高中数学向量与三角形问题专题辅导

高中数学向量与三角形问题


平面向量的应用十分广泛。由 于三角形中的有关线段可以视为向量，线线之间的位置
关系、大小关系以及边角关系均可以用向量表示， 这就为向量与三角形的沟通、联系、交
汇提供了条件。在这类问题中，往往要涉及到向量的和差运算、数 乘运算、数量积运算以
及向量的共线、垂直、向量的模等性质，因此解题思路较宽、方法灵活、综合性强 。本文
就此介绍几例，以供参考

一、运用向量知识求三角形面积
??
例1. 已知△ABC，
AB?(cos23°，cos67°)
，
BC?(2cos68°，2cos22°)
，试
求△ABC的面积。
??
解：因
BA?(?cos23°，?cos67°)
，
BC?(2cos68°，2cos22°)
，所以
????
|BA|?1，|BC| ?2
，
BA·BC??2cos23°cos68°?2cos67°·cos22°?

?
???
22
，
??
?2cos45°??2
，即
?2?BA
·BC?|BA||BC|cosB
，则
cosB??1×22
1
??
2
2
，则△ABC的面积为：
|BA| |BC|sinB?
。
sinB?
2
22

二、运用向量知识判断三角形形状
??????
例2. 在△ABC中，
(BC·CA)
：
(CA·AB)：(AB·BC)
＝1：2：3，试判断△ABC
的形状。
??????
?
解：设
BC·CA?k，CA· AB?2k，AB·BC?3k(k≠0)
，令
|BC|
＝a，
??????
|CA|?b
，
|AB|?c
。因
BC·CA?|BC||CA|< br>cos(
?
?C)??abcosC
，而
abcosC
＝ < br>1
2
(a?b
2
?c
2
)
，所以
a
2
?b
2
?c
2
??2k
。同理可得
b< br>2
?c
2
?a
2
??4k
，
c
2< br>?a
2

2
?b
2
?6k
。
222
三式联立解得
c??5k，b??3k，a??4k
，显然< br>k?0
，从而
c??5k
，
b??3k
，
a??4k
，故
a：b：c?2：3：5
。
因此最大角的余弦为
co sC?
?4k?3k?5k3
??0
，最大角C为锐角，故△
6
2× ?4k×?3k
ABC为不等边的锐角三角形。
注：设定比例常数k是解题的关键，同时注意向量之间的夹角和三角形内角的区分。

三、运用向量知识处理三角形中最值问题
???
6
?1)c
2
，问 例3. 已知△OFP的面积
S?26
，且
OF·FP?m，|OF|?c，m?(
4
?
当c为何 值时，
|OP|
取得最小值。
解：如下图，以O为坐标原点，直线OF为x 轴建立平面直角坐标系，则O（0，0），F

?
（c，0）。设P（
x
0
，y
0
），则
FP?(x
0
?c，y
0
)
，

1
46
|OF||y
0
|?26
，得
y
0
?±
。
2
c
??
6
6
而
OF·FP?c(x0
?c)?m?(?1)c
2
，
x
0
?c
。
4
4
?
3c
2
96
22

|OP|?x
0
?y
0
??
2
?23
，
8
c
3c
2
96
?
2
，即
c?4
时等号成立。 当且仅当
8
c
?
故
c?4
时，
|OP|
取得最小值
23
。

S
△OFP
?
注：建立恰当的直角坐标系，熟练进行向量的坐标运算是解题的关键。

四、运用向量知识求三角形中相关量的值或范围
例4. 在△ABC中，内角A、B、C 的对边分别为a、b、c，且a、b、c成等比数列，
??
33
cosB?，BA·B C?
，求
a?c
的值。
42
??
333
解：由
BA·BC?
，得
cacosB?，而cosB?，则ca?2

224
222
又因为a、b、c成等比数列，
b?ca?2?c?a?2cacosB
，
222
即
c?a?5，(c?a)?9，
可得
a?c?3
。

??
1
例5. 已知△ABC的面积为S，且
AB·BC
＝1，
?S?2
，求内角B的取值范围。
2
????
解：
AB·BC?1
，
BA·BC??1
，
??
即
|BA||BC|cosB??1
①
1
??
又
S?|BA||BC|sinB
②
2
111
②÷①得
S??tanB
，即
??tanB?2

222
3
?

?4?tanB??1
，于是
?
?arctan4?B?
。
4
注：弄清两个非零向量的数量积中的夹角是解题的关键所在。