0) ② 求平均变化率 ③ 取极限,得导
数。
导数公式:
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① C'=0(C为常数函数); ② (x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q*);熟记1X的导数
③ (sinx)' = cosx; (cosx)' = - sinx;
(tanx)'=1(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2 -
(cotx)'=1(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2 (secx)'=tanx·secx (cscx)'=-
cotx·cscx (arcsinx)'=1(1-x^2)^12 (arccosx)'=-1(1-x^2)^12
(arctanx)'=1(1+x^2) (arccotx)'=-1(1+x^2) (arcsecx)'=1(|x|(x^2-
1)^12) (arccscx)'=-1(|x|(x^2-1)^12) ④ (sinhx)'=hcoshx
(coshx)'=-hsinhx (tanhx)'=1(coshx)^2=(sechx)^2 (coth)'=-
1(sinhx)^2=-(cschx)^2 (sechx)'=-tanhx·sechx (cschx)'=-cothx·cschx
(arsinhx)'=1(x^2+1)^12 (arcoshx)'=1(x^2-1)^12 (artanhx)'=1(x^2-1)
(|x|<1) (arcothx)'=1(x^2-1) (|x|>1) (arsechx)'=1(x(1-x^2)^12)
(arcschx)'=1(x(1+x^2)^12) ⑤ (e^x)' = e^x; (a^x)' = a^xlna (ln为
自然对数) (Inx)' = 1x(ln为自然对数) (logax)' =(xlna)^(-1),(a>0且
a不等于1) (x^12)'=[2(x^12)]^(-1) (1x)'=-x^(-2)

导数的应用:
1.函数的单调性
(1)利用导数的符号判断函数的增减性 利用导数的符号判断函数的增减
性,这是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用,它充分体现了 数形
结合的思想. 一般地,在某个区间(a,b)内,如果f'(x)>0,那么函数
y =f(x)在这个区间内单调递增;如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在这个区间内单
调递减 . 如果在某个区间内恒有f'(x)=0,则f(x)是常数函数. 注意:
在某个区间内, f'(x)>0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件,而不是必要条
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件,如f(x)=x3在R内是增函数,但x=0时 f'(x)=0。也就是说,如果已知f(x)为
增函数,解题时就必须写f'(x)≥0。 (2)求函数单调区间的步骤(不要按图索
骥 缘木求鱼 这样创新何言?1.定义最基础求法2.复合函数单调性) ①确定
f(x)的定义域; ②求导数; ③由(或)解出相应的x的范围.当f'(x)
>0时,f(x)在相应区间上是增函 数;当f'(x)<0时,f(x)在相应区间上是减函
数.
2.函数的极值
(1)函数的极值的判定 ①如果在两侧符号相同,则不是f(x)的极值点;
②如果在附近的左右侧符号不同,那么,是极大值或极小值.
3.求函数极值的步骤
①确定函数的定义域; ②求导数; ③在定义域内求出所有的驻点
与导数不存在的点,即求方程及的所有实根; ④检查在驻点左右的符 号,
如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这
个 根处取得极小值.
4.函数的最值
(1)如果f(x)在[a,b]上的最大值(或最 小值)是在(a,b)内一点处取得
的,显然这个最大值(或最小值)同时是个极大值(或极小值),它 是f(x)在
(a,b)内所有的极大值(或极小值)中最大的(或最小的),但是最值也可能
在[a,b]的端点a或b处取得,极值与最值是两个不同的概念. (2)求
f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤 ①求f(x)在(a,b)内的极值;
②将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是
最 小值.
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