高中数学三角形“心”的应用专题辅导

高中数学三角形“心”的应用
梁克强

三角形的外心、内心、重心 、垂心，以及正三角形的中心与解析几何有关图形的性质
有机地结合，可拓宽应用的范围，使很多解析几 何问题能简单明快地解决。下面先从一道高
考题谈起。
例1. 如图1，已知双曲线的中 心在原点，右顶点为A（1，0），点P、Q在双曲线的右支
上，点M（m，0）到直线AP的距离为1 ，当
m?2?1
时，ΔAPQ的内心恰好是点M，求此
双曲线方程。
y
P

M
O A x

Q


图1

解：设双曲线方程为
y
2
x?
2
?1(b?0)

b
由
M(2?1，0)，A(1，0)
得
|AM|?2

2
因为M是ΔAPQ的内心，M到直线AP的距离为1
所以∠MAP＝45°
AM是∠PAQ的平分线
且M到AQ、PQ的距离均为1
因此
k
AP
?1，k
AQ
??1

所以直线
PQ：x?2?2
，直线
AP：y?x?1

解得
P(2?2，1?2)

y
2
15?42
代入
x?
2
?1
得
2
??22?1

b
b
3?22
2
故所求双曲线的方程为
x
2
?(22?1)y
2
?1

点评：这是04年 高考题，得分率不高。有些同学对“内心”的概念的理解就很含糊，
更别提与圆锥曲线的性质有机结合了 。所以加强有关三角形的“心”的相关训练是很有必要
的。

例2. 已知抛物 线
y?4x
的通径为AB，P是抛物线上非A、B的动点，分别过A、B作AP、
BP 的垂线相交于M点，求M点的轨迹方程。
解：如图2，A、P、B、M四点共圆，圆心就是PM的中点 C，即ΔAPB的外心，故C在
线段AB的垂直平分线，即x轴上。
2

y

A
P

O C x
M
B

图2
设M（x，y），P（x
0
，y
0
） ，则
y
0
??y
而A（1，2）
所以
k
PA
?k
MA
?

?1?

y
0
?2
y?2
???1

x
0
?1x?1
?2?

y
2
?4
?1
将<1>代入上式得
x
0
?
x?1
将<1>和<2> 代入抛物线方程，得
y
2
?4
(?y)?4(?1)

x?1
22
整理得
(x?1)(y?4)?4(y?4)

2
由P与A、B不重合，可知
y?4?0

所以M点的轨迹方程为
x?5(y??2)


例3. 已知锐 角ΔABC的顶点A为动点，底边BC为定线段，它与高AD的长均为2a，求Δ
ABC的垂心H的轨迹 方程。
解：以BC中点O为原点，直线BC为x轴，建立直角坐标系。
设B（－a，0），C（a，0），A（x，2a），垂心H（x，y）
由垂心的定义，知BH⊥AC
即得
2
y2a
???1(x??a)

x?ax?a
由于ΔABC是锐角三角形
所以垂心H的轨迹方程是
a
x
2
??2a(y?)(|x|?a)

2

例4. 如图3，已知在ΔABC边上作匀速运动的三点D、E、F，在时刻t＝0时，分别从A、
B、C出发，各以一定速度分别向B、C、A前进，在时刻t＝1时到达B、C、A。试证在运动
过程中，ΔDEF的重心不变。

y
C
F

A E
D

B

O x

图3
分析：设A （x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
），C （x
3
，y
3
）

???
BC、CA
的 因为在同一时刻
t(0?t?1)
，D、E、F分别于所在的位置分有向线段
AB、< br>比相同，所以
?
?
ADBECFt
???

DBECFA1?t
利用定比分点坐标公式可以求得
D(tx
2
? (1?t)x
1
，ty
2
?(1?t)y
1
)
E( tx
3
?(1?t)x
2
，ty
3
?(1?t)y
2
)

F(tx
1
?(1?t)x
3
，ty
1
?(1?t)y
3
)
由重心公式得，ΔDEF的重心G的坐标为
(






x
1
? x
2
?x
3
y
1
?y
2
?y
3< br>，)

33
即D、E、F在运动过程中，ΔDEF的重心不变。