2014年北京市高考理科数学试卷及答案解析(word版)

京翰高考补习——专业对高中学生开设高三数学辅导补习班
2014年北京高考数学（理科）试题
一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每 小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项）
1.已知集合
A?{x|x?2 x?0},B?{0,1,2}
，则
A
2
B?
( )
A.{0}

B.{0,1}

C.{0,2}

D.{0,1,2}

2.下列函数中，在区间
(0,??)
上为增函数的是（ ）
A.y?x?1

B.y?(x?1)
2

C.y?2
?x

D.y?log
0.5
(x?1)

?
x??1?cos< br>?
3.曲线
?
（
?
为参数）的对称中心（ ）
y?2?sin
?
?
A.
在直线
y?2x
上
B.
在直线
y??2x
上
C.
在直线
y?x?1
上
D.
在直线
y?x?1
上
4.当
m?7,n?3
时，执行如图所示的程序框图，输出的
S
值为（ ）
A.7

B.42

C.210

D.840


5.设
{a
n
}
是公比为
q
的等比数列 ，则
q?1
是
a
n
}
为递增数列的（ ）
A.
充分且不必要条件
B.
必要且不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件
?
x?y?2?0
?
6.若
x,y
满足
?
kx? y?2?0
且
z?y?x
的最小值为-4，则
k
的值为（ ）
?
y?0
?
11
A.2

B.?2

C.

D.?

22
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7.在 空间直角坐标系
Oxyz
中，已知
A
?
2,0,0
?
，
B
?
2,2,0
?
，
C
?
0,2,0
?
，
D1,1,2
，
若

S
1
，
S
2
，
S
3
分别表示三棱锥
D?ABC
在
xOy
，
yOz
，
zOx
坐标平面上的正投影图形的
面积，则（ ）
（A）
S
1
?S
2
?S
3
（B）
S
1
?S
2
且
S
3
?S
1

（C）
S
1
?S
3
且
S
3
?S
2
（D）
S
2
?S
3
且
S
1
?S
3

8.有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀 ”“合格”“不合格”三种.若
A
同学每科成绩不
低于
B
同学 ，且至少有一科成绩比
B
高，则称“
A
同学比
B
同学成绩好 .”现有若干同
学，
他们之间没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样
的.问满足条件的最多有多少学生（ ）
（A）
2
（B）
3
（C）
4
（D）
5

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
??
?
1?i
?
9.复数
??
?
________.
1?i
??
10.已知向量
a
、
b
满足
a?1，
b?
?
2,1
?
，且
?
a?b?0
?
?
?R
?
，则
2
?
?
________ .
y
2
?x
2
?1
具有相同渐近线，则
C
的方程为________； 11.设双曲线
C
经过点
?
2,2
?
，且与
4
渐近线方程为________.

12.若等 差数列
?
a
n
?
满足
a
7
?a
8
?a
9
?0
，
a
7
?a
10
?0
，则当
n?
________时
?
a
n
?
的前
n

项和最大.

13. 把5件不同产品摆成一排，若 产品
A
与产品
C
不相邻，则不同的摆法有_______种.
14. 设函数
f(x)?sin(
?
x?
?
)
，
A?0,
?
?0
，若
f(x)
在区间
[

f
?
??
,]
上具有单调性，且
62
?
?
?
?
?
?
2
?
?
2
?
f
?
?
3
??
?
?
?
??f
??
，则
f(x)
的最小正周期为________.
??
6
?
三．解答题（共6题，满分80分）
15. （本小题1 3分）如图，在
?ABC
中，
?B?
?
3
,AB?8
，点
D
在
BC
边上，且
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CD?2,cos?ADC?
（1）求
sin?BAD

1

7
（2）求
BD,AC
的长

16. （本小题13分）.
李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：

（1）从上 述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过
0.6
的概率.
（2） 从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过
0.6
，一
场不超过
0.6
的概率.
（3）记
x
是表中10个命中次数的平均 数，从上述比赛中随机选择一场，记
X
为李明
在这比赛中的命中次数，比较
E(X)
与
x
的大小（只需写出结论）


17.（本小题14分）
如图，正方形
AMDE
的边长为2，
B,C
分别为
AM,MD
的中点，在五棱锥
P?AB CDE

中，
F
为棱
PE
的中点，平面
AB F
与棱
PD,PC
分别交于点
G,H
.
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（1）求证：
ABFG
；
（2）若
PA?
底面
ABCD E
，且
AF?PE
，求直线
BC
与平面
ABF
所成 角的大小，并
求线段
PH
的长.


18.（本小题13分）
f(x)?xcosx?sinx,x?[0,]
，
2
（1）求证：
f(x)?0
；
已知函数
（2）若
a

19.（本小题14分）
已知椭圆
C:x
2
?
?
?
sinx
?b
在
(0,)
上恒成立，求
a
的最大值与
b
的最小值.
2
x
?2y
2
?4
，
（1）求椭圆
C
的离心率.
（2）设
O
为原点，若点A
在椭圆
C
上，点
B
在直线
y?2
上，且OA?OB
，求直线
AB
与圆
x
2
?y
2?2
的位置关系，并证明你的结论.



20.（本小题13分）
对于数对序列
P(a
1
,b
1< br>),(a
2
,b
2
),,(a
n
,b
n)
，记
T
1
(P)?a
1
?b
1
，
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T
k(P)?b
k
?max{T
k?1
(P),a
1
?a< br>2
??a
k
}(2?k?n)
，其中
max{T
k ?1
(P),a
1
?a
2
??a
k
}
表示
T
k?1
(P)
和
a
1
?a
2
? ?a
k
两个数中最大的数，
（1）对于数对序列
P(2,5),P(4,1 )
，求
T
1
(P),T
2
(P)
的值.
（2）记
m
为
a,b,c,d
四个数中最小值，对于由两个数对
(a ,b),(c,d)
组成的数对序列
P(a,b),(c,d)
和
P'(a, b),(c,d)
，试分别对
m?a
和
m?d
的两种情况比较
T
2
(P)
和
T
2
(P')
的大小.
（3）在由5个数对
(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)
组成的所有数对序列中，写出一
个数对序列
P
使
T
5
(P )
最小，并写出
T
5
(P)
的值.（只需写出结论）.


























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2014北京高考（理科）数学题解析
1．集合
A?x|x
2
?2 x?0?
?
0，2
?
．故
A
??
B?
?< br>0，2
?
，选C．
2． A．
y?x?1
在
?
?1，??
?
上为增函数，符合题意．
B．
y?(x?1)
2
在
(0，1)
上为减函数，不合题意．
C．
y?2
?x
为
(??，??)
上的减函数，不合题意．
D．
y?log
0.5
(x?1)
为
(?1，?? )
上的减函数，不合题意．
故选A．
?
x??1?cos
?
3． 参数方程
?
所表示的曲线为圆心在
(?1，2)
，半径为1的圆．
y?2?sin
?
?
其对称中心为圆心
(?1，2)
．逐个代入选项 可知，
(?1，2)
在直线
y??2x
上，即选项
B．
4． 当
m
输入的
m?7
，
n?3
时，判断框内的 判断条件为
k?5
．故能进入循环的
k
依次为
7，6，5．顺次执行
S?S?k
，则有
S?7?6?5?210
，
故选C．
5． D
对于等比数列
?
a
n
?
，若
q ?1
，则当
a
1
?0
时有
?
a
n
?
为递减数列．
故“
q?1
”不能推出“
?
a
n
?
为递增数列”．
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若
?a
n
?
为递增数列，则
?
a
n
?
有可 能满足
a
1
?0
且
0?q?1
，推不出
q?1．
综上，“
q?1
”为“
?
a
n
?
为递增数列”的既不充分也不必要条件，即选D．
6． D
若
k≥0
，z?y?x没有最小值，不合题意．
若
k?0
，则不等式组所表示的平面区域如图所示．
O
y
2
kx-y+2=0
x+y-2=0
2
-
2
k
x< br>?
2
?
由图可知，
z?y?x
在点
?
?，0
?
处取最小值．
?
k
?
1
?
2
?
故
0?
?
?
?
??4
，解得
k??，即选项D正确．
2
?
k
?
7． D（
S
2
?S
3
且
S
1
≠S
3
）
D?A BC
在
xOy
平面上的投影为
△ABC
，故
S
1< br>?2
，
设
D
在
yOz
和
zOx
平 面上的投影分别为
D
2
和
D
3
，则
D?ABC在
yOz
和
zOx
平面上的
投影分别为
△OCD
2
和
△OAD
3
．∵
D
2
0，1，2
，
D
3
1，0，2
．
????
z
D
2D
3
O
A
x
D
1
B
D
Cy

故
S
2
?S
3
?2
．
综上，选项D正确．
8． B
用ABC分别表示优秀、及格和不及格。
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显然语文成绩得A 的学生最多只有1个，语文成绩得B的也最多只有1个，得C的也
最多只有1个，因此学生最多只有3个 。
显然，（AC）（BB）（CA）满足条件，故学生最多3个
9．
?1

1?i(1?i)
2
2i
复数
???i

1?i (1?i)(1?i)2
1?i
22
故
()?i??1

1?i
10．
5

由
?
a?b?0
，有
b??
?
a
，于是
|b|?|
?
|?|a|

1)
，可得
b?5
，又
|a|?1
，故
|?
|?5
由
b?(2，
x
2
y
2
1 1
．
??1
；
y??2x

312
y
2< br>双曲线
?x
2
?1
的渐近线为
y??2x
，故
C
的渐近线为
y??2x

4
y
2
设
C
：
?x
2
?m
并将点
(2，2)
代入
C
的方程，解得
m??3

4
y
2
x
2
y
2
2
故
C
的方程为
?x??3
，即
??1

4312

12
．
8

由等差数列的性质，
a
7
? a
8
?a
9
?3a
8
，
a
7
?a
10
?a
8
?a
9
，于是有
a
8
?0
，
a
8
?a
9
?0
，
故
a< br>9
?0
．故
S
8
?S
7
，
S
9
?S
8
，
S
8
为
{a
n
}< br>的前
n

项和
S
n
中的最大值


13
．
36

先只考虑
A
与产品
B相邻．此时用捆绑法，将
A
和
B
作为一个元素考虑，共有
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A
4
4
?24
种方法．而

A
和
B
有
2
种摆放顺序，故总计
24?2=48
种方法．再排除既满足< br>C
作为一个元素考
A
与
B
相邻，又满足
A
与
C
相邻的情况，此时用捆绑法，将
A，B，
3
C
有
2
种可能的摆放顺序，故总计
6?2=12
种方虑，共有
A
3
?6
种方法，而
A，B，
法．综上，符合题意的摆放共有
48?12?36

种．

14．
π

?
ππ
??
π
?
由
f
?
x
?
在区间
?
?
?
上具有单调性，且
f
??
??f
?
62??
2
?
?
π
?
?
?0
?
，
?
3
?
?
π
?
由
f
??
?
?
2
?
1
?
π2
?
7
?
2
?
f
?
π
?
知
f
?
x
?
有对称轴
x?
?
?
π
?
?
π
，记
T
为最小正周期，
2
?
23
?
12
?
3
?
?
π
?
??
知，
f
?x
?
有对称中心
?
6
?
1ππ2π7πT
则< br>T≥??T≥
，从而
π
???T?
π
.
22631 234
15．⑴
sin?ADC?1?cos
2
?ADC?
43
7
sin?BAD?sin
?
?ADC??B
?
?s in?ADC?cos?B?sin?B?cos?ADC
4311333
?????
727214

⑵
△ABD
中
ABADBD
8ADBD
.即
??
??
sin?ADBs inBsin?BAD
43333
7214
解得
BD?3
,
AD?7

在
△ACD
中，
AC
2
?AD
2
?DC
2
?2AD?DC?cos?ADC
?7
2
?2
2
?2?7?2?
?49
1
7

所以
AC?7

京翰教育北京家教辅导——全国中小学一对一课外辅导班

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16．⑴ 李明在该场比赛中命中率超过
0.6
的概率有：
主场2 主场3 主场5 客场2 客场4
所以李明在该场比赛中投篮命中超过
0.6
的概率
51
P??

102
3
2
⑵ 李明主场命中率超过
0.6
概率
P
，命中率不超过
0.6
的概率为
1? P

1
?
1
?
5
5
2
3
客场中命中率超过
0.6
概率
P
2
?
，命中率不超过
0.6
的概率为
1?P
2
?
．
5
5
332213
P?????

555525
⑶
E
?
X
?
?x
．

17. ⑴证明：< br>AM∥ED
，
AM?
面
PED
，
ED?
面< br>PED
.
?
AM∥
面
PED
.
AM?
面
ABF
，即
AB?
面
ABF

面
ABF
面
PDE?FG

P
z
?
AB∥FG
.
F
E
A
G
H
y
⑵如图建立空间直角坐标系
A?xyz
，各点坐标如下
A
?
0,0,0
?
,
E
?
0,2,0
?< br>,
B
?
1,0,0
?
,
C
?
2,1 ,0
?
,
F
?
0,1,1
?
,
P
?
0,0,2
?

B
D
C
M
x
设 面
ABF
的法向量为
n?
?
x
0
,y
0< br>,z
0
?
，
AB?
?
1,0,0
?
，
AF?
?
0,1,1
?

?
?
x?0
?
n?AB?0
，即，令
y?1
，
?
n?
?
0,1,?1
?

?
?
y?z?0
?
?
?
n?AF?0
又
BC?
?
1,1,0
?
，
?
sinBC,n?
1
2?2
?
1

2
直线
BC
与平面
ABF
所成的角为
π
.
6
设
H
?
x
1
,y
1
,z
1
?
，由
PH?tPC
，则
?
x
1
,y
1
,z
1
?2
?
?t
?
2,1,?2?

京翰教育北京家教辅导——全国中小学一对一课外辅导班

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?
x1
?2t
?
?
?
y
1
?t
?
H
?
2t,t,2?2t
?

?
z?2?2t
?< br>1
又
H?
面
ABF
，
BH?
?
2t ?1,t,2?2t
?

?
n?BH?0

?
t? 2t?2?0
，
?
t?
22
2
?
422
? ?
424
?
，
?
H
?
,,
?
，< br>?
PH?
?
,,?
?

3
?
333
??
333
?
2
?
4
??
2
??
4
?
?
PH?
??
?
??
?
?< br>?
?
?2

?
3
??
3
??
3
?
18. ⑴证明：< br>f
?
?
x
?
?cosx?x
?
?sinx< br>?
?cosx??xsinx
，
?
π
??
π
?
x?
?
0?
?
时，
f
?
?
x
?
≤0
，从而
f
?
x
?
在
?0?
?
上单调递减，
?
2
??
2
?
?
π
?
所以
f
?
x
?
在
?
0?
?
上的最大值为
f
?
0
?
?0
，
?
2
?
所以
f
?
x
?
≤f
?
0
?
?0
.
⑵法一：
当
x?0
时，“
“
sinx?bx?0
”，
令< br>g
?
x
?
?sinx?cx
，则
g
?
?
x
?
?cosx?c
.
?
π
?
当< br>c≤0
时，
g
?
x
?
?0
对任意
x ?
?
0?
?
恒成立.
?
2
?
?
π
?
?
π
?
当
c≥1
时，因为对任意
x?
?
0?
?
，
g
?
?
x
?
?cosx?c?0
，所以
g
?
x
?
在区间
?0?
?
上
?
2
?
?
2
?
?< br>π
?
单调递减.从而
g
?
x
?
?g
?
0
?
?0
对任意
x?
?
0?
?
恒成立.
?
2
?
?
π
?
当
0?c?1< br>时，存在唯一的
x
0
?
?
0?
?
，使得g
?
?
x
0
?
?cosx
0
?c?0
，
?
2
?
π
??
且当
x?
?< br>0?x
0
?
时，
g
?
?
x
?
?0
，
g
?
x
?
单调递增；当
x?
?< br>x
0
?
?
时，
g
?
?
x
?
?0
，
g
?
x
?
2
??
sinx sinx
?a
”等价于“
sinx?ax?0
”；“
?b
” 等价于
xx
单调递减。所以
g
?
x
0
?
? g
?
0
?
?0
。
π
?
π
??
π
?
进一步，“
g
?
x
?
?0对任意
x?
?
0?
?
恒成立”当且仅当
g
??
?1?c
≥
0
，即
2
?
2
?
?< br>2
?
2
0?c≤
.
π
2
?
π?
综上所述，当且仅当
c≤
时，
g
?
x
??0
对任意
x?
?
0?
?
恒成立；
π
?
2
?
?
π
?
当且仅当
c≥1
时，g
?
x
?
?0
对任意
x?
?
0??
恒成立.
?
2
?
所以，若
a?
sinx< br>2
?
π
?
?b
对任意
x?
?
0?< br>?
恒成立，则
a
的最大值为，
b
的最小值为
1
.
π
x
?
2
?
京翰教育北京家教辅导——全国中小学一 对一课外辅导班

京翰高考补习——专业对高中学生开设高三数学辅导补习班
法二：
sinx
?
π
?
?x?
?
0?< br>?
，
x
?
2
?
cosx?x?sinx
则
g
?
?
x
?
?
，由⑴知，
g
?< br>?
x
?
≤0
，
x
2
?
π
??
π
?
2
故
g
?
x
?
在
?
0?
?
上单调递减，从而
g
?
x
?
的 最小值为
g
??
?
，
?
2
??
2
?
π
2
2
故
a≤
，
a
的最大值为.
π
π
b
的最小值为
1
，下面进行证明：
令
g
?
x
?
?
?
π
?
h
?
x
?
?sinx?bx
，
x?
?
0?
?
，则
h
?
?
x
?
?cosx?b
，
?< br>2
?
?
π
?
当
b?1
时，
h
?
?
x
?
≤0
，
h
?
x
?在
?
0?
?
上单调递减，从而
h
?
x
?
max
?h
?
0
?
?0
，
?
2
?
所以
sinx?x≤0
，当且仅当
x?0
时取等号.
sinx
?
π
?
从而当
x?
?
0?
?
时，
?1
.故
b
的最小值小于等于
1
。 2
x
??
?
π
?
若
b?1
，则
h
?
?
x
?
?cosx?b?0
在
?
0 ?
?
上有唯一解
x
0
，且
x?
?
0?x< br>0
?
时，
h
?
?
x
?
?0
，
?
2
?
故
h
?
x
?
在
?
0?x
0
?
上单调递增，此时
h
?
x
?
?h
?
0
?
?0
,
sinx
?b
与恒成立矛盾，故
b≥1
，
x
综上知：
b
的最小值为
1
.
sinx?bx? 0?
x
2
y
2
19．⑴椭圆的标准方程为：
??1
，
42
a?2
，
b?2?
则
c?2
，离心率e?
c2
;
?
a2
⑵直线
AB
与圆
x
2
?y
2
?2
相切.证明如下：
法一：
设点
A?B
的坐标分别为
?
x
0
?y
0
??
?
t?2
?
，其中
x
0
?0
. < br>因为
OA⊥OB
，所以
OA?OB?0
，即
tx
0< br>?2y
0
?0
，解得
t??
2y
0
. x
0
t
2
当
x
0
?t
时，
y
0
??
，代入椭圆
C
的方程，得
t??2
, 2
故直线
AB
的方程为
x??2
.圆心
O
到直 线
AB
的距离
d?2
.
此时直线
AB
与圆
x
2
?y
2
?2
相切.
京翰教育北京家教辅导——全国中小学一对一课外辅导班

京翰高考补习——专业对高中学生开设高三数学辅导补习班
当
x0
?t
时，直线
AB
的方程为
y?2?
即
?< br>y
0
?2
?
x?
?
x
0
?t
?
y?2x
0
?ty
0
?0
.
圆心
O
到直线
AB
的距离
d?
y
0
?2
?
x?t
?
，
x
0
?t
2x
0
?ty< br>0
?
y
0
?2
?
2
?
?
x
0
?t
?
2
.
22
?2y
0
? 4
，
t??
又
x
0
2y
0
，故
x
0
2
4?x
0
x
0
d?
2
2y
0
2x
0
?
x
0
22
x
0
?y
0
?
4y
?4
x
2
0
2
0
?
x?8x?16
2x
4
0
2
0
2
0
?2
.
此时直线
AB
与圆
x
2
?y
2
?2
相切.
法二：
由题意知，直线
OA
的斜 率存在，设为
k
，则直线
OA
的方程为
y?kx
，
OA⊥OB
，
①当
k?0
时，
A
?
?2?0?
，易知
B
?
0?2
?
，此时直线
AB
的方程为
x?y?2
或
?x?y?2
，
原点到直线
AB
的距离为
2
，此时直线
AB
与圆
x
2
?y
2
?2
相切；
1
②当
k?0
时，直线
O B
的方程为
y??x
，
k
?
?
y?kx
22k
联立
?
2
得点的坐标
?
A
?
22
1?2k
2
?
x?2y?4
?
1?2k
1< br>?
?
y??x
联立
?
k
得点
B
的坐 标
?
?2k?2
?
，
?
?
y?2
??< br>22k
??
?
或
?
?
2
1?2k
2
??
1?2k
?
?
；
?
?
22k
由点
A
的坐标的对称性知，无妨取点
A
?
?
2
1 ?2k
2
?
1?2k
2k
1?2k
2
2
?
?
进行计算，
?
?2
?2k
于是直线
AB
的方程为：
y?2?
?
x?2k
?
?
k?1?2k
2
1?k1?2k
2
?
x?2k
?
，
1?2k
2
京翰教育北京家教辅导——全国中小学一对一课外辅导班