高中数学例析圆中的最值问题专题辅导

高中数学例析圆中的最值问题
在解圆中的最值问题时，涉及到二元函数变量的 取值范围，直接涉及到不等式的有关
性质，如果不注意合理使用不等式的性质，就会造成错解，下面分析 一例。
例：平面上有两点A（-1，0），B（1，0），P为圆
x?y?6x?8 y?21?0
上的一
点，试求
S?|AP|?|BP|
的最大值与最小值，并 求相应的P点坐标。
错解1：把已知圆的一般方程化为标准方程得
(x?3)?(y ?4)?4
，设点P的坐标
2222
为
(x
0
,y
0
)
，则
S?|AP|?|BP|?(x
0
?1)?y
0< br>?(x
0
?1)?y
0
?2(x
0
?y
0< br>?1)

2222
22
22
22

?
点P（
x
0
,y
0
）在已知圆上，

?x
0
?y
0
?6x
0
?8y
0
?21


?S?2(6x
0
?8y
0
?2 1?1)?4(3x
0
?4y
0
?10)


22
?(x
0
?3
)
2
?4?
(y
0< br>?4
)
2
?4
??2?x
0
?3?2，1?x
0
?5
22

同理，
(y
0
?4)?4 ?(x
0
?3)?4，?2?y
0
?4?2，2?y
0
?6


?3?3x
0
?15，8?4y
0
?2 4，4?4(3x
0
?4y
0
?10)?116
，即
4?S ?116
。

?S
的最大值为116，最小值为4。
222
错解2：设点P的坐标为（
x
0
,y
0），则
S?|AP|?|BP|?(x
0
?1)?y
0
?

2
(x
0
?1)
2
?y
0
?2(x< br>0
?y
0
?1)?2(2x
0
y
0
?1)< br>
当
x
0
?y
0
时等号成立，把
x
0
?y
0
代入圆的方程化简，得
2x
0
?14x< br>0
?21?0
，解
2
222
7?7
，取较小值得2
7?7
2
S?2[2()?1]?58?147
。
2

?S
的最小值为
58?147
，而无最大值。
得
x
0
?
x
0
?y
0
?
7?7
2
，这时
错因分析1：在错解1中，产生错误的原因，在于把
x
0
、y
0
看成相互独立的，能同时
达到最大值、最小值的量。实际 上
x
0
、y
0
作为两个“变量”是相互联系的，它们同时受
(x
0
?3)
2
?(y
0
?4)
2
?4< br>的约束，这个约束条件表示了
x
0
与
y
0
的最大取值 区间。但是，
当
x
0
、
y
0
成为没有联系的独立变 量后，就不一定同时满足
(x
0
?3)?(y
0
?4)?4
约束
条件了，离开了约束条件的变量肯定会扩大解集。例如当
x
0
取得最大值 5时，
y
0
只能等于
4，不能取得最大值6；当
y
0
取得最大值6时，不能取得最大值5。同样
x
0
、y
0
x
0
只能等于3，
也不能同时取得最小值。
在不等式的性质中，若“
a?b，c?d?a?c?b?d
”，但反之，由
“
a?c?b?d?

a?b，c?d
”，也就是说，
a?b，c?d是a?c?b?d
的充分不必
要条件。
b?[p,q]
， 错解用的是放缩变形，不是同解变形，故改变了解集， 比如：设
a?[m，n]
，
可以得到：

a?b?[m?p，n?q]，a?b?[m?q，n?p]

然而，由22
a?b?[m?p,n?q],a?b?[m?q,n?p]
却得不出
a?[ m，n]，b?[p,q]
，只能得出
p?qq?pm?nn?m
a?[m?,n?] ,b?[p?,q?]
。这是因为
a?b与a?b
中的
a、b
222 2

不是独立的，而是相互制约的，从而扩大了所求S的取值范围。
比 如，
?1?sin
?
?1，?1?cos
?
?1
，但是?2?sin
?
?cos
?
?2
是不成立的，因
为sin
?
?cos
?
?2sin(
?
?
?4
)?[?2，2]
，这也是由于
sin
?
与
cos< br>?
都受
2
sin
?
?co
2
s
?< br>?1
条件约束，当
sin
?
与
cos
?
离开 约束条件
sin
2
?
?cos
2
?
?1
以 后，
sin
?
?cos
?
的范围明显发生了改变，即扩大了取值范围 。
22
错因分析2：在错解2中，利用不等式
x
0
?y< br>0
?2x
0
y
0
(x
0
?0，y
0
?0)
求最值，不
等式的一边必须为定值，若乘积
x
0
y< br>0
为定值m，则当
x
0
?y
0
?
最小值为< br>2m
；若平方和
x
0
?y
0
为定值n，则当
x
0
?y
0
?
为
22
m
时，平方和
x
0
?y
0
的
22
2n
时，乘积
x0
y
0
的最大值
2
n
。但因错解2中乘积
x< br>0
y
0
不是定值，因而不能应用这一方法求最值。
2
22
正解：把已知圆的一般方程化为标准方程得
(x?3)?(y ?4)?4
，设点P的坐标为
2222
(x
0
,y
0
)
，则
S?|AP|
2
?|BP|
2
?(x
0< br>?1)
2
?y
0
?(x
0
?1)
2
?y
0
?2(x
0
?y
0
?1)


?
点P
(x
0
,y
0
)
在已知圆上， < br>?x
0
?y
0
?6x
0
?8y
0
? 21
?S?2(6x
0
?8y
0
?21?1)?4(3x
0
?4y
0
?10)

?
(x
0
?3 )
2
?(y
0
?4)
2
?4
，可设
x0
?3?2cos
?
,y
0
?4?2sin
?
,

22
?S?4[3(3?2cos
?
)?4(4?2sin?
)?10]?4(6cos
?
?8sin
?
?15)?
3
?
40sin(
?
?
?
)?60，其中tan
?
?(0?
?
?)
42
??
1
?
sin(
?
?
?
)
?
1,
?20?S?100

由tan
?
?
343
可求得cos
?
?,sin< br>?
?
455

当S?100时，sin(
?
?
?
)?1，
?
?
?
?
sin
?
?cos
?
?
?
2
,
?
?
?
2
?
?
43
,cos
?
?sin
?
?
55621828
,y
0
?4?2sin
?
?4??

?x
0
?3?2cos
?
?3??

55553
?
3
?
当S?20时，sin(
?
?
?)??1，
?
?
?
?,
?
??
?
22
43
sin
?
??cos
?
??，cos
?
??sin
?
??
55

69812
?x
0
?3?2cos
?
?3??,y
0
?4?2sin
?< br>?4??
5555
2128

?S
的最大值是100， 这时点P的坐标是
(,)
。S的最小值是20，这时点P的坐
55
912标是（
,
）。
55
印象文华：

不等式的性质是解题的理论基础，要深刻理解与正确应用不等式的性质，不仅要弄清
每一个性质的条件和 结论各是什么，还需要弄清条件和结论之间是“单向”的（如
a?b，c?d?a?c?b?d
就是单向的，即条件
a?b,c?d
是结论
a?c?b?d
的充
分不 必要条件；还有
a?b?0，c?d?0?ac?bd
，但
ac?bd?
a? b?0，c?d?0
等也是单向的）、不可逆的，还是“双向”的（如
a?b是a?b?0的充分必要条件，即
a?b
?a?b?0
）。在解题时若被忽视，就容易
产生错误。
“同向不等式两边分别相加所得不等式与原不等式同向”这一性质是单向的，用它 来
做变形，是非同解变形，这样，每应用一次这一性质，就会使所求范围扩大。
在使 用重要不等式定理求最值时，必须具备三个条件：①在所求最值的代数式中，各
变数均应是正数（如不是 ，则进行变号转换）；②各变数的和或积必须为常数，以确保不
等式一边为定值（如不是，则进行拆项或 分解，务必使不等式的一端的和或积为常数）；
③各变数有相等的可能。若这三个条件缺少任何一个，使 用此定理解题都是错误的，也就
是平常所说的“一正、二定、三相等”。
圆
(x?a)?(y?b)?r






上点的坐标（x,y）可以设成
x?a?rco
?
s
，
y? b?rsin
?
，由此可将相关的二元问题化为一元问题，有利于问题的求解。

222