高一数学辅导教案：函数与方程

函数与方程辅导教案

学生姓名
授课教师
科组长签名
教学课题 函数与方程
1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，会判断一元二次方
教学目标
程根的存在性及根的个数.
2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似值．
教学重点
与难点


性别
上课时间
教学主任签名
年级 高一 学科 数学
课时：3课时

第（ ）次课
共（ ）次课
掌握运用数形结合解决函数题目
一、知识点讲解
1．函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数y＝f(x) (x∈D)，把使 的实数x叫做函数y＝f(x) (x∈D)的零点．
(2)几个等价关系
方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象 是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，
函数y＝f(x)在区间(a，b)内 有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个__c__也就是方程
f(x)＝0的根．
2．二次函数y＝ax
2
＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax
2
＋bx＋c (a>0)的
图象

与x轴的交点 (x
1,
0)，(x
2,
0)
1

(x
1,
0)
无交点

零点个数

3.二分法
2 1 0
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)< 0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在
的区间一分为二，使区间的两个端点逐步 逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．( )
(2)函数y＝f(x)在区间( a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.( )
(3)二次函数y＝ ax
2
＋bx＋c(a≠0)在b
2
－4ac<0时没有零点．( )
(4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．( )
(5)函数y＝2sin x－1的零点有无数多个．( )
1
(6)函数f(x )＝kx＋1在[1,2]上有零点，则－12
.( )
、考点自测 < br>1．若a间( )
A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
2．函数f(x)＝2
x
|log
0.5
x|－1的零点个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x ≥0时，f(x)＝x
2
－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的
零点的集合为 ( )
2

A．{1,3}
C．{2－7，1,3}
B．{－3，－1,1,3}
D．{－2－7，1,3}
4．已知函数f(x)＝ln x－x＋2有一个零点所在的区间为(k，k＋1) (k∈N
＋
)，则k的值为
________．
、例题讲解
题型一 函数零点的判断和求解
例1 (1)设x
0
是方程ln x＋x＝4的解，则x
0
属于( )
A．(0,1)
C．(2,3)
B．(1,2)
D．(3,4)
?
ln x－x
2
＋2x，x>0，
(2)函数f(x)＝
?
的零点个数是_ _______．
?
4x＋1， x≤0
思维升华 函数零点的求法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点 存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，
还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点 的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其有几个交
点，就有几个不同的零点．

3

(1)函数f(x)＝2
x
＋3x的零点所在的一个区间是
( )
A．(－2，－1)
C．(0,1)
B．(－1,0)
D．(1,2)
(2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x ∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)
－log
3
|x|的零点个数是 ( )
A．多于4个
C．3个
B．4个
D．2个
题型二 二次函数的零点问题
例2 已知函数f(x)＝x
2
＋ax＋2，a∈R.
(1)若不等式f(x)≤0的解集 为[1,2]，求不等式f(x)≥1－x
2
的解集；
(2)若函数g(x)＝f( x)＋x
2
＋1在区间(1,2)上有两个不同的零点，求实数a的取值范围．












4

思维升华 解决二次函数的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一 元二
次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组．
已知 f(x)＝x
2
＋(a
2
－1)x＋(a－2)的一个零点比1
大， 一个零点比1小，求实数a的取值范围．











题型三 函数零点和参数的范围
例3 若关于x的方程2
2x
＋2
x
a＋a＋1＝0有实根，求实数a的取值范围．







5

思维升华 对于“a＝f(x)有解”型问题， 可以通过求函数y＝f(x)的值域来解决，解的个数也
可化为函数y＝f(x)的图象和直线y＝a交 点的个数．
已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当
1
x∈[0,3)时 ，f(x)＝|x
2
－2x＋
2
|.若函数y＝f(x)－a在区间[－3, 4]上有10个零点(互不相同)，则
实数a的取值范围是________．
题型四
6
数形结合思想在函数零点问题中的应用

典例：(1)方程log
3
x＋x－3＝0的解所在的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
(2)已知函数 f(x)＝log
a
x＋x－b(a>0，且a≠1)，当20
∈(n，n
＋1)，n∈N
*
，则n＝_______ _.
温馨提醒 (1)零点问题可转化为函数图象的交点问题进行求解，体现了数形结合的思想．(2 )
求零点范围时用数形结合求解可减少思维量，作图时要尽量准确.
、小结
方法与技巧
1．函数零点的判定常用的方法有
(1)零点存在性定理；(2)数形结合；(3)解方程f(x)＝0.
2．研究方程f(x)＝g(x)的解，实质就是研究G(x)＝f(x)－g(x)的零点．
3．转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求
参数范围问 题可转化为函数值域问题．
失误与防范
1．函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x )＝0的根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的
横坐标．
2．函数零点存在性定理是 零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要
根据函数的单调性、对称性或结合函数图 象.
7

、小测
A组 专项基础训练
?
2
x
－1， x≤1，
1．已知函数f(x)＝
?
则函数f(x)的零点为( )
?
1＋log
2
x， x>1，
1
A.
2
，0
1
C.
2


2．方程|x
2
－2x|＝a
2
＋1(a>0)的解的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3．若关于x的方程x
2
＋m x＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是( )
A．(－1,1) B．(－2,2)
B．－2,0
D．0

C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
4．函数f(x)＝xcos x
2
在区间[0,4]上的零点个数为( )
A．4
C．6
B．5
D．7
5．已知三个函数f( x)＝2
x
＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log
2
x＋x的零点依次 为a，b，c，则( )
A．aC．bB．aD．c6．若函数f(x)＝x
2
＋a x＋b的两个零点是－2和3，则不等式af(－2x)>0的解集是________．
7．函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________.
?
2
x
－1，x>0，
8．已知函数f(x)＝
?
2
若函数g(x)＝f( x)－m有3个零点，则实数m的取值
?
－x－2x，x≤0，
8

范围是________．
2
9．判断函数f(x)＝4x＋x
2
－
3
x
3
在区间[－1,1]上零点的个数，并说明理由．
















10．关于x的二次方程x
2
＋(m－1)x＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m的取值范围．















9

B组 专项能力提升
11．已知x
1
，x
2
是函数f(x)＝e
－
x
－|ln x|的两个零点，则( )
1
A.
e
1
x
2
<1
C．11
x
2
<10
B．11
x
2
D．e1
x
2
<10
12．若直角坐标平面内的两点 P，Q满足条件：①P，Q都在函数y＝f(x)的图象上；②P，Q
关于原点对称，则称点对[P，Q ]是函数y＝f(x)的一对“友好点对”(点对[P，Q]与[Q，P]看作
?
log
2
x，x>0，
同一对“友好点对”)．已知函数f(x)＝
?
2
则此函数的“友好点对”有
?
－x－4x，x≤0，
( )
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
13．若方程4－x
2
＝k(x－2)＋3有两 个不等的实根，则k的取值范围是________．
?
a
x
， x ≥0，
14．已知0?
若函数g(x)＝f(x) －k有两个零点，
?
kx＋1， x<0，
则实数k的取值范围是________．
15．已知函数f(x)＝4
x
＋m·2
x
＋1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点．
















10

11