高中数学研究性报告范文-高中数学倒数教程
指数不等式、对数不等式的解法·例题
例5-3-7
解不等式:
解 (1)原不等式可化为
x
2
-2x-1<2(指数函数的单调性)
x
2
-2x-3<0 (x+1)(x-3)<0
所以原不等式的解为-1<x<3。
(2)原不等式可化为
注 函数的单调性是解指数不等式、对数不等式的重要依据。
例5-3-8
解不等式log
x+1
(x
2
-x-2)>1。
解 [法一]
原不等式同解于
所以原不等式的解为x>3。
[法二] 原不等式同解于
log
x+1
(x
2
-x-
2)>log
x+1
(x+1)
所以原不等式的解为x>3。
注 解这类对数不等式,要注意真数为正数,并须对底数的分类讨论。
解
原不等式可化为
2
2x
-6×2
x
-16<0
令2
x
=t(t>0),则得
t
2
-6t-16<0
(t+2)(t-8)<0 -2<t<8
又t>0,故0<t<8即0<2
x
<8,解得x<3。
注 解这类指数不等式,常常需要通过变量代换把它变为整式不等式来
解。
解 原不等式可化为
解得t<-2或0<t<1,即
注 解不同底的对数不等
式,应先化为同底对数的不等式,再利用对数
函数的单调性将它转化为整式不等式求解。这时也常常用到
换元法。
例5-3-11 设a>0且a≠1,解不等式
解 原不等式可化为
令log
a
x=t,则得
当0<a<1时,由指数函数的单调性,有
4-t
2
<1-2t
t
2
-2t-3>0 (t+1)(t-3)>0
t<-1,或t>3
当a>1时,则有
4-t
2
>1-2t
t
2
-2t-3<0 (t+1)(t-3)<0 -1<t<3
注
解既含指数又含对数的不等式的基本思想是“化同底,求单一”,
即把不同底的指数或对数化为同底的,
再通过函数的单调性将复合情形转化为
只含指数或对数的单一情形求解。
例5-3-12
设f(x)是定义在实数集R内的函数,对任意x,y∈R,有
f(x+y)=f(x)·f(y);并
且当x>0时,f(x)>1,f(1)=a。解关于x的不等式
f(x
2
+x-4)
>a
2
。
分析 由题设条件容易联想到f(x)是指数
型函数,又
a
2
=f(1)·f(1)=f(2),故原不等式同解于f(x
2
+x-4)>f(2)。于是,问题归结
为先确定f(x)的单调性,再解一个二次不等式。
=0,否则,对任意x∈R,有
f(x)=f((x-x
0
)+
x
0
)=f(x-x
0
)f(x
0
)=0
与已知矛盾,所以对任意x∈R,有f(x)>0。
现设x,y∈R,且y=x+δ(δ>0)。则
f(y)-f(x)=f(x+δ)-f(x)=f(x)f(δ)-f(x)
=f(x)[f(δ)-1]>0(∵δ>0,∴f(δ)>1)。
故f(x)在R内是增函数。于是原不等式同解于
x
2
+x-4>2
x
2
+x-6>0 x<-3或x>2
注
本题的关键是确定函数f(x)的单调性,而不必求出它的具体表达
式。