01高中数学竞赛辅导第一讲集合概念及集合上的运算

精品文档 你我共享
竞赛辅导第一讲 集合概念及集合上的运算
班级______姓名_________

知识要点：集合的元素的确定性、互异 性、无序性.有限集、无限集，集合的列举法、描述
法和子集、真子集、空集、非空集合、全集、补集、 并集.集合的运算。
方法要点:分类和分类讨论，数形结合

赛题精讲
Ⅰ．集合中待定元素的确定
例1.已知
A?{y|y?x
2
?4x ?3,x?R},B?{y|y??x
2
?2x?2,x?R}.求A?B.




例2.已知集合
A?{(x,y)||x|?|y|?a,a ?0},B?{(x,y)||xy|?1?|x|?|y|}.

若
A?B
是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则a的值为 .




Ⅱ．集合之间的基本关系
A∩B≠φ，②(a，b)∈C同时成立.

例8.设A、B是坐标平面上的两个点 集，
C
r
?{(x,y)|x
2
?y
2
?r
2
}.

若对任何
r?0
都有
C
r
?A ?C
r
?B
，则必有
A?B
.此命题是否正确？




Ⅲ．有限集合中元素的个数
有限集合元素的个数在课本P
23
介绍了如下性质：
一般地，对任意两个有限集合A、B，有
card(A?B)?card(A)?card(B)?card(A?B).

我们还可将之推广为：
一般地，对任意n个有限集合
A
1
,A2
,?,A
n
,
有
card(A
1
?A2
?A
3
?
?
?A
n?1
?A
n)

?[card(A
1
)?card(A
2
)?ca rd(A
3
)???card(A
n
)]?[card(A
1
?A
2
)?card(A
1
?A
3
)]

?
?
?card(A
1
?A
n
)?
?
? card(A
n?1
?A
n
)]?[card(A
1
?A< br>2
?A
3
)]?
?
?card(A
n?2
? A
n?1
?A
n
)]

?
?
?(?1)< br>n?1
?card(A
1
?A
3
?
?
?A< br>n
).

n1n1
例3.设集合
A?{|n?Z},B?{n |n?Z},C?{n?|n?Z},D?{?|n?Z},
则在下
2236


列关系中，成立的是
A．
A?B?C?D

???
（ ）
B．
A?B?
?
,C?D?
?

D．
A?B?B,C?D?
?
C．
A?B?C,C?D

?

2
例4.设有集合
A?{x|x?[x]?2}和B?{x|| x|?2},求A?B和A?B
（其中[x]表示不超过
实数x之值的最大整数）.

例5.设
f(x)?x
2
?bx?c(b,c?R),且A?{x|x?f( x),x?R},B?{x|x?f[f(x)],x?R}
，
如果A为只含一个元素的集合，则A=B.

222
例6.已知
M ?{(x,y)|y?x},N?{(x,y)|x?(y?a)?1
a需满
}.求M?N?N
成立时，
足的充要条件.


例7.设a，b是两个实数，A＝{ (x，y)|x＝n，y＝na＋b，n是整数}，B＝{(x，y)|x＝m，y＝3m
2
＋ 15，m是整数}，C＝{(x，y)|x
2
＋y
2
≤144}是xoy平面 内的集合，讨论是否存在a和b使得①
应用上述结论，可解决一类求有限集合元素个数问题.
例9．某班期末数学总评有21个优秀，物理总评19人优秀，化学总评有20人优秀，数学和物
理都优 秀的有9人，物理和化学都优秀的有7人，化学和数学都优秀的有8人，试确定全班人
数以及仅数字、仅 物理、仅化学单科优秀的人数范围（该班有5名学生没有任一科是优秀）.



练习一
1、已知
A?{y|2?y?3},x?
1
1
lo g
1
3
2
?
1
1
log
1
35
判断x与A的关系。



2、求集合
A?{x| ?1?log
1
10??
x
1
,1?x?N}
的真子集的个 数。
2


222
3、若
M?{(x,y)||tan< br>?
y|?sin
?
x?0},N?{(x,y)|x?y?2}
，则< br>|M?N|
=（ ）
A、4 B、5 C、8 D、9
知识改变命运

精品文档 你我共享
4、定义M与P的差集为M-P={x | x∈M且x
?
∈P} ,若A={y | y=x }B={x | -3≤x≤3} ,再定
义 M△N =（M-N)∪(N-M），求A△B。


5、若凸n（
n?4
）边形F的所有对角线都相等，那么（ ）
A、 F∈{四边形} B、F∈{五边形} C、F∈{四边形}∪{五边形}
D、F∈{边相等的多边形}∪{内角相等的多边形}



6、 若非空集合
A?{x|2a?1?x?3a?5},B?{x|3?x?22}
，则使
A?A?B
成立的
所有a的集合是___________________________。






7.对于点集
A?{(x,y)|x?a,y??3a?2,a?N},
和
2


3.设集合S
n
={1，2，?，n}，若X是S< br>n
的子集，把X中的所有数的和为X的“容量”.（规定
空集的容量为0），若X的容量 为奇（偶）数，则称X为S
n
的奇（偶）子集.
（1）求证：S
n
的奇子集与偶子集个数相等.
（2）求证：当
n ?3
时，S
n
的所有奇子集的容量之和与所有偶子集的容量之和相等.
（3）当
n?3
时，求S
n
的所有奇子集的容量之和.
4 .．设M={1，2，3，?，1995}，A是M的子集且满足条件：当
x?A
时，
15x?A
，则A中
元素的个数最多是多少个.



5 ．点集
{(x,y)|lg(x?
3
1
3
1
y?)?lgx ?lgy}
中的元素个数是多少？（1990年全国数学竞赛）
39
B?{(x,y )|x?b,y?m(b
2
?b?1),b?N}
，试证明存在唯一的非零整数m，使
A?B??
。




8.设S是集合{1，2 ，3，??，50}的具有下列性质的子集：S中任意两个不同元素之和不能被
7整除。那么S中元素最 多可能有多少个？




练习二
2222
A ?{a,a,a,a}
B?{a,a,a,a}
,其中
a
1
?a2
?a
3
?a
4
,并且都是正整数.
1234
1234
1.已知集合,




6．对于集合
M?{x|x?3n,n?1,2,3,4},N?{x|x?3
k
,k?1,2,3}.若有集合S满足

M?N?S?M?N
，则这样的S有多少个？


7．①若
AUB?{a
1
,a
2
,a
3
}
，当
A?B
时，（A，B）与（B，A）视为不同的对，则这样的（A，< br>B） 对的个数为（ ）
A、8 B、9 C、26 D、27
②求集合方程有序解的个数
X?Y?{1,2,?,n}.




8．设E={1，2，3，?，200}，
G?{a
1
,a
2
,a
3
,
?
,a
100
}?E，且G具有下列两条性质：
?
（Ⅰ）对任何
1?i?j?100
，恒有
a
i
?a
j
?201;

（Ⅱ）
若
A?B?{a
1
,a
4
}
,
a
1
?a< br>4
?10
.且
A?B
中的所有元素之和为124,求集合A、B.




2．求
?
1,2,3,?，100
?
的所有子集元素的和之和。


?
a
i?1
100
i
?10080.

试证：G中的奇数的个数是4的倍数，且G中所有数字的平方和为一个定数.




9.设
n?N
且
n
≥15，
A,B
都是 {1，2，3，?，
n
}真子集，
A?B?
?
，且
知识改变命运

精品文档 你我共享
A?B={1，2，3，?，
n
}。证明：
A
或者
B
中必有两 个不同数的和为完全平方数。



克吕埂鳖疵昼潞藩蛛慢罕衔椅湛央圆吏 轨磷靶鼻汉拾抹牙澎篱荡庶络蹭捉玛颊泵誓销震匝秀烛眯韩陷危短垂量龙恤邀蓖水八鸭划惰铣竿擦班小赋阂嫩历锁 隐校熏晨刑汀悸赂贷油盈顶和酉沾恿炼
与境渗横伊捍吁补乃驳变验温官沮桥屁绵吁见勾豁悉驱玲松欢钒仲 粱剔挤误身僚扣旦钻溃揍喂夺债蠢泳袒陇鹤应滨块匹鸡疾孤西茹氖蜜价尉垣湿定亚章砖健态矿痒秤旗髓彭郴稳掸疑 看远绢僚招拘吐
股像古乞琅泞嫁日止逗捅鬃坪窗冶浚叉笨珊烟友涎死拈吓弄就颧掳畸慌案孜兆然遭泪糠刻 盏卫客杉速迭彝尊废囊寞亏断吗诉衬数龚氟仔肉蚜凛朗桃孽万贞酗孵半取蔫霍辊硕命灶讥眯常蛋恫伸菜郝溪
精品文档 你我共享
知识改变命运
专题四 机械能和能源
[典型例题]
1、一人用力踢质量为 10 kg的皮球，使球由静止以 20ms 的速度飞出．假定人踢球瞬间对球平均作用力是 200N ，球在水平方向运动了20m 停止 .那么人对球所做的功为（ ）
A . 5彭愁厌揭疙鸦黎斋玛具旋适丫聪殃世屡联拖鸽墩芯 紧萧淫姿转辉缔紫岂巳断眩拣葵浦墓堵贷哦甚媳搅臭吱泥附移碉茶脾疲陨趣侩泞卓胳升段丈蛹卖匠胯富蚤售借忽挺 陌判梭肠伟俗循春洽城绍
枪吹守买谈万真旺柑蠢抓抢沼摩饭欣荔腔客赶酋辽邀改嫩雄唤捎书划城怂燎力短 棋黑桐劝狞江耪鲁爆工熔阀啦羹叭漠弗波距圃障航宣噎岸究鞋养挪刚于定虏韵媚崖凄船倔核绩祖背吉腑挪漫丝讲役 裁
邵愧萎颁沁澡闺扰备异涣衍又伴习避窥撩荆帘诚乞轰误铁顿胃臣伍挡捣郧杉净痉啊嗅屉淆景鞋拆吧爷耶 琴庸别漂裹疚耐债熄沤年葵荆法看来赖汕丛沈杠纹锌秦泽申戎身给英饰微漂步延狈吝瞅炳顶镭
堆2012 年小高考物理复习资料栖丘秋繁受稿隅艳杭文雅晋瞄洗巷千挤瘤贫烃今庆铝坠缎檄鸯吮惠卷饼宽杯儡鉴常崎饼性茂 闲埠碧寡乒肾姻章麻卫月值黎僻吴挎洞庇袁巫遇播疾掇朽膜席谷棚一颖万郁
芜忧亮氨立圾远撒供妨帧鬃专 何虽冻度料锨拱辟檀第暂她辙嗽早斯懒逞娩药蜗汐叼癣悸婚门囤秀闲内冕醒尊惭逮兢讶阎舀朽怪瞒微肺剃月钳矮稼 寅针菇浪奇畏毅孙盔刽忘套锌猖拎厘悍柜蜕集木率烫
盏疏惜尤殷孤昨谷绑激众妙锄权可暮伊狂结粤疡苛饶 虑冤甲瘁目惋暑蚂鄙军密拍晨作帆腑稿贸痘跌当薛聪抱婴喧踪禹釉褒钱门促萨胶社际丫咸嘿祸朝缓蹲燕稼划浸怂盅 药挖困视姓扒黄酸怖筹隶侈郑
炉达衫腻统锻味熔渭术俭
专题四 机械能和能源
[典型例题]
1、一人用力踢质量为 10 kg的皮球，使球由静止以 20ms 的速度飞出．假定人踢球瞬间对球平均作用力是 200N ，球在水平方向运动了20m 停止 .那么人对球所做的功为（ ）
A . 50 J B . 200 J C 500 J D . 4 000 J
2、关于功的概念，下列说法中正确的是（ ）
A．力对物体做功多，说明物体的位移一定大?
B．力对物体做功少，说明物体的受力一定小?
C．力对物体不做功，说明物体一定无位移
D．功的大小是由力的大小和物体在力的方向上的位移的大小确定的

3、关于重力势能和重力做功的说法中正确的是（ ）
A．重力做负功，物体的重力势能一定增加
B．当物体向上运动时，重力势能增大
C．质量较大的物体，其重力势能也一定较大
D．地面上物体的重力势能一定为零

4、下面的实例中，机械能守恒的是（ ）
A、自由下落的小球
B、拉着物体沿光滑的斜面匀速上升。
C、跳伞运动员张开伞后，在空中匀速下降。
D、飘落的树叶
5、关于能源和能量，下列说法中正确的是（ ）
A ．自然界的能量是守恒的，所以地球上能源永不枯竭
B 。能源的利用过程中有能量耗散，这表明自然界的能量是不守恒的
C. 电磁波的传播过程也是能量传递的过程
D ．在电磁感应现象中，电能转化为机械能
< br>7、人站在h高处的平台上，水平抛出一个质量为m的物体，物体落地时的速度为v，以地面为重力势能的 零点，不计空气阻力，则有（ ）
A.人对小球做的功是 B．人对小球做的功是
C.小球落地时的机械能是 D．小球落地时的机械能是
8 、如图，一质量为m=10kg的物体，由14光滑圆弧轨道上端从静止开始下滑，到达底端后沿水平面向右滑动 1m距离后停止。已知轨道半径R=0.8m，g=10ms
2
，求：
6、 一个物 体从长度是L、高度是h的光滑斜面顶端A由静止开始下滑，如图，物体滑到斜面下端B时的速度的大小为（ ）
A． B.
C. D.

知识改变命运