我的高三数学家教辅导资料——三角函数

π
x＋
?
－1. [2011·北京卷] 已知函数f(x)＝4cosxs in
?
?
6
?
ππ
－，
?
上的最大值和最 小值． (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在区间
?
?
64
?


π
x＋
?
－1 【解答】 (1)因为f(x)＝4cosxsin
?
?
6
?
31
＝4cosx
?
sinx＋cosx
?
－1
2
?
2
?
＝3sin2x＋2cos
2
x－1
＝3sin2x＋cos2x
π
2x＋
?
， ＝2sin
?
6
??
所以f(x)的最小正周期为π.
ππππ2π
(2)因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤.
64663
πππ
于是，当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2；
626
πππ
当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－1.
666






[2011·湖南卷] 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA＝acosC.
(1)求角C的大小；
π
B＋
?
的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小． (2)求3sinA－cos
?
?
4
?


【解答】 (1)由正弦定理得sinCsinA＝sinAcosC.
因为00.
从而sinC＝cosC.
π
又cosC≠0，所以tanC＝1，则C＝.
4
3π
(2)由(1)知，B＝－A，于是
4
π
B＋
?
＝3sinA－cos(π－A) 3sinA－cos
?
?
4
?
π
A＋
?
. ＝3sinA＋cosA＝2sin
?
?
6
?
π
3πππ1 1ππππ
A＋
?
取最大值2. 因为0?
?
6
?
46612623
π
π5 π
B＋
?
的最大值为2，此时A＝，B＝. 综上所述，3sinA－cos
?
?
4
?
312

第 1 页 共 9 页

[2011·江苏卷] 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.
π
A＋
?
＝2cosA, 求A的值； (1)若sin
?
?
6
?
1
(2)若cosA＝，b＝3c，求sinC的值．
3





本题主要考查三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式、解三角形，考查运算求解能
力．
ππ
【解答】 (1)由题设知sinAcos＋cosAsin＝2cosA.从而sinA ＝3cosA，所以cosA≠0，
66
π
tanA＝3，因为0＜A＜π，所以A＝ .
3
1
(2)由cosA＝，b＝3c及a
2
＝b
2＋c
2
－2bccosA，
3
22
得a＝b－c
2
.
π
故△ABC是直角三角形，且B＝，
2
1
所以sinC＝cosA＝.
3

π
2x＋
?
. [2011·天津卷] 已知函数f(x)＝tan
?
4
??
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
πα
0，
?
，若f
??
＝2cos2α，求α的大小． (2)设α∈
?
?
4
??
2
?


πππ
kπ
【解答】 (1)由2x＋≠＋kπ，k∈Z，得x≠＋，k∈Z.
4282
??
π
kπ
x≠
＋，k∈Z
?
. 所以f(x)的定义域为
?
x∈R
?
?
8
2
??< br>π
f(x)的最小正周期为.
2
π
a＋
?
sin< br>?
α
??
α＋
π
?
＝2cos2α，
?4
?
＝2(cos
2
α－sin
2
α)，
( 2)由f
?
＝2cos2α，得tan
?
2
??
4
?
π
α＋
?
cos
?
?
4
?
si nα＋cosα
整理得＝2(cosα＋sinα)(cosα－sinα)．
cosα－sinα
π
0，
?
，所以sinα＋cosα≠0， 因 为α∈
?
?
4
?
11
因此(cosα－sinα)
2
＝，即sin2α＝.
22
ππ
ππ
0，
?
， 得2α∈
?
0，
?
，所以2α＝，即α＝. 由α∈
?
?
4
??
2
?
612

第 2 页 共 9 页

[2011·安徽卷] 在△ABC中，a，b， c分别为内角A，B，C所对的边长，a＝3，b＝2，
1＋2cos(B＋C)＝0，求边BC上的高 ．





本题考查两角和的正弦公式，同角三角函数 的基本关系，利用正弦定理或余弦定理解三
角形，以及三角形的边与角之间的对应大小关系，考查综合运 算求解能力．
【解答】 由1＋2cos(B＋C)＝0和B＋C＝π－A，得1－2cosA＝0，
13
cosA＝，sinA＝.
22
再由正弦定理，得
bsinA2
sinB＝＝.
a2
π
由b2
2
cosB＝1－sin
2
B＝.
2
由上述结果知
2
31
sinC＝sin(A＋B)＝
?
＋
?
.
2
?
22
?
设边BC上的高为h，则有
3＋1
h＝bsinC＝.
2


[2011·全国卷] △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，asinA＋csinC－2asinC
＝bsi nB.
(1)求B；
(2)若A＝75°，b＝2，求a，c.


【解答】 由正弦定理得a
2
＋c
2
－2ac＝b
2
.
由余 弦定理得b
2
＝a
2
＋c
2
－2accosB.
2
故cosB＝，因此B＝45°.
2
(2)sinA＝sin(30°＋45°)
＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°
2＋6
＝.
4
2＋6
sinA
故a＝b×＝＝1＋3，
sinB
2
sinCsin60°
c＝b×＝2×＝6.
sinBsin45°







第 3 页 共 9 页

[2011·江西卷] 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c ，已知sinC＋cosC＝1
C
－sin.
2
(1)求sinC的值；
(2)若a
2
＋b
2
＝4(a＋b)－8，求边c的值．






C
CCC
2cos＋1
?
＝2sin
2
， 【解答】 (1)由已知得sinC＋sin＝1－cosC，即sin
?
2
?
22
?
2
CCCCC1
由sin≠0得2cos＋1＝2sin，即sin －cos＝，
222222
3
两边平方得：sinC＝.
4
CC 1
π
C
ππ
37
(2)由sin－cos＝＞0得＜＜，即＜C＜π ，则由sinC＝得cosC＝－，
222422244
由a
2
＋b
2
＝4(a＋b)－8得：(a－2)
2
＋(b－2)
2
＝0，则 a＝2，b＝2.
由余弦定理得c
2
＝a
2
＋b
2
－2abcosC＝8＋27，所以c＝7＋1.









[2011·辽宁卷] △ABC的三个内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos
2
A
＝2a.
b
(1)求；
a
(2)若c
2
＝b
2
＋3a
2
，求B.


【解答】 (1)由正弦定理得，sin
2
AsinB＋si nBcos
2
A＝2sinA，
即sinB(sin
2
A＋cos
2
A)＝2sinA.
b
故sinB＝2sinA，所以＝2.
a
?1＋3?a
(2)由 余弦定理和c
2
＝b
2
＋3a
2
，得cosB＝.
2c
由(1)知b
2
＝2a
2
，故c
2
＝(2＋ 3)a
2
.
12
可得cos
2
B＝，又cosB＞0，故cosB＝，所以B＝45°.
22

第 4 页 共 9 页

cosA－2cosC
[2011·山东卷] 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知＝
cosB
2c－a
.
b
sinC
(1)求的值；
sinA
1
(2)若cosB＝，△ABC的周长为5，求b的长．
4

abc
【解答】 (1)由正弦定理，设＝＝＝k.
sinA sinBsinC
2c－a2ksinC－ksinA2sinC－sinA
则＝＝.
bksinBsinB
cosA－2cosC2sinC－sinA
所以原等式可化为＝.
cosBsinB
即(cosA－2cosC)sinB＝(2sinC－sinA)cosB ，
化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)，
又因为A＋B＋C＝π，
所以原等式可化为sinC＝2sinA，
sinC
因此＝2.
sinA
sinC
(2)由正弦定理及＝2得c＝2a，
sinA
1
由余弦定理及cosB＝得
4
222
b＝a＋c－2accosB
1
＝a
2
＋4a
2
－4a
2
×
4
＝4a
2
.
所以b＝2a.
又a＋b＋c＝5.
从而a＝1，
因此b＝2.


[2011·浙江卷] 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.
1
已知sinA＋sinC＝psinB(p∈R)，且ac＝b
2
.
4
5
(1)当p＝，b＝1时，求a，c的值；
4
(2)若角B为锐角，求p的取值范围．








第 5 页 共 9 页

?
【解答】 (1)由题设并利用正弦定理，得
?
1
ac＝
?
4
，
1
a＝1，
??
??
a＝< br>4
，
解得
?
1
或
?

c＝，
??
?
4
?
c＝1.
5
a＋c＝，
4


(2)由余弦定理，b
2
＝a
2
＋c
2
－2accosB
＝(a＋c)
2
－2ac－2accosB
1131< br>＝p
2
b
2
－b
2
－b
2
cosB ，即p
2
＝＋cosB，
2222
3
?
6
，2
，由题设知p＞0，所以＜p＜2. 因为0＜cosB＜1，得p
2
∈
?
?
2
?
2


cosA－2cosC2c－a
[2011·山东卷] 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知＝.
cosBb
sinC
(1)求的值；
sinA
1
(2)若cosB＝，b＝2，求△ABC的面积S.
4



abc
【解答】 (1)由正弦定理，设＝＝＝k，
sinAsinBsinC
2c－a2ksinC－ksi nA2sinC－sinA
则＝＝，
bksinBsinB
cosA－2cosC2sinC－sinA
所以＝.
cosBsinB
即(cosA－2cosC)sinB＝(2sinC－sinA)cosB，
化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)．
又A＋B＋C＝π，
所以原等式可化为sinC＝2sinA，
sinC
因此＝2.
sinA
sinC
(2)由＝2得c＝2a.
sinA
1
由余弦定理b
2
＝a
2
＋c
2
－2accosB及cosB ＝，b＝2，
4
1
得4＝a
2
＋4a
2
－4a< br>2
×，
4
解得a＝1，
从而c＝2.
1
又因为cosB＝，且04
15
所以sinB＝.
4
111515
因此S＝acsinB＝×1×2×＝.
2244

第 6 页 共 9 页

π
?
π
－x
满足f
?
－
?
＝f(0)．求函数f(x) [2011·重庆卷] 设a∈R，f(x)＝cosx(asinx－cosx)＋cos
2
?
?
2
??
3
?
π11π
?
在
?
?
4< br>，
24
?
上的最大值和最小值．






【解答】
a
f(x)＝asinxcosx－cos
2
x＋sin
2
x＝sin2x－cos2x.
2
π
3a1
－
?
＝f(0)得－·＋＝－1， 由f
?
?
3
?
222
解得a＝23.
π
2x－
?
. 因此f(x)＝3sin2x－cos2x＝2sin
?
6
??
ππ
?
π
ππ
，
时，2x－∈
?
，
?
，f(x)为增函数， 当x∈
?
?
43< br>?
6
?
32
?
π11π
?
π
?π3π
?
，
当x∈
?
时 ,2x－∈
，
，f(x)为减函数．
?
324
?
6
?
24
?
π11π
??
π
?
＝2.
，
所以f(x)在
?
上的最大值为f
?
424
??
3
?
π
??
11π
?
＝2， 又因f
?
＝3 ，f
?
4
??
24
?
π11π
??
11π
?
＝2.
，
故f(x)在
?
上的最小值为f
?< br>424
??
24
?
















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第 8 页 共 9 页

8、这个世界并不是掌握在那些嘲笑者的手中，而恰恰掌握在能够经受得住 嘲笑与批忍不断往前走的人手中。
9、障碍与失败，是通往成功最稳靠的踏脚石，肯研究、利用它们，便能从失败中培养出成功。
10、在真实的生命里，每桩伟业都由信心开始，并由信心跨出第一步。
。


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