高中数学研究性报告范文-高中数学倒数教程
指数不等式、对数不等式的解法·例题
例5-3-7
解不等式：
解 (1)原不等式可化为
x
2
-2x-1＜2(指数函数的单调性)
x
2
-2x-3＜0 (x+1)(x-3)＜0
所以原不等式的解为-1＜x＜3。
(2)原不等式可化为
注 函数的单调性是解指数不等式、对数不等式的重要依据。
例5-3-8
解不等式log
x+1
(x
2
-x-2)＞1。
解 [法一]
原不等式同解于
所以原不等式的解为x＞3。
[法二] 原不等式同解于
log
x+1
(x
2
-x-
2)＞log
x+1
(x+1)
所以原不等式的解为x＞3。
注 解这类对数不等式，要注意真数为正数，并须对底数的分类讨论。
解
原不等式可化为
2
2x
-6×2
x
-16＜0
令2
x
=t(t＞0)，则得
t
2
-6t-16＜0
(t+2)(t-8)＜0 -2＜t＜8
又t＞0，故0＜t＜8即0＜2
x
＜8，解得x＜3。
注 解这类指数不等式，常常需要通过变量代换把它变为整式不等式来
解。
解 原不等式可化为
解得t＜-2或0＜t＜1，即
注 解不同底的对数不等
式，应先化为同底对数的不等式，再利用对数
函数的单调性将它转化为整式不等式求解。这时也常常用到
换元法。
例5-3-11 设a＞0且a≠1，解不等式
解 原不等式可化为
令log
a
x=t，则得
当0＜a＜1时，由指数函数的单调性，有
4-t
2
＜1-2t
t
2
-2t-3＞0 (t+1)(t-3)＞0
t＜-1，或t＞3
当a＞1时，则有
4-t
2
＞1-2t
t
2
-2t-3＜0 (t+1)(t-3)＜0 -1＜t＜3
注
解既含指数又含对数的不等式的基本思想是“化同底，求单一”，
即把不同底的指数或对数化为同底的，
再通过函数的单调性将复合情形转化为
只含指数或对数的单一情形求解。
例5-3-12
设f(x)是定义在实数集R内的函数，对任意x，y∈R，有
f(x+y)=f(x)·f(y)；并
且当x＞0时，f(x)＞1，f(1)=a。解关于x的不等式
f(x
2
+x-4)
＞a
2
。
分析 由题设条件容易联想到f(x)是指数
型函数，又
a
2
=f(1)·f(1)=f(2)，故原不等式同解于f(x
2
+x-4)＞f(2)。于是，问题归结
为先确定f(x)的单调性，再解一个二次不等式。
=0，否则，对任意x∈R，有
f(x)=f((x-x
0
)+
x
0
)=f(x-x
0
)f(x
0
)=0
与已知矛盾，所以对任意x∈R，有f(x)＞0。
现设x，y∈R，且y=x+δ(δ＞0)。则
f(y)-f(x)=f(x+δ)-f(x)=f(x)f(δ)-f(x)
=f(x)[f(δ)-1]＞0(∵δ＞0，∴f(δ)＞1)。
故f(x)在R内是增函数。于是原不等式同解于
x
2
+x-4＞2
x
2
+x-6＞0 x＜-3或x＞2
注
本题的关键是确定函数f(x)的单调性，而不必求出它的具体表达
式。