高中数学立体几何学科老师辅导讲义

最受信赖的教育品牌

北辰教育学科老师辅导讲义
学员姓名： 年 级： 高二 辅导科目： 数学 学科教师：
授课日期 3月19日 授课时段

授课主题

几何体表面积与体积

教学内容

知识回顾：
知识梳理
一．要求：
了解球、棱柱、棱锥表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。
二．考点总结：
考试中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概 念、
性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体 的求积问题，
会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解。

三．考点精讲
1．多面体的面积和体积公式

名称
棱
柱
棱柱
直棱柱
棱锥
正棱锥
侧面积(S
侧
)
直截面周长×l
全面积(S
全
) 体 积(V)
S
底
·h=S
直截面
·h
S
侧
+2S
底

S
底
·h
S
侧
+S
底

1
S
底
·h
3
ch
各侧面积之和
棱
锥
1
ch′ 2
表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h′表示斜高，l表示侧棱长。
2．旋转体的面积和体积公式

名称 圆柱
2πrl
2πr(l+r)
圆锥
πrl
πr(l+r)
圆台
π(r
1
+r
2
)l
π(r
1
+r2
)l+π(r
1
+r
2
)
22
球

4πR
2
S
侧

S
全


北辰教育· 教学部
1

最受信赖的教育品牌

V πrh(即πrl)
22
1
2
πrh
3
1
22
πh(r
1
+r
1
r
2
+r
2
)
3
4
3
πR
3
表中l、h分别表示母线、 高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r
1
、r
2
分别表示圆台 上、下底面半径，R
表示半径。
四．题型解析：

题型1：柱体的体积和表面积

例1．一个长方体全面积是20cm
2，所有棱长的和是24cm，求长方体的对角线长.






点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多 被考察。我们
平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系。
例2．如图1所示，在平行六面体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，已知AB=5，AD=4，AA
1
=3，AB⊥AD，∠A
1
AB=∠A
1
AD=
?
。
3
（1）求证：顶点A
1
在底面ABCD上的射影O在∠BAD的平分线上；
（2）求这个平行六面体的体积。

图1 图2


题型2：
柱体的表面积、体积综合问题
例3．一个长方 体共一顶点的三个面的面积分别是
2,3,6
，这个长方体对角线的长是（ ）
A．2





北辰教育· 教学部

2
3
B．3
2
C．6 D．
6

最受信赖的教育品牌

点评：解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、体积的几何要素—棱长。

例 4．如图，三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
中，若E、F分别 为AB、AC 的中点，平面EB
1
C
1
将三棱柱分成体积为V
1< br>、V
2
的
两部分，那么V
1
∶V
2
= _____。








点评：解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可。

题型3：
锥体的体积和表面积

例5．在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60，对角线AC与BD相交于点O，PO ⊥平
面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60，求四棱锥P－ABCD的体积？
?
?
P



D
E

A
C

O

B


< br>点评：本小题重点考查线面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱锥的体积。在能力方面主要考查空间想
象能力。
例6．在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，且AC= BC=5，SB=5（如图所示）
5
。
（Ⅰ）证明：SC⊥BC；
（Ⅱ）求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小；
（Ⅲ）求三棱锥的体积V
S
－
ABC
。




图

点评：本题比较全面地考查了空间点、线、面的位置关系 。要求对图形必须具备一定的洞察力，并进行一定
的逻辑推理。

北辰教育· 教学部

3

最受信赖的教育品牌

题型4：
锥体体积、表面积综合问题
例7．ABCD是边长为4的正方形，E、F分 别是AB、AD的中点，GB垂直于正方形ABCD所在的平面，且GC
＝2，求点B到平面EFC的距 离？






点评：该问题主要的求解思路 是将点面的距离问题转化为体积问题来求解。构造以点B为顶点，△EFG为底
面的三棱锥是解此题的关 键，利用同一个三棱锥的体积的唯一性列方程是解这类题的方法，从而简化了运算。
例8．如图，在四 面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别
截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A－BEFD与三棱锥A－EFC的表面积分别 是S
1
，
S
2
，则必有（ ）
A
A．S
1
?S
2
B．S
1
?S
2

C．S
1
=S
2
D．S
1
，S
2
的大小关系不能确定

O
D

F


B
E

C


点评：该题通过复合平面图形的分割过程，增加了题目处理的难度，求 解棱锥的体积、表面积首先要转化好
平面图形与空间几何体之间元素间的对应关系。


题型6：圆柱的体积、表面积及其综合问题
例11．一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ）
A．






北辰教育· 教学部

4
1?2
?

2
?
B．
1?4
?
1?2
?
C．
4
??
D．
1?4
?

2
?

最受信赖的教育品牌

例12．如图9—9，一 个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球，水面高
度恰好升高r， 则
R
=。
r



点评：本题主要考查旋转体的基础知识以及计算能力和分析、解决问题的能力。

图
题型7：圆锥的体积、表面积及综合问题
例13．（1）在△ABC中，AB=2，BC=1 .5，∠ABC=120°（如图所示），若将△ABC绕直线BC旋转一周，则所
形成的旋转体的体积 是（ ）
9
A
．
π
2


7
B．π
2

5
C．π
2
3
D．π
2
（2）若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为
A．3π




B．3
3
，则这个圆锥的全面积是（ ）
D．9π
图
3
π C．6π
点评：通过识图、想图、画图的角度 考查了空间想象能力。而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标
志，是高考从深层上考查空间想象 能力的主要方向。

例14．如图所示，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转 一周所得曲面将圆锥分成相等的两部分，
则母线与轴的夹角的余弦值为（ ）
A．


点评：本题重点考查柱体、锥体的体积公式及灵活的运算能力。

北辰教育· 教学部

5
1

3
2
B．
1
1
C．
2
2
D．
1

4
2
图

最受信赖的教育品牌

题型8：球的体积、表面积
例15． 已知过球面上
A,B,C
三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且
AB?BC?C A?2
，求球的表面
积。







点评： 正确应用球的表面积公式，建立平面圆与球的半径之间的关系。

例16．如图所示，球面上有四个点P、A、B、C，如果PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=P C=a，求这个
球的表面积。













点评：本题也可用补形法 求解。将P—ABC补成一个正方体，由对称性可知，正方体内接于球，则球的直径就
是正方体的对角线 ，易得球半径R=






北辰教育· 教学部

6
3
a,下略。
2

最受信赖的教育品牌

题型9：球的面积、体积综合问题
例17．如图，正四棱锥
P?ABCD
底面的四个顶点
A,B,C,D
在球
O
的同一个大圆上，点
P
在球面上，如果
V
P?AB CD
?
16
，则球
O
的表面积是（ ）A．
4
?
B．
8
?
C．
12
?
D．
16
?

3
（2）半球内 有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为
6
，求球的表面积和体 积。





点评：本题重点考查球截面的性质以及球 面积公式，解题的关键是将多面体的几何要素转化成球的几何要素。


例18．（ 1）表面积为
324
?
的球，其内接正四棱柱的高是
14
，求这个正 四棱柱的表面积。
（2）正四面体ABCD的棱长为a，球O是内切球，球O
1
是与 正四面体的三个面和球O都相切的一个小球，求球
O
1
的体积。






北辰教育· 教学部

7

最受信赖的教育品牌








点评：正四面体的内切球与各面的切点是面的中心，球心到各面的距离相等。

题型10：球的经纬度、球面距离问题
例19．（1）我国首都靠近北纬
40
纬线，求北纬
40
纬线的长度等于多少
km
？（地球半径大约为
6370km
）
（2）在半径为
13cm
的球面上有
A, B,C
三点，
AB?BC?AC?12cm
，求球心到经过这三点的截面的距离。










例20．在北纬
45
圈上有
A,B
两点，设该纬度圈上
A, B
两点的劣弧长为
?
??
2
，求
A,B
两
?
R
（
R
为地球半径）
4
点间的球面距离。




点评：要求两点的球面距离，必须先求出两点的直线距离，再求出这两 点的球心角，进而求出这两点的球面
距离。

五．思维总结

北辰教育· 教学部

8

最受信赖的教育品牌

1．正四面体的性质 设正四面体的棱长为a，则这个正四面体的
(1)全面积：S
全
=
3
a；(2)体积：V=
2
2
3
2
a；(3)对棱中点连线段的长：d=a；
122
(4)内切球半径：r=
66
a；(5)外接球半径 R=a；
124
(6)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高)。
2．直角四面体的性质 有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.直角四面 体有下列性质：
如图，在直角四面体AOCB中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a ,OB=b,OC=c。
则：①不含直角的底面ABC是锐角三角形；
②直角顶点O在底面上的射影H是△ABC的垂心；
③体积 V=
④底面△
ABC
=
2
1
abc；
6
1
2
a
2
b
2
?b
2
c
2
?c
2
a
2
；
⑤S
△ABC
=S
△BHC
·S
△ABC
； 2222
⑥S
△BOC
=S
△AOB
+S
△AOC=S
△ABC

⑦
1111
=+
2
+
2
;
22
OHab
c
1
⑧外切球半径 R=
a
2
?b
2
?c
2
；
2
⑨内切球半径 r=
S
?AOB
?S
?BOC
-S
?ABC

a?b?c

3．圆锥轴截面两腰的夹角叫圆锥的顶角.
①如图，圆锥的顶角为β，母线与下底面所成角为α，母线为l，高为h，底面半径为r，则
sinα=cos
α+
?
h
= ，
l
2
?
=90°
?

2
?
r
cosα=sin = .
l
2
③球的截面用一个平面去截一个球，截面是圆面.
(1)过球心的截面截得的圆叫做球的大圆；不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆；
(2)球心与截面圆圆心的连线垂直于截面；
(3)球心和截面距离d,球半径R，截面半径 r有关系：r=
R
2
-d
2
.


4．经度、纬度：
经线：球面上从北极到南极的半个大圆；
北辰教育· 教学部

9

最受信赖的教育品牌


纬线：与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆；

经度：某地的经度就是经过这点 的经线与地轴确定的半平面与
0
经线及轴确定的半平面所成的二面角的度数。
纬度：某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数。
?

5. 两点的球面距离：
球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段 劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点
的球面距离
两点的球面距离公式：（其中R为球半径，
?
为A,B所对应的球心角的弧度数）


课后作业

北辰教育· 教学部

10

最受信赖的教育品牌

1、如图，△
ABC
中，?ACB=90
，
?ABC=30
，
BC=3
，在三角形内挖去 一个半圆（圆心
O
在边
BC
上，
半圆与
AC
、AB
分别相切于点
C
、
M
，与
BC
交于点N
），将△
ABC

绕直线
BC
旋转一周得到一个旋转体。
（1）求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；
??
A
（2）求图中阴影部分绕直线
BC
旋转一周所得旋转体的体积．

M



N
C O


第20题






2、如图，四面 体
ABCD
中，
O
、
E
分别是
BD
、BC
的中点，
AO?
平面
BCD
，
CA?CB?CD?BD?2
．
A
（1）求三棱锥
A?BCD
的体积；
（2）求异面直线
AE
与
CD
所成角的大小．



















3、（本题满分12分）
B
D
O
B
E
C
北辰教育· 教学部

11

最受信赖的教育品牌

在正四棱锥
P?ABCD
中， 侧棱
PA
的长为
25
，
PA
与
CD
所成的 角的大小等于
arccos
10
．
5
（1）求正四棱锥
P?ABCD
的体积；
（2）若正四棱锥P?ABCD
的五个顶点都在球
O
的表面上，求此球
O
的半径．

P



D

A











4、（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分 ．
如图 ，在三棱锥
P?ABC
中，
PA?
平面
ABC
，
A C?AB
，
AP?BC?4
，
?ABC?30
?
,
D、E
分别是
BC、AP
的中点．
（1）求三棱锥
P?ABC
的体积；
（2）若异面直线
AB
与
ED
所成角的大小为
?
，求
tan
?
的值．






C











5、(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
北辰教育· 教学部

12
C
B
P
E
A
B
D

最受信赖的教育品牌

如图已知四 棱锥
P?ABCD
的底面是边长为6的正方形，侧棱
PA
的长为8，且垂直于 底面，
点
M、N
分别是
DC、AB
的中点．求
（1）异 面直线
PM
与
CN
所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（2）四棱锥
P?ABCD
的表面积.










6、（本小题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）
如图，直三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中，
AB?AC?AA1
?2
,
?ABC?45
．
（1）求直三棱柱
ABC ?A
1
B
1
C
1
的体积；
（2）若
D< br>是
AC
的中点，求异面直线
BD
与
AC
1
所 成的角．



















北辰教育· 教学部

13
B
B
1
?
A
1
c
1
A
D
C

最受信赖的教育品 牌








北辰教育· 教学部

14